МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ

т. 25, № 3 (1979)

ОЦЕНКИ «-ЧИСЕЛ И УСЛОВИЯ ПОЛНОТЫ СИСТЕМЫ КОРНЕВЫХ ВЕКТОРОВ НЕСАМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА

ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ М. Отел баев

В настоящей заметке для несамосопряженного опера­

тора Штурма — Л иувилля, рассматриваемого в L2 (Й), где Q — открытое множество в I = (— оо, оо), получены:

а) двусторонние оценки s-чисел, б) теоремы о полноте корневых векторов.

§ 1. Оценки s-чисел. Обозначим через L замыкание оператора L0, определенного на С°° (Q) равенством

L0y = - у" + q (x) у, (1) где Q — открытое подмножество прямой / = (— оо, оо),

С°° (Q) — множество финитных бесконечно гладких функ­

ций, равных нулю на концах интервалов (конечных или бесконечных), объединением которых является множество Q, q (х) — комплекснозначная локально непрерывная в Q функция.

В этом пункте будем предполагать, что функция Im q (x) — полуограничена, Reg (x) — полуограничена снизу. Для наших целей, не ограничивая общности, можно считать

R e g ( a : ) > ll Im q (x) > 0. (2) Из этого условия и результатов Лидского [1] следует, что

оператор L имеет ограниченный обратный L'1.

Для удобства будем считать, что | q (х) \ = оо вне Q и через с, cv с2, . . . обозначим различные постоянные.

@ Главная редакция 409 физико-математической литературы

Введем функцию

g* (x) - inf id"1: d'1 > 2JT Г+' | g (*) | d*l, a j e ft.

d>0 *• x~d J

При x €j£ й полагаем g* (#) = + oo.

О п р е д е л е н и е [2, стр. 120]. Вполне непрерыв­

ный оператор А принадлежит ар или имеет тип р, если

\\А\\$Р = К=*ЖА)<°°' (3) где Sn(A) — так называемые s-числа оператора А, т. е.

собственные числа оператора (Л*Л)1/г.

Числа Sn1 (L~l) будем называть s-числами оператора L.

Через N (X) обозначим количество s-чисел оператора L, не превосходящих X.

В работе [1] В. Б. Лидский получил критерий полной непрерывности оператора L- 1 и тем самым обобщил из­

вестный критерий А. М. Молчанова [3] на несамосопря­

женный случай, а в [4] — [5] было получено необходимое и достаточное условие конечности типа оператора LT1.

ТЕОРЕМА 1. Пусть выполняются (2). Тогда, если X ^> 0, то

c-W'p ( х £ й : д* (х) < с~1Щ < N (X) <

< cW* \i (x e Q: д* (ж) < сЩ, где (я (•) — .ме/?а Лебега.

Эта теорема обобщает [6, теорема 1] на несамосопря­

женный случай.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Справедлива следующая ЛЕММА 1. Пусть

g**(*)=inf(<T

1

+ r

+

Jg(*)|d*),

d>o N J x~d '

тогда

с"1 <^ g** (.г)-^*"1 (#) ^ c.

Эта лемма легко следует из определений д** (ж) и д* (я)..

В [5] показано, что N (X) не превосходит N, (с±-Х), где Д (•) — функция распределения собственных чисел самосопряженного оператора, аналогичного L, соответст­

вующего потенциалу | g (х) |. Поэтому из теоремы 1 работы [6] и леммы 1 получаем

N (X) < сК'у ( ж £ Й : д* (ж) < сЩ. (4)

п-ое s-число оператора L совпадает с корнем квадратным тг-го собственного числа оператора L*L. Поэтому из тео­

ремы Глазмана [7, стр. 277] получаем, что N (X) не меньше максимальной размерности подпространства, на котором

X2 || и || 2 > <L*Lu, и} = || Lu || 2. (5) Из определения q* (x) вытекает, что для произвольного

X ^> О существует, по крайней мере, к% = с^Х^2 \i (x ЕЕ £2:

д* (х) <; Х'12) непересекающихся интервалов Д1? А2, . . . . . ., А ^ длины 2А,-1/2, содержащихся в Q и таких, что

2 я Г |?( * ) | Л < Х ' / , . (6)

J п

Пусть у^п (х) — решение уравнения — у" Л- Ч {%)у = О, удовлетворяющее условиям у (Ай) = 1, у' (An) = О, гДе

