(1)1995 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК Том 186, №4 УДК 519.2 А

1995 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК Том 186, №4

УДК 519.2

А . С. Д ж у м а д и л ь д а е в , У. У. Умирбаев

Н е р а с щ е п л я е м ы е р а с ш и р е н и я о б щ е й а л г е б р ы Л и картановского т и п а W

2

(m)

В статье вычисляются расширения общей алгебры Ли картановского типа от двух переменных W ^ m ) с помощью неприводимых модулей. Часть результатов охватывает и более общий случай.

Библиография: 14 названий.

Теория алгебры Ли положительной характеристики резко отличается от тео­

рии конечномерных алгебр Ли нулевой характеристики. Так, всякая алгебра Ли нулевой характеристики, фактор которой по радикалу изоморфен полупростой ал­

гебре Ли, по теореме Леви расщепляется в полупрямую сумму радикала и полу­

простой части. В случае положительной характеристики это не так. Всякая моду­

лярная алгебра Ли, в частности, полупростая алгебра Ли характеристики р > О, имеет по крайней мере одно нерасщепляемое расширение. Сверх того число неизо­

морфных неприводимых модулей с таким свойством конечно [1].

Таким образом, следующая проблема, восходящая, кстати, по свидетельству Бурбаки [4], к диссертации Э. Картана, содержательна в случае характеристи­

ки;? > 0:

Для заданной алгебры Ли L описать все неприводимые L-модули М и их коциклы, удовлетворяющие условию H2(L,M) ф 0.

Другая формулировка:

Для заданной алгебры Ли L найти пространство &{L) — ф м M®H2(L, M) {суммирование ведется по неприводимым L-модулям М).

Эта проблема также интересна для бесконечномерных алгебр Ли нулевой ха­

рактеристики.

Нерасщепляемые расширения с помощью неприводимых модулей простых ал­

гебр Ли характеристики р > 0 были сделаны в следующих случаях: L = sb [1], W i ( m ) [ l ] , W2( l , l ) , #2( l , l ) [ 6 ] .

Цель настоящей статьи - найти все расширения общей алгебры Ли картановско­

го типа от двух переменных W2(m) с помощью неприводимых модулей. На самом деле часть результатов охватывает более общий случай.

Метод вычисления 2-когомологии применим для любой алгебры Ли картанов­

ского типа и для вычисления когомологий более высоких степеней. Он основан на следующих трех обстоятельствах.

Первое обстоятельство: всякий неприводимый модуль с ненулевой когомологи- ей обязан быть р-модулем [1]; хотя неприводимых неизоморфных модулей, вообще

(С) А. С. Д Ж У М А Д И Л Ь Д А Е В , У. У. У М И Р Б А Е В 1995

62 А. С. Д Ж У М А Д И Л Ь Д А Е В , У. У. УМИРБАЕВ

говоря, бесконечно много и устроены они достаточно сложно, ограниченные мо­

дули, во всяком случая для алгебр Ли картановских типов, допускают хорошие описания.

Как известно, алгебры Ли картановских типов градуированы L = 0^{f c >}_¹L /^c, причем Lo - классическая алгебра Ли, «ifo — ®;>o ^Ji ~ м а к с и м а л ь н ая подалгеб­

ра, и «ifi = 0 i > i ^ч нильпотентна. Всякий неприводимый Lo-модуль Мо можно превратить в Jfo-модуль, определяя действия S£\ нулевым образом. Оказьгоается, что все ограниченные неприводимые модули алгебр Ли картановских типов изо­

морфны модулям коиндуцированным из ограниченных неприводимых ^ - м о д у л е й Мо или не так сильно отличаются от коиндуцированных [7].

Второе обстоятельство основано на обобщенной лемме Шапиро [5]. Она поз­

воляет свести вычисление когомологии неприводимых модулей, согласно первому обстоятельству, к когомологии подалгебры J£o с коэффициентами в неприводимом jSfo-модуле Мо таком, что «5?iMo = 0.

Третья причина основана на следующем изоморфизме:

Я2( ^ о , М о ) ^ Я2( Ь о , М о ) е Я1( Ь о , Я Н ^ 1 ) 0 Мо) е ( Я2( ^ 1 ) ^ ) М о )1 / О (*) (этот факт вытекает из того, что JzfiMo = 0, и что ££о = ®;>o ^i градуирована и коцепной комплекс C*(j£fo> Mo) = 0 Cq(J?o, Mo) обладает естественной градуи­

ровкой

Ckq{J?o,Мо) = (<ре Ck(J?0,Мо) | ф(хи . . . ,хк) = 0,

если xi G L il r. . , i f c G L{k, н Н \-гк ф q).

Таким образом, задача описания нерасщепляемых расширений распадается на следующие подзадачи:

1) Найти неприводимые Lo-модули Мо такие, что H2(Lo,Mo) ф 0 (эта задача решена для Lo = g^)-

2) Найти нерасщепляемые расширения Lo-модулей Щ = (х±,... ,хп) и Us{—\) = (xiXjXs | i,j, 5 = 1 , . . . , n) и дуального модуля U{ с помощью неприводимых модулей.

3) Разложить H2(J£\) как Lo-модуль в прямую сумму неприводимых Lo-подмодулей.

Как известно, для нильпотентной градуированной алгебры Ли первая группа гомологии тривиального модуля отвечает образующим, вторая - определяющим соотношениям [9]. Задача нахождения образующих и определяющих соотношений интересна для нильпотентной подалгебры %?\ алгебр Ли картановских типов. Об­

разующие таких алгебр, т.е. первая группа гомологии H\{J£\,P) вычислена в [8].

