ОПЦИОН ҚҦНДАРЫНЫҢ СТОХАСТИКАЛЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУІ БЛЭК-ШОУЛЗ ТЕҢДЕУІНІҢ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТҤРІ

УДК 51

ОПЦИОН ҚҦНДАРЫНЫҢ СТОХАСТИКАЛЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУІ

БЛЭК-ШОУЛЗ ТЕҢДЕУІНІҢ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТҤРІ Аипенова А.С., Қайрат Д.

Магистрант, Әл-Фараби атындағы Қазақ Ҧлттық Университеті, Алматы Ғылыми жетекші - Кангужин Балтабек Есматҧлы

Тамыры стохастикалық есептеуде жатқан қазіргі опционның қҧнын анықтаудағы әдістер, қаржы саласының барлық қолданбалы аймақтарының, негізгі математикалық комплекстердің арасында жатады деп есептеледі. Бҧл жҧмыста жеңілдіктің әртҥрлі уақыт пен акция бағасының ӛзгергендегі ӛзгеруін есептеу ҥшін туындыны есептеуді қарастырамыз.

1973 жылдан бері, Фишер Блэк және Майрон Шоулз жасаған опционның қҧнын есептеу моделіне кӛптеген назар аударылды. Бҧл есептеудің нәтижесі белгілі жылу ӛткізгіштік теңдеуіне таң қаларлықтай ҧқсастыққа ие болды.

Бастапқы шарт S



t



x болатын

dS



t



 rS



t



dt  S



t



dB



t



(1) 14

стохастикалық дифференциалдық теңдеуді қарастырамыз.

Кез келген t моментінде инвестордың портфелінің тҥрін X



t



деп қарастырамыз және

dX



t







t



dS



t



 r



X



t







t



S



t



dt (2) dX



t



 rX



t



dt 



t



S



t



  r



dt 



t



S



t



dB



t



(3) Ито формуласы бойынша v



t,S



t



опцион қҧнын есептейміз

 1 2 ² 

dvt, St  v  t t, St   St v x ^{t, S t    S v}xx ^{t, St  dt}

2

 

 S



t



v_x



t, S



t



dB



t



S



t



 x болса және арбитраждық тепе-теңдік dX  dv орындалса, онда

v_t



t, x



 rxv _x



t, x



^1  ² S ² v_xx



t, x



 rv



t, x



 0,

0  t  T , x  0 (4)

2

v



T , x



 h



x



x  0 (5) есептің шешімі болатындығын дәлелдейік.

Жылу ӛткізгіштік теңдеуі: u  _t  a ² u _xx bu _x cu T  0

u0 x 

Негізгі есеп:

 1 2 ²

vt  rxv x   x ^vxx  rv 0

2





vT , x hx



(4) және (5) шекаралық есепті, яғни негізгі есепті шығару ҥшін жаңа белгісіз енгізейік

v



t, x



 e ^{Tt}u



t, x



Онда

v_t



t, x



re ^r_Tt

u



t, x



 e ^r_Tt

u_t



t, x



v _x



t, x



 e ^r_Tt

u _x



t, x



v_xx



t, x



 e ^{rTt}u _xx



t, x



Осы формулаларды дербес туындылы ^v теңдеуіне қойсақ және e ^r_Tt

 ға қысқартсақ, дербес туындылы Блэк-Шоулз теңдеуін аламыз

 ru



t, x



 u_t



t, x



 rxu _x



t, x



 1  ² x ² u _xx



t, x



 0, 0  t  T , x  0 (Б-Ш) 2

Тығыздықтың ауысуы шартын қолданып,

15

1 

pt,T ; x, y exp ^ 

y 2T  t  ^



1  y  1   ²

2 

log r   T  t  

2T  t 2^ x  2  ^ 



геометриялық Броун қозғалысы ҥшін стохастикалық ӛрнек аламыз



ut, x e ^{rTt}E ^t,x hST  e ^{rTt}



^hy



p



t,T ; x, y



dy

0

Егер

h



y







y  K



^

деп алсақ, онда

 1  x 1 2 

ut, x xN log  rT  t   T  t  

 ^ K

2



 T  t  

r T t   1  x 1 2 

 e kN log  rT  t   T  t   .

 

K

2



 T  t  

Егер h



y







y  K



^ осы тҥрде берілседе, u



t, x



Блэк-Шоулз теңдеуін қанағаттандырады.

Әдебиеттер

1. Shreve Stevten. Stochastic Calculus and Financt. 1996. 177-187 p.

2. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков О.Д., Мельников А.В. К теории расчетов Европейского и Американского типов. Дискретное время // Теория вероятностей и ее применения. 1994. Т.39, №1. с.21-79.