ОБ ОПЕРАТОРЕ УСРЕДНЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ Lp ПРИ 0 < р < 1

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ

т. 43, № 1 (1988)

ОБ ОПЕРАТОРЕ УСРЕДНЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ Lp ПРИ 0 < р < 1

Б. Е. Батыров, В. И. Буренков

Хорошо известна роль операторов усреднения по Собо­

леву в математическом анализе. Эти операторы опреде­

ляются для любого измеримого множества Е (Z Rn, для любой функции /, интегрируемой на пересечении Е с лю­

бым шаром из Rn, и для любого б > О равенством V^GRn (АьА(х) = (щ*})(х) =

= 4г\ c o ( - ^ ) / 0 / ) d * / . (1)

Здесь со — ядро усреднения, имеющее вид feV<l*M>, \X\<U

И ( я ) = е

1 0 , |*|>1,

⁽²⁾

где постоянная с выбрана так, чтобы

$R ? ico(z)(b|=l, (3)

О

<*>б (х) = 1/бпсо (ж/б), / — продолжение функции / за пре-

0

делы области определения нулем (если х ЕЕ Е, то / (х) =

= / (ж), если ж е=Ё £ , то / (ж) = 0), В (ж, б) — открытый о с центром в точке х радиуса б шар.

Эти операторы обладают следующими свойствами:

если / е Lp (Е), 1 < р < оо, то

, 46/ e £ ~ ( Rn) , (4)

38 © Издательство «Наука».

Главная редакция

физико-математической литературы.

т. е. функция Лб/ имеет непрерывные производные любо­

го порядка,

II

^A

*f II

^VR " )

< « / 1 ! v

^E

> <* <

^p

< °°>' <

⁵

)

И

lim И Arf-fh.P(K) = 0 ( l < p < o o )f (6) (см., например, fl]).

Используются и другие ядра усреднения, удовлетво­

ряющие условию (3), но для дальнейшего существенно, что ядро со имеет специальный вид (2).

Если / г= Ь^р (Е)_и. О <С р < 1, то может существовать такая точка х⁰ Е = Е (Е — замыкание множества Е), что V8 > О / G i i ( # П В (х⁰¹ б)),— в этом случае опреде­

ление (1) теряет смысл для любых S > 0 и любых точек х Gr Rⁿ таких, что х ЕЕ В (х⁰, б).

Целью настоящей статьи является построение такого оператора BQ = #р, б, который для функций / P i p (Я) с 0 < р <С 1 обладал бы теми же свойствами (4) —(6), что и оператор усреднения Соболева.

Обозначим /⁺ (х) = max {/ (х), 0}, /_ {х) = - max { - / (я), 0} (при этом / = /⁺ - /__, | / | - /⁺ + /_).

Д л я 0 < р < 1 , для любого измеримого множества Е, любой функции /, принадлежащей L^v на пересечении Е с любым шаром из Rⁿ, и для любого б ^> 0 положим

V * G Rn (B6f) (x) = {Abfl)W (x) - {Atflyiv (x). (7) ТЕОРЕМА. Пусть 0 < р < 1, 5 — измеримое мно­

жество в Rn u / e=r Lp (i?) (т. е. функция f измерима на Е

i?6/(=:C~(Rn), (8)

ll^/ll

^V

R")<

^2l/p

-

¹

ll/llv® (

⁹

)

Н т | 5 а / - / | | м в ) = 0. (10) Д л я доказательства этой теоремы нам понадобятся

следующие леммы.

ЛЕММА 1. Пусть функция! Gr Lx (Rn) неотрицатель­

на. Тогда для любого мулътииндекса а (а — (ах, . . . . . ., ап) ) , где V/ ЕЕ {1, . . ., /г} а7- — неотрицательные

целые числа) и для любого е ЕЕ [О, 1) существует положи­

тельное число са> 8 такое, что V 6 > 0 У ж е К " |£>«(Лб/)(ж)|<

И 1 - Е

< _{a W}

£ U 11/Иг>)(^/)

^£

(^) (И)

(/г/?г/ 8 = 0 считаем, что 0° = 1).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как для любого муль­

тииндекса а существует такой многочлен Ра, что при

\х | < 1

(£>асо) Ы = ol , со (я),

и для любого X > 0 существует такое положительное число сь, что при | ж | < 1

(1 — I ж Г)"¹ <<*«>-*• (х),

то для любого мультииндекса а и любого 8 ЕЕ [0, 1) су­

ществует такое положительное число са, 8, что Ух ЕЕ Rn | (£>асо) (х) | < са, 8сое (ж).

