С Т Е Ф А Н Б А Н А Х
ДИ Ф ФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
П Е Р Е В О Д С П О Л Ь С К О Г О И Р Е Д А К Ц И Я
С. И. З У Х О В И Ц К О Г О
И З Д А Н И Е В Т О Р О Е ,
И С П Р А В Л Е Н Н О Е И Д О П О Л Н Е Н Н О Е
л _
Ч ь
И З Д А Т Е Л Ь С Т В О «НАУКА»
Г Л А ВН А Я Р Е Д А К Ц И Я
Ф И З И К О -М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Л И Т Е Р А Т У Р Ы М О С К в л 1 9 G G
517.2 1І 2Я У Д К 517.'!
ЛМНО ТАЦ ИЯ
Стефан Б о н а х — один из крупнейших математиков X X столетия. Н асто ящ ая книга была им задумана кап пособие для первоначального ознакомления с пред
метом. Между тем ав тору удалось в книге небольшого объема мастерски осветить почти весь основной мате
риал дифференциального и интегрального исчисления, не отпугивая при этом читателя скрупулезной с т р о гостью изложения.
Книга отличается простотой и лаконичностью из
ложен ия Она содержит много удачно подобранных примеров, а также задач для самостоятельного реше
ния. Рассчитана на студентов втузов (особенно заоч
ных), пединститутов, а та к ж е на инженерно-технических работников, которые пожелают освежить в памяти основные факты дифференциального и интегрального исчисления.
При подготовке второго издания учтен опыт пре
подавания но этой книге в некоторых высших техн и ческих учебных заведениях; в связи с этим в книгу внесено небольшое число добавлений, а такж е исправ
лены некоторые места текста. Это приблизило книгу к уровню современных учебников по математическому ан ализу н сделало возможным использование ее во втузах.
Стефан Винах
Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н О Е II И Н Т Е Г Р А Л Ь Н О Е И С Ч И С Л Е Н И Е М. , 19G6 г . , 43G стр. с и л л.
Р е д а к т о р I I . С. А р ш о н
Т е ч и , р е д а к т о р С. Я Ш к л я р К о р р е к т о р М Ф. Л . і с к с с м а С л а н о !*» н а б о р 2‘J / V i I У 0 0 г. П о д п и с а н о к п е ча т и 1 7 / 1 Х 1!)0(> г. Б у м а г а ( І ОХІ НР/ , , . Фи 1 пе ч. л. 2 7 . 2 5 . У с л о я н . печ. л. 2 7 , 2 5 . У ч . - и з д . л. 2 3 , 2 7 . Т и р а ж 5 0 0 0 0 з к з .
Ц е н а к н и г и 91 ко п. З п к а а .V: 5 5 8 . I І з д а т е л ь с т н о « П а у к а » .
Г л а п н а я р е д а к ц и и ф н з п к о - м а т е м а т п ч е с к о і і л и т е р а т у р ы Мо с к н а , В - 7 1 , Л е н и н с к и й п р о с п е к т , 15.
Н о р н а я О б р а а ц о п а я т и п о г р а ф и я и ме н и А. А. Жд л п о н л Г л а а п о л и г р а ф н р о м л К о м и т е т а по пе ча т и при Со не т е М и н и с т р о в СССР.
М о с к в а , Ж- 5- 1, В а л о н а я , 2 8 .
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода ... . . . 14
Предисловие автора ... 14
Введение ..., . . . . 15
Т О М П Е Р В Ы Й Г Л А В Л 1 ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ П О Н Я Т И Е П О С Л Е Д О В А Т Е Л Ь Н О С Т И 1. Определение последовательности ... 17
2. Монотонные п о с л е д о в а т е л ь н о с т и ... 19
3. Ограниченные последовательности ... 19
4. Действия над последовательностями ... 20
З а д а ч и ... 20
И Н Т У И Т И В Н О Е П О Н Я Т И Е П Р Е Д Е Л А П О С Л Е Д О В А Т Е Л Ь Н О С Т И 5. Предел монотонной п о с л е д о в а т е л ь н о с т и ... 21
6. Общее определение предела п о с л е д о в а т е л ь н о с т и ... 21
7. Частный признак с х о д и м о с т и ...22
8. Действия над сходящимися п о с л е д о в а т е л ь н о с т я м и ...23
9. Последовательности, расходящиеся к ± а> ... 23
10. Теоремы о последовател ьн остях, расходящихся к ± с о ... 24
З а д а ч и ... 24
С Т Р ОГ ОЕ О П Р Е Д Е Л Е Н И Е П Р Е Д Е Л А П О С Л Е Д О В А Т Е Л Ь Н О С Т И 11. Отрезки последовательности ... 25
12. Последовательности, отличающиеся лишь порядком членов . . . . 25
13. Понятие п р и б л и ж е н и я ... 26
14. Определение п р е д е л а ... ... 27
З а д а ч и ... 30
Т Е О Р Е М Ы О П Р Е Д Е Л А Х П О С Л Е Д О В А Т Е Л Ь Н О С Т Е Й 15. Сходимость последовательностей с равными членами ...30
16. Независимость предела от порядка членов ...30
17. Сходимость п о д п о с л е д о в а те л ь н о с т е й ...31
18. Предел последовательности с неотрицательными членами ... 32
19. Предел суммы и разности последовательностей ...32
20. Предел произведения последовательностей ... 34
21. Предел произведения последовательности на ч и с л о ...35
22. Предел частного двух последовательностей ... 35
22а. Предельный переход в неравенстве ... 37
З а д а ч и ... 37
П Р И З Н А К И С Х О Д И МО С Т И
23. Сходимость монотонных ограниченных последовательностей . . . 37
24. Условие Коши ... 38
25. Ограниченность сходящ ихся последовательностей ... 39
26. Теорема о пределе промежуточной п е р е м е н н о й ... 39
З а д а ч и ... 40
В Ы Ч И С Л Е Н И Е Н Е К О Т О Р Ы Х П Р Е Д Е Л О В . Ч И С Л О е 27. Вычисление некоторых п р е д е л о в ... 42
28. Число с = 2,71828... 43
Г Л А В А II Ф У Н К Ц И И ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1. Примеры функций. Понятие ф у н к ц и и ... 48
2. Обозначения ... 49
3. Точное определение понятия функции ... 49