В настоящей работе находится Н^ {^i, Р) для случая L = Wⁿ (га). Таким образом, вычисления H²(J£\, Р ) , или что равносильно Я2(-£?1, Р ) , интересны сами по себе.

Работа построена следующим образом. Параграф 1 посвящен вычислению Й2(-2ъ-Р)- В §2 вычислена Я2(_£о,Мо). Для этого определены Z/Q-модульная

НЕРАСЩЕПЛЯЕМЫЕ РАСШИРЕНИЯ О Б Щ Е Й А Л Г Е Б Р Ы ЛИ 63

структура Н2(Л?\,Р) и нерасщепляемые расширения неприводимых gl2-мoдyлeй UinUs(-l) с помощью неприводимых gl2-мoдyлeй.

Отметим, что образующие и определяющие соотношения общей алгебры Ли картановского типа характеристики 0 были вычислены ранее в [9], [10]. Наши ме­

тоды проходят и в этом случае, на^м кажется, что явные виды базисных коциклов Н² («£fi, Р), приведенные в нашей статье более прозрачны и удобны в вычислениях.

Каждый параграф имеет свою нумерацию формул. Поскольку перекрестных ссылок нет, это не приводит к противоречию.

§ 1. Гомологии и когомологии нильпотентной подалгебры общей алгебры Л и картановского типа

1. Определения и обозначения. Все алгебры и модули рассматриваются над произвольным полем Р положительной характеристики р ^ 5.

Пусть U = О^п(т) - алгебра разделенных степеней от переменных х\, х^,..., х^п высотыШ — ( m i , m 2 , . . . , mn) £ (NU {oo})n. Положимт — m\ +mi Л \-mn. Для каждого вектора

a = ( a i , a 2 , . . . , a n ) € Z+, где Z+ = NU {0}, определим моном

^)-4

^ai)

4

^a2)

...^);

эти мономы составляют базис пространства U при a; < pm i, 1 ^ г ^ п. Умноже­

ние в алгебре U задается формулой

(а)^т(/3) ⁼

=п

П l^ai+'^ei]^T(<x+[3)

Xх 'X^J = | | | )Х

а

Алгебра Ли L = Wⁿ(m) специальных дифференцирований алгебры U имеет базис

u = x(a)di, x(a)eU, 1 < г < п . (1.1) Пусть Е{ Е Z™ - векторы, у которых г-я компонента равна 1, а.остальные рав­

ны 0. Оператор д{ из (1.1) действует на U по правилу: д{(х^) = x^~£i\ Умно­

жение в алгебре L задается следующим образом:

[x^dux^dj] =xWdi(xW)dj-x№)dj{xM)di. Линейные пространства L^, натянутые на элементы вида (1.1), для которых \а\ — OL\+ <%2-\ h aⁿ = fc-fl, задают градуировку алгебры L = Ylk>-i ф£/с- При этом jSfi = ^2k>1 0Lfc является максимальной нильпотентной подалгеброй алгебры L.

Определим вес е(и) и степень deg(u) элементам вида (1.1), полагая е(и) = a—ei, deg(-u) = |a—£i|- Положим также deg(a;(^a)) = |a|. Будем считать, что х^ ^ х^\

если |a| < |/?|, или |a| = | / ? | , a ^ i / 3 , где ^ i - лексикографический порядок на Z™.

Пусть и = х^д{, v = x^dj - два элемента вида (1.1). Положим и ^ v, если вьшолняется одно из следующих условий:

1. deg(w) < deg(i;);

2. deg(u) = deg(v), e(u) < i ф ) ; 3. deg(u) = deg(v), e{u) = ф ) , i ^ j .

64 А. С. Д Ж У М А Д И Л Ь Д А Е В , У.У. УМИРБАЕВ

Если алгебру U определить без единицы, то она станет свободной ассоциатив­

но-коммутативной алгеброй с тождеством х^р = 0, со свободным образующими х\^р , 1 ^ i ^ n, 0 ^ к < гп{. Будем говорить, что моном х^ делит х^

(х(Р) | х^), если найдется q £ U такое, что х^ — x^q. В этом случае час­

тное q = х^**'/х^Р' определяется однозначно. Через nmd(x^a^) будем обозначать моном вида х^Р', который является нетривиальным, минимальным по ^ делителем монома х^а\

Пространство C^q = C^q (Jz?i) g-мерных цепей алгебры S£\ в тривиальном моду­

ле Р совпадает с пространством Д q J£\, которое имеет базис

w — и\ A U2 А • • • Л u^q, (1.2)

где Ui - элементы вида (1.1) степени ^ 1 и щ < U2 < • • • < uq.

Определения Bk, Zk, Hk хорошо известны, и мы только напомним действие гра­

ничного операторад: C^q —>> C^q-\\

д{и\ A u<i) — [i^i, 1^2] при q = 2,

д(и\ A U2 Л us) = [^1,^2] Л ^/3 4- [г/2,^3] Awi + [^3,^1] Л U2 при g = 3.

Поскольку алгебра «ifi является однородной по весу и по степени, то мы можем говорит также о гомологиях веса а и степени т: Н^', Щ^ш'. Вес и степень цепи w вида (1.2) определяется по формулам:

я я

£

(

^w

) = J2

^£

(

^щ

^

^de

e(

^w

) = ^2 degfat).

