Некоммерческое

Некоммерческое

акционерное общество

Кафедра математики и математического моделирования

ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА

Конспект лекций для студентов специальности

6В06103 - «Вычислительная техника и программное обеспечение»

Алматы 2020

АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ ИМЕНИ ГУМАРБЕКА ДАУКЕЕВА

СОСТАВИТЕЛИ: Искакова А.К., Еботаева Э.С. Прикладная статистика.

Конспект лекций для студентов специальности 6В06103 - «Вычислительная техника и программное обеспечение». - Алматы: АУЭС имени Гумарбека Даукеева, 2020. - 73 с.

Конспект лекций по элективному курсу «Прикладная статистика» для студентов специальности 6В06103 - «Вычислительная техника и программное обеспечение» содержит основные теоретические сведения по теории вероят- ностей и математической статистике, также в нем рассмотрены примеры, нацеленные на практические знания при решении прикладных задач. Объем и содержание каждого модуля учитывают психологические особенности обу- чающихся.

Библиогр.- 10 наимен.

Рецензент: Ибраева Л.К.

Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества

«Алматинский университет энергетики и связи имени Гумарбека Даукеева» на 2020 г.

© НАО «Алматинский университет энергетики и связи имени Гумарбека Даукеева», 2020 г.

МОДУЛЬ 1. Теория вероятностей

Лекция 1. Предмет теории вероятностей. Элементы комбинаторики.

Пространство элементарных событий. Виды событий. Алгебра событий.

Классическое определение вероятности, статистическая вероятность, геометрическая вероятность

Содержание лекции: Предмет теории вероятностей, элементы комбинаторики, пространство элементарных событий, виды событий, классическая, статистическая, геометрическая вероятность.

Цель: ввести основные понятия теории вероятностей, рассмотреть на примерах понятия виды событий, определения классической, статистической, геометрической вероятности.

Предмет теории вероятностей. Теория вероятностей рассматривает такие понятия, как «вероятность», «информация», «истина», «случайность»,

«риск» и т.д., дает математическую модель для описания случайных явлений в объективной реальности. Поскольку многие реальные процессы подвержены случайным воздействиям, для специалистов, посвятивших себя естественным, техническим, а также общественным наукам, важно знать основы этой теории.

Методы теории вероятностей широко применяются в космической тех- нике и технологии, теории автоматического управления, электротехнике и связи, электронике и во многих других прикладных науках. Теория вероятно- стей важна для эмпирической науки, потому что она дает им рациональную основу для выводов и проверки гипотез, полученных экспериментальных дан- ных.

Элементы комбинаторики. Комбинаторика - раздел математики, кото- рый занимается изучением дискретных объектов, множеств и их отношений в соответствии с заданными критериями (сочетания, перестановки, размещения и комбинации). Например, комбинаторика отвечает на вопрос: «Сколькими способами (комбинациями) можно составить в ряд 5 книг, если всего имеется 15 книг?».

Факториалы. Решение проблем перестановок и комбинаций с использо- ванием формулы требует использования факториалов. Факториал обозначает- ся символом k! и является произведением всех натуральных чисел, меньших или равных k.

Примеры:

k факториал: . То есть можно запи- сать:

5 факториал:

7 факториал:

1! = 1.

Примечание: обычно считается, что 0!=1.

В теории вероятностей часто используют понятие – число сочетаний.

Рассмотрим число сочетаний с повторениями из n элементов по k, которое за- писывается формулой:

,

где n количество элементов на выбор, и мы выбираем из них k (без по- вторений, порядок не имеет значения). Его часто называют «выбор из n по k»

(например, «из 16 выбирают по 3») и получится 560 способов (комбинаций):

Пример. Вычислить сочетания:

Примечание:

| |

Примеры:

Пространство элементарных событий. Виды событий. Многие явле- ния в природе, технике, экономике и в других областях подвергаются случай- ным воздействиям. Теория вероятностей дает математическую модель для описания случайных явлений объективной действительности. Это важно для специалистов, которые занимаются естественными, техническими, а также и общественными науками. Результат случайного события или эксперимента

иногда трудно предвидеть, но эксперимент можно повторить сколько угодно раз. Результаты эксперимента могут взаимно исключать друг друга.

Возможные исключающие друг друга исходы эксперимента называются его элементарными событиями. Множество элементарных событий состав- ляют пространство элементарных событий, которое обозначим через Е.