Отсюда следует, что

Далее при 0 < е < 1, учитывая неотрицательность функции / , имеем

|D*(A6f)(x)\ = \D*(щ* /)(х)| = |(£»ао)б */)(ж) | <

< (| D«m | * /) (х) <

6la

,

c

^_

E)

К * /) (*).

Применяя неравенство Гельдера, получим, что (tog * /) (X) = JR W C0g (^ — ?/) р (у) /1 -е (у) dy ^

<{l«b(x-y)f (у) dyf ( J / (у) di/)

1

"

8

= II / IlL&n) ( W (*),

Rn Rn

откуда и следует (11) при 0 < 8 < 1.

При 8 = 0 имеем

(I D«m | * /) (г) = С | (£>«(о

б

) (х - г/) | / (</) <ty <

JB(x,6)

откуда и следует (11) при 8 = 0,

Отметим следующее следствие из этой леммы, которое не будет использовано в дальнейшем, но может предста­

вить самостоятельный интерес.

С л е д с т в и е 1 (дополнение к лемме о функциях типа «шапочка»). Для любого множества Е ЕЕ Rn и любого 6 ^> О существует такая функция и ЕЕ С°° (Rn), что V ^ G Rn 0 < т] ( * ) < 1, Va: ЕЕ Е х\ (х) = 1 V i G ^ 6

(Ед — 8-окрестностъ множества Е) и (х) = 0 и для любо­

го мультииндекса а и любого г ЕЕ [0, 1) существует поло­

жительное число са, 8, б такое, что

VXEER71 \(D*r\)(x)\^catet6yf(x). (12) Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно положить п =

= Ай/²%^Ей/² (%^Еб/2 — характеристическая функция множе­

ства £б / 2) и воспользоваться леммой 1.

«Обычная» лемма о функциях типа «шапочки» соответ­

ствует случаю 8 = 0. Необходимость в функциях типа

«шапочки», удовлетворяющих условию (12) с 8 = 1/2, возникает при получении неравенств априорного типа в Ь2 для обобщенных решений и уравнений эллиптическо­

го или более общих типов, когда «пробная» функция v выбирается равной г\и.

ЛЕММА 2. Пусть функция^ ЕЕ С°° (Rn) неотрицатель­

на, причем для любого мультииндекса а и любого е ЕЕ. (0, 1) существует положительное число са> е такое, что

\/xEERⁿ \(D*4>)(x)\^c^a,^FMp*(x).- (13) Тогда для любого у > 0 ipv E= C°° (Rn).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если х ЕЕ Rn и \|) (х) ^> 0, то для любого мультииндекса а существует производная D^a (i|)^Y) (х), вычисляемая по формуле

D* (Г) (х) = 5£U Ф~

^т

И 2*

¹⁺

...

^+Рт=а

С ^ (0*4) И • • •

. . . (2Аи|>) (ж) (14) (здесь | а | = аг + . . . + ат, р1? . . ., | Зт — мультиин- дексы, Ьр^...,р — некоторые действительные числа, не зависящие от \|) и ж). Рассмотрим теперь такие точки х0

из Rn, что г|) (#0) = 0 и в любой окрестности точки х0

есть точки х, для которых if> (#) ^> 0. Согласно (13) для мультииндекса а (£)°Ч|)) (х⁰) = 0 и из формулы Тейлора

41

следует, что

V A e N Ц (Х) = О( \Х — х0 |,v), х ->- х0. (15) Поскольку в (13) число 8 можно брать сколь угодно близ­

ким к 1, то из (14) следует, что существуют положительные числа А и (х такие, что Wx ЕЕ Rn, для которых я|) (х) ^> О,

| Da (t|)Y) (ж) | < Лг|^ (х) и, следовательно, для указанных х

V f t E N i )a (я|э?) (а:) - о ( | а: — х0 |*), х - > ж0. (16) Из определения производной и из (15) следует, что для любых рассматриваемых точек х0 л ' (х0) = 0. Далее, по индукции, используя (16), получим, что для любого мультииндекса a Da (\|)Y) (#) = 0. Таким образом, в лю­

бой точке х ЕЕ Rn у функции i|3Y существуют производные любого порядка, причем согласно (14) и (16) они являются непрерывными на Rn функциями, т. е. г|)^ ЕЕ С°° (Rn).