г=1 i=l

Пусть Vk - пространство, натянутое на элементы вида (1.1), принадлежащие

Sff\Sff

+1

. Тогда

Базис пространства Vi является минимальным множеством порождающих алгеб­

ры Jzfi и классы этих 1-циклов образуют базис пространства Hi {J^i).

2. О п е р а т о р т. Определим линейный оператор г: ^ = Ylk>2 ® ^ ~* ^2 по правилу:

1. т(х\'д\) — -\х2Х2д\ А х[ 'д2 + \х\ 'д\ А Х\х2д2\

2. r ( x(/l )4S 2 ) • • • х^дг) = j ^ r / ^ d , Л х^-1^^ • • • а £п )3 ь если p f ( s i - 3 ) , pf si;

з. r(4

^sl)

4

^S2)

-..^

^s

"

⁾

a

¹

) = -H

^{3 ) 5}

i

^A

4

^{5 1 _ 2 )}

4

^{S 2 )}

---^"

⁾

5i,

если p | (5i - 3), £ "^{= 1} Si ^ 4;

если рк | 5i, р * ^1 { 5i, A: ^ 1;

5. r ( 4S 2 ). . . ^S n )3 i ) =-x1rd1A(x{2S2)xiS3)...x{nSn)/r)d1, где r = m i n ( 4^{S 2 )}4^{5 3 )}- - - ^^{5 n )}) ;

6. для всякого / G «i?]2 положим т(сг(/)) = сг(т(/)), где <т = (123 . . . п ) -

/ (sl ) (52 ) (5n ) o \ (^i) ( s o ) ( sn) a

перестановка, ог(а;^ ^1Уа^ . . . х^{Кп nJ}di) = x^ftx^fy . . . x^fad^y Заметим, что г определено так, чтобы для любого / Е J£^ вьшолнялось равен­

ство <Э(т(/)) = / .

НЕРАСШЕПЛЯЕМЫЕ РАСШИРЕНИЯ О Б Ш Е Й А Л Г Е Б Р Ы ЛИ 65

Л EMM А 1. С2 = Im Г 0 Z2 •

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Пусть z G С2. Тогда d(z) G J^2. Рассмотрим также z' = z - r(d(z)). Имеем d(z') = 3(г) - д(т(д(г))) = d(z) - d(z) = 0, т.е. г' G Z². Далее, пусть 2; G I m r П Z2. Тогда найдется / G -£?х2 такое, что г = r(f). Имеем d(z) = d(r(f)) — f = 0. Следовательно, z = r ( / ) = 0. Лемма доказана.

Л Е М М А 2. Существуют единственные подпространства R\, R2 простран­

ства С² такие, что

vi л vi = т(У

²

) е д

^ь

a(iii) с £ ev*;

[Li, bi] л vi ч- Li л [Li, Vi] = т(Уз) е д

²

, э(д

²

) с Y, ®^-

fc>4

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Пусть T(V2) e fli = г(Уг) Ф Д'г = Vi л Vi. Тогда для любого г G R\ найдутся / Е ^ и г ' G Д^ такие, что г = т ( / ) -f- r'. Имеем

/ = э(т(/)) = э(г)-а(г')е^Ф^-

fc>3

Следовательно, / = 0 и г = г' G Д'15 что дает включение R\ С Д'х. Аналогично, Д'^х С Д^ьт . е . Дх = Д;.

Для всякого z G Vi Л Vi определим цепь z' следующим образом: d(z) = v² + V3 + • • • + Vk, где Vi G Vi и z' = z — r(v2). Теперь легко проверить, что множество Дх = {zf \ z eVi /\V2} удовлетворяет условиям леммы.

Второе утверждение леммы доказывается аналогично. Лемма доказана.

3. Базисные циклы и коциклы. Определим отображение s;: Ri -* Z2 («Sfi), i = 1,2, полагая s;(z) = z — r(9(z)) G Z2 для всякого z G Д;. Пусть Si - базис про­

странства si(Ri). Через 52 обозначим подмножество элементов из s²(R²), образы которых образует базис пространства 52 (Д2) + В2/В2.

Л Е М М А 3. В качестве Si можно взять следующее множество циклов:

и\ Ли2 -r([ui,u2]), (1.3)

где ui,u² G {xiXjdk, х\^р дк \ 1 ^ г, j , к ^ тг, 1 ^ / < га} и и± Л и² £ I m r , и\ Л и2 ф aXiXjdi Л х\ *dj, a G Д, j = г + 1 (mod тг).

Утверждение леммы непосредственно следует из определения множества Si, и последнее ограничение связано с элементом т(х\ di).

Заметим, что двойственность H2(Jt?i) = [H2(J?i)} сопоставляет циклам ви- да (1.3) коциклы

(мх'ЛизГ. (1.4)

М а т е м а т и ч е с к и й с б о р н и к , т. 186, N«4

66 А. С. ДЖУМАДИЛЬДАЕВ, У. У. УМИРБАЕВ

Перечислим все элементы множества Si при п — 2. Имеется семь циклов сте­

пени 2, принадлежащих S±:

1. xf)dihx{2)d2, (1,1),

2. Х\Х2д\ А XiX2d2 - r([xiX2di, #1#2<92]), (1, 1),

3. х¥)д1Лх?)д2-т([х?)д11х?)д2]), (1,1), (1.5)

4. ^ i 5 i ЛЖ1ГГ2З2 - ^([^1 ^1,^1X232]), ( 2 , 0 ) ,

5. х?)д1Лх?)д2-т([х(?)д1,х(?)д2]), (3,-1).

