Моделирование магнитного поля в технологической зоне электромагнитной наплавки

УД К 6 2 1 ,7 9 2

Л. М. Кожуро, Д. Н. Хилысо, А, Н. Кольцов

М ОДЕЛИРОВАНИЕ М АГН И ТН О ГО П ОЛЯ

в ТЕХН ОЛО ГИ ЧЕСКО Й ЗО Н Е ЭЛЕКТРОМ АГНИ ТН ОЙ Н А П Л А ВК И

Б ел о р усск и й го с у д а р с т в е н н ы й а гр а р н ы й т ехн и чески й у н и вер си т ет М и н ск, Б ел а р усь

Расчет магнитного поля и его градиента в рабочей зоне при электромагнитной наплавке представляет собой довольно сложную задачу, так как зависит от многих факторов: конфигурации полюсного наконечника, коэффициента заполнения по­

рошком рабочего пространства, магнитных свойств порошка и детали. Известно несколько методов расчета магнитных полей: аналитический, графический и экс­

периментальный [1, 2]. В случае электромагнитной наплавки сплошных цилинд­

рических деталей (рис. 1) магнитное поле можно рассчитать аналитически, приме­

нив уравнение Лапласа [2]:

V^(p=0,

где - оператор Лапласа; <р - магнитный скалярный потенциал.

Рис. 1. К расчету магнитного поля в технологической зоне обработки.

Допуская, что длина образца достаточно велика по сравнению с его диаметром, уравнение Лапласа для среднего сечения в цилиндрических координатах можно записать в виде

1 ^ / э /

d ę

Э/

d ^ ę w

= 0 (₁)

где / - расстояние от центра детали до точки, в которой определяется магнитный потенциал; а - угол, отсчитываемый от направления вектора магнитной индукции исходного магнитного поля В„.

Решение уравнения (1) методом Фурье заключается в определении постоянных коэффициентов в выражениях для потенциала в области внешнего магнитного поля (pę и внутри цилиндра ф^:

f , = 1 c , / + f cosa; ₍

2

⁾

^ С ^

cosa,

(3)

где (р-, - соответственно скалярные потенциалы магнитного поля в области детали и пространстве рабочей зоны; Cj, С2, С3, С4 - постоянные коэффициенты, определяемые из граничных условий.

Во внутренней области (i) потенциал должен оставаться конечным (при конеч­

ном поэтому €2= 0. Во внешней области (е) вдали от детали, т.е. при 1/г»1, возмущающее влияние детали на внешнее поле отсутствует, и потенциал опреде­

ляется этим внешним полем:

= ~ Я ^ - / c o s a ,

где - напряженность исходного магнитного поля; г - радиус заготовки. Отсюда следует, что С3 = -Н^.

На поверхности раздела двух сред, т.е. при / = г, выполняется как равенство потен­

циалов, так и равенство нормальных составляющих вектора магнитной индукции:

д(р.

(4)

ще w - магнигаая проницаемость детали; - магнитная гфоницаемостъ внешней среды.

Перепишем выражения для потенциалов (2) и (3) с учетом полученных результатов:

= Cj * / • cosa;

ę , = \ +

cosa

(5)

(

6

) Продифференцировав (5) и (6) по / и с учетом условий (4), получаем систему урав­

нений:

й С , = 1- н . - ^ _fie

(7)

Решая систему уравнений (7), получаем 2/^0 .

С , = - Я „

C ^ = H „ . b Z J L . r \

Подставив значения найденных коэффициентов Ср Cj, С3, С4 в уравнения (2) и

W - Н -

(3) и приняв во внимание, что --- г ;- и ^ е а “■ ~75Г" » получим составляю-

о/ IĆCC

щие напряженности магнитного поля вне детали:

- i + ^ z A '

И,+Ие

c o s a .

и

= - ^ = - Я

Ida _{K h}

Sina

Известно [3], что между магнитной индукцией В и напряженностью магнитно­

го поля Н существует следующая связь:

(8) где ц, - магнитаая постоянная Ю'*^ Ш м); \х - магнитная проницаемость среды.