An — левый конец интервала Ап. Имеем

уп (х) = 1 + J* _ (|'д_ г/п (т|) gr (л) dt|) Л . (7) Отсюда, обозначив тп = sup { | у (х) | : х ЕЕ Ап} в силу (6)

будем иметь

гап < 1 + тп2\-11* f I g (О I ^ < mnM + 1 или гтгп <^ я (я — I)"1. Последнее неравенство, (6) и (7)

дают

| ? / п И - 1 К я ( я - 1 Г1. 2 ^ -,/2 Г \q{t)\dt^(n-iy\

J п

Следовательно,

1/4 < | уп (х) | < 4 при х е Ап. (8) Продифференцируем (7) и на основании (6) и (8) легко

получаем

| Уп (х) | < сХ1/* при х е Ап. (9) Через L?, обозначим подпространство, натянутое на функ­

цию

фп (я) = со ((х- Ап)/Х^>) уп (х), п = 1, 2, . . ., къ

где Ап — центр интервала Ап, со (х) ЕЕ СО° (— 1, 1) и а) (я) = 1 на [ — 1/2, 1/2]. Очевидно,

<Lcpn, Ьц)т} == 0, <фп, фт> = 0 при ттг ^ п;

т, п = 1, 2, . . ., й\. (10)

В силу (8) и (9) имеем

+ КЫ ((х - Л

п

)А-

1

/

2

) у'

п

||

2

= a

2

J

An dt <

<сД^{2 л} |фп(^)|² dx.

Эти неравенства вместе с (10) показывают, что на L%

выполняется (5), в котором К^2, следует заменить на с⁴Х². Поэтому

N (с^ъХ) > с Д¹/ . ^ ( X G Q : g* (x) < Я¹/*).

Это неравенство и (4) доказывают теорему 1.

Из теоремы 1, как в [6], получаем

С л е д с т в и е 1. Пусть выполняются условия (2).

Тогда

а) оператор L"1 принадлежит ар в том и только в том случае, если 2р > 1 и

[ q*-2p+1 (x)dx<oo;

б) справедливы оценки

<cp^Qq^2p+1(x)dx ( 2 р > 1 ) .

§ 2. Условия полноты системы корневых векторов.

Из условия (2) вытекает, что значения функционала

<Lz, z} лежат внутри угла раствора не большего я / 2 . По­

этому из равенств <Lz, z} ~ <i/, Ь~1уУ, у = Lz следует, что значения (JLTXZ, Z} также лежат внутри угла раствора не большего я / 2 . Отсюда и из теоремы Келдыша — Лид- ского [2, стр. 302] в силу следствия 1 получаем, что спра­

ведлива

ТЕОРЕМА 2. Пусть выполняются условия (2). Тогда, если

\ g*~3 (x)dx<^ оо,

то система корневых векторов оператора LT1 полна в L2(Q).

В дальнейшем нам потребуется следующая

ЛЕММА 2. Пусть здесь и в дальнейшем Дж =

— [х — q*'1 (х), x~\- q*'1 (х)]. Тогда, если и <= С°° [Ах] f]

П С (Q), то

j ^ | ц' (*) |2 dt+q*2 (x) j ^ | и (t) P Л <

< 2⁸$^{Д я}( | и ' ( 0 1⁸ + |?(')|-И')1*)<Й. (И) Д о к а з а т е л ь с т в о . Можно предположить, что

Сд | u ( 0 |a^ = 2g*-1(a:). (12) Если

5

Д

| ^ ( 0 |

2

^ > 2~

7

g*V) f

A \u(t)\*dt, то (11) очевидно. Если же

fA | a ' ( * ) N * < 2-7д^2 (ж) Г |и(*)|аЛ,

то, в силу (12), найдется точка t0 ЕЕ Ах такая, что | и (£0) | —

= 1. Поэтому при у ЕЕ Ах имеем

\u(t0)-u(y)\^^ju'(t)\dtj^

< 2g*_1 (ж) • 2~7 д*2 (х) Г | и (0 |2 d г - 2 Л Из этих неравенств, так как | и (t0) | — 1, получаем, что

| и (t) | > 0,5 при £ ЕЕ Л^х- Следовательно, отрезок Ах вме­

сте с некоторой окрестностью содержится в Q и

Отсюда и из определения д* (я), используя (12), будем

иметь ;

| дх I Я W I • | и (0 |2 dt > (V4) | дя | ? (0 И* = (1/8я)) q* (х) =

= (1/(8я) • v

2

) д * ' |

Aje

| «•(*) |

2 dt > (1/2») <?*2

(ж) |

Дж

| и (о |» dt.