Циклы пунктов 6 и 7 симметричны циклам из пунктов 4 и 5 соответственно (пара (а,/3) указывает вес цикла).

Множество S± содержит восемь циклов степени рк, связанных с элементом х^

(аналогично, x)f ) при 1 ^ к < т\:

1. х(?)д2Лх[рк)д2, ( / + 2,-2), 2. х^дгАх^д^ ( / + ! , _ ! ) , 3. х?)д2Ах[рк)д1 -г([х^д2,х{рк)дг]), ( / + 1,-1),

4. X!X2(9i Л ^}( 9 2 -r([^ix2a1,4p f c )32]), (p*,0), 5. mo:2(92A4p f c )a1-r([a;1rr2a2,4/ )3i]), ( / , 0 ) , (1.6)

6. х^ЪАх^дг, ( / - 1 , 1 ) , 7. 4²⁾<?i А s ^ f c - т ( [ 4^{2 )}д ь 4^Р%²] ) , ( / - 1,1),

8. 42 )# i A r r ^ ^ i - r ( [ 42 )5 i , 4p f c )a i ] ) , ( / - 2 , 2 ) . Следующие циклы также принадлежат Si:

xf^j Л 4 Р Ч - тЦх^д^Щ, (1.7) где 0 < fc < m ; , 0 < / < тги а ^р ^ < xip)dt,i,j,r,t e {1,2}.

Перечислим теперь элементы множества 5г при п = 2. Имеется 18 циклов сте­

пени 3 в 5г:

1. х<?)д1Ах(?)х2д1, (2,1),

2. 42 )^ Л ^3 )5Ь (2,1),

3. Х\Х<2д2 t\X\X2 d2-T([xiX2d2,XiX2'd2]), ( 2 , 1 ) ,

4. ma^di Ах^Х2д2 - т([х1Х2д1,х^)х2д2]), (2,1), 5. х ^ г ^ Л х р ^ г З г , (3,0), (1.8)

6. х1х2д2Лх<?)д1-т([х1Х2д2,х(?)д1}), (3,0), 7. х<?)д1Лх?)д2-т([х?)д1,х(*)д2}), (4,-1),

8. 4

²⁾

^л4

³⁾

«91-г([4

²⁾

5

²

,4

³

Ч]), (4,-1),

9. х(?)д2Лх(?)д2, (5,-2).

НЕРАСШЕПЛЯЕМЫЕ РАСШИРЕНИЯ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ ЛИ 67 Циклы 10-18 симметричны циклам 1-9.

Этим циклам при двойственности соответствуют коциклы:

1. 3 ( ^ 1 д\ Л х[ Х2д\)* - 6(:riX2<92 Л х[ X2<9i)*

+ ( 4

²

Ч Л xfd

²

y - (х

²²

Ч Л х^д

²

)\

2. (х?)д2л4)д1У + {х(?)д2л4)д2У

+ z(xf

^]

d

²

л xix^di)* - ( 4

²

Ч л xf

^}

d

²

)*,

3. 3(х1Х2д2 A Xlx22)d2)* + (xf]d2 А х^]д2)\

4. 3{х¹х²д¹ А а ; ^ ^ * ) * + ( 4^{2 )}й Л аг^Эа)*

- 3 ( 42 )a 2 A a ;142 )3 i ) * - 3 ( a ; i a ; 2 a2A x( 1 2 )a ; 2 a i ) * , (1.9) 5.

6.

7.

8.

9.

х\х2д2 Ах[ х2д2)* + (х[ 'д2 Л х\х2 д2)*,

х\х2д2 Ах\ д\)* -\гЪ{х\ 'д2 Ах\ х2д\)* - (xix2d\ Ах\ д2)*,

xf

^]

di л х

^{

?

^]

д

²

у + з(4

²⁾

э

²

л х

⁽²⁾

х

²

д

²

у, х

⁽

?

⁾

д

²

Лх?

⁾

д

¹

у,

х

⁽

?

⁾

д

²

Лх?

⁾

д

²

у.

Коциклы 10-18 симметричны коциклам 1-9.

Множество 52 содержит также четыре цикла степени р^к -f 1, связанных с эле- /к \

ментом х± :

1. 4

^{3 )}

^A4

^{p f c )}

3

²

, (

^Pfc

+ i,-i),

2. xnc2d2Ax{f]x2d2, (pfc + l , 0 ) ,

3. x i a ;29 i A 4p 4 l )5 i , (pf c,l), (1.10)

4. x23)d2Ax<fk)d1, ( pf c- l , 2 ) .

Укажем соответствующие коциклы:

1. (х^дгЛх^д,)* -3(x?)d2Axf+1)diy

- з(х

^1Х2

д

²

л x

^{

f+

^x)

d

²

y - (

^x

f

^]

d

²

л x

^{

*

^h)

di)\

2. 2{Х1х2д2 А х{/]х2д2у + (x^di Л x ^ d i ) *

- (4

^{2 )}

а

²

л 4

^{p f c}

W ) * + 2(

^Ж1

х

²

э

¹

л х[

^рк+1)

д

²

у

-(x¹x²²⁾d²Ax^<f^k)d²y,

3. ( а д ^ Axf^d,)* - ( 42 )ax Л 4Р Ч 1 )92) * (1.11)

+ ( 4^{3 )}д² Л х[^рк)д²у +2{х^1Х2д² А х^{рк)х²д^ху

3*

68 А. С. Д Ж У М А Д И Л Ь Д А Е В , У. У. УМИРБАЕВ

-(х?