4. Различные способы задания ф у н к ц и й ...49
5. Способы представления функций. Таблицы ... 50
6. Графики ...51
Задачи ... 52
7. Ограниченные функции. Монотонные ф у н к ц и и ...52
Г Л А В А III ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ О П Р Е Д Е Л Е Н И Е И С В О Й С Т В А П Р Е Д Е Л О В 1. Определение предела функции ... 53
2. Условие существования предела ... 54
2а. Теоремы о пределах ф у н к ц и и ... 58
3. Действия над пределами ... . ... 59
О Д Н О С Т О Р О Н Н И Е И Н Е С О Б С Т В Е Н Н Ы Е П Р Е Д Е Л Ы . В Ы Ч И С Л Е Н И Е Н Е К О Т О Р Ы Х П Р Е Д Е Л О В 4. Односторонний п р е д е л ... 60
5. Несобственные п р е д е л ы ... 62
6. Вычисление некоторых п р е д е л о в ... 64
З а д а ч и ... .... 68
Г Л А В А IV Н ЕП РЕРЫВНО СТЬ Ф У Н К Ц И И О П Р Е Д Е Л Е Н И Е И С В О Й С Т В А Н Е П Р Е Р Ы В Н Ы Х Ф У Н К Ц И Й 1. О п р е д е л е н и е ... 69
2. Необходимое и достаточное условие непрерывности функции . . . 70
3. Геометрическая интерпретация ... 70
4. Теорема о сохранении знака д л я непрерывной ф у н к ц и и ...71
5. Дей стви я над непрерывными ф у н к ц и я м и ... 71
Р А В Н О М Е Р Н А Я Н Е П Р Е Р Ы В Н О С Т Ь 6. О п р е д е л е н и е ... 71
7. Геометрическая интерпретация ... 71
О Г Л А В Л Е Н И Е 7
8. Непрерывность равномерно непрерывной функции ... 72
Задачи ... 74
9. Основные теоремы о ф у нкц ия х, непрерывных в замкнутом интервале 74 С Л О Ж Н Ы Е Ф У Н К Ц И И 10. О п р е д е л е н и е ... 75
11. Непрерывность сложной ф у н к ц и и ... 76
О Б Р А Т Н Ы Е Ф У Н К Ц И И 12. О п р е д е л е н и е ...77
13. Геометрическая и н т е р п р е т а ц и я ... 77
14. Непрерывность обратной функции ...77
Н Е П Р Е Р Ы В Н О С Т Ь И Г Р А Ф И К И Э Л Е М Е Н Т А Р Н Ы Х Ф У Н К Ц И Й 15. Степенная функция у — х '1 ...78
16. П оказательн ая функция у = ах ... 80
17. Логарифмическая функция y — \oga x ... 80
18. Тригонометрические ф у н к ц и и ... 81
19. Обратные тригонометрические ф у н к ц и и ...82
Г Л А В А V ПРОИЗВОДН АЯ И Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ф У Н К Ц И И О П Р Е Д Е Л Е Н И Е И С МЫС Л П Р О И З В О Д Н О Й 1. Определение производной ... 86
2. Односторонние п р о и з в о д н ы е ... 88
3. Существование производной и непрерывность ... 88
4. Производная как ф у н к ц и я ... ...88
5. Интерпретация производной в геометрии и ф и з и к е ...89
6. Непрерывные функции, не имеющие производной в данной точке (примеры) ...90
Т Е О Р Е М Ы О П Р О И З В О Д Н О Й 7. Производная постоянной ф у н к ц и и ...91
8. П роизводная степенной ф у н к ц и и ... 91
9. Производная произведения постоянной на ф у н к ц и ю ...92
10. Производная суммы, произведения, частного ... 93
Задачи ... 95
11. П роизводная сложной ф у н к ц и и ... 96
12. Производная обратной ф у н к ц и и ... 96
Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ф У Н К Ц И И 13. Дифференцируемые функции. Определение дифференциала . . . . 98
13а. Производная сложной функции ... 99
14. Инвариантность формы первого дифференциала ... 100
15. Дифференциал суммы, произведения и ч а с т н о г о ... 101
16. Геометрическая интерпретация дифференциала ... 102
П Р О И З В О Д Н Ы Е Э Л Е М Е Н Т А Р Н Ы Х Ф У Н К Ц И Й 17. П роизв одная степенной ф у н к ц и и ... 103
З а д а ч и ...105
18. Производная логарифмической ф у н к ц и и ... .... 105
З а д а ч и ... 107
8 О Г Л А В Л Е Н И Е
19. Произподиая показательной ф у н к ц и и ... 107
Задачи ...108
20. Производные тригонометрических ф у н к ц и и ...108
Задачи ... ПО 21. Производные обратных тригонометрических ф у н к ц и й ...110
Задачи ... 113
22. Логарифмическая п р о и з в о д н а я ... 113
Задачи ...114
П Р О И З В О Д И ЫЕ И Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ы В Ы С ШИ Х П О Р Я Д К О В 23. Производные высших п о р я д к о в ...114
Задачи ...116
24. Формула Лейбница ...116
Задачи ... 118
25. Параметрическое представление функции ...118
Задачи . . ' ...120
26. Дифференциалы высших порядков ... 121
Задачи ... 121
Г Л А В A VI ТЕОРЕМА РОЛЛЯ. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ З Н А Ч Е Н И И . ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 1. Теорема о среднем значении ... 127
2. Теорема Ролл я ... 128
3. Доказательство теоремы Ролля ...129
4. Доказательство теоремы о среднем з н а ч е н и и ...129
5. Следствия из теоремы о среднем з н а ч е н и и ...130
6. Формула Т е й л о р а ... 131
7. Доказательство формулы Т е й л о р а ... 132
Задачи ...135
8. В ы п у к л о с т ь ...136
Г Л А В A V I I МАКСИМУМЫ И МИНИМУМ Ы; ТОЧКИ П ЕРЕГ И БА. Н ЕО ПРЕД ЕЛ ЕН НЫ Е В Ы РА Ж Е Н И Я Э К С Т Р Е М У М . Т О Ч К И П Е Р Е Г И Б А 1. Определение э к с т р е м у м а ...138
2. Необходимое условие существования э к с т р е м у м а ... 139
3. Достаточные условия существования э к с т р е м у м а ...141
4. Более общее достаточное условие ...14.‘1 5. Точки п е р е г и б а ... 115
6. Экстремумы функций, заданных п а р а м е т р и ч е с к и ...147
З а д а ч и ... 149
