С. Жилисбаева Делоне-Хилл әдiсiмен шешу

Қ. С. Жилисбаева

Магниттелген динамикалық симметриялы серiктiң қозғалыс теңдеулерiн Делоне-Хилл әдiсiмен шешу

("Ғарыштық зерттеулер мен технологиялар орталығы", Алматы қ.)

Түзу дипольмен модельденген геомагниттiк өрiстегi экваториалдық динамикалық симметриялы серiктiн ұйытқы- ған айналмалы қозғалысы қарастырылады. Серiктiң центрлiк бас инерция өстерi бойымен өзiндiк айналуында серiктiң массаларының таралуын өзгертпейтiн және өзiндiк кинетикалық моменттерi тұрақты болатын роторлар орналасқан. Эк- ваториалдық динамикалық симметриялы серiктiң массалар центрiнiң маңындағы ұйытқыған қозғалысының канондық теңдеулерi әсер-бүрыш айнымалылар арқылы құрылып, мүмкiн резонанстары зерттелiп, Делоне-Хиллдiң әдiсi арқылы ұйытқыған қозғалыстың шешiмi табылған.

Жасанды серiктiң қозғалысын зерттеу ғарышкерлiктiң маңызды мәселесiнiң бiрi. Жасан- ды серiктiң ұйытқыған қозғалысының дифференциалдық теңдеулерi интегралданбайды, сон- дықтан оның қозғалысын зерттеуде орташалау, жуықтау әдiстерi қолданылады.

Осы жұмыста түзу дипольмен модельденген геомагниттiк өрiстегi қабыршағы магниттел- ген және бортында симметриялық роторлар орналасқан динамикалық симметриялы серiктiң массалар центрiнiң маңындағы ұйытқыған қозғалысы қарастырылған. Ротордың өзiндiк айна- луында серiктiң массаларының таралуын өзгертпейдi және барлық қозғалыс кезiнде роторлар- дың кинетикалық моменттерi тұрақты. Серiктiң массалар центрi экваториалды жазықтықта дөңгелек орбитамен қозғалады. Серiкте күштi магниттер орнатылған, сондықтан оның масса- лар центрiнiң айналасындағы қозғалысы, негiзiнен, оның магниттiк моментi мен тура диполь- мен моделденетiн Жердiң магнит өрiсiнiң өзара әсерлесуiмен анықталады.

Қарастырып отырған жағдайда геомагниттiк өрiстiң кернеулiгi абсолют кеңiстiкте қозғал- майды, серiктiң орбитасының жазықтығына нормаль бойымен бағытталады және мәнi тұрақты болады.

Магниттелген дененi кернеулiгi H¯ магниттiк өрiске орналастырсақ, онда ол денеге келесi формуламен анықталатын күш моментi әсер етедi:

M¯ = ¯I×H¯

мұнда I¯арқылы дененiң магниттiк моментi белгiленген. Серiктiң магниттiк моментi ондағы электрлiк жүйелердiң және тұрақты магниттердiң бар болуынан, сондай-ақ серiктiң металды корпусының магниттелуiнен пайда болады.

Жеткiлiктi созылған симметриялы дене магниттелген өрiсте негiзiнен өзiнiң симметрия өсiнiң бойында магниттелетiнi белгiлi, және де келтiрiлген магниттiк момент сыртқы өрiстiң кернеулiк векторының дененiң симметрия өсiне проекциясына пропорционал болады [1]. Серiк- тiң қабыршағының симметрия өсi оның бас инерция өстерiнiң бiрiмен сәйкес келедi деп есептей- iк. Онда жасанды серiктiң магниттiк моментi I¯тұрақтыI¯₀ және I¯_H - серiктiң қабыршағының магниттiк моментiне бөлiнедi деп қарастырайық, яғни

I¯= ¯I0+ ¯IH.

Серiктiң қозғалыс теңдеулерiн Эйлердiң канондық айнымалылары арқылы (I₁, I₂, I₃, ω₁, ω₂, ω₃)әсер-бұрыш канондық айнымалыларын енгiзiп, қорытып шығарамыз.

