(1)(( vspace2mm Модели бозонных струн с неканоническим кинетическим членом (Евразийский национальный университет им.

(( vspace2mm Модели бозонных струн с неканоническим кинетическим членом

(Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, г. Астана, Казахстан )

В данной статье мы рассмотрели действие для бозонной струны с неканоническим кинетическим членом и модифицированное действие типа Намбу–Гото. Получили уравнения движения струны и условия связи для

рассматриваемых действий.

Введение

Развитие фундаментальной физики в прошлом веке произошло в результате выявления и преодоления противоречий между существующими идеями. Например, несовместимость уравнений Максвелла и инвариантности Галилея, и несоответствие ньютоновской гравитации

с результатами общей теории относительности привели Эйнштейна к созданию специальной теории относительности. То же самое случилось с объединением специальной теорией относительности и квантовой механикой, что привело к развитию квантовой теории поля.

Сейчас, есть еще одно несоответствие: общая теория относительности и квантовая теория поля. Квантование гравитации, кажется, неперенормируемой теорией.

Теория струн является ведущим кандидатом на теорию, объединяющую все

фундаментальные силы в природе в последовательной схеме. Таким образом, согласно теории струн необходимо отказаться от одного из основных положений квантовой теории поля –

элементарных частиц, являющихся математическими точками, а вместо этого развивать квантовую теорию поля одномерных протяженных объектов, называемых струнами [1].

Теория струн все еще развивается, и на ее основе еще нет полного описания стандартной модели элементарных частиц. Однако есть некоторые важные особенности, которые могут быть универсальными для всякого рода теорий струн: во-первых, и самое главное, это то, что общая теория относительности уже включена в теорию. Хотя обычная квантовая теория поля

не допускает гравитацию, теория струн требует этого. Второй факт состоит в том, что калибровочная теория Янга-Миллса вроде той, что составляет стандартную модель естественно возникает в теории струн, но пока нет полного понимания того, почему мы

должны предпочитать конкретные SU(3)⊗SU(2)⊗U(1) калибровочные теории [2].

1. Модель с неканоническим кинетическм членом

В простейшем случае струна описывается ее d-мерными координатами Минковского x^µ(σ, τ). Параметры σ и τ задают точки на мировом листе, которые струна заметает при

своем движении; σ — координата вдоль пространственноподобного направления, а τ — вдоль времениподобного [1].

Введем метрику на мировом листе h_αβ, обратную метрику обозначим h^αβ (α, β = 0,1).

Действие для бозонной струны с неканоническим кинетическим членом имеет вид S =−T

Z

dσ dτ√

−h K(Z), (1)

где h=det(h_αβ), T — постоянный множитель (необходимый для того, чтобы поле X^µ имело размерность длины), который оказывается равным натяжению струны, K является

некоторой функцией ее аргументов. Здесь Z = 1

2h^αβ∂αx^µ∂_βxµ. (2)

Чтобы получить уравнения движения для релятивистской струны найдем вариацию действия

(1) относительно x^µ δS =−T

Z

dσ dτ√

−hK_ZδZ=

=−T Z

dσ dτ√

−hK_Z(Z_∂αx^µδ∂_αx^µ+Z_∂βx^µδ∂_βx^µ) =

=−T Z

dσ dτ√

−h[(K_ZZ∂αx^µδx^µ)α−(KZZ∂αx^µ)αδx^µ+ (KZZ∂βx^µδx^µ)β− (3)

−(K_ZZ_∂βx^µ)_βδx^µ] =−T Z

dσ dτ√

−h[(K_ZZ_∂αx^µδx^µ)α+ (KZZ_∂βx^µδx^µ)_β−

−(K_ZZ[Z_αZ_∂αx^µ+Z_βZ_∂βx^µ] +K_Z[(Z_∂αx^µ)_α+ (Z_∂βx^µ)_β])δx^µ].

Из (3) уравнения движения примут вид

K_ZZ[Z_αZ_∂αx^µ+Z_βZ_∂βx^µ] +K_Z[(Z_∂αx^µ)_α+ (Z_∂αx^µ)_β] = 0 (4) или

KZZ[ ˙ZZx˙^µ+Z⁰Z_x^0µ] +KZ[(Zx˙^µ)τ + (Z_x^0µ)σ] = 0, (5) где точка означает дифференцирование по τ, а штрих дифференцирование по σ. Так как

α, β= 0,1 выражение (2) можно записать в виде Z = 1

2(h⁰⁰x˙^µx˙_µ+h⁰¹x˙^µx⁰_µ+h¹⁰x^0µx˙_µ+h¹¹x^0µx⁰_µ) = 1

2( ˙x²−x⁰²), (6) где компоненты метрики hαβ имеют вид

h_αβ =η_αβ =

1 0 0 −1

, (7)

где η_αβ двумерная метрика пространства Минковского. Следовательно уравнения движения (5) примут вид