Например, однократное бросание игральной кости. Возможные исключающие друг друга исходы этого опыта выпадения одного из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. То есть при однократном бросании игральной кости пространство элементарных событий Е состоит только из одного из вариантов событий: выпадет число 1, выпадет число 2, …, выпадет число 6.

Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элементарного события, и обозначается .

Обычно рассматриваются три вида событий: достоверные, невозмож- ные и случайные.

Событие, которое происходит всегда (то есть обязательно произойдет), называют достоверным событием.

Событие, которое никогда не происходит (не может произойти), назы- вают невозможным событием.

Событие, которое может произойти или может не произойти называют случайным событием.

Два события и называются несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Пусть А - некоторое событие. Если событие происходит тогда и толь- ко тогда, когда не происходит А, то называется событием, противополож- ным (дополнительным) А.

События называют равновозможными, если появление одного события не является более возможным, чем появление другого события.

Два события называют совместными, если в одном и том же испытании появление одного из событий не исключает появления другого.

Два события называют несовместными, если в одном и том же испыта- нии появление одного из них исключает возможность появления другого

События называют единственно возможными, если появление в резуль- тате испытания одного и только одного из них является достоверным событи- ем попарно несовместным.

Случайные события образуют полную группу событий, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо другое событие, несовместное с ними.

Алгебра событий. Суммой (объединением) двух событий А и В называ- ется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хо- тя бы одно из событий. Обозначение или .

Свойства суммы:

 коммутативность суммы ;

 ассоциативность суммы .

Пример. Пусть при определении длительности жизни A есть событие

«продолжительность жизни лежит между 0 и », а B - «продолжительность жизни лежит между и », тогда это событие «продолжительность жизни лежит между 0 и ».

Произведением (пересечением) двух событий А и В называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят одновременно оба события. Обозначение или .

Свойства произведения:

 коммутативность произведения ;

 дистрибутивность произведения .

Пример. Если при одновременном бросании двух костей A есть событие

«сумма очков больше либо равна 11», B - событие «выпадает одинаковое ко- личество очков», то - событие «выпадают две шестерки».

Пример. Пусть в случае двух игральных костей A - «сумма выпавших очков меньше либо равна 2», B - событие «сумма выпавших очков больше ли- бо равна 5», тогда - невозможное событие.

Если событие поставить в соответствие вероятности, то вероятности бу- дут давать количественную оценку возможности осуществления событий.

Если Е несчетно, то не всем подмножествам Е разумно ставить в соот- ветствие вероятность. Нужно ограничиться определенным классом событий.

События этого класса называются случайными событиями. Они являются предметом теории вероятностей.

Если Е конечно, то этот класс совпадает с классом всех событий. Ока- зывается, что класс случайных событий всегда можно выбрать так, чтобы, во- первых, не появилось никаких математических трудностей при введении ве- роятностей и, во-вторых, чтобы все интересующие нас на практике события находились в выбранном классе, то есть являлись случайными событиями в математическом смысле. Поэтому для инженера важно знать, что все интере- сующие его случайные события являются также случайными в смысле мате- матической теории.

Статистическая вероятность. Фактическое определение вероятности некоторого случайного события чисто теоретически часто невозможно. В этих случаях необходимо произвести достаточное число испытаний и принять от- носительную частоту рассматриваемого события в качестве приближенного значения вероятности.

Так, например, нет ни математической, ни биологической теории, кото- рая позволяет вычислить априори вероятность Р(А) случайного события

«рождение близнецов». Для определения Р(А) нужно использовать статистику большого числа рождений и подсчитать, как часто происходило это событие.

Тогда соответствующую частоту можно приблизительно принять за вероят- ность. Определение Р(А) по частоте иногда называется «статистическим определением» вероятности. Речь здесь, однако, идет не об определении веро- ятности, а об ее оценке.

Пусть опыт повторяется n раз и при этом подсчитывается, как часто происходит интересующее нас событие. Допустим, что оно произошло m раз.

Отношение:

называется относительной частотой случайного события А в n опытах.

При этом . Относительная частота случайного события А обо- значается или .

Аксиомы относительной частоты, принадлежащие А.Н. Колмогорову:

1. Для больших значений n частота колеблется все меньше около определенного значения.

2. , где U достоверное событие.

3. , если А и В несовместны.

Классическое определение вероятности. Если эксперимент подразделя- ется только на конечное число элементарных событий, которые к тому же яв- ляются равновероятными, то говорят, что речь идет о классическом случае.