)

х

2

д

1

Лх[

рк)

д

1

)*,

4. ( 4^{3 )}3² Л х^{*^к)дг)* - 3 ( 4^{2 )}5 i Л х[^рк)х²д²у -3(х¹х²д¹Ах{^рк)х²д¹У - (4³⁾<9i Лх[^рк)д²у.

Рассмотрим также следующее множество циклов, которые будем называть цик­

лами Бокштейна:

x^{pk+1)dj Л x^{pk+1-^pk)d^u l ^ i j ^ n , О ^ к < ггц. (1.12) 4. Формулировка основных результатов.

Т Е О Р Е М А 1. а) Классы циклов Si, S² и (1.12) составляют базис H²(Jt?i) при п — 2.

б) Если п ^ 3, т о классы циклов S\ и (1.12) составляют базис H2{J£\).

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О ТОГО, ЧТО Н2 (Jfi) порождается указанными циклами, следу­

ет из предложения, которое будет доказано в следующем пункте. Независимость этих циклов сводится к нетривиальности циклов Бокштейна. Доказательство по­

следнего факта не сложно, но занимает много места, поэтому оно опускается.

СЛЕДСТВИЕ. Пусть mi < со, г = 1,..., п.

а) Если п = 2, то

dimЯ2(-21) - d i m #2( ^ i ) = 14m + 1 + [2 ( m ~ 2 )

б) ifo/ш п ^ 3, т о

d i m #2( ^ i ) = d i m t f2( ^ i ) = n m + ^

5. Разложение пространства C2(-Sfi). Через V обозначим подпространст­

во пространства C2(J£\), натянутое на циклы, указанные в теореме 1, и Im т, В2. Из определения S\, S² следует, что при п — 2 имеет место равенство

F = 14 л Уг + [Li, Li] Л Vx + [Fi, Li] Л Li + Im r + B2 + Г, а при n ^ 3 имеем

V = Vi Л Fi -f I m r + B² + T,

где Т - пространство, натянутое на циклы Бокштейна. Тогда справедливо следу­

ющее

НЕРАСЩЕПЛЯЕМЫЕ РАСШИРЕНИЯ О Б Щ Е Й А Л Г Е Б Р Ы Л И 69 П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е . V = C2(3?i).

Из этого предложения вытекает утверждение теоремы 1 о порождаемости H<z{££\) классами указанных циклов. Доказательство предложения в общем слу­

чае не сильно отличается от случая двух переменных, но является более громозд­

ким. Поэтому ниже мы ограничимся доказательством предложения при п = 2.

Используя определение оператора д легко показать, что С2 — V± Л 1£\ + В2. Поэтому далее мы последовательно для элементов w из базиса V\ показываем, что w Л Jz?i С V. Вычисления разбиваем на 17 пунктов. В пунктах 1-4 полностью доказывается, что х\ д\ Л «ifi С V. Пункты 5-9 и 11 посвящены доказательству

(2)

включения х\х2д\ Л J£\ С V. Включение х\ д2 Л J*?i С У устанавливается в пунктах 10,12,13. В последних пунктах доказывается включение w Л J£\ С У, где w - один из элементов х^ <9i, я ^ 92.

Прежде всего введем понятие высоты для цепей из C2(J£\). Пусть а\ Е Z+

и OL\ — ко + fcip 4- &2Р² + • • • + k^sp^s -f • • •, где 0 ^ k^s < р. Тогда положим h(ai) — ( . . . , fc^s,..., /ci,/co). Если ж е а = (c*i,a2,... , а^п) £ ^+> ^TO считаем, что ft,(a) = /i(ai) + /1(0^2) + • • • + h{an). Далее, для произвольной цепи и = x^'di Л x^dj Е С2 положим h(u).= h(a) + /i(/3). Пусть К - множество высот всех цепей Biv&xWdibxWdj Е С². Тогда множество К - бесконечных влево последователь­

ностей, имеющих конечное число ненулевых координат из Z+, вполне упорядочено по <С, где <С - лексикографический порядок, сравнивающий векторы по коорди­

натам слева направо. Минимальным элементом множества К является элемент ( . . . , 0 , . . . , 0,4), который соответствует цепям вида XiXjdk Л xiXmdt. Последние, очевидно, принадлежат V. Это нам позволяет применить индукцию по высоте при доказательстве предложения. В пунктах 10-17, рассматривая цепь данной высо­

ты, считаем, что цепи меньшей высоты принадлежат V.

Чтобы сократить текст доказательства предложения, используем знак "=", ко-

(п. 4)

торый означает равенство по модулю V, и знак вида " = ", который означает сра­

внение по модулю V в силу п. 4. Запись z £ {д(и\ Av± A u>i),..., d(uk Л ^ Л Wk)) означает, что цепь z выражается через границы д{и\ Л v\ Л w\),..., d(uk Л Vk Л u>k) по модулю цепей, принадлежность которых V уже доказана. Ссылаясь на резуль­

таты при характеристике 0 (см. [9]), можно считать, что L\ Л [Li, L{\ С V при характеристике р > 5.

Заметим, что определение т и все рассмотренные выше циклы инвариантны от­

носительно действия трансвекции а = (12). Инвариантность пространства V от­

носительно а без дополнительных оговорок используется при вычислениях.