K_ZZ[( ˙x^νx¨_ν−x^0νx˙⁰_ν) ˙x^µ−( ˙x^νx˙⁰_ν −x^0νx⁰⁰_ν)x^0µ] +K_Z(¨x^µ−x^00µ) = 0. (8) Формула для нахождения тензора энергии-импульса имеет вид

T_αβ =−2 T

√1

−h δS

δh^αβ. (9)

Найдем вариацию действия (1) относительно h^αβ δS_h^αβ =−T

Z

dσ dτ[Kδ√

−h+√

−hδK]. (10)

Для оценки вариации действия, полезны следующие формулы

δh=−h h_αβδh^αβ (11)

откуда следует, что δ√

−h=−1 2

√−h h_αβδh^αβ (12) и

δK =K_ZδZ =K_ZZ_hαβδh^αβ. (13)

Следовательно (10) примет вид δS_hαβ =−T

Z

dσ dτ√

−h[−1

2h_αβK+K_ZZ_hαβ]δh^αβ. (14) Тензор энергии–импульса (9) для бозонной струны с неканоническим кинетическим членом

примет вид

Tαβ = 2KZZhαβ −hαβK=∂αx^µ∂βxµKZ−hαβK. (15) Уравнения движения (8) должны быть дополнены условиями связей T_αβ = 0

T00=∂0x^µ∂0xµK_Z−h00K = 0, (16) T₁₁=∂₁x^µ∂₁x_µK_Z−h₁₁K = 0, (17) T10=∂1x^µ∂0xµK_Z−h10K = 0, (18) T01=∂0x^µ∂1xµKZ−h01K= 0 (19) или учитывая (6)–(7) условия связей (16)–(19) примут вид

T₀₀= ˙x²K_Z−K= 0, (20)

T₁₁=x⁰²K_Z+K = 0, (21)

T₀₁=T₁₀= ˙x^µx⁰_µK_Z = 0. (22) Из (8), (20)–(21) и (22) следует система уравнений состоящая из уравнения движения и

условий связи

K_ZZ[( ˙x^νx¨ν −x^0νx˙⁰_ν) ˙x^µ−( ˙x^νx˙⁰_ν−x^0νx⁰⁰_ν)x^0µ] +K_Z(¨x^µ−x^00µ) = 0. (23)

˙

x²+x⁰² = 0, (24)

˙

xx⁰= 0. (25)

2. Действие типа Намбу-Гото

Струна представляет собой одномерный протяженный объект. Поэтому траекторией струны является двумерная поверхность в пространстве времени. Обобщая случай релятивистской

частицы, приходим к выводу, что свободная струна (со свободными концами, если она открытая) описывается поверхностью со следующими свойствами:

1. Поверхность является времениподобной, т.е. всюду на поверхности (за исключением, может быть, граничных точек) можно выбрать два направления времениподобное и

пространственноподобное.

2. Поверхность имеет экстремальную площадь, т.е. является "экстремальной поверхностью".

Квадрат интервала между двумя близкими событиями, различающимися координатами dxⁱ, в евклидовом пространстве задается формулой [3]

ds² =dxⁱdx^j, (26)

где dxⁱ= ∂xⁱ

∂σdσ+∂xⁱ

∂τ dτ =x⁰ⁱdσ+ ˙xⁱdτ. (27)

Тогда

ds² = (x⁰ⁱdσ+ ˙xⁱdτ)(x^0jdσ+ ˙x^jdτ) =x⁰ⁱx^0jdσ²+ ˙xⁱx˙^jdτ²+ (x⁰ⁱx˙^j + ˙x^jx^0j)dσdτ =

= ˙x²dτ²+ 2x⁰xdσdτ˙ +x⁰²dσ²=g00dτ²+ 2g01dτ dσ+g11dσ², (28) где g₀₀= ˙x², g₀₁= ˙xx⁰, g₁₁=x⁰².

Для релятивистской бозонной струны Намбу и Гото предложили действие, которое пропорционально площади мировой поверхности в пространстве–времени, заметаемой

струной в процессе ее движения [4]

S=−T Z

dτ dσ√

−g, (29)

где g – детерминант матрицы g_ik, который отрицателен, так как g_ik имеет сигнатуру (+, –).

Из (28) следует

g=

˙ x² xx˙ ⁰

˙ xx⁰ x⁰²

= ˙x²x⁰²−( ˙xx⁰)². (30) Действие Намбу-Гото, описывающее струну

S=−T Z

dτ dσp

( ˙xx⁰)²−x˙²x⁰². (31) Возьмем действие в виде

S =−T Z

dτ dσK(Z), (32)

где Z =√

−g= q

g²₀₁−g₀₀g₁₁=p

( ˙xx⁰)²−x˙²x⁰². (33) Чтобы получить уравнения движения для релятивистской струны из вариационного

принципа, будем варьировать действие (32). В результате получим δS=

Z dτ dσ

∂L

∂x˙^µδx˙^µ+ ∂L

∂x^0µδx^0µ

= 0, (34)

где L=−T K(Z) является лагранжианом.