Н Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Е В Ы Р А Ж Е Н И Я ( Р А С К Р Ы Т И Е Н Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н О С Т Е Й ) 7. Неопределенности вида — , ... 149
0 00 8. Неопределенности вида 0-оо, оо— со, 1л , оэ°, О4 ... 153
З а д а ч и ... 154
о г л а в л е н и е 9
Г Jl A ii A V 111 РЯ Д Ы
Р Я Д Ы С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
1. Определение ря д і. Сходящиеся р я д ы ... 155
2. Предел с ходящей с;! последовательности как сумма р я д а ... 156
3. Необходимое услопие сходимости ... 157
4. Ограниченные р я д ы ... 158
5. Абсолютно сходящиеся р я д ы ... 1(50 (5. Независимость суммы ряда от порядка ч л е н о в ... 1(51 7. Условно сходящиеся р я д ы ... 1(52 8. Необходимое и достаточное условно сходимости ряда. Теорема Лейбница ... 1(53 П Р ИЗ НАКИ с х о д и м о с т и 9. Сравнение р я д о в ... 1(54 9.1. Признак сравнения в предельной ф о р м е ... 166
10. Признак К о ш и ...167
11. Признак Д а л а м б е р а ... 169
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И Р ЯДЫ Ф У Н К Ц И И 12. Определение сходимости функциональной последовательности . . . 171
13. Равномерная с х о д и м о с т ь ... ' ... 172
14. Действия над равномерно сходящимися функциональными последо вательностями. Необходимое и достаточное условие равномерной с х о д и м о с т и ... 173
15. Достаточное условие непрерывности предельной ф у н к ц и и ...175
16. Равномерная сходимость рядов ... 176
17. Абсолютная и равномерная сходимость функциональных рядов . . . 177
18. Дифференцирование последовательностей и р я д о в ...178
19. Степенные р я д ы ... 180
20. Радиус сходимости степенного р я д а ...181
21. Непрерывность суммы степенного р я д а ... 184
22. Вычисление радиуса с х о д и м о с т и ... 182
23. Дифференцирование степенных р я д о в ... 182
24. Ряд Т е й л о р а ... 184
З а д а ч и ...188
Г Л А в A I X Ф У Н К Ц И И ДВУХ П ЕР ЕМ ЕН Н Ы Х ПОНЯТИЕ Ф У Н К Ц И И ДВУХ ПЕ РЕ МЕ ННЫХ 1. Плоские множества. О б л а с т и ... 190
2. Граничные точки. Замкнутые области ... 190
3. Области, задаваемые н е р а в е н с т в а м и ...191
З а д а ч и ... 191
4. Функции двух п е р е м е н н ы х ...192
5. Геометрическая интерпретация функции двух переменных ... 192
6. Линин уровня ... 193
З а д а ч и ... 194
П Р ЕДЕЛ И НЕПР ЕР ЫВНОСТЬ ФУ Н К Ц И И 7. Определение п р е д е л а ... 194
8. Теоремы о п р е д е л а х ...195
9. Непрерывность. Равномерная н е п р е р ы в н о с т ь ...196
1 0 О Г Л А В Л Е Н И Е
Ч А С Т Н Ы Е П Р О И З В О Д Н Ы Е
10. Определение частных п р о и з в о д н ы х ...197
11. Частные производные второго п о р я д к а ... 198
12. Теорема об изменении порядка дифференцирования ... 199
З а д а ч и ... 200
13. Частные производные высших п о р я д к о в ... 200
14. Сложная ф у н к ц и я ...201
15. Частные производные сложных ф у н к ц и й ... 201
З а д а ч и ... 203
Н Е Я В Н Ы Е Ф У Н К Ц И И 16. Определение неявной ф у н к ц и и ... 203
17. Теорема существования неявной ф у н к ц и и ... 204
18. Производная неявной ф у н к ц и и ... 205
19. Максимумы и минимумы неявных ф у н к ц и й ...207
З а д а ч и ... ...208
Г Л А В А X ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙ ЛОРА . МАКСИМУМЫ И МИНИМУМ Ы. ДИ Ф Ф ЕРЕ Н Ц И А Л Ы Ф У Н К Ц И Й ДВУХ П ЕРЕ М Е Н Н Ы Х Ф О Р М У Л А И Р Я Д Т Е Й Л О Р А Ф У Н К Ц И И Д В У Х П Е Р Е М Е Н Н Ы Х 1. Формула Т е й л о р а ... 210
2. Ряды Тейлора и М а к л о р е н а ... 212
М А К С И М У М Ы И М И Н И М У М Ы Ф У Н К Ц И Й Д В У Х П Е Р Е М Е Н Н Ы Х 3. Определение э к с т р е м у м а ... 213
4. Необходимые условия существования э к с т р е м у м а ... 214
5. Достаточное условие существования э к с т р е м у м а ... 214
З а д а ч и ...218
Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ф У Н К Ц И И Д В У Х П Е Р Е М Е Н Н Ы Х 6. Дифференцируемые функции двух переменных. Определение ди ф ференциала ...218
7. Дифференциал сложной ф у н к ц и и ...220
8. Применение к функциям одной п е р е м е н н о й ...220
9. Случай, когда одна из переменных является функцией другой . . . 221
10. Частные д и ф ф е р е н ц и а л ы ... 221
11. Касательная плоскость к поверхности. Геометрический смысл пол ного дифференциала ... 222
З а д а ч и ... 223
12. Дифференциалы высших порядков . ... 224
З а д а ч и ...225
Г ЛАВА XI ФУ НКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМ ЕН НЫ Х 1. О б л а с т и ... 226
2. Функции многих п е р е м е н н ы х ... 227
3. Предел. Н е п р е р ы в н о с т ь ... 227
4. Частные п р о и з в о д н ы е ...227
5. Формула и ряд Т е й л о р а ... 228
Т О М В Т О Р О Й
Г Л А В А X 11
Н Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Й И Н Т Е Г Р А Л . МЕТОДЫ И Н ТЕГРИ РО В А Н И Я
1. Первообразная ф у н к ц и я ... 230
2. Основные ф о р м у л ы ... 231
3. Некоторые свойства неопределенного интеграла ... 232
4. Интегрирование п о д с т а н о в к о й ... ... ... 233
5. Интегрирование по частям ... 236
6. Интегралы от элементарных ф у н к ц и и ... 237
7. Формулы п р и в е д е н и я ... 240
З а д а ч и ... 242