Серiктiң ұйытқыған қозғалысының канондық теңдеулер жүйесiнiң гамильтондық функциясын Фурье қатарына жiктеп, келесi түрде жазамыз:

H=H₀+µH₁+... (1)

мұндағы H₀- ұйытқымаған есептiң гамильтонианы, H₁- серiктiң қабыршағының магнитте- луiнен және iшiнде орналасқан симметриялық роторлардан пайда болатын пертурбациондық функция,µ- аз параметр.

Гамильтондық функция әсер-бұрыш айнымалылары арқылы келесi төрт жағдайда әртүрлi өрнектеледi [2]:

I)I2 >|I3| II)I3>|I2 | III)I2<− |I3 | IV)I3<− |I2 |

Гамильтондық функцияны тек алғашқы екi жағдайда қарастырып, соңғы екi жағдайда алға- шқы екеуiнен айнымалылардың таңбасын сәйкес қарама-қарсыға ауыстырып өрнектеп алуға болады. Сонымен, (1) гамильтондық функциясының құраушылары, сәйкес екi жағдайда келесi өрнектермен анықталады:

I)H₀(I) = (I₁+I₂)² 2B +1

2(1 C − 1

B)I₂²+mω²B I₂I₃

2(I1+I2)² +... (2) H₁(I, ω) =Bω²{ε₁[mB_−3,1⁽¹⁾ sin(ω₂−3ω₁) + (B_−2,1⁽⁰⁾ +mB⁽¹⁾_(−2,1)) sin(ω₂−2ω₁) +

+(B_−1,1⁽⁰⁾ +mB⁽⁰⁾_−1,1) sin(ω2−ω1) + (B⁽⁰⁾_0,1 +mB_0,1⁽¹⁾) sinω2+mB_1,1⁽¹⁾sin(ω1+ω2) +...] + +ε2[mB_−3,1⁽¹⁾ cos(ω2−3ω1) + (B_−2,1⁽⁰⁾ +mB_−2,1⁽¹⁾ ) cos(ω2−2ω1) + +(B_−1,1⁽⁰⁾ +mB_−1,1⁽¹⁾ ) cos(ω₂−ω₁) + (B⁽⁰⁾_0,1 +mB_0,1⁽¹⁾) cosω₂+mB_1,1⁽¹⁾cos(ω₁+ω₂)] + +ε3[C_0,0⁽⁰⁾+mC_0,0⁽¹⁾+ (C_1,0⁽⁰⁾+mC_1,0⁽¹⁾) cosω1+mC_2,0⁽¹⁾cos 2ω1] +ε4[D_0,0⁽⁰⁾+mD⁽¹⁾_0,0+

+(D⁽⁰⁾_1,0+mD_1,0⁽⁰⁾) cosω₁+ (D⁽⁰⁾_2,0 +mD⁽¹⁾_2,0) cos 2ω₁+mD_3,0⁽¹⁾cos 3ω₁]}+... (3) II)H0(I) = (I1+I3)²

B +1

2(1 C − 1

B)I₂²+mω²B I2I3

2(I₁+I₃)² +..., (4) H₁(I, ω) =Bω²{ε₁[mB_−2,1⁽¹⁾ sin(ω₂−2ω₁) + (B_−1,1⁽⁰⁾ +mB_(−1,1)⁽¹⁾ ) sin(ω₂−ω₁) +

+(B_0,1⁽⁰⁾+mB⁽⁰⁾_0,1) sinω2+ (B_1,1⁽⁰⁾+mB_1,1⁽¹⁾) sin(ω1+ω2) +mB_2,1⁽¹⁾sin(ω2+ 2ω1)] + +ε₂[mB_−2,1⁽¹⁾ cos(ω₂−2ω₁) + (B_−1,1⁽⁰⁾ +mB_−1,1⁽¹⁾ ) cos(ω₂−ω₁) + +(B_0,1⁽⁰⁾+mB_0,1⁽¹⁾) cosω2+ (B⁽⁰⁾_1,1+mB_1,1⁽¹⁾) cos(ω1+ω2) +mB_2,1⁽¹⁾cos(ω2+ 2ω1)] + +ε₃[C_0,0⁽⁰⁾+mC_0,0⁽¹⁾+ (C_1,0⁽⁰⁾+mC_1,0⁽¹⁾) cosω₁+mC_2,0⁽¹⁾cos 2ω₁] +ε₄[D⁽⁰⁾_0,0+mD_0,0⁽¹⁾+

+(D_1,0⁽⁰⁾+mD⁽⁰⁾_1,0) cosω₁+ (D⁽⁰⁾_2,0+mD_2,0⁽¹⁾) cos 2ω₁+mD⁽¹⁾_3,0cos 3ω₁]}+... (5) Мұндағы B,B_k^ij,C_k^ij, D^ij_k - әсер айнымалысына тәуелдi шамалар, m - серiктiң динамикалық шамаларына тәуелдi аз параметр.

