О некоторых задачах теории приближений

УДК 517.5

О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Е. Д. Нурсултанов, Н. Т. Тлеуханова

КФ МГУ им.М.В.Ломоносова 010010, г.Астана, ул.Мунайтпасова, 7,

ЕНУ им. Л.Н.Гумилева 010008 Астана, ул.Мунайтпасова, 5

Рассматриваются вопросы восстановления интегралов, мультипликативных преобразований функ- ции по конечной линейной информации. Исследованы связи данной задачи с другими задачами теории приближений. Для некоторых операторов восстановления выписаны их погрешности в тер- минах коэффициентов Фурье.

1. Приближение фиксированного множества M из линейного нормированного простран- ства Y семействами n− мерных подпространств he₁, ..., e_Ni пространства Y – классическая задача теории аппроксимаций. Она сводится к вычислению (оценке) величин

d_N(M, Y) = inf

(e1,...,eN)sup

x∈M

infλi

kx− XN

i=1

λ_ie_ik_Y.

Эта величина называется N -мерным поперечником по Колмогорову множества M в Y . Поперечники характеризуют минимальную погрешность, которая возможна при приближении всевозможными n -мерными подпространствами.

Пусть e^N = (e¹, ..., e^N) – система независимых линейных функционалов из фиксированного множества M_N ⊂Y^∗. И.Ф. Шарыгиным [1] и С.А.Смоляком [2] введены величины

λ_N(M_N,M, Y) = inf

e^N∈MN

sup

y,x∈M

e^N(x)=e^N(y)

kx−yk_Y, (1)

которые характеризуют минимальную погрешность при восстановлении элементов из M по некоторому классу линейной информации из M_N в пространстве Y . Известно [3], что когда M – центрально-симметрическое множество, верно соотношение d_N(M, Y)6λ_N(M_N,M, Y).

Если минимизировать приближение множества M суммами Фурье по системам из M, то приходим к задаче вычисления величин (см. [4])

d^⊥_N(M_N,M, Y) = inf

e^N∈MN

e∈G(einf^N)sup

x∈M

kx− XN

i=1

eⁱ(x)e_ik_Y,

Keywords:integrals, multiplicative transformations of functions, Furies coefficients 2000 Mathematics Subject Classification: 41A05

°c Е. Д. Нурсултанов, Н. Т. Тлеуханова, 2006.

здесь G(e^N) – множество всех дуальных базисов к e^N = (e¹, ..., e^N). В работах [5], [6] и других рассматривалась следующая задача.

Пусть даны нормированные пространства X и Y числовых функций, определенных на Ω и Ω₁, соответственно. Пусть M⊂X и отображение T действует M из в Y .

Для каждого целого N >1 через {e^N = (e¹, ..., e^N)} обозначим множество всевозможных из наборов N линейных функционалов e^j(·) : X −→ C,(j = 1, ..., N) и {ϕ_N} – множество функций ϕ_N(τ₁, ..., τ_N;y) :C^N×Ω₁−→C. Пусть ² >0, D_N ⊂ {e^N}}.

Задача заключается в получении оценок сверху и оценок снизу (желательно совпадающих с точностью до констант) для величин

δ_N(D_N;T,M)_Y = inf

e^N∈DN

{ϕinfN}sup

f∈F

kT f−ϕ_N(e¹(f), ..., e^N(f);·)k_Y, (2) δ_N,²(D_N;T,M)_Y = inf

e^N∈DN

{ϕinfN}sup

f∈F

sup

|e^j(f)−zj|6²

kT f−ϕ_N(z₁, ..., z_N;·)k_Y.

Естественно возникает вопрос о связи этой задачи с классическими постановками. Следующее утверждение показывает эту связь.

Теорема 1.Пусть X – функциональное пространство, вложенное в банахово простран- ство Y , T – линейный непрерывный оператор из X в Y . Пусть M ⊂ X, Z = {f ∈ X : kT fk_Y <∞}, тогда имеют место оценки

1

2λ_N(D_N,M, Z) = 1 2 inf

e^N∈DN

sup

y,x∈M

e^N(g)=e^N(f)

kf−gk_Z 6δ_N(D_N;T,M)_Y 6

6 inf

e^N∈DN

e∈G(einf^N)sup

f∈M

kf− XN

i=1

eⁱ(f)e_ik_Z =d^⊥_N(D_N,M, Z), (3) где kfk_Z =kT fk_Y .