Г Л А В А X I I I И Н ТЕГРИ РОВАН ИЕ Р А Ц И О Н А Л ЬН Ы Х Ф У Н К Ц И Й 1. Разлож ение многочлена на м н о ж и т е л и ... 245
2. Разложение рациональной функции на элементарные (простейшие) дроби ... 246
3. Интегралы от рациональных ф у н к ц и и ... 251
З а д а ч и ... 252
Г Л А В А X I V ИНТЕГРИРОВАНИЕ А Л Г ЕБ РА И Ч Е С КИ Х Ф У Н К Ц И Й 1. Интегрирование простейших и р р а ц и о н а л ь н о с т е й ... 254
2. Биномиальные и н т е г р а л ы ...255
3. Интегрирование рациональных функций R (х, у )... 256
4. Некоторые частные случаи интегралов от рациональной функции R {х, у) (у = l^o-v2 -}- bx -1* с ) ... 259
5. Замечания о преобразовании интеграла ^ R ( x , y ) d x...265
З а д а ч и ... 270
Г Л А В А X V ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ Н ЕА Л Г Е БР А И Ч ЕС К И Х ФУ НК Ц И Й 1. Общие з а м е ч а н и я ... 272
2. Интегралы от показательных и логарифмических ф у н к ц и и ... 273
3. Интегрирование тригонометрических ф у н к ц и й ... 276
4. Интегралы от обратных тригонометрических ф у н к ц и й ...281
5. Примеры функций, не интегрируемых э л е м е н т а р н о ...283
З а д а ч и ... 284
Г Л А В А X V I О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Й И Н ТЕГРА Л 1. Определение определенного интеграла ... 285
2. Некоторые свойства определенных и н т е г р а л о в ...291
3. Интегрируем ость непрерывной ф у н к ц и и ... 293
4. Достаточные условия интегрируемости ... 296
5. Разбиение интервала интегрирования ... 297
О Г Л А В Л Е Н И Е И
1 2 О Г Л А В Л Е Н И Е
6. Пределы и н т е г р и р о в а н и я ... 298
7. Некоторы е неравенства для определенных и н т е г р а л о в ... 299
8. Функции верхнего (нижнего) предела и н т е г р а л а ...303
9. Определенный интеграл и первообразная ф у н к ц и я ...305
10. И нтегральная теорема о среднем дл я непрерывных функций . . . . 309
З а д а ч и ... 311
Г Л А В А XVII ПРЕОБРАЗОВАНИЕ О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Х ИНТЕГРАЛОВ. И НТЕГРИРО ВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ 1. Замена переменных в определенных и н т е г р а л а х ... 314
З а д а ч и ... 317
2. Интегрирование но частям ...317
3. Интегрирование последовательностей и р я д о в ... 319
4. Интегрирование степенных р я д о в ... 322
5. Интегрирование и дифференцирование но п а р а м е т р у ...325
З а д а ч и ... 330
Г Л А В А XVI п НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1. Интеграл неограниченной ф у н к ц и и ... 332
2. Интегралы в бесконечном и н т е р в а л е ... 333
3. Признаки существования несобственного и н т е г р а л а ... .... 335
4. Применение к р я д а м ...339
5. Равномерно сходящиеся несобственные и н т е г р а л ы ...342
З а д а ч и ... 350
Г JI Л В А X 1 X П РИ Л О Ж ЕН И Я ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1. Вычисление п л о щ а д и ...352
З а д а ч и ... 353
2. Вычисление длины д у г и ...354
З а д а ч и ... 358
3. Объем тела в р а щ е н и я ...359
З а д а ч и ... 360
4. П лощадь поверхности в р а щ е н и я ...361
З а д а ч и ... 364
Г Л А 13 A A X ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ 1. Определение двойного интеграла но п р я м о у г о л ь н и к у ...365
2. Достаточные условия интегрируемости ... 368
3. Двойной интеграл как п о в т о р н ы й ... 869
За. Некоторые свойства двойных иитегоалов но прямоугольнику . . . 372
Л. Двойной интеграл по области ... 37*1 5. Свойства двойного интеграла по области ... 377
5а. Неравенства для двойных интегралов. Теорема о с р е д н е м ...377
6. Двойной интеграл но области как п о в т о р н ы й ... 379
З а д а ч и ... 385
О Г Л А В Л Е Н И Е
Г Л А В А X X I
КРИ ВОЛ И і 1 Е И Н Ы Й и ПТ Е ГРЛЛ
1. П ростая дуга ... 387
2. Криволинейный интеграл по простои д у г е ...388
3. Криволинейный интеграл по произвольной к р и в о й ... 392
4. Работа к ак крпполипсйиый и н т е г р а л ... 394
5. Замкнутая к р и в а я ...396
6. Крииолинейный интеграл по замкнутой к р и в о й ... 398
7. Кр иволинейные интегралы по замкнутым плоским кривым . . . . 399
8. Теорема (формула) Г р и н а ... -НЮ 9. Применения теоремы Г р и н а ... 402
Г Л А В А XXII Н Е П Р Е Р Ы В Н Ы Е О ТО БРАЖ ЕН ИЯ . ЗАМЕНА П ЕРЕМЕННЫ Х В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ 1. О т о б р а ж е н и я ...409
2. Непрерывные отображения. Взаимнооднозначные отображения . . 410
3. Функциональный определитель ( я к о б и а н ) ... 411
З а д а ч и ...416
4. Замена переменных в двойных и н т е г р а л а х ... 416
З а д а ч и ... 422
Г Л А В A XXIII МНОГОКРАТН Ы Й И НТЕГРАЛ 1. Тройной и н т е г р а л ... 424
2. Многократный и н т е г р а л ... 425
3. Условия и н т е г р и р у е м о с т и ... 426
!. Многократный интеграл как п о в т о р н ы й ... 426
Г). Многократный интеграл по о б л а с т и ... 427
6. Многократный интеграл но области к ак п о в т о р н ы й ... 428
З а д а ч и ...430
П р е д м е т н ы й у к а з а т е л і ...431
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Первое издание перевода книги Стефана Банаха вышло в 1958 году.
