СЖАТО-СКРУЧЕННЫЙ СТЕРЖЕНЬ С СОСРЕДОТОЧЕННОЙ И РАВНОМЕРНОЙ ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛОЙ

УДК 624.953:621

СЖАТО-СКРУЧЕННЫЙ СТЕРЖЕНЬ С СОСРЕДОТОЧЕННОЙ И РАВНОМЕРНОЙ ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛОЙ

Куканова Ж.А., Шортанбеков Б.М.

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Астана

Научный руководитель – к.т.н., профессор Кишауов К.С.

Кручение длинного стержня может привести к потере устойчивости прямолинейной формы. Это объясняется тем, что крутящий момент, действующий в плоскости, перпендикулярный к оси стержня, при отклонении последнего от прямолинейной формы приводит к возникновению изгибающих моментов. Для определения уравнения прогиба сжато-скрученного стержня с учетом поперечных сил используем энергетический метод.

Изучая деформации сжато-скрученного круглого стержня, полезно иногда представить кривую деформации в форме тригонометрического ряда

3 ...

2 sin sin

sin _{2 3}

1 l

a x l a x l a x

w

(1) Каждый член ряда удовлетворяет условиям на концах, поскольку каждый член вместе с его второй производной переходит в нуль у концов стержня. Таким образом, прогибы стержня и изгибающие моменты у концов равны нулю.

Тогда выражение для энергии деформации переходит в 4 . ...

3 4 2

2 ₁

2 4 3

4

0

2 3 4 2 2 4 2 3 1 2 4

2

2 n

n n l

a l n

a EJ a

l a dx EJ dx

w d

V EJ (2)

А изменение энергии деформации (2) стержня вследствие приращения da_n коэффициента a_nсоставляет:

2 .

4 3 4

n n n

n

da a l n da EJ

a

V (3)

Работу внешних сил M_kp,Pнаходим на некоторое смещение подвижного шарнира при деформации стержня из его начальной прямой формы в форму кривой равновесия

2 .

1 ²

dx dx dw

(4) Если мы теперь возьмем небольшое смещение от положения, придав коэффициенту an приращение da_n, то соответствующее перемещение шарнира В составит:

2 ,

2 2

n n n

n

da l a da n

d a (5) то нагрузки производят работу

n n kp

n

n a da

l n EJ da M

l a P n

2 4 2

2 2 2 2

2

, ₂

2 2

2 EJ l

P EJ

M_kp

(6)

В случае еще одной поперечной силы, приложенной на расстоянии с от левой опоры, точка приложения нагрузки претерпевает вертикальное смещение

l c

da_nsinn и нагрузка производит работу,

sin . l

c

Qda_n n (7) Приравнивая изменение энергии деформации от изгиба работе внешних сил

Q M

P, _kp, на небольшом смещении

l x

da_nsinn , получаем следующее уравнение для определения любого коэффициента a_nряда (1):

n n n

n kp

n n

n a da

l P n da l a n EJ M l

c Qda n

da a l n

EJ

2 2

sin 4 2

2 2 2

2 2 4

3 4

откуда

2 2 2 2 2

2 2

2 4

3

2 sin 1

2

l EJ M EJ n Pl

n l

c n EJ a Ql

kp

n (8)

Чтобы упростить записи, обозначаем через и отношение продольной силы и крутящего момента к их критическим значениям, т.е.

EJ β Ml EJ Pl

2

2 ,

2

, тогда 1 .

2 sin

2 2

2 4

3

n n l

c n EJ

a_n Ql (9) Подставляя в ряд (8), получаем:

. sin 1 sin

2

1

2 2

2 4

3

l x n l

c n n

n EJ w Ql

n

n

(10)

В случае равномерно распределенной нагрузки, на сжато-скрученном стержне подставляем qdc вместо Qb в ряд (10) и интегрируем этот ряд, меняя с в пределах нагруженного участка стержня. Если нагрузка равномерно распределена на весь пролет, пределами интегрирования будет 0 и l, и мы получим

4 1 sin .

5 , 3 , 1

2 2

3 5

4

l x n n

n EJ

w ql

n

n

(11)