Теоретические основы электротехники

Колледж АУЭС

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ Конспект лекций часть 1

(для студентов колледжа АУЭС специальности 0901000 – Электрооборудование электрических станций и сетей (по видам)

Алматы 2019

Некоммерческое акционерное общество

АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И

СВЯЗИ ИМЕНИ ГУМАРБЕКА

ДАУКЕЕВА

СОСТАВИТЕЛИ: М.М. Аршидинов. Теоретические основы электротехники.

Конспект лекций (для студентов колледжа АУЭС специальности 0901000 Электрооборудование электрических станций и сетей (по видам). – Алматы:

Колледж АУЭС, 2019 - 63 с.

Конспект лекции содержит 13 лекций по 2 разделам: линейные электрические цепи постоянного тока и электрические цепи однофазного синусоидального тока. Конспект лекций предназначен для студентов колледжа специальности – 0901000- Электрооборудование электрических станций и сетей (по видам)

Ил.48, библиограф.-5 назв.

Рецензент: доктор техн. наук, профессор кафедры ЭАПУ М.А. Мустафин

Печатается по плану издания колледжа АУЭС на 2019г.



Колледж АУЭС, 2019г

Содержание

Введение………...………..….4

1 Лекция 1……….………...………....5

2 Лекция 2………....10

3 Лекция 3………...13

4 Лекция 4………...…21

5Лекция 5………....24

6 Лекция 6………...27

7 Лекция 7………...36

8 Лекция 8………...…37

9 Лекция 9………...46

10 Лекция 10………...52

11 Лекция 11………..….56

12 Лекция 12………...60

13 Лекция 13………...64

Список литературы………...69

Введение

Дисциплина «Теоретические основы электротехники» является основным базовым обязательным курсом для подготовки бакалавров в области электроэнергетики. Назначение дисциплины заключается в изучении и описании как с качественной, так и с количественной стороны электромагнитных процессов и явлений, происходящих в различного рода электротехнических установках, представленных эквивалентными схемами замещения с помощью основных элементов электрических цепей.

Предлагаемый конспект лекций включает два основных раздела: линейные электрические цепи постоянного тока и электрические цепи однофазного синусоидального тока. В первом разделе рассмотрены основные свойства линейных электрических цепей постоянного тока, и на их примере произведено теоретическое обоснование и показано применение основных методов анализа и расчета электрических цепей, таких, как метод преобразований, метод законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод суперпозиции, метод активного двухполюсника.

Во втором разделе рассмотрены особенности описания цепей при синусоидальных токах и напряжениях, показано применение метода комплексных амплитуд с использованием векторных и топографических диаграмм для анализа цепей синусоидального тока, представлены энергетические соотношения в цепи синусоидального тока, рассмотрено явление фазового резонанса в последовательной и параллельной цепях, показан расчет цепей при наличии взаимной индуктивности.

Конспект лекций предназначен для студентов, обучающихся в колледже по специальности 0901000 – Электрооборудование электрических станций и сетей (по видам).

1 Линейные электрические цепи постоянного тока

1Лекция 1. Элементы электрических цепей и электрических схем, эквивалентные схемы для источников энергии, закон Ома для участка цепи с э.д.с.

Цель лекции: познакомить с основными понятиями электрических цепей при постоянных токах и напряжениях.

1.1 Элементы электрических цепей и электрических схем

Электрической цепью называется совокупность устройств, предназначенных для передачи, распределения и взаимного преобразования электрической и других видов энергии, если процессы, протекающие в устройствах, могут быть описаны при помощи понятий об электродвижущей силе (ЭДС), токе и напряжении. Основными элементами электрической цепи являются источники и приемники электрической энергии, которые соединяются между собой проводами.

В источниках электрической энергии (гальванические элементы, аккумуляторы, электромашинные генераторы и т.п.) химическая, механическая, тепловая энергия или энергия других видов превращается в электрическую, а в приемниках электрической энергии (электрические лампы, резисторы, электрические двигатели и т.п.), наоборот, электрическая энергия преобразуется в тепловую, световую, механическую и др. Электрические цепи, в которых получение электрической энергии в источниках, ее передача и преобразование в приемниках происходят при неизменных во времени токах и напряжениях, называют цепями постоянного тока.