В этом переводе были исправлены лишь явные опечатки, вкрав
шиеся в польский оригинал. За истекшие 6 лет книга использова
лась в ряде высших технических учебных заведений в качестве учебного пособия по математическому анализу. При этом выявилась необходимость внесения в книгу некоторых исправлений и дополне
ний, что и было сделано при подготовке настоящего второго издания.
В книгу включено несколько новых пунктов, содержание неко
торых пунктов подверглось существенной переработке. И те и другие отмечены звездочкой. Более мелкие вставки заключены в квадратные скобки. В формулировках ряда теорем сняты излишние ограничения.
Всю переработку осуществил И. С. Аршон.
С. З у х о в и ц к и й ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Предлагаемая книга предназначена для первоначального изучения дифференциального и интегрального исчисления. Ознакомление с нею даст возможность читателю приступить к изучению более обширных руководств.
Мы старались сообщить важнейшие теоремы и, по возможности, их доказательства. Однако доказательства некоторых теорем в книге опущены, так как, на наш взгляд, они слишком трудны для усвоения при первоначальном изучении.
Читателю необходимо перереш ать возможно больш ее число задач.
В нашей книге из-за недостатка места мы смогли поместить лишь не
много задач для самостоятельного решения.
Считаем приятным долгом выразить благодарность X. Авербаху за помощь, которую он оказал нам при работе над этой книгой.
Львов , 30 я нв ар я 1929 г, Стефан Б а н а х
ВВЕДЕНИЕ
Приведем некоторые определения и теоремы, которыми будем поль
зоваться в дальнейшем.
1. Интервалом называется множество чисел х , удовлетворяющих одной из пар неравенств а < х < Ь, а ^ х < Ь ,
а .v ^ Ь.
Интервал каждого из указанных видов обозначается (соответст
венно) следующим символом: {а, Ь)\ [а, Ь)', (а, Ь]', [а, Ь].
Замкнутым интервалом называется интервал [а, />], определенный неравенствами а ^ х ^ Ь . Ввиду известной интерпретации действи
тельных чисел на числовой оси будем замкнутый интервал называть также отрезком, а числа — точками.
2. Напомним читателю формулу,известную под названием б и н о м а Н ь ю т о н а :
(а + Ь Т = «»-|- ( 1 ) « “- ■ * + ( " ) а ’—-Ь - + . . . + ( ( i" , ) a b " - ' - \ - b \ где ^ ^ ! 1 1 * Символ ^ ” j определен по- следней формулой и для нецелых, а такж е для отрицательных зна
чений п. Например,
8 - 7 . 6.5 7 0 i
-2 0 0 2 . 4 ) 1-2 -3-4
— Ю \ ( — 10)• ( — 11)• ( — 1 2 ) - ( — 1 3 ) - ( — 14)
5) 1-2-3-4-5
- * / 2\ ( — 1 / 2 ) - ( — 1/2 — ! ) • ( — 1/2—2 ) . . . ( — 1/2—/ Ң - 1)
к ) li
,{ 1 - 3 - 5 . . .(2/г— 1) 2 - 4 - 6 . . . 2к / — •/Л 1-3-5 5
так что ^ з - ; = - 2^Г б = - Т б . 11 т - п-
3. Из формулы Ньютона следует неравенство (1 х ) п ^ 1 п х для х ^ О . Положив 1 -(-х = А, получим для А ^ \ :
1 + п { А — 1).
Оба неравенства справедливы при любом натуральном п.
16 В В Е Д Е Н И Е
4. Д ля <7^=1 при любом натуральном п будет справедливо ра- ц» _ 1
венство а -+• aq -(- aq- - { - . . . + aq'1 1 = а --—у . Э т о — известная фор
мула для суммы геометрической прогрессии.
5. Из элементарной геометрии читателю известны определение угла и градусная мера для его измерения.
В высшей математике преимущественно используется так назы
ваемая радианная мера угла. Пусть К— круг с центром в начале координат O X Y и с радиусом, равным единице.
В плоскости О Х Ү выберем определенное направление вращения (указанное на рис. 1 стрелкой), которое будем называть положи
тельным; противоположное направление вращения назовем отрицательным.
Пусть х — произвольное число. О тло
жим на окружности круга К (начиная от /1) дугу длины |.v | в положительном или отрицательном направлении, в завнеимо- Y сти от того, будет ли х > 0 или х < 0.