Это доказывает (11).

ЛЕММА 3. Если х е й , то

Ах= sup sup |a(*)|2(fA \uf{l)\2dt> +

X

+ q*'(x) fA l u ^ p d g r ^ c o n s t . g * -1^ ) .

i t e c ° ° [ ^ ]

Д о к а з а т е л ь с т в о . Сделав преобразование по­

добия | -> g*- 1 (я) rj, а затем сдвигая, если нужно начало координат, получаем:

Ас = <7*~Х(ж) sup sup I u (*) |« ( Г (Iи' (g) |2 + uec°°

up sup И 0 |а( С (| и'(6) Iя 30[-1,1] ' ^ [ - I ' l ] ^-1

+ H £ ) | * ) d £ ) "¹< c o n s t - g * "¹^ ) . ЛЕММА 4. Пусть г (х) — локально интегрируемая с квадратом в Q функция. Тогда

В= sup [ \r{t)u{t)\*dt. (\ ( | и ' ( 0 Р + | 9 ( 0 | -

.|«(0|

^a

)d«)

^-1

<sup{(l/g*(a;))S

^Ax

k(ON*:a!eQ}

Д о к а з а т е л ь с т в о . Покроем Q семейством от­

резков {Азс.}?=1, 1 <^ к^ оо, кратность пересечения кото­

рых не больше 2. Это возможно. Очевидно, 5 < 2 s u p sup |^д И * ) |^а- \u{t)\²dt-

[$Axi(\u'(t)\* + \q(t)\.\u(t)\*)dt]-\

{г} uec^(Q)

Воспользуемся леммой 2, а затем леммой 3:

Б < const sup sup f \r(t)\.\u(t)\*dt-

< const2 • sup q*'1 (x) \. \r (t) I2 At.

XGfi

Лемма 4 доказана.

Из этой леммы и известной теоремы Фреше — Колмо­

горова [8, стр. 378] легко получается следующая ЛЕММА 5. Пусть \ г (t) | > 0 в Q. Тогда

3f = { n e C oe o( Q ) : $Q{\u'(t)\* + \q(t)\.\u(t)\*)dt^lj

относительно компактно по норме 1\ \r(t)u(t)\2 dt) \ если lim q*~x(x) Г \r(t)\2dt= 0.

|эс|-*оо J X ^

ТЕОРЕМА 3. Пусть L — оператор, аналогичный опе­

ратору L, соответствующий потенциалу q(x). Предпо­

ложим, что Im q (x) = 0. Тогда

а) существует постоянная у ^> 0 такая, что если для некоторого А, ^> 0 выполняется условие

sup (gr+ + К)*'1 (х) j q_ (t) dt < y, (13) mo оператор L полу ограничен снизу.

Здесь

q+ (x) = max (g (ж), 0), g_ (ж) - min (q (x), 0), Дя.« = Ь - (?+ + Я)*"1 (ж), * + (g+ + Jt)*"1 (Ж)];

б) ес/ш L — полу ограничен, то

sup (g+ + X)*"1 (ж) f g_ (t) dt < oo,

^ J4 , x

где U e — любые числа, Б G (0, 1), 1 )> 0, a ALc = [s - (1 - e) ((/+ + А)*"1 (ж),

* + (1 ~ e) (q+ + Я)*"1 (*)];

в) если для некоторого достаточно малого у ^> 0 выпол­

няется (13), т о для Х^>1 выпоняются неравенства с? <(Г + Щ у, у} < <(L+ + ХЕ) у, у} <

где cv зависит от у, a L+ — оператор аналогичный L, соот­

ветствующий q+ (x).

Д о к а з а т е л ь с т в о . При и ЕЕ С™ (Q) имеем (Ьщ и} = <£⁺гг, u> — J g_ (*) I и (*) |^а d*.

Отсюда и из леммы 4 следует а) ив). Оператор L полуогра­

ничен снизу в том и только в том случае, если для некото­

рого X ^> О выполнено условие

jo?-(<)l»(0ls^<Jo(|i*'(0|8 + (?+ + A.)|«(0|')A. (14)

U E E C ( Q ) .

Если (14) выполняется для некоторого X ^> 0, то для лю­

бого К ^> О имеем

S^o9 ^ 0 l " ( 0 |²* < c J^Q( | u ' ( 0 |^a + (?⁺ + MI"WI²)*, (15)

U E C ( ^ ) .