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О П Р Е Д Л О Ж Е Н И Я .

1. z = x{2S2)d2 Л х^х^дг Е V при h > 1, кг + к2 > 3, (кик2) ф (3,0), ( р \ 0 ) .

Действительно, в этом случае

z + д(х⁽²³²⁾д² Л ф^х^дг)) Е Im т.

2. z = х[31)дг Л х^х^дх Е V при А* ^ 1, к2 ^ 2.

Имеем

z - д(х[⁸¹⁾д! Л а ^ ¹ ^ Л хр⁾Э²) ⁽"= ^} 0.

70 А. С. Д Ж У М А Д И Л Ь Д А Е В , У. У. УМИРБАЕВ

3. z = x

⁽

?

⁾

d

¹

Ax{

^kl)

x

^(2k2)

d

¹

ev.

Если р \ к\ — 2, р \ к\ + 1, то z £ Im т. С учетом п. 2 остается рассмотреть три случая.

а) р | ki — 2 и л и р \ к\ + 1, z = х[ д\ А х[ ^x2di. Если fci > 2, то

jfci* = д(х^)д1Ах[к1)д1Ах1х2д1)+ 2 d(x^)d1Ax^1"1)diAx^)x2d1) = 0.

ki(ki — о)

б) р \ ki — 2, z = х[ *д\ Л 4 ^1- Пусть A;i = sp + 2, 5 ^ 1. Тогда

* = - Э ( 4

2 )

« 1 Л 4

5 р )

д

2 Л

^i

2)

^5i).

в ) р | к\ + 1, г = 4 #1 Л 4 д\. Пусть к\ — sp — 1. Если 5 = 1, то z Е Т. При 5 ^ 2 имеем

г = -Э{х^)д1 Л х{(*-1)р)д2 Л а : ^ "1^ ^ ) .

4. ^ = 4

^{2 )}

^ A 4

^{f c l )}

4

^{f e 2 )}

^ i e ^

Учитывая п. 1, достаточно рассмотреть случай, когда ki = 0.

а) к2 = Р - 1- Тогда

2 42 )< 9 I A 4P~1 ) ( 92 - 4 Z

= a ( 42 )5 i Л х(2р~2)д2 Л 42 )^ ) - 2д(х1х(2)д1 Л 4P~3)<5i Л xix2(9i)

— 35(^1^2^1 А 4 ^2 л 4

^{Р _}

^i) + 5(xiX25i л 4 v i

^Л

4

^Р

~ ^2) - a(4

^p

"

²⁾

-i л 4

²⁾

3i л 4

²⁾

<9i) = 0.

Заметим, что 4 ^i Л 4^Р" д² еТ. Следовательно, z eV.

б) к² = р^к + 1,к > 0. Заметим, что 4 Фг Л 4^Р д\ Е 52 и #ia;2<9i Л 4^Р 9i Е I m r . Равенство

d(xl/h)di-A xix2dx Л 42 )^ ) + д{х^)д1 Л 42)<3i Л 42 )- i )

— <9(4^Р di Л 4 ^i ^Л ^ I ^ ^ ) + ^(4^Р ^2 Л 4 ^1 ^Л #i#2<9i) + d(x^(2pk)d²Ax⁽²⁾d¹Ax⁽²]d²)+2z + 3x^{2V = 0 показьшает, что z Е V.

Далее, предположим, что к² = sp¹ -f £p^fc, 0 < t < р, р \ s или s = 0,1 > к.

в) к > 1. Тогда z eld(x⁽2^]d² A x^'^dxAxix^di)^.

г) А; = 0, 5 ^ 1. Имеем

*j) z = 4

^{2 )}

4

^{f e 2}

"

^p

'

^{_ 1 )}

5i л * i 4

^p

V - «9(4

²⁾

5

²

л 4

^fc2_p()

«9i л ^ Ч )

= 4

²⁾

4

^fc2_p(

"

¹⁾

5iAa

^;i

4

^pi)

«9i.

Н Е Р А С Ш Е П Л Я Е М Ы Е РАСШИРЕНИЯ О Б Щ Е Й А Л Г Е Б Р Ы Л И 71

Цепь 4 ^2 2"р ~ д\ А х\х2 д\ является линейной комбинацией цепей д(х2 2~р >д\ А х\Х2д\ Л х\х2 д\) и х\Х2д\ Л 4 2'д\ £ Г т т .

д) k = s = 0. Тогда 4 ^ &2 ^ Р — 2 и z выражается через <Э(4 ^2 А 4 ²~ д\ Л

^ i ^ 2 ^ i ) , <9(4 2 _ <?i Л xiX2<9i Л xix2 д\) n a ^ ^ d i Л 4 д\ Е I m r . 5. г = х\Х2д\ Л 4 2 #1 £ V-

а) р { А?2 + 1. Тогда z G l m r . б) &2 = 5р - 1, 5 ^ 2. В этом случае

z G (д(х¹х²д¹ Л X ! 4^{( 5}"^{1 ) P )}3 I Л 4^P"^{1 }}9 i ) ) • в) &2 = V - 1- Тогда

Z = 2а4 02 ^{Л ж}2 ~ ^1 ~~ <9(#l4 ^2 Л Х2Х²~ д\ Л XiX29i)

- 2д{х1х2д1 Л 42 )^2 Л 4P"2 ) ai ) (П=3) 0.