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы . 1. Так как

о

функции /+ ^ Lx (Rn) и неотрицательны, то функции о

Лб/+ — Abj± ЕЕ С00 (Rn), неотрицательный согласно лемме I удовлетворяют условиям леммы 2; значит,

(Аь&уЬсЕС'ф") и fifi/GC«(Rn).

2. Так как при 0 < р < 1 для /, g ^ Lp (E)

U + g Up(E) < №-* (ц / цГ р ( д ) + || g ц ^( Я ) ) | ( 1 7 )

то, используя (5) и числовое неравенство #а + уа <^

^ (# + #)а> справедливое для х, у > 0, а > 1, имеем

II * e / ll/,

/R

«) = II Ш

р+

)

1/р

- Ш

р

-Г>" И

V

R « ) <

< 2VP-1 (|| A6f+ ^ + || Alf_ |1^даВ)) <

< 2 VP- i (1| / ? | | ^£ ) +| | / ? | | ^E )<

< 21А-*(|| # | |М Е ) + || f ||,Ji(E))i/. = 2V*-i || / | |S ( E ), и мы получим (9).

3. Из (17) следует, что

II B6f - f hpiE) = || (,l6/i')VP - ( ЛбЛ V P - /+ + /_ Up(E) <

< 2 № - 1 ( | | ( ^ б / ^,- /+| | г ,! ; ( Е) + | | ( ^ № - / _ | |L p ( E )) (18)

(являющееся следствием неравенства Гёльдера) и нера­

венство (5), получим, что

Далее из числового неравенства

l ^ - J ^ K a l ^ — y K k l ^ + lyl

⁰⁶

"

¹

),

справедливого для х, у, а > 0 (при 0 <! а < 1, я, г/ > 0), и (17) вытекает, что

|| (А6%ур - /+ ||S ( E ) = || (4ft/?)VP - (/pi/p 1S ( B ) <

< -i-111 A6f+ - f+1 ((Ле/^/p-i + (Лу/р-Ч | |S ( E ) -

= - i - И | Л6/? - у? | ( Л Й П ^ / Р + | Abfl - ft | /l~p ||t p ( B ) <

< cp (|| | Л6/? - у? | {Abfl)Wv | |S ( E )+ | | Ив/? - tf | fir" l kpw ) . где

Применяя теперь неравенство

II gh \\r,piE) < II S lk<E) II A llS/(1_p)(E) (0 < p < i) шщееся следствие

гво (5), получим,

| | ( Л⁶/ ^ / р - /⁺| | ,^{р ( Е )}<

< с

^р

|| АьП - fl lk(

^B)

(11 A

⁶

ftf$% + II fl \\t%

^p}

) <

< 2cp || /+ Щ-;(Я) || Л а/^ - /? || Ll(E) -> 0 при б -> + 0 согласно (6), поскольку f+ сч Ьг (Е).

Аналогично доказывается, что второе слагаемое в (18) стремится к нулю при б -> + 0, и мы получаем (10).

С л е д с т в и е 2. Пусть 0 < р < 1, Е-измеримое множество в Rn. Тогда множество С°° (Rn) плотно в Lp (E). Если Q — открытое множество в Rn, то мно­

жество С™ (Q) плотно в Lp (Q).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Первое утверждение следует из (8) и (10), второе доказывается стандартным образом с помощью умножения на срезывающую функцию.

Университет дружбы народов Поступило

им. П. Лумумбы 04.04.86

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] С о б о л е в С. Л. Некоторые применения функционального f| анализа в математической физике. Л. Изд-во ЛГУ, 1950 (Но­

восибирск: Изд-во НГУ, 1962).