(2) - (3) формулалар бойынша серiктiң қозғалысының қасиеттерiнен бiрiнщi жағдайдаω₂+ kω1 = 0, k = −3,−2,−1,0,1, және ω1 = 0 мүмкiн болатын резонанстарды зерттеп, ω1 = 0, ω₂ = 0,ω₁+ω₂ = 0теңдiктерi орындалмайтындығын анықталып, келесi нәтижелер алынды:

1)ω2−3ω1= 0

2)ω₂−2ω₁= 0 (6)

резонанстық қатынастары m аз параметрi бойынша нөлдiк жуықтауға, сәйкес келесi шарттар орындалғанда ғана болуы мүмкiн

1)B >3C,

2)B >2C. (7)

Ал m аз параметрi бойынша бiрiншi жуықтауда, осы резонанстық қатынастардың орындалу шарты мына түрде болады:

1)I₁= 1

2(b−3)I₂+mω²B² b+ 7 (b−1)³

I₃ I₂², 2)I1 = (b−2)I2+mω²B² b+ 1

2(b−1)³ I3

I₃², (8)

мұндаb= ^B_C.

II жағдайды ω₂+kω₁ = 0, k = −2,−1,0,1,2 және ω₁ = 0 мүмкiн резонанстарды зерттеп, ω₁ = 0,ω₂ = 0,ω₁+ω₂ = 0, ω₂+ 2ω₁ = 0 теңдiктерi орындалмайтындығын анықталып, келесi нәтижелер алынды:

3)ω2−2ω1 = 0

4)ω₂−ω₁ = 0 (9)

резонанстық қатынастарыm аз параметрi бойынша нөлдiк жуықтауда, сәйкес келесi шарттар орындалғанда ғана болуы мүмкiн

3)B >3C,

4)B >2C. (10)

Ал m аз параметрi бойынша бiрiншi жуықтауда, осы резонанстық қатынастардың орындалу шарты мына түрде болады:

3)I₁ = 1

2(b−1)I₂−I₃+mω²B² b+ 7 (b−1)³

I₃ I₂², 4)I₁ = (b−2)I₂−I₃+mω²B² b+ 1

2(b−1)³ I₃

I₂². (11)

Егер I2 әсерi терiс болса, онда ω2 жиiлiгi де терiс шама болады. Демек, ω1 = 0, ω2 = 0, ω₂−ω₁ = 0,ω₂−2ω₁ = 0теңдiктерi болмайды. Сондықтан келесi резонанстарды ғана зерттеймiз:

5)ω1+ω2 = 0,

6)2ω1+ω2 = 0. (12)

Бұл резонанстық қатынастарыm аз параметрi бойынша нөлдiк жуықтауда 5)B >2C,

6)B >3C. (13)

және бiрiншi жуықтауда,

5)I₁ =−(b−1)I₂−I₃−mω²B² b+ 1 (b−1)³

I₃ 2I₂². 6)I1 = 1

2(b−1)I2−I3−mω²B² b+ 7 (b−1)³

I3

I₂², (14)

шарттары орындалғанда болуы мүмкiн.

Динамикалық жүйелердiң резонанстық қозғалысын зерттеуге ең ыңғайлы шапшаң бұры- штық айнымалысы бойынша Делоне-Хилл әдiсi болып табылады [3]. Бұл әдiстi аспан механи- касында бiрiншi рет Ш.Делоне және Дж.Хилл енгiзген.

ЖаңаD Делоне айнымалысын енгiзейiк:

D=

3

X

i=1

kiωi, (15)

мұндағ ki - бүтiн оң сандар. D шамасын жаңа канондық айнымалы ретiнде қабылдап, I_i^∗, ω^∗_i жаңа айнымалыларымен канондық өрнектеу жасаймыз, яғни

H^∗ =H^∗(I₁^∗, I₂^∗, I₃^∗, ω₁^∗, ω₂^∗, ω₃^∗) (16)

Делоне-Хилл бойынша орташалауωi бұрыштық айнымалылардың бiрiне қатысты гамиль- тонианның орташа мәнiн есептеу арқылы орындалады, орташаланған теңдеулер жүйесi квад- ратураға келтiрiлуi мүмкiн.