Чтобы облегчить изучение процессов в электрической цепи, ее заменяют расчетной схемой замещения, т.е. идеализированной цепью, которая служит расчетной моделью реальной цепи. При этом пользуются понятиями двух основных элементов схемы: источника энергии с э.д.с. E и внутренним

сопротивлением r_B и сопротивления приемников и проводов r (рисунок 1.1).

Электродвижущая сила Е (рисунок1.1) численно равна разности потенциалов или напряжению между положительным и отрицательным зажимами 1 и 2 источника энергии при отсутствии в нем тока.

Рисунок 1.1

E₁₂ U₁₂ (1.1) Направление действия ЭДС (от отрицательного зажима к положительному) указывается на схеме стрелкой.

Если к зажимам источника энергии присоединить приемник (нагрузить), то в замкнутом контуре этой простейшей цепи возникает ток I . При этом напряжение или разность потенциалов на зажимах 1 и 2 уже не будет равна ЭДС вследствие падения напряжения U_в

внутри источника энергии, т.е. на его внутреннем сопротивлении.

l r U_в  _B .

На рисунке 1.2 представлена внешняя характеристика, т.е. зависимость напряжения на зажимах нагруженного источника энергии от тока. Развиваемая источником энергии мощность определяется равенством

(1.2) Сопротивление приемника r (рисунок 1.2) идеализированной цепи характеризует потребление электрической энергии, т.е. превращение электрической энергии в другие виды при мощности

P  rI

²

.

(1.3) По закону Ома напряжение на сопротивлении

U rI. (1.4)

Рисунок 1.2

Наряду с сопротивлением для расчета цепей вводят понятие проводимости r

g 1/ .

. EI P_И 

Если принять э.д.с. источников энергии, их внутренние сопротивления и сопротивления приемников не зависящими от токов и напряжений, то внешние характеристики источников энергии U₁₂

 

I U

 

I и вольт – амперные характеристики источников будут линейными (рисунок 1.2). Электрические цепи, состоящие только из элементов с линейными характеристиками, называют линейными.

1.2 Эквивалентные схемы для источников энергии

Простейшая электрическая цепь и ее схема замещения состоят из одного источника энергии с э.д.с. E и внутренним сопротивлением r_B и одного приемника с сопротивлением r (рисунок 1.3), где сопротивление соединяющих проводов не показано, если для этой цепи им можно пренебречь. Ток во внешней по отношению к источнику энергии части цепи, т.е. в приемнике или сопротивлении r, принимается направленным от точки a с большим потенциалом

1

_a  к точке b с меньшим потенциалом _b ₂.Покажем, что источник энергии с известными э.д.с. E и внутренним сопротивлением r_B может быть представлен двумя основными эквивалентными схемами.

Рисунок 1.3

Как уже указывалось, напряжение на зажимах источника энергии меньше э.д.с, на падение напряжения внутри источника

U ₁ ₂ EU_B E r_BI. (1.5) С другой стороны, напряжение на сопротивлении r

U _a _b rI. (1.6) Ввиду равенства ₁ _a и ₂ _b, из (1.5) и (1.6) следует, что Er_BI rI или

Er_BIrI (1.7) и

r r I E

B 

 (1.7а) На эквивалентной схеме можно показать внутреннее сопротивление r_B

соединенным последовательно с сопротивлением приемника r.В зависимости от соотношения между напряжениями на этих сопротивлениях получим две разновидности первой эквивалентной схемы для источника энергии (рисунок 1.3).

На эквивалентной схеме рисунка 1.4, a с источником э.д.с, E напряжение U

зависит от тока приемника и равно разности между э.д.с. E источника энергии и падением напряжения U . Источник энергии может быть представлен и одной из двух эквивалентных схем по рисунку 1.4. Чтобы обосновать эту возможность, разделим правую и левую части уравнения (1.7) на r_B.