Если Y = L_q[0,1]ⁿ,2 6 q 6 ∞, q⁰ = q/q−1, T f ∼ P_∞

k=1µ_k(f, ψ_k)ψ_k(x) – мультиплика- тивное преобразование по некоторой ортогональной системе {ψ_k}_k, ограниченной в совокуп- ности, то

δ_N,²(D_N;T,kfk_X 61)_Lq 6 inf

e^N∈DN

{cinfkj}



 sup

kfkX61

kT f− XN

k=1

µ_k



X^N

j=1

e^j(f)c_kj



ψ_kk_Lq+

+ε



 XN

k=1



|µ_k| XN

j=1

|c_kj|





q⁰



1/q⁰



.

Замечание 1. Утверждение теоремы 1 показывает, что поперечники (1), введенные И.Ф.Шарыгиным и С.А..Смоляком, более естественные в задачах восстановления.

Доказательство. Пусть ε > 0, из определения точной нижней грани найдутся e₀^N ∈ D_N, ϕ⁰_N, что

sup

f∈MkT f−ϕ⁰_N(e¹₀(f), ..., e^N₀ (f);·)k_Y 6 6 inf

(e^N,ϕN)∈DN

sup

f∈MkT f −ϕ_N(e¹(f), ..., e^N(f);·)k_Y +ε. (4) Если

sup

f∈M

kT f−ϕ⁰_N(e¹₀(f), ..., e^N₀ (f);·)k_Y > 1

2 sup

g,f∈M

e^N₀(g)=e^N(f)

kf−gk_Z,

нижняя оценка (3) получена. Положим sup

f∈M

kT f−ϕ⁰_N(e¹₀(f), ..., e^N₀ (f);·)k_Y 6 1

2 sup

g,f∈M

e^N₀ (g)=e^N₀(f)

kf −gk_Z.

Тогда sup

f∈M

kT f−ϕ⁰_N(e¹₀(f), ..., e^N₀ (f);·)k_Y = sup

g,f∈M

e^N₀ (g)=e^N₀(f)

kT f −T g+T g−ϕ⁰_N(e¹₀(g), ..., e^N₀ (g);·)k_Y >

> sup

g,f∈M

e^N₀(g)=e^N₀(f)

kf −gk_Z−sup

g∈M

kT g−ϕ⁰_N(e¹₀(g), ..., e^N₀ (g);·)k_Y >

> 1

2 sup

g,f∈M

e^N₀ (g)=e^N₀(f)

kf −gk_Z.

Учитывая (4) и произвольность выбора ε >0, получим нижнюю оценку в (3).

Верхняя оценка очевидна.

Проверим второе утверждение теоремы, используя неравенство Хауздорфа Юнга.

δ_N,²(D_N;T,kfk_X 61)_Lq 6 inf

e^N∈DN

{cinfkj}



 sup

kfkX61

sup

|e^j(f)−zj|6ε

kT f− XN

k=1

µ_k XN

j=1

e^j(f)c_kjψ_kk_Lq+

+k XN

k=1

µ_k XN

j=1

(e^j(f)−z_j)c_kjψ_kk_Lq



6

6 inf

e^N∈DN

{cinfkj}





 sup

kfkX61

kT f− XN

k=1

µ_k XN

j=1

e^j(f)c_kjψ_kk_Lq+ε



 XN

k=1



|µ_k| XN

j=1

|c_kj|





q⁰



1/q⁰



.

Теорема доказана.

В случаях, когда D_N =L_N ={e^N} и T – мультипликативное преобразование тригономет- рических рядов Фурье (см. [22]), а пространство Y есть одно из пространств C, L_q, простран- ство X есть одно из пространств W_p^β, B_pθ^α, SW_p^β, SB_pθ^α, E^α, левые и правые величины в (3) при некоторых соотношениях параметров имеют одинаковый порядок и реализуются на линейных операторах соответствующих частичных сумм тригонометрических рядов Фурье, либо сумм Вале Пусена. Поэтому из теоремы 1 и известных результатов [1]-[4] следуют соответствующие результаты работ [5]-[14], [33]-[37].

Пример 1.Если 1< p6q62, r >1/p−1/q, тогда δ_N(W_p^r, L_q[0,1]ⁿ)∼

µlnN N

¶_r−1/p+1/q .