(Для х = 0 дуга сводится к одной точке А.) Концом дуги будет вполне определен
ная точка В окружности круга К. Число х назовем радианной мерой угла /1 0 5 .
Ясно, что каждый угол имеет бесчис
ленное множество*) раднанных мер, отли
чающихся между собой на числа, кратные длине окружности, т. е.
па 2 я я (п целое). Для перехода от градусной меры к радианной служит формула х = л л / 180 -{- 2 л я , где л* означает радианную меру, а — число градусов, а п — произвольное целое число.
Например, радианной мерой прямого угла X O Y будет четверть окружности, т. е. я / 2 , а такж е любое число вида я:/2 -\- 2 п л ( / / ц е лое); радианной мерой половины полного угла А О А ' будет половина окружности, т. е. я , а также любое из чисел : i - ~ 2 r m (// целое), следовательно, каждое нечетное число я , и т. д.
6. Напомним известные неравенства: | а -{- b | ^ j я] [ /; j, | а — Ь | ^ I а I — | b |. справедливые для любых чисел <7, Ь.
7. Говорят, что числа а, Ь отличаются меньше чем на с, если имеет место неравенство | а — 6 | < е , пли —е - ^ а — / у < - | - г .
*) Напомним, что автор рассматривает угол как в элементарной гео
метрии, не считая его образованным вращением подвижного радиуса.
(Прим. ред.)
Т О М П Е Р в ы й
г л л
В ЛI
ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ П ОН ЯТИ Е ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1. О пред елен ие п о с л е д о в а т е л ь н о с т и . Если имеется закон, по которому каждому натуральному числу соответствует определенное число, то говорят, что задана последовательность чисел.
П р и м е р. Пусть закон, по которому каждому натуральному числу соответствует число, будет таким: числу 1 соответствует 1, числу 2
1 о 1 '
соответствует - у , числу 3 соответствует — и т. д., воооще, числу я с о о т в ет ст в у ет — . Выписав эти числа, убедимся, что последователь
ность имеет вид
Число, соответствующее единице, будем называть первым членом после
довательности, число, соответствующее двойке, — вторым членом последовательности и т. д., число, соответствующее числу п, будем называть п-м членом последовательности.
Члены последовательности будем обозначать следующим образом:
возьмем произвольную букву, например а, и первым член обозначим символом a v второй член — символом а» и т. д., общий (я-й) член—•
символом а п. Читается так: а первое или а с индексом один, а второе или а с индексом два и т. д ., а «я-е» или а с индексом п. Заметим, что если а п есть я-й член последовательности, то o ni l будет после
дующим членом, а г1.„ — вторым после а и и т . д . , член будет А’.-м после а п. Точно так же я н_ , — член, предшествующий а п, — член, предшествующий и т. д . Последовательность с общим членом </м обычно обозначается кратко через {я,4}, например, последовательность
18 Г Л . I. Т Е О Р И Я П О С Л Е Д О В А Т Е Л Ь Н О С Т Е Й
Зададимся теперь вопросом, каким образом можно получить некото
рую последовательность? Иными словами, каким способом последо
вательность может быть задана? В различных случаях можно поступать по-разному. Приведем некоторые способы задания последовательностей.
1. Зададим последовательность формулой, положив, например, а п = Ъп.
Отсюда сразу видим, что
а х = 5, я 2 = 5 * 2 = 1 0 , я 3 = 5 - 3 — 15, . . . , я 20 = 5 - 20 = 100, . . . Аналогично зададим последовательность формулой, положив
ап — 5п- — п -|- 1.
Тогда а х = 5, я 2 = 1 9 , я 3 — 43, . . . , я , 00 = 49901, . . .
2. Зададим последовательность, говоря, например, что а п есть п-я цифра числа У 2. Тогда найдем, что
« 1 = 1 , я 2 — 4, я 3 = 1 , . . .
Вычисляя У 2 с помощью известного алгорифма, найдем первую, вторую, третью и т. д. цифры. Таким образом, наша последовательность определена.
Аналогично определим последовательность, говоря, что а п является п-м десятичным знаком числа я .
3. Иным способом задания последовательности является так назы
ваемый р е к у р р е н т н ы й с п о с о б . Он заключается в том, что дается первый член и способ вычисления «-го члена при помощи предыдущих.
Поясним это на примерах.
а) Пусть первый член равен нулю, а каждый следующий равен утроенному предшествующему плюс два, т. е.
«1 = 0» а и = 3 « „ - 1 + 2.
Тогда я 2 = 2, а „ ~ 8, я 4 = 26, . . .
б) Пусть первый член равен единице, а каждый следующий равен сумме всех предшествующ их ему, т. е.
a i = 1. а п = a i + а ч Н- а з И- - - - Н- а п -1- В этом случае я 2 = 1, я 3 = 2, я , = 4, я 5 = 8, . . .
в) Пусть первый член имеет значение я, а каждый из следующих равен предшествующему плюс одно и то же число d, т. е.
я х = я, cin = an_ x -\-d (арифметическая прогрессия).
Здесь
3. О Г Р А Н И Ч Е Н Н Ы Е П О С Л Е Д О В А Т Е Л Ь Н О С Т И 19 2. Монотонные п о с л е д о в а т е л ь н о с т и . Последовательность назы
вается возрастающей, если каждый ее член больш е предшествующего, т. е. аи > убывающей, если « „ < « „ _ неубывающей, если
невозрастающей, если « п ^ « , {_і- Каждая такая последо
вательность называется монотонной. Убывающие и возрастающие по
следовательности называются строго монотонными.
П р и м е р ы.
1. Последовательность {//} натуральных чисел — возрастающая.
2. Последовательность чисел, обратных натуральным, убы
вающая.