Ендi ұйытқыған есептiң мүмкiн шешiмдерiн қарастырамыз. Алдымен I жағдайды зерттейiк.

Бұл жағдайда мүмкiн резонанстық қатынастардың жиiлiктерi (6) теңсiздiктермен берiледi.

Бiрiншi резонанстық қатынасқа сәйкес DДелоне айнымалысын енгiзейiк:

D₁= 3ω₁−ω₂. Осыдан ω1 бұрыштық айнымалысын бейнелеп,

ω1= 1

3(D1+ω2) (17)

Гамильтон функциясының өрнегiне қойып

H =H⁽¹⁾(I1, I2, ω2, D1), (18) Делоне-Хилл схемасы бойынша (18) гамильтонианды орташалаймыз

H(I¯ ₁, I₂, D₁) = 1

2B[(I₁+I₂)²+ (b−1)I₂²] +mω²B I₂I₃ 2(I1+I2)² + +µω²B{mω²B²R a⁺−b⁺

16(I₁+I₂)⁶ sin(ε−D1) + +ε3[ I₃I₂

(I1+I2)² +mω²B² d

4(I1+I2)⁶] + +ε4[2I₂²I₃²+R²

2(I1+I2)⁴ +mω²B²I2I3

d+ 2R² 2(I1) +I2

8

]} (19)

мұндаε= arctan^ε_ε²

1.

Әсер-бұрыш (I₁, I₂, ω₁, ω₂) айнымалыларын келесi (L₁, L₂, D₁, D₂) канондық айнымалыла- рына ауыстырып

D2 =ω2, L1 = 1

3I1, L2 =I2+1 3I1

(19) гамильтонианды мына түрге келтiремiз:

H¯^∗(L1, L2, D1) = 1

2B[(L2+ 2L1)²+ (b−1)(L2−L1)²] + +mω²BI₃ L₂−L₁

2(L₂+ 2L₁)² +µω²B{mω²B²R^∗ (a⁺−b⁺)^∗

16(L₂+ 2L₁)⁶sin(ε−D₁) + +ε3[I3(L2−L1)

(L₂+ 2L₁)² +mω²B² d^∗

4(L₂+ 2L₁)⁶] + +ε4[2I₂³(L2−L1)²+R^∗2

2(L₂+ 2L₁)⁴ +mω²B²I3(L2−L1) d⁸+ 2R^∗2

2(L₂+ 2L₁)⁸]} (20) Мұнда келесi белгiлеулер енгiзiлген:

R^∗ = q

3L₁(L₁+ 2L₂)[(L₂+ 2L₁)²−I₂³]

d^∗ =I₃²[2L²₂−22L₁L₂−7L²₁] + (L₂+ 2L₁)²[L²₁+ 10L₁L₂−2L²₂] (a⁺−b⁺)^∗ =p

(L₂+ 2L₁)⁴−[I₃(L₂−L₁)−R^∗]²+ +p

(L−2 + 2L1)⁴−[I−3(L2−L1)²+R^∗]²−

− q

(L₂+ 2L₁)⁴+ 2(L₂+ 2L₁)²R^∗−I₃²(L₂−L₁)²+R^∗2−

− q

(L₂+ 2L₁)⁴−2(L₂+ 2L₁)²R^∗−I₃²(L₂−L₁)²+R^∗2.

Осы әдiспен барлық (9) және (12) резонанстық қатынастар үшiн, сәйкес (10)-(11) және (13)-(14) шарттар орындалғанда Гамильтон функцияларының орташа мәнiн анықтаймыз.

Ұйытқыған қозғалыс есебiнiң орташаландырылған теңдеулер жүйесi L₁, L₂, D₁, D₂ канон- дық айнымалылары арқылы былай жазылады:

dD1

dt = ∂H¯^∗

∂L₁, dD2

dt = ∂H¯^∗

∂L₂, dL₁

dt =−∂H¯^∗

∂D1

, dL2

dt =−∂H¯^∗

∂D₂, Бұл теңдеулер жүйесi екi бiрiншi интегралдарын бередi:

L2=c^∗,H¯^∗(L1, L2, D1) =h^∗ (21) бұл жерде c^∗, h^∗ - тұрақтылар.