Действительно, известно (см. [3], [4])

λ_N(W_p^r, L_q)>d_N(W_p^r, L_q)∼ µlnN

N

¶_r−1/p+1/q ,

а тогда, учитывая d^⊥_N(W_p^r, L_q) 6c

³lnN Nr

´_r−1/p+1/q

(см. [4]), из (3) получим нужное утвержде- ние.

В случае p=q = 2 получим соответствующее утверждение из [6].

2.Пусть F – некоторое функциональное пространство, являющееся собственным подпро- странством C[a, b]ⁿ. Задача восстановления кратного интеграла сводится к нахождению таких c_k ∈Rⁿ, t_k ∈[0,1)ⁿ, k= 1,2, ..., M, чтобы соответствующая квадратура

XM

k=1

c_kf(t_k) (5)

наилучшим образом приближала интеграл I(f) =R

[0,1]ⁿf(y)dy в классе F в смысле скорости убывания погрешности

δ_M(F;c, t) = sup

kfkF=1

¯¯

¯¯

¯I(f)− XM

k=1

c_kf(t_k)

¯¯

¯¯

¯

при стремлении параметра M к бесконечности. Число M – количество слагаемых в (5), ха- рактеризует число элементарных операций, за которое можно вычислить это выражение. Во многих случаях число слагаемых по порядку совпадает с количеством различных узлов {t_k}, используемых в (5), тогда погрешность выражают в терминах количества узлов. В противном случае погрешность следует выражать в терминах количества слагаемых M.

В 2000 г. в работе [15] была построена квадратурная формула (см. также [16]- [20]). Пусть f – 1-периодическая функция с абсолютно сходящимся рядом Фурье P

r∈Zⁿfˆ(r)e^2πirx. Тогда верно равенство

T₂^m(f)−f(0) =ˆ Xn

l=1

X

k1+...+kl=m kj>0

(−1)^Pl−1j=1kjX

r∈Zl rl6=0

fˆ(2^k1−1(2r₁+k₁), ..., r_l2^kl,0, ...,0), (6)

где

T₂^m(f) = X

k1+...+kn=m ki>0

1 2^m

2X^k1−1

r1=0

...

2^knX−1

rn=0

(−1)^{Pn−1j=1(rj+kj)}f( r₁

2^k1, ..., r_n 2^kn).

Данная формула решила задачу построения квадратурной формулы, в которой узлы, коэффи- циенты и погрешность определялись в явном виде. Квадратура T₂^m(f) точна для полиномов со спектром из гиперболического креста порядка 2^m, которые, как хорошо известно, наилучшим образом приближают функции из пространств с доминирующей смешанной производной.

Пусть 0 < p = (p₁, ..., p_n) 6 ∞, ϕ: Zⁿ → R, ϕ(x) > 0. Определим пространство D_p(ϕ), как множество функций f с абсолютно сходящимися рядами Фурье P

r∈Zⁿfˆ(r)e^2πirx таких, что

kfk_Dp(ϕ)=



X

kn∈Z

...



X

k1∈Z

¯¯

¯ϕ(k) ˆf(k)

¯¯

¯^p1





p2 p1

...





1 pn

<∞.

Здесь и далее при q =∞ сумма (P

k(b_k)^q)^1/q понимается, как sup_k|b_k|.

Теорема 2. Пусть 1 6 p = (p₁, ..., p_n) 6 ∞, G = {(2^k1−1(2r₁ +k₁), ...,2^klr_l,0, ...0) : l = 1, n, k₁+...+k_l=m, r∈Z^l, r_l 6= 0,}, χ_G – индикаторная функция множества G, тогда

sup

kfkDp(ϕ)=1

¯¯

¯T₂^m(f;x)−f(0)ˆ

¯¯

¯=





 X

kn∈Z

...



X

k1∈Z

µχ_G(k) ϕ(k)

¶_p⁰

1





p0 2 p0 1

...







1 p0 n

.

Доказательство. В формуле (6) возьмем точную верхнюю грань по всем f ∈ D_p(ϕ) с kfk_Dp(ϕ)= 1, воспользуемся обратным неравенством Гельдера [21] и получим утверждение.

В работах [26]-[30] были введены пространства U_s(β, θ, α, ψ), SW_p^ω, F_p^Ω, W₂^δrlogχδ, которые являются частными случаями пространства D_p(ϕ) и оценки погрешности для соответствую- щих пространств являются следствиями теоремы 2.