3. Последовательность {«„}, где а п означает количество натураль
ных чисел, делящихся на три и не превышающих п, неубывающая:
а 1 = 0, « 2 = 0, « 3 = 1 , « . , = 1, я 5 = 1 , «,; = 2, . . . 4. Последовательность / —, > ■ I '*) невозрастающая:
, 1 1 1 1
«1 ^) ^2 > ^"3 » 9 > «Г, 2 * • • •
3 . Ограниченные п о с л е д о в а т е л ь н о с т и . Последовательность назы
вается ограниченной, если все ее члены л еж ат в определенном конеч
ном интервале ( — Ж, -(-Ж) (Ж > 0), другими словами, когда | а п | < Ж ( п = 1, 2, 3, . . . ) .
П р и м е р ы .
1. Последовательность {«„}, где ап есть п-\i десятичный знак числа У 2, ограничена, ибо | « „ | < Ю .
2. Последовательность <| ^ | ограничена, ибо | « и | < 1 . Заметим, что ограниченная последовательность не обязательно монотонна, и наоборот. Например, последовательность
( І - Н - І П
\ 2 ) ’
т. е. а г = 0, « о = 1 , « з = 0, « 4 = 1 , . . . , ограниченная, н о н е моно
тонная, а последовательность {//} натуральных чисел монотонная, но не ограниченная.
*) Е (х) означает наибольшее целое число, н епрев ы ш аю щ ее Н а п р и м е р ,
£ ( 5 ) = 5, Е (л) = 3, Е (lg 2) = 0 и т. д.
Число Е (х) удовлетворяет неравенству л — 1 < Е (л) х, вытекающему непосредственно из определения.
V
20 Г Л . I. Т Е О Р И Я П О С Л Е Д О В А Т Е Л Ь Н О С Т Е Й
4. Д ей с т в и я над п о с л е д о в ат е л ь н о с т я м и . Умножение последова
тельности на число, сложение, вычитание, умножение и деление последовательностей определим следующим образом.
Последовательность умножаем на число, помножив каж дый ее член на это число. Например, произведение последовательности ( я р я„, я п, . . . , я„, . . . ) на число т есть последовательность ( m a v ш а 2, та.л, . . . , т а п, . . . ) .
Две последовательности складываем, вычитаем или умножаем, складывая, вычитая или умножая их соответствующие члены. На п р и мер, имея две последовательности:
разность (я, — b v a., — bv . . . , a n — bn, . . . ) , произведение (я /> р nJ>t , . . . , . . . ) •
Частное можно определить л ишь при том условии, что все члены последовательности, на которую мы делим, отличны от нуля, так как д ел и ть на нуль нельзя.
Одну последовательность делим на другую, у которой все члены отличны от нуля, разделив члены первой на соответствующие члены второй. Это означает, что для двух последовательностей
(.a v я.,, . . ., а п, . . .) и [bv /л,, . . ., Ьп, . . .),
где все b отличны от нуля, частным является последовательность
Указанные действия над последовательностями символически за п и сывают так:
K0.it.u0 выбранного н рраинональи ого числа, но может бы т ь - монотонной.
( я ,, я.,, . . ., я„, . . .), (Ьр /л,, . . ., />„, . . .), получим:
ИХ сумму (я , / ) р я , -І- /Лм . . . , я (2-| -Ь п, . . . ) ,
т {я „ } = {т ап)}
З а д а ч и 1. Д о к азать, что последовательность
‘1. Д о к а х п ь , что последовательность
6 . О Б Щ К К О П Р Е Д Е Л Е Н И Е П Р Е Д Е Л А ПОСЛ Е Д О В А Т Е Л Ы Ю С Т І І 2 1
3. Д о к а з а т ь , что при п роизвольно выбранном л* последовательность / Е (пх) I
< — —— | ограничена.
4. Д л я каки х л- последовательность -{1 -j-.v-|-a*2- | - . . будет ограни
ченной?
ИНТУИТИВНОЕ ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛ А ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 5. П р ед ел м онотонн ой п о с л е д о в а т е л ь н о с т и . К попятшо предела последовательности можно нрнйтп интуитивно следующим образом.
П усть {«„} — монотонная последовательность, например возрастающая.
Возможны два случая:
1) либо члены последовательности возрастают неограниченно; это означает, что какое бы большое число мы ни взяли, все члены после
довательности {«„}, начиная с некоторого, б удут больш е этого числа;
2) либо члены последовательности не возрастают неограни
ченно; тогда существует одно-единственное число g, к которому члены последовательности неограниченно приближаются; это означает, что, взяв произвольно малое число к > 0, мы сможем найти такой член последовательности, что все следующие за ним б удут отличаться от g меньше чем на е.
Это число g называют пределом последовательности и записыва
ют так:
lini (in = g . П -> <Ю
О последовательности {«„} говорят, что она сходится к g.
Аналогичные замечания можно высказать для убывающих последо
вательностей.
Мы сформулировали, стало быть, следующее утверждение:
Т е о р е м а . Каждая ограниченная монотонная последовательность имеет предел (является сходящейся).
П р и м е р 1)1.
1. Последовательность {//} возрастаю щ ая, по неограниченная.
Такова же последовательность {я2}.
2 . Последовательность i 1 --- — > возрастающая и ограниченная с
пределом 1. ( 1 1
3. Последовательность < — /“О г р а н и ч е н н а я и убывающая с лредс-
J1()M ()' П л - ' - П 1 3 8 I
4. Последовательность < ~ > пли <? -=--I- ограниченная
\ Гш — 1 j \ 5 1 5 (5/г — 1)) н убываю щая с пределом .
6. О бщ ее о п р е д е л ен и е п р е д е л а п о с л е д о в а т е л ь н о с т и . Р а с с м о т рим т е п е р ь л ю б у ю п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь {«„}, не о б я з а т е л ь н о моно
т о н н у ю . М о ж е т с л у ч и т ь с я , ч т о с у щ е с т в у е т ч и с л о g, к к о т о р о м у ч л ен ы
22 Г Л . I . Т Е О Р И Я П О С Л Е Д О В А Т Е Л Ь Н О С Т Е Й
последовательности неограниченно приближаются. Это означает, что, взяв произвольно малое число е > 0, найдем такой член последователь
ности, что все последующие отличаются от g меньше чем на е.