6. z = a;ix2ai A 4f c l )4f c 2 ) 92 € К п р и ж ^ | 4f c l )- Действительно, если fci + fc2 ^ 4, то

2 G

(d(xi*

²

3i лх^Эх A4

^fcl

"

¹⁾

4

^fc2)

^),a(4

²⁾

x

²

a

¹

л4

^{2 )}

^1 A4

^fcl

~

²⁾

4

^fc2)

a

²

)) •

7. z = x i X 2 a i A 4/ c i )5 i € V.

ПуСТЬ fci = 5pf c + Г , 0 ^ Г < р , р { 5 ИЛИ 5 = 0 .

a) r ^ 4. Тогда

fcl(fcl2"3), = * <2W Л ^ " Ч + a ^ d x Л хр-^дг Л 42Ч )

= 4 'х2д\ Aij 1 _ 3 i .

При г ^ 5 цикл, записанный в правой части последнего сравнения, лежит в (д(х⁽?⁾х²д¹ Л х ^^{1 - 2}^ ! Л х^{2)д^г)\. Пусть г = 4. Тогда

х{2)х2д1 Л 4f c l _ 1 )a i s а ^ Э з Л х22)дг Л 4 *1 _ 1 )^ )

- 4

f c l _ 2 )

4

²

4 л 4

²⁾

з

²

- л * * ^ л 4

²

Ч

= 3 ( 4 ^ Л 42 )d i Л х{к1-2)Х2д!)

- д(х

²²⁾

д2 л 4

^fel

~

²⁾

z2di л х

^{2)

д2) - hx^

^l)

d

²

л 4

²

Ч

_ 2 fci(fci-l)jfel)a (2)„

=

~fc^T' 2

^Xl

*

^Л

*

²

*

= _ _ А _ . (а(4

2)

а

х

л4

fcl_1)

a

2

л 4

2

Ч )

- а(4

²⁾

а

²

л

^Xl

x

²

di л ж ^

¹

"

¹

^ ) ) = о.

72 А. С. Д Ж У М А Л И Л Ь Л А Е В , У. У. УМИРБАЕВ

Следовательно, и в этом случае z Е V.

б) г = 2. Тогда

в) г = 3, 5 ^ 1. В этом случае

-г € (d(x\X2di А х[ 1 _ <9i Л х\ д\),

д(х\ х²д\ A x[^sp д² Ах\х²д\),

д(х{^дх Л :n42 )<9i Л ж ^ д г ) } - г) г = 0, 5 ^ 2. Тогда

z € (a(xiar

²

5i A^

^fcl

-

^p

*

⁾

ai A 4

^{p 4 l ,}

a i ) , д(х[

к1

-

рк)

х

2

д

1

лх

(

/

)

д

1

лх?

)

д

1

),

Поскольку цепь х[ ^{г р} х²д\ A х^р д\ принадлежат Im r, то z £ V.

д) г = 1. Если s ^ 2, то

д(х^-рк+1)д1Ах[рк)д2Ах1х^)д1)).

Пусть к\ = рк + 1. Тогда z E S2

8. z = х\Х2д\ Л ж^ £2<9i G V.

а) р | к\ — 1. Тогда

z £ (3(xiX23i Лж| 1 - 'д2 Л Х1Х2 5 i ) ) •

б) р | A;i. Пусть к\ — tp^k+l + sp^k, О < 5 < р, к ^ 1. Если &i > p^fc, то

a(4

^fcl

"

^pfc)

rc

²

5i л 4

^р/г)

д! л жр^з^),

a ( 4f c l~2 )^ 2 3 i Л х?)д1Лх?)х2д1)У Если &i = р^к, то z выражается через о;!, $2 Л ж^ <9i Е 52-

НЕРАСШЕПЛЯЕМЫЕ РАСШИРЕНИЯ ОБШЕЙ А Л Г Е Б Р Ы ЛИ 73

в) к\ — sp 4- г, г > 1, 5 ^ 1. В этом случае

z G (d(xiX2d1Ax{spkjtl)d1Ax{r)x2d1)^ . ' г) 3 ^ fci < р. Тогда

k\Z = d ( : E i X 2 # i 1 _ ^ 2 Л Х\Х2д\ Л £2 ^ 2 ) - 9 ( x i X 2 9 i Л х[ 1 _ ^ 2 Л Х\Х^ д\) .

9. z = ^Xlx²di Л 4^{f c l )}4^{f c 2 )}di ^ ^-

Учитьгоая п. 6, п.9 остается рассмотреть в случае, когда к\ ^ 1, к² > 2.

а ) р { fci — 1. Тогда

2 Е (<9(o;i£2di Л а^ г'д\ Л £i£2 di),d(xi£2<9i Л х\ Х2д\ Л ж2 2 З г ) ) . б) ^2 | ^2 ² • В этом случае

*

^a

(fc2-i№-2)(fa-3)

^{z s}

Ы ^ ) ^ ^

^Л

,(

^fe1

)4

^fc2

-

¹⁾

a

¹

л 4

^{2 )}

а

²

) - а(ж1х<

²⁾

а! л 4

^fcl)

4

^fc2_1)

di л 4

^{2 )}

з

²

)

+ 3d(a;ia;2di Л 4^fel)4^fe2~²⁾<9i Л 4^{3 )}5²) . в) fci = 1, fc² = «P^fc + 2, 0 ^ г < 4, s = О и л и р - ^ .

Если &2 > Р^к, то

г е (d(zix2c>i A i i 4f e 2 _ p f c + 1 )5 i л 4р , С )3 2 ) ,

d{x

^l

x

^{

f

⁾

d

^l

л x i ^ a i л x^

2 _ p f c + 1 )

a

²

)).