В тезисе [26] и работе [28] анонсировано Λ_m(f;x) = X

k1+...+kn=m ki>ν0

i

1 2^m

2X^k1−1

r1=0

...

2^knX−1

rn=0

(−1)^{Pn−1j=1(rj−1)(kj−νj0)}f( r₁

2^k1, ..., r_n

2^kn). (7) В отличие от квадратуры T₂^m(f) здесь введен параметр ν⁰>0 :ν₁⁰+...+ν_n⁰ 6m. К сожалению, если ν⁰ 6= 0, соответствующая квадратура ухудшается. Если хотя бы одно ν_i⁰ >0, то формула (7) уже не будет точной для полиномов со спектром из гиперболического креста порядка 2^m. А если ν⁰ =¡£_m

n

¤, ...,£_m

n

¤¢, то для квадратуры (7) погрешность в классе Коробова E_n^r ={f : sup_k∈Zn¯k^r|fˆ(k)|61} будет равна O

³ 1 2^rmn

´ .

Действительно, пусть m = τ n, τ ∈ N, ν₀ = (τ, ..., τ), в качестве пробной функции доста- точно рассмотреть f(x₁, ..., x_n) = 2^{−τ r}e^2πi2τx1.

Данный пример показывает, что теорема 3 из [28] не верна.

Теорема(Теорема 3, [28]). Пусть даны числа s(s= 1,2, ...), r >1. Тогда (q = 2,3, ...) sup

f∈En^r

¯¯

¯¯

¯ Z

[0,1]ⁿ

f(x)dx−Λ_q(f)

¯¯

¯¯

¯Â≺

r,n

(lnN)^(r+1)(n−1)

N^r , (8)

где Λ_q(f) есть квадратурная формула (7), а N ≡N(q)Â≺2^qqⁿ⁻¹ – число узлов в ней.

Пусть q = nτ, τ ∈ N. В качестве примера рассмотрим ν⁰ = (τ, ..., τ), заметим, что ν⁰ удовлетворяет условию ν₁⁰+...+ν_n⁰ 6q. В этом случае квадратура (7) примет вид

Λ_q(f) = 1 2^q

2X^ν10−1

k1=0

...

2X^νn0−1

kn=0

f µk₁

2^ν10, ..., k_n 2^νn0

¶

= X

m∈Zⁿ

fˆ(m₁2^τ, ..., m_n2^τ).

Возьмем пробную функцию f₀(x₁, ..., x_n) = 2^{−τ r}e^2πi2τx1, тогда

¯¯

¯¯

¯ Z

[0,1]ⁿ

f₀(x)dx−Λ_q(f₀)

¯¯

¯¯

¯= 1 2^{τ r}, что противоречит соотношению (8).

Пусть f – функция, тригонометрический ряд Фурье которой абсолютно сходится, U – произвольное подмножество Zⁿ₊, тогда для функционала

T_U(f) = X

k∈U,ki>ν_i⁰

1 2^k1+...+kn

2^kX¹−1

r1=0

...

2^knX−1

rn=0

(−1)^{Pni=1(ri+1)(ki−νi0)}f( r₁

2^k1, ..., r_n

2^kn) (9)

имеет место

I(f)−T_U(f) = X

k∈Zⁿ₊\U,ki>ν_i⁰

X

r∈Zⁿ

(−1)^{Pni=1(ki−νi0)}×

×f(2ˆ ^k1−1(2r₁+ (k₁−ν₁⁰)), ...,2^kn−1(2r_n+ (k_n−ν_n⁰))). (10) Эта формула при ν⁰= 0 доказана в работе [20] как следствие формулы (6).

Замечание 2. Квадратура (9) хуже T₂^m даже в случае ν₀=(0,...,0) и множества U, со- ответствующего гиперболическому кресту. Погрешность для этих формул одна и та же, но количество слагаемых в (9) по порядку больше, чем в T₂^m, и соответственно количество эле- ментарных операций для вычисления их – разная.

Аналогично имеет место

Теорема 3.Пусть 16p= (p₁, ..., p_n)6∞, G={(2^k1−1(2r₁+ (k₁−ν₁⁰), ...,2^kn−1(2r_n+ (k_n− ν_n⁰)) :k∈Zⁿ₊\U, k_i >ν_i⁰, r∈Zⁿ}, χ_G – индикаторная функция множества G, тогда

sup

kfkDp(ϕ)=1

¯¯

¯T₂^m(f;x)−fˆ(0)

¯¯

¯=





 X

kn∈Z

...