Пусть 0 < 8 < 1, со8 е С^° (— 1,1) и со8 = 1 на [—1 + е, 1 — е]. Подставим в (15) функцию со8((#++ ^)* (ж) (£ — #))»

где я — любая фиксированная точка £ Й , и непосред­

ственными вычислениями получаем б). Теорема 3 дока­

зана.

Заметим, что хотя необходимое и достаточное условия в доказанной теореме близки между собой, они не совпа­

дают.

ТЕОРЕМА 4. Пусть выполняются условия (2). Предпо­

ложим, что

lim (Re g)*"1 (x)\ lmq(t)dt = 0

U

f (Reg)*"p(x)da;<oo

при некотором р ЕЕ (0, оо). Тогда система корневых векто­

ров оператора L полна в L2(Q).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть L+ — оператор ана­

логичный оператору L, соответствующий потенциалу Re q (x). Имеем, что L+> £ , и в силу следствия, оператор L+1 имеет конечный тип. Из леммы 5 и условия доказывае­

мой теоремы получаем, что оператор У | Im q (x) | • У L+

вполне непрерывен. Для доказательства теоремы 5 оста­

ется повторить рассуждения В. Б. Лидского из [1], при­

мененные при доказательстве теоремы о полноте корневых векторов оператора Штурма — Лиувилля.

§ 3. Обобщения. Пусть Q — открытое множество в / . Обозначим через L оператор, определенный равенством

Lu = (—1)пи(2Т1> + q (х) и

и граничными условиями Дирихле. Будем предполагать, что выполняются условия (2), и оператор L имеет ограни­

ченный обратный L"¹. Введем функцию

д* (х) = inf Id"1: d-*"+i> (2nf С \q{t)\ dt\ . Используя вместо теоремы 1 из [6] теорему 3 из [9], повто­

р я я доказательство теоремы 1, получаем, что справедлива ТЕОРЕМА 5. Пусть N (к) — количество s-чисел опе­

ратора L, не превосходящих X. Тогда

С-1ХШ2П) р (X^Q: g* ( x ) < c^W*")) < N (А,) <

< сМ^ \i{x^ Rⁿ: g* (х) < eVIW).

Из этой теоремы выводится

ТЕОРЕМА 6. а) оператор LT¹ принадлежит классу а^р в том и только в том случае, если 2пр ^> 1 и\ q*~2np+1 (x) dx <^

< оо;

б) справедливы оценки

с

-у (J

о

,•-*«

{х)

d ^ ||

Ь

-г

hp < с

(J

о g

*-w«

(я)

^ _

Н а основании этой теоремы, также как и теорема 3, до­

казывается следующая ТЕОРЕМА 7. Если

mo система корневых векторов оператора Ь~г полна # L2 (Й).

Эта теорема является обобщением теоремы 2. Другую теорему из § 2 о полноте корневых векторов (теорему 4) распространить на случай уравнений высших порядков автору не удалось. Причиной является отсутствие леммы, аналогичной лемме 2 из § 2.

Институт математики Поступило и механики АН Каз.ССР 13.XII.1976

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1] Л и д с к и й В. Б., Несамосопряженный оператор типа Штур­

ма — Лиувилля с дискретным спектром, Тр. Моск. матем.

об-ва, 9 (1960), 45-80.

[2] Г о х б е р г И. Ц., К р е й н М. Г., Введение в теорию ли­

нейных несамосопряженных операторов в гильбертовом про­

странстве, М., «Наука», 1965.

[3] М о л ч а н о в А. М., Об условиях дискретности спектра са­

мосопряженных дифференциальных уравнений второго поряд­

ка, Тр. Моск. матем, об-ва, 2 (1953), 169—200.

[4] О т е л б а е в М . , О спектре некоторых дифференциальных операторов, Кандидатск. дисс, МГУ, 1972.

[5] О т е л б а е в М . , Р а и м б е к о в Д. Ж., О типе резольвен­

ты несамосопряженного оператора, Изв. АН Каз. ССР, Сер.

физ.-матем., № 1 (1975), 62—67.

[6] О т е л б а е в М., Двусторонняя оценка распределения соб­

ственных чисел оператора Штурма — Лиувилля, Матем. за­

метки, 20, № 6 (1976), 859—867.

[7] А х и е з е р Н. И., Г л а з м а н И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М., «Наука», 1966.

[8J И о с и д а К., Функциональный анализ, М., «Мир», 1967.

г9] О т е л б а е в М., Двусторонние оценки поперечников и их применение, Докл. АН СССР, 231, № 4 (1976), 810—183.