Чем отличаются классическое и статистическое определения вероятности?

Классическое определение вероятности не требует, чтобы эксперимент проводился в реальности, а определение статистической частоты предполага- ет, что эксперимент был произведен фактически. Примерами классического определения вероятности являются бросание монеты (два равновероятных элементарных события) или бросание игральной кости (шесть равновероят- ных элементарных события).

В классическом случае для вероятности Р(А) события А получаем:

,

где m - число благоприятствующих событий,

n - общее число всех единственно возможных и равновозможных элементарных исходов испытания.

Пример. Пусть игральная кость брошена один раз. Пусть А есть событие

«выпадает четное число». Благоприятными для А являются элементарные со- бытия «выпадут цифры 2, 4, 6», то есть m=3. Всего имеется шесть возможных элементарных событий «выпадут цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6», то есть n=6. Следова- тельно, Р(А)=3/6=1/2.

Пример. Пусть одновременно бросают две игральные кости. При этом выигрыш выплачивается, если сумма выпавших очков больше либо равна 10.

Как велика вероятность выигрыша? Имеется n=36 элементарных событий.

Благоприятными для А являются элементарные события «4+6; 6+4; 5+5; 5+6;

6+5; 6+6» то есть m=6. Тогда P(А)=6/36=1/6.

Из классического определения следуют аксиомы теории вероятностей:

1. Для случайного события .

2. Вероятность Р(А) появления случайного события А всегда заключена в интервале между нулем и единицей, то есть ,

3. Вероятность Р(А) появления достоверного события А равна единице:

Р(А)=1, то есть для достоверного события .

4. Вероятность Р(А) появления невозможного события А, равна нулю:

Р(А)=0, то есть для невозможного события m=0. Отсюда следует, что

.

В классическом случае часто используют формулы комбинаторики, например, для того чтобы вычислить число всех возможных элементарных событий.

Пример. Игра в лото: угадать «k чисел из n». Например, спортлото 6 из 49. Какова вероятность получить главный выигрыш? Указать число k. Имеет- ся одно благоприятное событие, при котором происходит выигрыш главного приза игры. Число всех элементарных событий равно числу возможных выбо- рок k чисел из п чисел учета порядка и без повторов, то есть равно . Таким образом, вероятность главного выигрыша в спортлото равна:

В общем случае рассмотрим задачу. В урне находится N шаров, из кото- рых ровно М белых. Пусть один за другим без возврата (или одновременно, что одно и то же) вынимается п шаров. Тогда вероятность того, что среди этих вынутых п шаров будет k белых, равна:

Пример. В урне 120 шаров, среди них 40 белых. Найти 1) относительную частоту белых шаров;

2) вероятность того, что все 20 шаров, взятых наугад из урны, будут бе- лыми;

3) вероятность того, что среди 20 шаров, взятых наугад из урны, будет 9 белых.

Решение. 1) Относительная частота события А находится по формуле:

где n=120 общее число испытаний, m=40 число появления события А.

Тогда относительная частота появления белых шаров равна:

2) Вероятность появления события А находится по формуле:

,

где – число испытаний, благоприятствующих появлению собы- тия А,

– общее число испытаний.

Найдем вероятность того, что все шаров, взятых наугад из урны, будут белыми:

Тогда,

3) Вероятность появления события А находится по формуле:

,

где – число испытаний, благоприятствующих появлению события А,

– общее число испытаний.

Вероятность того, что среди шаров, взятых наугад из урны, бу- дет белых. Используем формулу:

По условию задачи Тогда,

Ответ: 1) относительная частота появления белых шаров равна 1/3;

2) вероятность того, что все 20 шаров, взятых наугад из урны, будут бе- лыми равна ;

3) вероятность того, что среди 20 шаров, взятых наугад из урны, будет 9 белых равна 0,097.

Геометрическая вероятность. Если результат испытания определяется случайным, но равновозможным положением точек в некоторой области (от- резок, часть плоскости и т.д.), то используется геометрическое определение вероятности. Вероятность события А равна:

А S

Р_{( )}

S

^b_.

где S - размер области,

- размер области, попадание в которую благоприятствует данному событию.

Область S может иметь произвольное число измерений, поэтому значе- ниями и S могут быть длины отрезков, площади, объемы и т.д.

Лекция 2. Условная вероятность. Формула полной вероятности.