Используем формулу Стокса (или формулу Грина) [3]

Z dτ dσ

∂Q

∂τ −∂P

∂σ

= I

(P dτ +Qdσ). (35)

Полагая в (35) Q= ∂L

∂x˙^µδx^µ, P =− ∂L

∂x^0µδx^µ (36)

и учитывая, что

∂Q

∂τ = ∂

∂τ ∂L

∂x˙^µ

δx^µ+ ∂L

∂x˙^µδx˙^µ, (37)

∂P

∂σ =− ∂

∂σ ∂L

∂x^0µ

δx^µ− ∂L

∂x^0µδx^0µ, (38)

преобразуем уравнение (34) к следующему виду δS =

I

∂L

∂x˙^µdσ− ∂L

∂x^0µdτ

δx^µ− Z

dτ dσ ∂

∂τ ∂L

∂x˙^µ

+ ∂

∂σ ∂L

∂x^0µ

δx^µ= 0. (39) Из (39) получаем уравнения движения

∂

∂τ ∂L

∂x˙^µ

+ ∂

∂σ ∂L

∂x^0µ

= 0 (40)

и граничные условия I

∂L

∂x˙^µdσ− ∂L

∂x^0µdτ

δx^µ= 0. (41)

Запишем уравнения движения (40) подставив туда лагранжиан

∂

∂τ (K_ZZ_x˙^µ) + ∂

∂σ(K_ZZ_x^0µ) = 0 (42)

или

K_ZZ[ ˙ZZ_x˙^µ+Z⁰Z_x^0µ] +K_Z[(Z_x˙^µ)_τ+ (Z_x^0µ)_σ] = 0. (43) На решения системы уравнений (43) обычно накладываются два условия

˙

x²+x⁰² = 0, xx˙ ⁰ = 0 (44)

или, что эквивалентно,

( ˙x±x⁰)²= 0. (45)

С геометрической точки зрения условия (44) означают, что на мировой поверхности струны выбрана изометрическая или конформноплоская система криволинейных координат τ, σ. В

теории релятивистской струны эти условия называют ортонормированной калибровкой [3].

Внутренняя метрика на мировой поверхности струны (28) при выполнении условий (44) принимает вид

ds² =λ(τ, σ)[(dτ)²−(dσ)²], (46) где λ(τ, σ) =g00(τ, σ) =−g₁₁(τ, σ), g01(τ, σ) =g10(τ, σ) = 0.

Запишем уравнения движения (43) подставив туда (33)

KZZ[( ˙x^νx¨ν −x^0νx˙⁰_ν) ˙x^µ−( ˙x^νx˙⁰_ν−x^0νx⁰⁰_ν)x^0µ] +KZ(¨x^µ−x^00µ) = 0. (47) Мы получили систему уравнений состоящую из уравнения движения (47) и условий

ортонормированной калибровки (44) аналогичную системе (23)–(25)

K_ZZ[( ˙x^νx¨_ν −x^0νx˙⁰_ν) ˙x^µ−( ˙x^νx˙⁰_ν−x^0νx⁰⁰_ν)x^0µ] +K_Z(¨x^µ−x^00µ) = 0. (48)

˙

x²+x⁰² = 0, (49)

˙

xx⁰= 0. (50)

Заключение

В данной статье мы ввели действие для бозонной струны с неканоническим кинетическим членом и модифицированное действие типа Намбу–Гото. Получили уравнения движения

струны и условия связи для рассматриваемых действий. В обоих случаях получились аналогичные результаты, что подтверждает правильность полученных уравнений движения

струны.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бринк Л., Энно М. Принцип теории струн. М.:Мир. – 1991. – 296 с.

2. Барбашов Б.М., Нестеренко В.В. Модель релятивистской струны в физике адронов. М.:

ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ. – 1987. – 176 с.

3. Барбашов Б. М., Нестеренко В. В. Суперструны – новый подход к единой теории фундаментальных взаимодействий // Успехи физических наук. – М. – 1986. – Том 150, №4. –

с. 489-524.

4. Разина О.В. Уравнения движения точечной частицы и релятивистской струны //

Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева. – Серия естественно-технических наук. – 2010. – №6(79). – c. 255-258.

Разина О.В., Ержанов К.К.

Канондық емес кинетикалық мүшесi бар бозондық iшек модельдерi

Осы мақалада бiз канондық емес кинетикалық мүшесi бар бозондық iшек модельдерi үшiн және Намбу-Гото типiндегi модификацияланған әсерлердi қарастардық. Қарастырылған әсерлер үшiн iшек қозғалысының теңдеуiн алдық.

Razina O.V., Yerzhanov K.K.

Bosonic string models with non-canonical kinetic term

In this paper we consider the action for the bosonic string with non-canonical kinetic term and a modified type of the Nambu - Goto action. Equations of motion of the string and connection conditions for the considered action.

Поступила в редакцию 11.10.2011 Рекомендована к печати 18.10.2011