УДК 517.948
ӨЗ-ӨЗІНЕ ТҮЙІНДЕС ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ОПЕРАТОР ҚҰРУ Ахымбек М.Е.
əл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университеті, Алматы Ғылыми жетекші – Ph.D докторы Нұрахметов Д.Б.
Егер L* =L шарты орындалса, онда
L
операторы өз-өзіне түйіндес оператор деп аталады. Бұл жердегі L* операторыL
операторының түйіндес операторы [1].Алдағы уақытта, біз төмендегідей есепті қарастырамыз [2, 3]
( ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ) ( ) ( )
1 0
2 0
0 1
0 0 2
0 0 3
y x y x x
y y x x dx
y y x x dx
π
π
λ π
δ
δ
− ′′ = < <
− − ′′ =
′ − − ′′ =
∫
∫
Біздің басты мақсат осы (1)−(3) есеп өз-өзіне түйіндес болатындай
δ
1( ) ( )
• ,δ
2 • -ке шарт табу. Бұл жердегіδ
1( ) ( )
• ,δ
2 • ∈L2[ ]
0,π
. Бұл жұмыстаδ
1( )
• менδ
2( )
• сызықты болған кезде қаралған жəне мынандай негізгі нəтижелер алынды.I. Алғашында,
( )
x = 2( )
x = ax+b1 0, δ
δ болсын.
Tеорема 1. (1)−(3) ішкі шекаралық есеп өз-өзіне түйіндес болуы үшінb = 1, ал a
кез келген нақты сан болуы жеткілікті.
Салдар 1. Теоремада біз aπ +1≠0 деп қарастырдық, сол өрнек нөлге тең болса, яғни
π , 1
1 =−
= a
b болғанда, λk=k2, яғни, Дирихле есебін аламыз.
− "( ) = ( )
(0) = 0, ( ) = 0 Ал Дирихле есебі өз-өзіне түйіндес екенін көреміз.
IІ. Енді есепті күрделендіріп
( )
x = ax+b 2( )
x = cx+d1 , δ
δ
деп алайық. Онда есеп мына түрде қойылады:
( ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ) ( ) ( )
0
0
1
0 0 2
0 0 3 .
y x y x
y y x ax b dx
y y x cx d dx
π
π
λ
− ′′ =
− − ′′ + =
′ − − ′′ + =
∫
∫
Теорема 2. Есеп өз-өзіне түйіндес болуы үшін
a) a= −1, d =0 , b≠0,c≠0 , ,c b∈R б) d = +a 1,ad =bc a b c, , , ∈R болуы жеткілікті.
Əдебиет
1. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы.– М.: Наука, 1969. – 528с.
2. Отелбаев М., Шыныбеков А.Н. О корректных задачах типа Бицадзе-Самарского // ДАН СССР. – 1982.– Т. 265, № 4. – С. 815–819.
Кангужин Б.Е., Нурахметов Д. Б. Всюду разрешимые краевые задачи для неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами//
Вестник КазНУ имени аль-Фараби. – 2010. – №1(64). – С.9-26.