Формула Байеса. Повторение испытаний. Формула Бернулли

Содержание лекции: Ввести понятие условной вероятности, привести основные формулы теории вероятностей: формулу полной вероятности, формулу Байеса, формулу Бернулли.

Цель: ввести понятие условной вероятности, рассмотреть основные формулы теории вероятностей на примерах.

Условная вероятность. Вероятность некоторого случайного события А, как правило, изменяется, если уже известно, что произошло некоторое другое случайное событие В. Вероятность А при условии, что В уже произошло с ве- роятностью , обозначается и называется условной вероятно- стью А при условии В.

Пример. Одновременно бросают две игральные кости. Пусть А - собы- тие «сумма очков », В - событие «сумма очков четная». Если известно, что событие В произошло, то для А имеется 18 возможных элементарных со- бытий; из них благоприятными для события А являются , то есть . Следовательно,

Пример. Пусть имеются две урны. В первой находятся 5 белых и 5 чер- ных шаров, во второй - 1 белый и 9 черных. Опыт состоит в том, что наугад выбирается урна и наугад из нее вынимается шар. Пусть В есть событие «вы- нутый шар белый», - события «шар вынимается из i-й урны» (i=1,2). Тогда , .

Условная вероятность удовлетворяет следующим соотношениям (кото- рые можно считать определением):

и

Если их разрешить относительно , то получим правило умноже- ния:

,

т.е. вероятность произведения двух случайных событий равна произве- дению вероятности события на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.

Формула полной вероятности. Вероятность появления события А, кото- рое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую вероятность события А:

или краткая запись:

∑ .

Пример. Даны три урны I типа: 2 белых и 6 черных шаров; одна урна II типа: 1 белый и 8 черных шаров. Найти вероятность того, что из выбранной наудачу урны будет вынут белый шар.

Решение. Пусть наудачу выбирается урна, а оттуда - шар. Обозначим через В событие «вынутый шар - белый», его вероятность Р(В). Обозначим через , событие «выбрана урна I типа», а через А2 - «выбрана урна II типа».

Тогда:

.

По условию задачи всего даны 4 урны, из них I типа – 3 урны, II типа – одна урна: . В урнах I типа всего 8 шаров, из них 2

шара белых . В урнах II типа всего 9 шаров, из них 1 шар белый . Окончательно:

Формула Байеса. Пусть предпосылки закона полной вероятности вы- полнены. Тогда можно вычислить вероятность события , при условии, что событие В произошло. Для этого служит формула Байеса, или формула веро- ятности гипотез

_∑

.

Пример. Даны три урны I типа: 2 белых и 6 черных шаров; одна урна II типа: 1 белый и 8 черных шаров. Найти вероятность того, что наудачу выну- тый белый шар был из урны I типа.

Решение. Вынут белый шар. Какова вероятность того, что он вынут из урны I типа?

Повторение испытаний. Формула Бернулли. Опыты (испытания) назы- ваются независимыми, если вероятность какого-то исхода каждого опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

Проводятся п опытов, результатом каждого опыта является независимое событие А с вероятностью . Если вероятность р наступления события А в каждом из п независимых опытов постоянна, то вероятность того, что в n опытах событие А наступит ровно m раз, определяется формулой Бер- нулли:

,

где , - число сочетаний из п элементов по т.

Пример. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Как велика веро- ятность того, что из 10 наугад выбранных новорожденных будет 6 мальчиков?

Решение. По условию задачи , тогда Для искомой вероятности имеем:

Пример. Проводится 10 испытаний, в каждом из которых вероятность появления некоторого события равна 0,8. Найти вероятность того, что собы- тие появится ровно 8 раз.

Решение. По условию задачи n=10, m=8, р=0,8. Вычислим . Тогда по формуле Бернулли вероятность того, что событие появится ровно 8 раз равна:

.

Используя формулу Бернулли, можно определить вероятность события, которое произойдет:

а) менее т раз

; б) не менее т раз

; в) более т раз

: г) не более т раз

.

Однако формулу Бернулли при использовать практически не- возможно.

Пример. Проводится 10 испытаний, в каждом из которых вероятность появления некоторого события равна 0,8. Найти вероятность того, что собы- тие появится менее 3 раз.

Решение. По условию задачи n=10, , р=0,8.

Вычислим . Тогда

.

 ) (B

P 0,000078;

Пример. Пусть вероятность получения бракованного изделия равна 0,01.