С учетом (8) запишем выражения для определения составляющих магнитной индукции в пространстве рабочей зоны:

В

, = 5

^е,1 "о

в.„=-в„

y h

cosa;

[l J j ^sina.

(9 )

(10) Переведем уравнения (9) и (10) из цилиндрической системы координат в декар­

товы координаты при помощи соотношений

В ^ = В ^ -

cosa - • sina;

B ^ = B ^ - s i n a + B^-

cosa;

x = /-cosa;

у = /-sina;

/=V

7

T

7

.

с учетом преобразований получаем

где

в

= 5

"ес о

При соблюдении условий дифференцируемосга выражений ф = fl^x, у) и В = у) составляющие градиента вектора магшггаой индукции по осям координат огфеделяются как частные производные второго и перюго порядка по соответствующим направлениям:

.2 3V _ дв -

g r a d B , = ^ x , = — x,-,

где х ^ , ў „ - единичные векторы.

Тогда, применяя правило дифференцирования сложных функций, получаем дВ.

X I ^ /

= 2 B ^ Ą - x -О ^4к, 1 - 2

К ■в =

где ' ^ е х ’^ ~ частные производные соответствующей функции по переменной,

X I ^

выраженной в явном виде. Аналогично

дВ. _К /

. = - 2 5

ду 01* ^

1+2

2 2 4 X - у

дВ^^{е у} к. (

= 2 5 ^ - v - 1 - 4 + г ;

дх O l * - '

1 ^п

к. (

V

е у = 2 В , ^ - у

1 - 4 V •

ду ^{О } 4 7}

1 п

(11)

(12⁾

(13)

Таким образом, получены аналитические выражения (9)...(13), позволяющие рассчитать величину магнитной индукции и ее градиент в любой точке простран­

ства рабочей зоны.

Работа выполнялась при финансовой поддержке Белорусского республикан­

ского фонда фундаментальных исследований, проект №Т99М-007.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. - М.: Наука, 1972. - 159 с.

2. Поливанов К.М. Теоретические основы электротехники. 43. Теория электромаг­

нитного поля. - М.: Энергия, 1969. - 352 с. 3. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теорети­

ческие основы электротехники. Т.2. - М.: Энергия, 1966. - 407с.

УДК 6 2 1 ,7 9 2

Ж. А. Мрочек, А. П. Ракомсин, Л. М. Кожуро, Д. Н. Хилько

ТЕП ЛО Ф И ЗИ Ч ЕСК АЯ М ОДЕЛЬ П РОЦ ЕССА

Ф ОРМ И РО ВАН И Я П О К РЫ ТИ Я ПРИ ЭЛЕКТРОМ АГНИ ТН ОЙ Н АП ЛАВКЕ

Б ел о р усск а я го с у д а р с т в е н н а я полит ехническая а к адем и я Г о с у д а р с т в е н н о е п р ед п р и я т и е «М А З»

Б ел о р усск и й го с у д а р с т в е н н ы й а гр а р н ы й т ехнический у н и вер си т ет М инск, Б ел а р усь

Процесс формирования покрытия при электромагнитной наплавке (ЭМН) объе­

диняет явления различной физической природы. К числу важнейших следует отне­

сти структурные и фазовые превращения, условия протекания которых определяет структуру и физико-механические свойства покрытий. Формирование покрытия іфежде всего связано с процессами кристаллизации и охлаждения капель расплава частиц ферропорошка при их взаимодействии с основой.

Решение задачи кристаллизации жидкой частицы при ЭМН точными аналити­

ческими методами не предоставляется возможным [1]. Это обусловлено нелиней­

ностью граничных условий, конечными размерами тел, изменением теплофизи­

ческих свойств покрытия и основы. Поэтому для изучения теплообмена в контакте основы с жидкой каплей расплава порошка воспользуемся приближенным мето­

дом А.И. Вейника [2].

Рассмотрим задачу кристаллизации и охлаждения жидкой частицы порошка на основе. Математическая модель процесса кристаллизации и охлаждения жидкой