Можно д оказать, что если такое число существует, то оно един
ственно.
Число g называют пределом последовательности и обозначают, как раньше, lim a n = g .
п-+сп
Последовательность {«„}, не имеющую предела, называют расхо
дящейся.
П р и м е р ы.
j (— 1)« |
1. Последовательность< > сходится, и ее предел равен нулю.
2. Последовательность { ( — 1)"} расходится.
7. Частн ы й при зн ак сходимости. Часто бывает трудно определить, имеет ли некоторая последовательность предел или нет. Во многих случаях оказывается полезной следующая теорема:
Если последовательность {c7J} заключена между последователь
ностями {«„} и {/>„}, сходящимися к одному и тому oice пределу, то последовательность {си} сходится к общему пределу последователь
ностей {a;j} и {Ьи}.
З а м е ч а н и е . Мы говорим, что последовательность {сп} заклю чена между последовательностями {«„} и {£/г}, если для каждого п выполняются следующие неравенства:
й п < Сп < Ьп- ГІ р п м е р ы .
... ... [Е{пх\
имеем:
п х — 1 < Е (п х ) ^ п х , следовательно,
1 Е (пх) - X--- < —І ' < л г ,
п п ^ ’
а так как каж дая из последовательностей | лг — , {лг} сходится к пределу х , то и для последовательности i заключенной между ними, имеет место то же самое.
2. Последовательность . где есть п -я цифра числа я , имеет предел 0, так как она заключена между последовательностями {0},
/ 9 I А
< — >, имеющими предел 0.
1. Последовательность I — \ имеет пределом х . Действительно,
9. П О С Л Е Д О В А Т Е Л Ь Н О С Т И , Р А С Х О Д Я Щ И Е С Я К ± ОО 23 8. Д ей ст ви я над сходя щ и м и ся п о с л е д о в а т е л ь н о с т я м и . Если {аи\
и {/>„}— сходящиеся последовательности, то может быть доказана следующая
Т е о р е м а . Последовательности {а ,р п} схо
дятся и:
1) Hill (ап ± bn) — lirn a n zЬ Пш Ьп\
п -у с о п - у - zо и - * • с о
2) если с —произвольное число, то lirn сап = с lirn я 7/;
П —У СО /2 - > с о
3) liiii (апЬп) — 1ІІИ я м- lim /;н.
/ I - > с о п -у с о п - у
Кроме того, если Ьп сходящаяся и
lim ад 1 • °Н '< ->• СО lim -т-2 = —т:— г .
П-юА« llm b'l
п -у со
9. П о с л е д о в а т е л ь н о с т и , р а с х о д я щ и е с я к ± со. Введем следую щий удобный способ выражения. Будем говорить, что последователь
ность {а,,} р а с х о д и т с я к -j-oo*), если для каж дого произвольно большого ч и с л а /1 сущ ест вует такой член последовательности, начиная с которого каж дый последующий больш е А. Записываем это так:
lira а п = -J- оо.
П - > СО
Примерами такой последовательности являю тся {//}, {2"}, {/г — п) и т. д.
Аналогично будем говорить, что последовательность р а с х о д и т с я к — оо, если для каж дого произвольно малого (алгебраи
чески) числа А су щ ест ву ет такой член последовательности, начиная с которого каж дый последующий меньше А. Записываем это так:
И in а п — — оо.
П - У 00
Примеры такой последовательности получим, помножив приведен
ные выше последовательности на — 1. Другими примерами будут {//— /г3}, {— 10"} и т. п.
Следует всегда помнить, что последовательности, расходящиеся к -j- оо или — оо, не имеют предела, и что символы -|-оо и — оо отнюдь не являются числами, а вводятся лишь для упрощения записи.
=/-0, lim b О, то последовательность / о » 1
\ Ьп\
*) Иногда говорят т а к ж е « с т р е м и т с я к -|-оо».
24 Г Л . I . Т Е О Р И Я ІІО СЛ Е Д О В Л Т Е Л ЬНОС'ГЕ ІІ
З а м е ч а н и е . Если пишут Ііш а п = без дальнейших указаний.
П > <Л
то молча полагают, что последовательность {«„} сходящ аяся, что, следовательно, g— действительное число, а не один из символов
оо, — оо.
10. Т еорем ы о п о с л е д о в ат е л ь н о с т я х , расходящ ихся к ± со.
Можно д о к азат ь следующие теоремы:
а) Е с л и последовательность { ап) ограничена, a li:n btl — -j- оо, го П -► СО
,im ( а п -I- hn) ^ -I оо, п -> со
lim (а п Ьп) - оо, П -► со
lini ci l1 ^ 0 при у с л о в и и, что Ьп Ф 0 д л я всех п.
п -*■ оо Ь п
б ) Е с л и lim а н - - - | - о о , lim />п — -[-оэ, го lim (ап + Ю — -1“ 00>
П “► ОО
11111 ( « А ) = -г °° • r) Е с л и lini — -{- со, lim ■— — оо, го
П -► э о п -► с о
lim ( я #1— /;„) = -{-оо,
П - - 00
,І1П ( « А ) = — 00•
п - * о о
г) £ с л « lim a r[ = g, ^ v - 0 , 1 iin = -1-со, то
f l —► с о / I х>
Ни. ( « А ) - Г 1" 00
л - s o 1 — ©О lipU g < 0.
д) £ с ,ш lim a n ~ g , ( ? Ф 0 , lini bn = 0, Ьи > 0, то
Л -► ОО п -► о о
Ии1 « 2 _ / - I - о о Я / ж / г > О,
/ I - » ЬЧ | — оо при g < 0.
З а д а ч и
1. Д о к а за т ь , что последовательность i ~s- n f— I при произвольно выбран
ном а' имеет предел 0.
2. Будет ли последовательность {(— 1)"»} расходиться к -i-со или — со?