Какова вероятность того, что среди 100 изделий окажется не более трех бра-

кованных?

Решение. По условию задачи n=100, , р=0,01.

Вычислим . Тогда:

. Следовательно,

Лекция 3. Теоремы умножения и сложения вероятностей.

Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Теорема Пуассона Содержание лекции: Теоремы сложения вероятностей несовместных со- бытий, умножения независимых событий, их свойства. Плотность нормального распределения и функция Лапласа, их свойства, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа, теорема Пуассона.

Цель: дать формулировки теорем умножения и сложения вероятностей, Муавра-Лапласа и Пуассона, привести примеры их использования на практике.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

.

Пример. В коробке 10 красных, 15 зеленых и 5 белых карандаша. Из ко- робки был извлечен один карандаш. Какова вероятность того, что извлечен- ный карандаш цветной?

Решение. Всего в коробке 30 карандашей: Пусть событие А означает, что извлеченный карандаш красного цвета, тогда:

Событие В означает, что извлеченный карандаш зеленого цвета, тогда:

События А и В несовместные события, тогда:

.

Пример. В ящике 15 разных мячей, из которых 5 мячей – футбольных.

Взяли 3 мяча. Найти вероятность того, что хотя бы один взятый мяч футболь- ный.

Решение. Пусть событие А означает, что один из трех взятых мячей футбольный. Используем формулу:

где Тогда:

Событие В означает, что два из трех взятых мячей футбольные. Здесь Тогда:

Событие С означает, что три из трех взятых мячей футбольные. Здесь Тогда:

Все события попарно несовместимые, тогда пусть событие D означает, что хотя бы один из трех взятых мячей является футбольным:

. Тогда:

Теорема. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице:

.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна едини- це:

. Если , то получим:

Пример. В ящике 10 деталей, среди них стандартных 7 деталей. Найти вероятность того, что из двух случайным образом извлеченных деталей хотя бы одна деталь стандартная.

Решение. Пусть событие А означает, что из двух случайным образом из- влеченных деталей хотя бы одна деталь стандартная. Событие означает, что все извлеченные детали нестандартные, то есть:

Тогда,

Пример. Пусть в задаче с футбольными мячами событие означает, что все взятые три мяча не футбольные, тогда:

Отсюда:

Теорема умножения независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

Пример. На двух книжных полках по 20 книг. На первой полке 4 книги в твердом переплете, а на второй полке 10 книг в твердом переплете. С каждой

полки по одному извлечены две книги. Найти вероятность того, что обе из- влеченные книги в твердом переплете.

Решение. Пусть событие А – книга в твердом переплете взята с первой полки:

Событие B – книга в твердом переплете взята из второй полки:

Так как оба события А и В независимые события, то вероятность сов- местного появления двух независимых событий равна:

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий:

.

Пример. Три хоккеиста забивают шайбу в ворота соответственно с веро- ятностями равными . Найти вероятность того, что хотя бы один хоккеист попадет в ворота.

Решение. Пусть событие А – шайбу в ворота забьет 1-ый хоккеист, со- бытие В – шайбу в ворота забьет 2-ой хоккеист, событие С – шайбу в ворота забьет 3-ий хоккеист. Найдем вероятности противоположных событий:

̅ ̅ ̅

События А, В, С независимые события, тогда вероятность того, что хотя бы один хоккеист попадет в ворота, равна:

.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совмест- ности появления

.

Пример. Два хоккеиста забивают шайбу в ворота соответственно с веро- ятностями равными . Каждый хоккеист один раз делает бросок в ворота. Какова вероятность, что хотя бы один бросок будет результа- тивным.

Решение. Каждый хоккеист один раз делает бросок в ворота, то есть все- го будет сделано два броска. Пусть событие А – шайбу в ворота забросит 1-ый хоккеист, событие В – шайбу в ворота забросит 2-ой хоккеист.

События А, В независимые события:

Из условия задачи вероятность того, что хотя бы один хоккеист попадет в ворота – это совместное событие, тогда:

Локальная теорема Лапласа. Если число испытаний велико, локальная теорема Лапласа позволяет приближенно найти вероятность появления собы- тия ровно k раз в n испытаниях.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность появления со- бытия А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то ве- роятность того, что событие А появится в п испытаниях ровно k раз, приближенно равна значению функции:

√

√

√ .

Функция , называется плотностью стандартного нормального или гауссова распределения. Значения функции табулированы (Приложение 1).