X

k1∈Z

µχ_G(k) ϕ(k)

¶_p0 1





p0 2 p0 1

...







1 p0 n

, (11)

в частности, при p= (p, ..., p)

sup

kfkDp(ϕ)=1

¯¯

¯T₂^m(f;x)−f(0)ˆ

¯¯

¯=

=



 X

k∈Zⁿ₊\U,ki>ν⁰_i

X

r∈Zⁿ

µ 1

ϕ(2^k1−1(2r₁+ (k₁−ν₁⁰)), ...,2^kn−1(2r_n+ (k_n−ν_n⁰)))

¶_p⁰



1/p⁰

.

Доказательство. В формуле (10) возьмем точную верхнюю грань по всем f ∈ D_p(ϕ) с kfk_Dp(ϕ)= 1, воспользуемся обратным неравенством Гельдера [21] и получим (11).

Результаты работ [26]-[30] сразу следуют из соотношения (11). Отметим, что даже частная реализация соотношения (11) есть более точный результат, чем в упомянутых работах, т.к. в них приведены двусторонние, либо односторонние оценки вместо равенства.

3.Пусть f ∈L₁[0,1]ⁿ, f ∼P

k∈Zⁿfˆ(k)e^ikx, λ={λ_k}_k∈Zⁿ – некоторая последовательность комплексных чисел. Определим мультипликативное преобразование

f_λ= X

k∈Zⁿ

λ_kfˆ(k)e^ikx.

Пусть (X, Y) – пара функциональных пространств 1-периодических функций, X вложено в C[0,1]ⁿ, последовательность комплексных чисел λ={λ_k}_k∈Zⁿ является мультипликатором из пространства X в пространство Y , т.е. верно

sup

f6=0

kf_λk_Y kfk_X <∞.

Задача заключается в нахождении узлов {t_k}^M_k=1 и функций {φ_k(x, λ)}^M_k=1, чтобы скорость убывания погрешности

sup

kfkX=1

kf_λ− XM

k=1

f(t_k)φ_k(x, λ)k_Y

в метрике Y была возможно большей при возрастании M.

Данная постановка задачи объединяет задачи приближенного восстановления интегралов, коэффициентов Фурье, функций, дробных производных, дробных интегралов.

Так, если

λ_k=

(1 приk= (0, ...,0), 0 приk6= (0, ...,0), то это – задача численного интегрирования.

Если

λ_k= (

1 при k= (µ₁, ..., µ_n), 0 при k6= (µ₁, ..., µ_n),

то соответствующий оператор восстанавливает коэффициенты Фурье f(µ)ˆ .

Если λ={¯k^β}_k∈Z и β = 0, то приходим к задаче восстановления функций, если β >0 – дробной производной, если β <0 – дробного интеграла.

В статьях [22]-[25] вводится оператор восстановления мультипликативных преобразований F₂^m(f, λ;x) = X

k1+...+kn=m+1 ki>0

X

06r<2^k

f( r

2^k)φ_kr(x+ r 2^k;λ), здесь

φ_kr(x) = 1 2^m

X

ν1+...+νn6m+1 06νi6ki

(−1)^{Pn−1j=1(rj+1)(kj−νj)} X

µ∈ρ(ν)

λ_µe^2πiµx.

Данный оператор восстановления является точным для полиномов со спектром из соответству- ющего гиперболического креста.

Теорема 4 ([23]). Пусть 1 < p 6 2 6q 6∞, f ∈ SW_p^α[0,1]ⁿ, α > ¹_p, ¹_r = ¹_p − ¹_q > 0, последовательность {λ_k}_k∈Zⁿ такова, что ряд

X

µ∈Zⁿ

¯¯λ_µµ¯^−α¯

¯^r

сходится. Тогда имеет место оценка

kf_λ−F₂^m(f, λ;·)k_Lq 6C_q,α

"

1 2^αm

à _m X

s=0

(m+ 1−s)^(n−1)rp ×

× X

ν1+...+νn=s

X

k∈ρ(ν)

|λ_k|^r





1/r

+



 X

µ∈Zⁿ\Gm

|λ_µµ^−α|^r





1/r

kfk_Wp^α,

где ρ(ν) ={k= (k₁, ..., k_n)∈Zⁿ: (ν_i−1)2^νi−2 <|k_i|62^νi−1, i= 1, ..., n}.