L1, L2 орнына келесi мөлшерсiз шамаларын кiргiземiз:

l₁= L₁

ωB, l₂ = L₂ ωB (20) гамильтонианын (21) ескерiп мына түрге келтiремiз:

h= 1

2[(l₂+ 2l₁)²+ (b−1)(l₂−l₁)²] + +m l2−l1

(l₂+ 2l₁)² +µ{m(a⁺−b⁺)1R1

16(l₂+ 2l₁)⁶ sin(ε−D1) + +ε3[l₃(l₂−l₁)

(l2+ 2l1)² +m d₁

4(l2+ 2l1)⁶] + +ε4[2l³₂(l₂−l₁)²+R²₁

2(l2+ 2l1)⁴ +ml3(l2−l1) d₁+ 2R²₁

2(l2+ 2l1)⁸]} (22) мүнда

l₃= I3

ωB, h= h^∗ ωB R1 =

q

3l1(l1+ 2l2)[(l2+ 2l1)²−l³₂]

d^∗ =l²₃[2l²₂−22l₁l₂−7l²₁] + (l₂+ 2l₁)²[l²₁+ 10l₁l₂−2l²₂] (a⁺−b⁺)1 =p

(l2+ 2l1)⁴−[l3(l2−l1)−R1] + +p

(l2+ 2l1)⁴−[l3(l2−l1) +R1]−

− q

(l₂+ 2l₁)⁴+ 2(l₂+ 2l₁)²R−l²₃(l₂−l₁)²+R²−

− q

(l₂+ 2l₁)⁴−2(l₂+ 2l₁)²R₁−l²₃(l₂−l₁)²+R²₁.

l₂, l₃ түрақты болғандықтан қозғалыс жүйесiнiң еркiндiк дәрежесi бiр болатыны анық, яғни есеп квадратураға келтiрiлдi. (22) гамильтонианыD1 бойынша периодтық функция, периоды 2π.

Сонымен, Делоне-Хиллдiң орташалау әдiсi арқылы түзу дипольмен модельденген геомаг- ниттiк өрiстегi қабыршағы магниттелген және бортында роторлар орналасқан экваториалдық динамикалық симметриялы серiктiң массалар центрiнiң маңындағы ұйытқыған қозғалысының канондық теңдеулер жүйесiнiң еркiндiк дәреже саны бiрге төмендетiлiп квадратураға келтiрiл- дi.

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР

1. Белецкий В.В., Хентов А.А. Вращательное движение намагниченного спутника.-М.: На- ука, 1980. - 286 с.

2. Аксҷненкова И.М. Канонические переменные угол-действие в задаче о волчке Лагранжа //

Вестник МГУ, сер.матем. и мех. - 1981.- N o1.- с. 86 - 90.

3. Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущении для нелинейных систем: Пер.с англ./Под.ред.

А.П. Маркеева,-М:Наука,1979.-320с.

Жилисбаева К. С.

Решение методом Делоне-Хилла уравнений движения намагниченного динамически симметричного спутника

Рассматривается возмущенное вращательное движение экваториального динамически симметричного спутника в магнитном поле Земли, моделируемом прямым диполем. Вдоль главных центральных осей инерции спутника располо- жены симметричные роторы, которые имеют постоянный собственный кинетический момент и при своем вращении не меняют распределение масс спутника. Исследованы возможные резонансы и методом Делоне-Хилла найдены решения уравнений возмущенного движения.

Zhilisbayeva K.S.

Decisions of the equations of the perturbed movement found by Delone-Hill’s method

The perturbed rotary motion of the equatorial dynamically symmetric satellite in the magnetic field of the Earth modeled by a direct dipole is considered. Along the main central axes of inertia of the satellite symmetric rotors which have constant own kinetic moment are located and at the rotation do not change distribution of angular momentum of the satellite. Possible resonances are investigated and decisions of the equations of the perturbed movement found by Delone-Hill’s method.

Редакцияға 15.05.10. кабылданды Басылымга 29.05.10. жiберiлдi