Свойства функции :

1) Функция четна, то есть . 2) при .

Пример. Пусть вероятность появления бракованной детали равна 0,005.

Какова вероятность того, что среди 10000 деталей 40 окажутся бракованны-

ми?

Решение. По условию задачи тогда Вычислим значение х:

√

Из приложения 1 находим:

Следовательно:

При вычислении по точной формуле получаем Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность наступления события А в п независимых испытаниях постоянна и равна , то вероятность того, что событие А появится в п испытаниях не менее раз, но не более раз, приближенно равна:

√ ∫ , гдe

√

√ .

При значениях √ использование интегральной теоремы Муав- ра-Лапласа дает наибольшую точность. Функция называется функцией Лапласа. Значения функции для различных значений х представлены в Приложении 2.

Свойства функции :

1) Функция нечетная: .

2) Для значений можно принять .

Пример. Проводится 100 испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А по- явится: а) менее 70 раз; б) более 80 раз; в) от 70 до 80 раз.

Решение. а) По условию задачи то- гда Вычислим вероятность того, что событие А появится ме- нее 70 раз, то есть .

Рассмотрим интервал от 0 до 70:

√

√

√ ,

√

√

√ .

Тогда по интегральной теореме Муавра – Лапласа, используя Приложе- ние 2, находим:

.

б) По условию задачи Вычислим вероятность того, что событие А появится более 80 раз, то есть

. Рассмотрим интервал от 80 до 100:

√

√ √ ,

√

√

√ .

Тогда по интегральной теореме Муавра – Лапласа, используя Приложе- ние 2, находим:

.

в) По условию задачи тогда Вычислим вероятность того, что событие А появится от 70 до 80 раз, то есть . Рассмотрим интервал от 70 до 80:

√

√

√

√ .

Тогда по интегральной теореме Муавра-Лапласа, используя Приложе- ние 2, находим:

.

Лекция 4. Случайные величины. Дискретные случайные величины.

Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Законы распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Числовые характеристики дискретных случайных величин:

математическое ожидание и дисперсия

Содержание лекции: Случайные величины, понятия дискретные случайные величины, функция распределения, биноминальное распределение и распределение Пуассона вероятностей дискретной случайной величины.

Числовые характеристики дискретных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение.

Цель: ввести основные понятия дискретной случайной величины, дать примеры вычисления функции распределения вероятностей дискретной случайной величины и числовых характеристик дискретных случайных величин.

Случайные величины. Действительное переменное, которое в зависимо- сти от исхода опыта, то есть в зависимости от случая, принимает различные значения, называется случайной величиной.

Соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.

В теории вероятностей случайная величина полностью характеризуется своей функцией распределения, то есть может рассматриваться как заданная, если задана ее функция распределения. Пусть Х - некоторая случайная вели- чина. Функцией распределения случайной величины Х называется функ- ция .

Функция распределения произвольной случайной величины обла- дает следующими свойствами:

1)

2) монотонно не убывает, то есть при имеет место равен- ство .

3) непрерывна слева.

При помощи функции распределения можно указать вероятность того, что случайная величина попадает в заданный полуоткрытый промежуток:

.

Дискретные случайные величины. Случайная величина Х называется дискретной, если она может принимать только конечное, или счетное, множе- ство значений. Таким образом, она характеризуется значениями , ко- торые она может принимать, и вероятностями , с которыми она принимает эти значения и которые должны удовлетворять условию:

∑ .

Дискретная случайная величина обычно задается рядом распределения.

Ряд распределения задается таблицей:

хi …

pi ^…

Пример. Пусть дискретная случайная величина задана рядом распреде- ления:

хi -1 2 4 8

pi ^{0,2 0,1 0,4 0,3}

Проверим, удовлетворяют ли заданные вероятности условию ∑ :

∑

Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Однозначное отображение множества на множество, рассматривается как функция вероятности дискретной случайной величины. Для функции распре- деления дискретной случайной величины имеем:

∑

Суммирование производится по всем i, для которых . Таким обра- зом, F(х) является ступенчатой функцией со скачками высотой в точках .

График функции распределения расположен в полосе, ограниченной прямыми . При x ординаты графика равны нулю, при ор- динаты графика равны единице. График функции распределения для дискрет- ной случайной величины (рис. 4.1).

Рисунок 4.1.

Законы распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Важными видами распределения дискретных случайных величин являются биноминальное распределение и распределение Пуассона.