В результате получим:

J I IB, (1.8) где J E/r_B - ток при коротком замыкании источника энергии

(т.е. ток при сопротивлении r0);

I_B U/r_B Ug_B - некоторый ток, равный отношению напряжения на зажимах источника энергии к его внутреннему сопротивлению;

I U/rUg - ток приемника;

g1/r - проводимость приемника.

Полученному уравнению (1.8) удовлетворяет эквивалентная схема с источником тока (рисунок 1.4,а), при этом внутреннее сопротивление r_B включено параллельно сопротивлению приемника r.

Рисунок 1.4

Такой источник с внутренней проводимостью g_B 0 (r_B ), обозначенный кружком с двойной стрелкой с разрывом внутри и буквой J, называют идеальным

источником тока (источником с заданным током). Ток источника тока J не зависит от сопротивления приемника r.

Источники э.д.с и источники тока называют активными элементами электрических схем, а сопротивления и проводимости - пассивными.

1.3 Закон Ома для участка цепи с э.д.с.

Для однозначного определения потенциала любой точки электрической цепи необходимо произвольно выбрать потенциал какой – нибудь одной точки.

Ток во внешней части простейшей электрической цепи, а в общем случае в любом пассивном элементе цепи направлен от точки с более высоким потенциалом (a) к точке с более низким (b).

Рисунок 1.5

Если принять за положительное направление тока I на участке направление от точки a к точке b, то потенциал _b определяется через потенциал _a

выражением

_b _a r₁I E₁r₂I E₂ r₃I E₃ r₄I. (1.9) Из этого равенства следует

_ab

b a ab ab

b a ab b

a

ab U E g

r E U

r r r r

E E I E

I 



 



 





 











 



 

4 3 2 1

3 2

 1

 , (1.10)

где r_abr₁ r₂ r₃ r₄ - суммарное сопротивление участка схемы;

ab b

a  U

 - разность потенциалов или напряжение между зажимами рассматриваемого участка, взятые по выбранному направлению тока;



^{b   }

a

E E E

E _{1 2 3} - алгебраическая сумма э.д.с., действующих на том же участке, причем каждая э.д.с., совпадающая по направлению с положительным направлением тока, записывается с положительным знаком, а не совпадающая - с отрицательным.

Формула (1.10) представляет собой закон Ома для участка цепи с э.д.с.

2 Лекция 2. Распределение потенциала вдоль неразветвленной электрической цепи, применение законов Кирхгофа для расчета разветвленных цепей

Цель лекции: познакомить с основными понятиями электрических цепей при постоянных токах и напряжениях.

2.1 Распределение потенциала вдоль неразветвленной электрической цепи

Распределение потенциала вдоль неразветвленной электрической цепи можно наглядно представить при помощи графика, который называют потенциальной диаграммой.

На рисунке 2.1 изображена схема простейшей неразветвленной цепи с двумя э.д.с. E₁ и E₂ и внутренними сопротивлениями r_B1 и r_B2 и двумя сопротивлениями

r1 и r₂.Пусть э.д.с. E₁ больше э.д.с. E₂.

Действительный ток и совпадает по направлению с э.д.с. E₁. Для однозначного определения потенциала каждой точки рассматриваемой цепи можно положить, например, потенциал _a точки a, равный нулю (заземление на рисунке 2.1). Теперь легко найти потенциалы остальных точек.

2 2 1 1

2 1

B

B r r

r r

E I E







  . (2.1)

Рисунок 2.1

Потенциал точки b меньше потенциала точки a I r I

a r

b   1  1

 .

При переходе через первый источник энергии потенциал повышается на значение э.д.с. E₁ и понижается на внутреннее падение напряжения, так что потенциал точки с

I r E I r I r

E _{B B}

b

c   1 1  1  1  1

 .

Для определения потенциала _d точки d надо из потенциала _c вычесть падение напряжения r₂I, т.е.

I r I r E I r I

r _B

c

d   2  1  1 1  2

 .

Наконец, при переходе через второй источник энергии потенциал понижается не только на значение э.д.с. E₂ (по определению понятия э.д.с. _d_a'), но и на внутреннее падение напряжения, причем потенциал точки a должен быть равен нулю:

2 0

2 2 1 1 1 2

2        



 _d E r_B I rI E r_B I r I E r_B I

a 

 .

Если по оси абсцисс отложить в выбранном масштабе сопротивления участков в той последовательности, в которой они включены в цепь, а по оси ординат - потенциалы соответствующих точек (рисунок 2.2), то получится график распределения потенциала вдоль неразветвленной цепи. Пользуясь этим графиком, можно определить напряжение между любыми точками цепи.

Рисунок 2.2

Отношение напряжения к сопротивлению любого пассивного участка цепи равно току участка и на графике потенциала определяется в некотором масштабе тангенсом угла наклона соответствующей прямой к оси абсцисс. Поэтому одинаков наклон прямых (например, ab и cd на рисунке 2.2), определяющих

изменение потенциала вдоль всех пассивных участков неразветвленной цепи с одним и тем же током.

2.2 Применение законов Кирхгофа для расчета разветвленных цепей Ветвью электрической цепи называется такой ее участок, который состоит только из последовательно включенных источников э.д.с. и сопротивлений и вдоль которого протекает один и тот же ток. Узлом электрической цепи называется место (точка) соединения трех и более ветвей.

При обходе по соединенным в узлах ветвям можно получить замкнутый контур электрической цепи; каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям; при этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более одного раза.

На рисунке 2.3 в качестве примера показана электрическая цепь с пятью узлами и девятью ветвями. В частных случаях встречаются ветви только с сопротивлениями без э.д.с. (ветвь 1y) и с сопротивлениями, практически равными нулю (ветвь 2 p). Так как напряжение на зажимах ветви 2 p равно нулю (сопротивление равно нулю), то потенциалы точек 2 и p одинаковы и оба узла можно объединить в один.

Режим электрической цепи произвольной конфигурации полностью определяется первым и вторым законами Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю, т.е.



^{I 0}. (2.2)

Рисунок 2.3

В этом уравнении одинаковые знаки должны быть взяты для токов, имеющих одинаковые положительные направления относительно узловой точки.

Если к данному узлу присоединен источник тока, то ток этого источника также должен быть учтен. В ряде случаев целесообразно писать одной части равенства (2.2) алгебраическую сумму токов в ветвях, а в другой части – алгебраическую сумму токов, обусловленных источниками токов:

 

^{I  J}, (2.3) где I – ток одной из ветвей, присоединенной к рассматриваемому узлу, а J – ток одного из источников тока, присоединенного к тому же самому узлу; этот ток входит в уравнение (2.3) с положительным знаком, если направлен к узлу, с отрицательным, если направлен от узла.

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур, равна алгебраической сумме э.д.с., т. е.



^rI



^E. (2.4) В этом уравнении положительные знаки принимаются для токов и э.д.с., положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода рассматриваемого контура.

Часто применяется другая формулировка второго закона Кирхгофа: в любом контуре алгебраическая сумма напряжений на зажимах ветвей, входящих в этот контур, равна нулю



^{U 0.} (2.5)

При этом положительные направления для напряжений на зажимах ветвей выбираются произвольно; в уравнении (2.5) положительные знаки принимаются для тех напряжений, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура.

3 Лекция 3. Метод контурных токов, метод узловых потенциалов Цель лекции: познакомить с основными методами расчета электрических цепей при постоянных токах и напряжениях.

3.1 Метод контурных токов

Для расчета режима сложной электрической цепи можно ограничиться совместным решением лишь к(ву1) независимых уравнений, составленных на основании второго закона Кирхгофа, воспользовавшись методом контурных

токов; здесь в - число ветвей и у - число узлов. При этом первый закон Кирхгофа, конечно, всегда удовлетворяется.

Для иллюстрации применения метода контурных токов рассмотрим схему

на рисунке 3.1,а. Прежде чем составлять уравнения по второму закону Кирхгофа (рисунок 3.1), надо выбрать взаимно независимые контуры так, чтобы одна из

ветвей каждого контура входила только в этот контур. Например, в схеме рисунка 3.1,а первая, вторая и третья ветви входят соответственно только в контуры 1-2-4- 1, 2-3-4-2 и 1-4-3-1.

Рисунок 3.1

Для схемы рисунка 3.1,а по первому закону Кирхгофа:

. 0

; 0

;

0 _{5 2 1 6 3 2}

3 4

1 I  I  I  I  I  I  I I 

I (3.1)

На основании второго закона Кирхгофа































. ,

,

3 4 6

6 4 4 3 3

2 5

5 6 6 2 2

4 1 4

4 5 5 1 1

E E

I r I r I r

E I

r I r I r

E E I

r I r I r

(3.2) Пользуясь уравнениями (3.1), исключим из уравнений (3.2) токи I₄,I₅ и I₆

всех ветвей дерева, общих для нескольких контуров;

в результате получим:

 

 

 

^_













































. ,

,

4 3 3 6 4 3 2 6 1 4

2 3

6 2 5 6 2 1 5

4 1 3 4 2 5 1 5 4 1

E E I r r r I r I r

E I

r I r r r I r

E E I r I r I r r r

(3.3) В соответствии с уравнениями (3.3) можно принять, что каждый из токов

2 1,I

I и I₃ замыкается через соответствующую ветвь связи в одном из контуров (рисунок 3.1 а и б) и назвать такие токи контурными. Напряжения на сопротивлениях любого контура равны алгебраической сумме напряжений, обусловленных токами своего и смежных контуров. Например, в контуре из сопротивлений r₁,r₅ и r₄ разность э.д.с. E₁ E₄ равняется сумме трех напряжений:

от собственного контурного тока I₁ на всех сопротивлениях этого контура и от токов I₂ и I₃ соответственно на сопротивлениях r₄ и r₅. Действительные токи в ветвях, общих для нескольких контуров, равны алгебраическим суммам контурных токов:

I4  I1  I3, I₅  I₁  I₂, I₆ I₂ I₃. (3.4) В этих уравнениях сопротивление вида  (с двумя одинаковыми индексами) называется собственным сопротивлением контура l, а сопротивление вида r_lk r_kl (с двумя различными индексами) называется общим сопротивлением контуров l и k . Правые части уравнений (3.5) называются контурными э.д.с.

Каждая из контурных э.д.с. вида E_l равна алгебраической сумме э.д.с, всех источников в ветвях контура l. Положительные знаки в каждом уравнении (3.5) должны быть взяты для токов и э.д.с., положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода соответствующего контура.

В более общем случае, когда электрическая цепь содержит как источники э.д.с., так и источники тока, контурное уравнение для его контура записывается в виде

  









 



 





l

jj j

cl lj lj l

j lj l

j

lj I r I E r J E

r _, (3.5)

где _



 







j

rlj обозначает собственное сопротивление контура l; r_lj - общее сопротивление двух контуров l и j;

J_lj - ток источника тока, замыкающийся по сопротивлению r_lj .

3.2 Метод узловых потенциалов

Режим любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании первого и второго законов Кирхгофа, причем для определения токов во всех ветвях необходимо составить и решить систему уравнений.

Число уравнений, подлежащих решению, можно сократить, если пользоваться методом узловых потенциалов, основанным на применении первого закона Кирхгофа и закона Ома.

Для выяснения сущности этого метода рассмотрим, например, электри- ческую схему, показанную на рисунке 3.2.

Рисунок 3.2

Пусть потенциал одного из узлов, например узла 3, принят равным нулю, т.е.₃ 0. Такое допущение не изменяет условий задачи, так как ток в каждой ветви зависит не от абсолютных значений потенциалов узлов, к которым присоединена ветвь, а от разности потенциалов между концами ветви.

Запишем уравнения на основании первого закона Кирхгофа для узлов 1 и 2 этой схемы при выбранных положительных направлениях токов:

. 0 , 0

3 2 6 5

6 1 4 5























I I I I

I I I

I (3.6) Токи в ветвях согласно закону Ома

   

 

 

,

 

.

, ,

, ,

3 3 2 3 2 2 2 2

5 5 2 1 5 4 1 4

1 1 1 1

6 2 1 6

g E I

g E I

g E I

g I

g E I

g I















































(3.7)

где ₁ и₂- потенциалы узлов 1 и 2.

После подстановки (3.7) в (3.6) и группировки членов получим





















2 2 22 1 21

1 2 12 1 11

, , Eg g

g

Eg g

g









. (3.8) В этих уравнениях g₁₁ g₆ g₅ g₄ g₁;g₂₂  g₆ g₅ g₂ g₃- суммы проводимостей ветвей, присоединенных соответственно к узлам 1 и 2;

6 5 21

12 g g g

g    - сумма проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы.

Правая часть каждого из уравнений (3.8) равна алгебраической сумме произведений ЭДС в каждой ветви на проводимость ветви, присоединенной к рассматриваемому узлу. Произведение вида Eg записывается с положительным знаком в том случае, если ЭДС направлена к узлу, для которого записывается уравнение, и с отрицательным, если ЭДС направлена от узла.

Уравнения (3.8) не зависят от выбранных положительных направлений токов в ветвях.

Таким образом, можно написать уравнения для определения потенциалов узлов произвольной электрической цепи, не задаваясь положительными направле- ниями токов в ветвях, при этом потенциал одного из узлов надо принять равным нулю.

Если электрическая схема содержит не только источники ЭДС, но и источники тока, то в уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа, войдут и токи источников тока. При составлении уравнений токи заданных источников тока учитываются для каждого узла в виде слагаемых в правой части, причем, как было отмечено выше, с положительными знаками должны быть взяты токи источников тока, направленные к узлу, с отрицательными – от узла.

Рисунок 3.3

Например, для узлов 1, 2 и 3, показанной на рисунке 3.3, при 40 получим соответственно следующие уравнения

. , ,

4 4 3 33 2 32 1 31

2 2 3 23 2 22 1 21

1 1 3

13 2 12 1 11

g E g

g g

g E g

g g

g E J g

g g











































где

. / 1

;

,

;

,

;

6 32 23

5 31 13

3 21 12

6 5 4 33

6 3 2 22 3 5 1 11

k

k r

и g g g

g g g

g

g g

g g g g g

g g g g

g g g g

































Если электрическая схема имеет в своем составе У узлов (У - любое целое число), а потенциал, например, У-го узла принят равным нулю, то для определения У - 1 потенциалов У остальных у получается - 1 уравнений

   



 





   









 ^y

j j

y j

j y

y p

p g J E g J

g g

g

1

2 1 1 1

1 1 1 1 1

2 12 1

11  ...  ...  ,

_{   }



^{ }





   











 ^y

j j

y p pj pj p

y y p p

pp p

p g g g J E g J

g

1 1 1

1 2

2 1

1  ...  ...  . (3.9)

          

         

   



































y

j j

y y j

y j y y

y y y p

p y y

y

J g

E J

g g

g g

1 1

1 1 1

1

1 1 1 1

2 2 1 1

1 1

. ...

...  





Или более в общей форме для любого узла р при _y 0

   ^{ }





 





y 

j j

y

j j

y

j j

y p pj

pj p

j pj p

pj g J E g J

g

1 1

1 1

1 1

 .

 (3.10)

В этих уравнениях так же, как и в уравнениях (3.8), проводимость g_pp (с двумя одинаковыми индексами) представляет собой суммарную проводимость ветвей, присоединенных к узлу р, и называется собственной узловой проводимостью этого узла; проводимость g_ip g_pjс двумя различными индексами равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих между собой рассматриваемые узлы j и р, и называется общей узловой проводимостью этих

источников тока. При составЛI уравнений вида (1.30) токи зада~

источников тока

учитываются для

дого узла в виде слагаемых в пр; части, причем, как было отмечено ВI с положительными знаками должны ( взяты токи источников тока, нап ленные к узлу, с отрицательными

узла.