В работах [5], [33]-[37] рассматриваются вопросы численного восстановления решений раз- личных задач математической физики. Эти задачи сводятся к приближенному вычислению конкретных мультипликативных преобразований (степенного вида). Утверждения типа теоре- мы 4 (см. [23]) решают эти задачи в общем виде.

Пример 2. Пусть 16p 626q 6∞, r > _h¹ = ¹_p −¹_q, f ∈W_p^r[0,2π]. Уравнение Лапласа в круге

∂U

∂α² + 1 α

∂U

∂α + 1 α²

∂²U

∂θ² = 0,06α < R,06θ62π, U(α, θ)|_α=R=f(θ)

имеет решение

U(α, θ) = X+∞

m=−∞

(α

R)^|m|fˆ(m)e^imθ. (12)

Как видим, это есть мультипликативное преобразование функции f с λ_m = (_R^α)^m. Из теоремы 5 имеем

sup

0<α<R

sup

θ∈[0,2π]

kU(α, θ)−F₂^m(f, λ)k_Lq 6c₁ sup

0<α<R



 1 2^mr

à _m X

ν=0 2^ν

X

k=2^ν−1

(α R)^h

!¹

h

+

+



 X

µ>2^m

¯¯

¯(α R)µ^−r

¯¯

¯^h





1 h



kfk_Wp^r =c₁



 1 2^mr

à _m X

ν=0

2^ν−1

!¹

h

+



 X

µ>2^m

µ^−rh)





1 h



≈ 1 2^rm−1h. Таким образом, для δ₂^m(W_p^r)_Lq ( см. [12])– погрешности наилучшего метода приближения решения (12) по значениям в точках – верно

δ_N(W_p^r)_Lq 6c 1 2^rm−1h.

Снизу δ₂^m(W_p^r)_Lq оценивается поперечником λ₂^m(M₂^mW_p^r, L_q)∼ ¹

2^rm−h1. Из этого примера при p= 2, q=∞ следуют результаты работы [12].

Из теоремы 4 следуют более сильные утверждения, чем соответствующие утверждения из [5], [33]-[37], т.к. здесь оператор приближения построен в явном виде и не требует дополнитель- ных вычислений.

Позже были анонсированы работы [38]-[42], в которых также рассматривается задача вос- становления функций, их мультипликативных преобразований и получены схожие результа- ты. К сожалению, сравнить эти результаты с имеющимися не представляется возможным, т.к. в этих работах оператор восстановления содержит компоненты, которые не определены, или вовсе отсутствует сам оператор восстановления. По-видимому, формат этих публикаций не позволил ее авторам сделать ссылки на ранее опубликованные с доказательствами работы [22]-[25].

Цитированная литература

1.Шарыгин И. Ф. // Оценки снизу теории интегрирования и приближения на классх функ- ций. Автореф. канд. дис. МГУ, 1965.

2.Смоляк С. А.// Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них. Автореф.

канд. дис. МГУ, 1965.

3.Тихомиров В. М.// Некоторые вопросы теории приближений. М., 1976.

4.Темляков В.Н. //Труды МИРАН. 1986. 178.

5.Темиргалиев Н.// Теоретико-числовые методы и теоретико-вероятностный подход к зада- чам Анализа. //Вестн.ЕНУ. 1997. № 3. С. 90–144.

6.Темиргалиев Н. Ажгалиев Ш.// Математические заметки. 2003. Т. 73, вып.6. С. 803–812.

7.Берикханова М.Г.// Тезисы межд. конф.”Теория функций, функциональный анализ и их приложения“. Семипалатинск, 2003. С. 30–31.

8.Ажгалиев Ш.// Тезисы межд. конф.

”Теория функций, функциональный анализ и их при- ложения“. Семипалатинск 2003. C. 57–58

9.Биахметов А., Бухарова А., Таугынбаева Г. // Тезисы межд. конф.”Теория функций, функциональный анализ и их приложения“. Семипалатинск, 2003. С. 63.

10.Ибатулин И.Ж. // Тезисы межд. конф.

”Теория функций, функциональный анализ и их приложения“. Семипалатинск, 2003. С. 65–66.

11.Темиргалиев Н., Борушевский С. // Тезисы межд. конф.

”Теория функций, функцио- нальный анализ и их приложения“. Семипалатинск, 2003. С. 63–64.

12.Берикханова М.Е. // Тезисы докладов 10 межвуз. конф. 2004. С. 79.

13.Берикханова М.Е.// Тезисы докладов 10 межвуз. конф. 2004. С. 80.

14.Баилов Е.А., Ажгалиев Ш., Ташатов Н. // Тезисы докладов 10 межвуз. конф. 2004. С.

60.

15.Тлеуханова Н.Т., Нурсултанов Е.Д.// Успехи матем. наук. 2000. Т. 55, вып 6. С. 153–154.

16.Тлеуханова Н.Т. //Сб. докладов VI Сибирского Конгресса ИНПРИМ. 2000. Новосибирск, 2000. С. 238

17.Тлеуханова Н.Т., Нурсултанов Е.Д.//Кубатурные формулы и их приложения. Cб.тр. VI междунар.семинар-совещания. Уфа. 2001. С. 209

18.Тлеуханова Н.Т.// Совр. методы теории функций и смежные проблемы.:сб. докл. Саратов- ской зимней математической школы. Саратов, 2002. С. 162.

19.Тлеуханова Н.Т., Нурсултанов Е.Д. // Математический Сборник. 2003. Т.124, № 10. С.

133–160.

20.Тлеуханова Н.Т. // Евразийский математический журнал. Астана, 2004. № 1. С. 71–87.

21.Бесов О.В., Ильин В.А., Никольский С.М. // Интегральное представление функций и теоремы вложений. М., 1974.

22.Тлеуханова Н.Т. // Математический журнал. Алматы, 2002. Т. 2, № 3. С. 79–88.

23.Тлеуханова Н.Т. // Доклады РАН. 2003. Т. 390, № 2. С. 169–171.

24.Тлеуханова Н.Т. // Современные проблемы математики.:сб.трудов межд. конф. Астана, 2002. С. 55–58.

25.Тлеуханова Н.Т. // Математические заметки. 2003. Т. 74, вып.1. С. 154–156.

26.Темиргалиев Н. // Симпозиум: Ряды Фурье и их приложения. Новоросийск, 2002. С. 51.

27.Темиргалиев Н. // Вестник Евразийского национального университета им. Л.Н.Гумилева.

2002. № 3-4. C. 222–272.

28.Темиргалиев Н. // Доклады РАН. 2003. Т.393, № 5, C. 605–608.

29.Бекеманова А.А. //Тезисы межд. конф.

”Теория функций, функциональный анализ и их приложения“. Семипалатинск, 2003. С. 61–62.

30.Бекеманова А.А. // Тезисы докладов 10 межвуз. конф. 2004. С.74.

31.Фролов К.К. Квадратурные формулы на классах функций. Канд.дисс. ВЦ АН СССР. 1979.

32.Шарыгин И.Ф.// Ж. выч. матем и матем. физики. 1963. Т. 3. С. 370–376.

33.Баилов Е.А. Приближенные интегрирование и восстановление функций из анизотропных классов и восстановление решений уравнения Пуассона. Канд.дисc. Алматы, 1998.

34.Шерниязов К.Е. Восстановление функций и решений уравнения теплопроводности с рас- пределениями начальных температур из классов E, SW и B. Канд.дисc. Алматы, 1998.

35.Ажгалиев Ш.У. Приближенное восстановление по линейной информации функций и ре- шений уравнения теплопроводности с функциями распределения начальных температур из классов W, B, SW и E. Канд.дисc. Алматы, 2000.

36.Шангиреев Е.И. О восстановлении решений волнового уравнения. Канд.диcс. Алматы, 2001.

37.Ташатов Н.Приближенное восстановление функций и решений уравнения Пуассона с правой частью из анизотропных классов E и SW. Канд.дисc. Алматы, 2001.

38.Темиргалиев Н., Борушевский С.И., Шерниязов К.Е. // Тезисы докладов межд. конф.

”Проблемы современной математикм и механики“. 2005. С. 23–24.

39.Темиргалиев Н., Кудайбергенов С., Санабаев К., Шерниязов К.Е. // Тезисы докла- дов межд. конф.

”Проблемы современной математикм и механики“. 2005.

40.Темиргалиев Н. // Межд. конф.

”Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ“. Москва, 2005. С. 222.

41.Темиргалиев Н. //Тезисы докладов 10 межвуз. конф. 2004. С. 251.

42.Темиргалиев Н. // Тезисы межд. конф.

”Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры“. Актобе, 2006.

Поступила в редакцию 27.12.2006г.