Биномиальное распределение. Пусть некоторый опыт повторяется n раз и отдельные опыты этого эксперимента не зависят друг от друга. Пусть в каж- дом опыте может произойти или не произойти событие А, а вероятность его осуществления в отдельном опыте не зависит от номера опыта и равна р.

Случайная величина называется биномиально распределенной с пара- метрами n и р, если возможные значения 0, 1, 2, ..., n она принимает с вероят- ностями, задаваемыми формулой:

.

Параметры n и р полностью определяют биномиальное распределение.

Закон называется «биноминальным», так как правую часть этой формулы можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона.

Биноминальный закон описывает в самой общей форме осуществление признака в выборке объемом n с возвратом.

Пример. Футболист делает 6 ударов по воротам. Вероятность попасть в ворота равна 80%. Построить ряд распределения попаданий в ворота (случайная величина – число попаданий).

Решение. Найдем вероятность для каждого значения Х:

; ; ; ; ; ; .

Следовательно, можно записать закон распределения всех попаданий в ворота для случайной величины Х:

x 0 1 2 3 4 5 6

Р(Х=х) 0,000064 0,001536 0,01536 0,08192 0,24576 0,393216 0,262144

Распределение Пуассона. Случайная величина называется распределен- ной по закону Пуассона, если она принимает счетное множество возможных значений k=0, 1, 2, ... с вероятностями:

Величина - параметр распределения.

Распределение Пуассона может использоваться в качестве хорошего приближения биномиального распределения, если число испытаний п вели- ко, а вероятность их появления р мала. Тогда в качестве нужно взять пр, то есть .

Пример. Известно, что на реке паводки происходят в среднем каждые 100 лет. Рассчитайте вероятность паводков с частотой k = 0,1,2,3,4,5 или 6 в 100- летний интервал, предполагая, что модель Пуассона является подходящей, приняв значение .

Решение. Используем распределение Пуассона, где значение :

.

Найдем вероятность паводков с частотой k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6 в 100- летний интервал:

;

;

.

И так далее вычислим вероятности для всех заданных значений k. Таким образом, закон распределения имеет вид:

k 0 1 2 3 4 5 6

P(k) 0,368 0,368 0,184 0,061 0,015 0,003 0,0005 Числовые характеристики дискретных случайных величин:

математическое ожидание и дисперсия. Пусть Х есть дискретная случайная величина с возможными значениями и .

Число ∑ в случае абсолютной сходимости ряда называется i- тым начальным моментом случайной величины Х (или ее распределения) (i=1,2,...).

Число ∑ называется i-тым центральным моментом Х.

Особое значение имеют первый начальный момент и второй цен- тральный момент .

Математическое ожидание. Первый начальный момент ∑ называется математическим ожиданием Х и обозначается М(Х).

Математическое ожидание определяет положение центра распределения в следующем смысле: если считать массами, помещенными в точках действительной оси, то М(Х) - координата центра тяжести этой системы.

Пример. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины, заданной рядом распределения:

хi 1 2 4 8

pi ^{0,2 0,1 0,4 0,3}

Решение. Математическое ожидание вычислим по формуле:

∑

Свойства математического ожидания.

1) Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной:

М(С)=С, С - const.

2) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

.

3) Математическое ожидание произведения постоянной величины на случайную величину равно произведению постоянной величины на математи- ческое ожидание случайной величины:

4) Математическое ожидание произведения двух независимых случай- ных величин равно произведению их математических ожиданий:

.

Пример. Заданы значения

Вычислить a) ; б) . Решение.

a)

б) Биномиальное распределение с параметрами п, р:

.

Распределение Пуассона с параметром , где параметр имеет смысл математического ожидания:

.

Дисперсия. Второй центральный момент называется дисперсией случай- ной величины Х и обозначается через D(X), то есть

∑ . Для вычисления дисперсии часто используется формула:

.

Корень квадратный из дисперсии называется разбросом, или стандарт- ным отклонением, или средним квадратичным отклонением и обозначается через :

√ .

Величина (или D(X)) есть мера рассеяния распределения относительно математического ожидания.

Пример. Вычислить среднее квадратичное отклонение дискретной слу- чайной величины, заданной рядом распределения:

хi 2 5 6 8

pi ^{0,1 0,3 0,4 0,2}

Решение. Вычислим математическое ожидание дискретной случайной величины: