54 Труды университета УДК 621.01.531.4
Ж.Б. БАКИРОВ Г.Д. ТАЖЕНОВА
Динамика привода с упругой муфтой
ростейшей динамической моделью машины явля- ется одномассовая жесткая модель, которая при- менима, когда двигатель обладает большой избыточ- ной мощностью или рабочей характеристикой с боль- шой крутизной. Для уменьшения вибрации в привод- ных механизмах между двигателем и машиной уста- навливают упругую муфту. При этом момент на вход- ном валу привода равен моменту в муфте:
M ,
M =bθ&+cθ (1)
где θ — деформация муфты;
b, c — коэффициенты диссипации и жесткости.
Уравнение движения модели имеет вид:
( ) ,
Jθ&&+bθ&+cθ=M t −Jϕ&& (2)
где ϕ — угол поворота входного вала;
J, M — момент инерции механизма и крутящий момент, приведенные к входному валу.
Рассмотрим установившееся движение, при кото- ром ϕ ω ϕ&= y,&&=0. При этом крутящий момент являет- ся периодической функцией времени
0 1
( ) cos .
M t =M +M ωt Решая уравнение (1), получаем
0 1 1
2 2 2 2
cos( )
( ) ,
M M t
c c J b
θ ω γ
ω ω
= + +
− +
1 ( b 2)
arctg c J
γ ω .
ω
= −
−
Тогда момент, передаваемый муфтой, согласно (1) равен
2 2 2
0 1 2 2 2 2 cos( ),
( )
M
c b
M M M t
c J b
ω ω δ
ω ω
= + + +
− + (3)
где 1 2 23 2
( )
arctg b J
c c J b
δ γ γ ω 2
ω ω
= + =
− + .
При этом коэффициент эффективности виброза- щиты, который равен отношению амплитуд момента, передаваемого упругой и жесткой муфтой, будет ра- вен
2 2
2 2 2 2
( ) 1 4 ,
(1 ) 4
K n
n λ λ
λ λ
= +
− − (4)
где 2ε=b I/ , ω20 =c J/ , λ ω ω= / 0, n=ε/ω0.
Тогда область эффективности упругой муфты (К < 1) определяется неравенством λf 2.
Далее рассмотрены переходные процессы в при- воде с упругой муфтой. Рассмотрен разгон привода с постоянным угловым ускорением ε0 до установившей- ся угловой скорости ωy при постоянном моменте М0. В этом случае определение деформаций муфты сводится к интегрированию уравнения
0 0[ ( ) ( p)]
Jθ&&+bθ&+cθ= −M −Jε σ t −σ t t− (5)
при нулевых начальных условиях. Здесь σ(t) — еди- ничная функция Хевисайда, tP = ωy / ε0 — время раз- гона.
Решение уравнения (5) ищем операторным мето- дом. В пространстве изображений это уравнение при- мет вид
2 2 0
0 0
( 2 ) ( M ),
s s
ε ω θ∗ ε J
+ + = − + t t≤ P;
2 2 0
0 0
(s 2 s ) M (1 e stP),
ε ω θ∗ J ε −
+ + = − − − tftP. Из первого уравнения
0 0
0 0
2 2
0 ( )
( ) ( )
( 2 ) s .
M M
J J
s s N
ε ε
θ∗ ε ω
− + − +
= =
+ +
Оригинал дробно-рациональной функции находим по формуле [1]
( )
( ) 0
( ) 0 ( )
,
k k
k s
s s t
s k
M
M M e
N → N + s N
∑
′s
где Sk — корень уравнения N(s) = 0.
Для нашего случая:
2 2
1,2 , 0 , ( )s 2(
S = − ±ε ip p= ω −ε N′ = s+ε).
Отсюда находим
( )t (M0 J 0)[1 e t(cospt sinpt)]/ .
p
ε ε
θ = − + ε − − + C
При tftP к ранее полученному изображению до- бавляется
1 0e stp/N( )s. θ∗ =ε −
Оригинал этого решения равен предыдущему, но время нужно сдвинуть на (–tP). Суммируя полученные решения, имеем
( ) 0 0 0
0
[ ( ) (cos sin
(cos sin )]/ ,
t t
t
)
M M J e pt pt
p
J e p t p t C
p
ε
ε
θ ε ε
ε ε
−
− Δ
= − + + + −
− Δ + Δ
где Δt = t – tP.
Теперь по формуле (1) определим моменты, пере- даваемые муфтой:
2 2
0 0 0
( )[1 t(cos sin )], , ;
M p
M M J e pt pt p t t
p
ε ε
ε − ω
= + − − = −ε ≤
Ошибка! Закладка не определена. (6)
П
Раздел «Строительство. Транспорт. Металлургия. Машиностроение»
4 2006 55
0 0 0
( )
0
( ) (cos sin )
[cos ( ) sin ( )], .
p
t M
t t
p p p
M M M J e pt pt
p
J e p t t p t t t
p
ε
ε
ε ε ε ε
−
− −
= − + − +
+ − − − ft
Из формулы (6) видно, что момент на муфте при разгоне асимптотически приближается к Ошибка!
Закладка не определена.M=M0+Jε0. Максимум мо- мента достигается приблизительно при t = π/P и равен
/
max (1 p)( 0 0).
M ≈ +e−πε M +Jε
После разгона происходит еще один переходной процесс, при котором MM асимптотически приближа- ется к M0.
При торможении с постоянным ускорением ε0 мо- мент на муфте определяется по формулам (6) заменой в них ε0 на (–ε0).
При разгоне привода с произвольным ускорением деформация муфты определяется выражениями:
( )
0 ( )
0
1 sin ( )[ ] ;
t
e t p t M J d
Jp
ε τ
θ=
∫
− − −τ + ετ τ t t≤ P; (7)( ) 0 ( )
( )
0 0
1 sin ( ) sin ( ) , .
tp t
t t
p
e p t J d M e p t d t
Jp Jp
ε τ ε τ
θ=
∫
− − −τ ε ττ +∫
− − −τ τ ft; Так, при разгоне по линейному закону ε(t) = kt из этих формул с учетом (1) получаем
1
0 t[ 0cos ( 0)sin ],
M P
M =M +Jkt e− −ε M pt p Jk+ − −εM pt t t≤
1 0
1
0 0
[cos (1 )sin ]
[ cos ( )sin ], 0.
t M
t
M M e Jk p t p tp p t
e M pt p M Jk pt t
ε ε
ε ε
− Δ −
− −
= + Δ + − Δ
− − − Δ f
− (8)
Если при установившемся режиме (M(t) = M0) про- исходит изменение нагрузки на ΔM, то в системе вновь возникает процесс, в котором
0 [1 t(cos sin )]
MM M M e pt pt
p
ε ε
= + Δ − − −
или
/
max 0 (1 p).
M ≈M + ΔM +e−πε
Чаще всего причиной переходных процессов яв- ляются ударные нагрузки My(t), действующие на при- вод при установившемся режиме в течение времени τ.
В этом случае деформация муфты определяется сле- дующими выражениями [2]:
( ) 0
0
/ 1 ( ) sin (
t
t u
y ) ,
M C M u e p t u d
Jp
θ= +
∫
−ε − − u 0 ≤ t ≤ τ; (9)( )
0
0
/ 1 y( ) t u sin ( ) ,
M C M u e p t u d
Jp
τ ε
θ= +
∫
− − − u t > τ. (10)При действии мгновенного импульса интенсивно- сти ∆М, My = ∆Mδ(t), где δ(t) — дельта-функция Ди- рака. Тогда из (10) и (1):
0/ M ts
in ,
M C e
Jp
θ= +Δ −ε pt
0 t( sin 2 cos ),
MM ≈M + ΔMe−ε p pt+ ε pt
max 0 0 2 .
n
M M M e
π
ω −
≈ + Δ (11)
При действии прямоугольного импульса той же интенсивности:
0 [1 t(cos sin )],
M M
e pt pt
C C p
ε ε
θ= +Δ − − + 0 ≤ t ≤ τ; (12)
0 2 0
[ ( sin cos )
( sin cos )], 0.
t
t
M M
e pt p pt
C Jp
e p t p pt t t
ε
ε
θ ε
ω
ε τ
−
− Δ
= + Δ − + +
+ Δ + Δ = − >
Моменты, передаваемые муфтой, при этом будут равны
0 [1 t(cos sin )]
MM M M e pt pt
p
ε ε
= + Δ − − − , 0 ≤ t ≤ τ; (13)
0 [ (cos sin )
(cos sin )], .
t M
t
M M M e pt pt
p
e p t p t t
p
ε
ε
ε
ε τ
−
− Δ
= + Δ − − +
+ Δ − Δ >
Если продолжительность удара τ>π/р ≈ π/ω0 = Т/2, то максимальный момент достигается при t = T/2 и равен
max 0 (1 n).
M ≈M + ΔM +e−π
Если τ меньше половины периода собственных колебаний, то максимальный момент следует нахо- дить путем анализа выражений (13) на ПЭВМ. На рис.
приведен график изменения максимального безраз- мерного момента ymax = (Mmax – M0) / ΔM от отношения продолжительности удара к периоду собственных колебаний α=τT при
0 0,05.
n ε
= ω =
Ymax
0 0.1 0.2 0.3 0.4
0 0.5 1 1.5 1.855 2
0 fun i( )
α
Зависимость безразмерного максимального момента от продолжительности удара.
56 Труды университета СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968. 500с.
2. Вибрации в технике: Справочник, Т.6/ Под ред. К.В. Фролова. М.: Машиностроение, 1981. 456 с.
УДК 621.833.6.001.24 Т.С. ФИЛИППОВА П.П. ПАЛЕВ
Определение погрешности передаточного отношения передач, содержащих планетарные механизмы
Основные типы планетарных механизмов. По виду зацепления зубчатые планетарные механиз- мы, получившие в практике наибольшее распростра- нение, можно свести к четырем основным типам, схе- мы которых изображены на рисунке 1 [1-3]. В этих же работах рассмотрены кинематические возможности механизмов и области их применения.
Введем обозначения: (в дальнейшем i0) — тре- буемое передаточное отношение, определяемое из соотношения частоты вращения входного и выходно- го звеньев; (в дальнейшем i*) — передаточное от- ношение, определяемое через числа зубьев.
0
iпл
*
iпл
Формулы передаточных отношений i0 и i* различ- ных кинематических вариантов основных типов меха- низмов сведены в таблице 1.
Таблица 1 ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ I0 И I* РАЗЛИЧНЫХ
КИНЕМАТИЧЕСКИХ ВАРИАНТОВ ОСНОВНЫХ ТИПОВ МЕХАНИЗМОВ
Кинематический вариант механизмов i* i0
(3)
A1H * 1 3
1
z z
i z
= + 0 S
H
i n
=n А
(3) 1
AH * 1
1 3
i z
z z
= +
0 nS
i =n
1 (4)
B1H * 1 3 2 4 1 3
z z z z
i z z
= − 0 S
H
i n
=n с разноименным зацеплением
сателлитов
(4) 1
BH * 1 3
1 3 2 4
i z z
z z z z
= +
0 1
nS
i =n
(4)
B1H * 1 3 2 4 1 3
z z z z
i z z
= − 0 S
H
i n
=n с внешним зацеплением
сателлитов
(4) 1
BH * 1 3
1 3 2 4
i z z
z z z z
= − 0 S
i n
=n
1 (4)
B1H * 1 3 2 4 1 3
z z z z
i z z
= − 0 S
H
i n
=n B
с внутренним зацеплением сателлитов
(4) 1
BH * 1 3
1 3 2 4
i z z
z z z z
= −
0 1
nS
i =n Условные обозначения: zi — число зубьев i — го колеса; ns — синхронная частота вращения вала электродвигателя; nвых.зв — частота вращения выходного звена механизма.
Вариант механизма с одновенцовым сателлитом обозначается А, верхний индекс обозначает непод- вижное звено, нижний — подряд обозначения звена, от которого передается вращение и основного звена, его воспринимающего. Вариант механизма с двухвен- цовым сателлитом обозначается В; верхний и нижний индексы обозначают то же, что у варианта А.
С помощью основных типов механизма возможно образовать:
1 Одноступенчатые передачи, состоящие только из одного планетарного механизма;
2 Многоступенчатые передачи:
2.1 Образованные сочетанием последовательно соединенных между собой планетарных механизмов;
2.2 Образованные последовательно соединенными планетарными механизмами и простыми зубчатыми механизмами.
В планетарных механизмах входящими в эти пе- редачи входными и выходными звеньями могут быть центральные колеса и водило Н. Конструкция меха- низма с входным зубчатым колесом 4 нерациональна в отношении габаритов [3], поэтому будем рассматри- вать только механизмы с неподвижным колесом 4;
при входном звене 1 — это редуктор, а при входном водиле Н — мультипликатор.
Одноступенчатые передачи. Рассмотрим переда- чу, образованную планетарным механизмом типа А, ограничимся замедляющей передачей, т.е. кинемати- ческим вариантом A1H(3) (рисунок 1, а). Формулы для определения передаточных отношений помещены в таблице 2.
Многоступенчатые передачи, образованные по- следовательным соединением между собой плане- тарных механизмов. Сложные двухступенчатые пере- дачи образуются сочетанием последовательно соеди- ненных между собой планетарных механизмов типа А или В или А и В. Наибольшее распространение на практике получили передачи, образованные сочетани- ем механизмов типа А (рис. 2, а). В табл. 3 помещены формулы для определения i0 и i*.
а) б) в) г)