Например, для узлов 1, 2 и 3 СХI показанной на рис. 1.17, при <Р4 = О лучим соответственно следующие )' нения:

узлов. Правая часть каждого из уравнений содержит алгебраические суммы произведений эдс на соответствующие проводимости для всех ветвей, присоединенных к узлу р, ток J р равен алгебраической сумме токов всех источников тока, присоединенных к тому же узлу. В свою очередь ток ^{ }y p

J - узловой ток - равен алгебраической сумме J_pи токов, определяемых источниками эдс, которые присоединены к узлу р, при этом следует иметь в виду, что для замкнутых поверхностей сумма всех узловых токов, как это вытекает из первого закона Кирхгофа, равна нулю. К узловым токам можно отнести и уже из- вестные в каких-либо ветвях токи. Проводимости таких ветвей в выражения вида

gppи g_ipне входят.

Решив уравнения (3.10), можно определить потенциалы узлов, а зная по- тенциалы, найти токи во всех ветвях по закону Ома.

Если в цепи имеются ветви с идеальными источниками эдс и сопротивле- ниями этих ветвей можно пренебречь, то при составлении уравнений (3.10) получается неопределенность, поскольку проводимости таких ветвей бесконечно большие. Такое затруднение преодолевается путем переноса заданной эдс из ветви с нулевым сопротивлением через соответствующий узел в другие ветви, присоединенные к тому же узлу и имеющие конечные значения сопротивлений. В результате такого преобразования токи во всех ветвях заданной схемы не изменяются.

Для иллюстрации рассмотрим схему (рисунок 3.4), у которой сопротивление ветви 2-4 равно нулю, а эдс равна Е. Если в каждую ветвь, присоединенную, например, к узлу 2, включить источник напряжения с эдс, равной Е и направленной от узла 2 (на рисунке 3.4, а эти эдс изображены штриховой линией), то токи во всех ветвях останутся без изменения, поскольку разности потенциалов между точками 1', 3', 4' будут так же, как и в заданной схеме, равны нулю. Теперь потенциалы узлов 2 и 4, очевидно, одинаковы и их можно объединить в одну точку (рисунок 3.4,б). Для полученной схемы с тремя узлами (вместо четырех) можно составить два независимых уравнения вида (3.10), из которых определяются искомые потенциалы двух узлов, а затем по закону Ома токи во всех ветвях схемы, после чего легко найти ток в ветви с сопротивлением r = О (рисунок 3.4,а) по первому закону Кирхгофа.

Рассмотренную и аналогичные ей задачи можно решить и без предвари- тельного переноса эдс через узел в другие ветви. Действительно, если принять в заданной схеме (рисунок 3.4, а) 40, то потенциал  2узла 2, очевидно, будет равен Е. Для определения двух неизвестных потенциалов  1è 3нужно составить уравнения (3.10), которые полностью совпадут с уравнениями, составленными для тех же узлов эквивалентной схемы (рисунок 3.4,б).

Рисунок 3.4

Рассмотрим применение уравнений (3.9) для частного случая схемы с двумя узлами и произвольным числом ветвей, все или часть которых содержат источники эдс. Требуется определить напряжение между этими узлами.

Пусть между узлами 1 и 2 включено m ветвей (рисунок 3.5). Найдем напря- жение U₁₂, записав уравнение (3.9) для первого узла

   

_^

























 ^{h m}

h

h h m

h m

h g g g g g g E g

g g

g g

1 2 3

2 1 1 3

2

1 ... ...  ... ...  ,

Рисунок 3.5 откуда



^













 ^{h m}

h h

m h

h h

hg g

E U

1 1

2 1

12   / , (3.11) где числитель представляет собой алгебраическую сумму произведений эдс на проводимость для всех ветвей, содержащих эдс (с положительным знаком записываются эдс, направленные к узлу 1), а знаменатель - арифметическую