Если &2 = P^fc, то z € 5².

ю. 0 = 4

2 )

9iA4

f c l )

4

f c 2 )

3ie>-

a) fci = 0, Е с л и р | fc², ^^{2 —} 3,то

г = a d ( 42 )d i Л 4fe2_1)C',i Л ( z ^ d i + х^д^)).

При fc2 = spk + 3,р\ s имеем

z = / 3 d ( 424 Л 4s p f c )3i Л ( х ^ Ч + 244)<Э2)).

Если fc2 = spk, p \ s, то

г

=

⁷

9 й

^{2 )}

э ! л 4

^(s_1)pfc)

3i л on4

^{p f c}

4 +±4

⁴⁾

з

²

))-

Пусть, далее, к\ = sp^k +t,0 ^t < p,s=0 или р \ s.

74 А. С. Д Ж У М А Д И Л Ь Д А Е В , У. У. УМИРБАЕВ

б) Ьф О, 3. Тогда

z Е ( 5 ( 4^{2 )}^ 1 Л х^дг Л х[^к1-¹⁾х^(2к2)д¹),д(х¹х²д¹ Л xfd² Л х[^к^Ц*²^)) • в) £ = 3. В этом случае

г е («9(4

2)

^i л 4

3 ,

5 ! A^

fcl

-

2)

4

fc2)

5i),

д(х^дг Л ^2 )52 Л a r if c l-3 )4 *2 + 1 ) • • - ^ i ) ,

d{xf

⁾

x

²

d

¹

A xfd

²

л 4*

^{1 - 2 )}

4*

^{2 )}

й)>

a(a;[2)ai Л х ^ й Л 4f c l-2 )4f c 2 + 1 )d i ) ) . г) * = 0. Тогда

* € {д^дг Лх{рк)дг Лх^-^х^д!),

д(х{рк)д1Ах22)д2Ах^-рк)х^+1)д1)).

1 1 . ^ = ххх2д2 А х^х^дг € V.

Пусть к² = sp^k + t, 0 ^t < р, 5 = 0 или р \ s. Если £ ^ 3, то по п. 7 г: € V.

а) 5 ^ 1, t ^ 1. Если ki + к² ^ р^к + 2, то г по модулю

д(х

^1Х2

д

²

А х

⁽

/

⁺¹⁾

д

²

А х[

^к1)

х?

³

-

^рк)

д

¹

)

выражается через х [ г х2 ~Р #2 Л х2 д2., Принадлежность последнего вы­

ражения пространству V легко показать, учитывая, что £ = 1,2.

При z = а^а^^г Л ^ 2 ^1 и м е е м

- z = 5(^1^252 Л х2 д\ Л ^i^2<9i) -f д(х2 д2 Л ^2 #2 A #i:£2<3i) = 0.

б) s ^ 1, £ = 0. Если &i ^ pm i — 1, то имеет место сравнение (^kl)z + д(х^1Х2д² А х^{рк)д, А хр^ЦЪ-^д!)

- д(х^+¹⁾х^-^рк)д² А х^д² А 4^{/ )}5¹) ЕЕ 0.

При к\ = pmi — 1 имеем сравнение

2z + д(х1х2д2 A 4f e l )^ i Л xxx^di) + d(x[kl)d2 А х22)д2 A xxx{k2)di) = 0.

в) к2 = 0. В этом случае

г + д(х1х2д2Ат(х[к1)д1)) е (d(x{ytl)d2Ax(2)d2Ax[t2)d1), d(x[^tl)d²Ax¥⁾d²Ax[^h)d¹))

НЕРАСЩЕПЛЯЕМЫЕ РАСШИРЕНИЯ О Б Щ Е Й А Л Г Е Б Р Ы Л И 75

ДЛЯ ПОДХОДЯЩИХ t i , ^ 2 •

Теперь осталось рассмотреть только те случаи, когда к2 — 1, 2.

Пусть к\ — 1р^к 4- г, / = 0 илир | 1\ 0 ^ г < р, к ^ 1.

г) г ^ 3. Тогда вьшолняется сравнение

fc

²

(fci - 2) (

^к

£\ z + a(xix

²

ai2 л 4

^{2 )}

^2* л 4

^fcl

^

²⁾

4

^fc2)

^i)

= fc2(Jfei - гЩх^'^х^дг Ах^)д1Ах1х2д2).

д) г = 2. Тогда можно считать, что &i + fc2 ^ 4, и справедливо сравнение fcl

,

⁺

(

^fc

i - Dfo -

⁴

> a f r c * ' -

¹

^ ^ л 4

²⁾

5i л х ^ )

- 30(xia;2'92 Л 43 )^ i Л 4f e l _ 2 )4f e 2 ) ai )

- с ^ Ч Л х^х2д2 Л а ^1 - 2^ * ^ ) = 0.

е) I ^ 1. Приki + к2^ рк +2цепь

*Л fciz + а(х

^1Ж2

а

²

л x

^(xpfc)

x

²

a

²

л 4

^fel

"

^pfc)

4

^fc2)

^)

выражается через д(х± 'х2д2Лх-[ д\ f\x\ х р 'х^ d i ) . Если,г = x i x²3² Л х^ x²di,TO

z = д(х

²²⁾

дг л x^di л х

⁽

!

^{Р )}

дг) + 2д(х

⁽

? ^ л 4

²⁾

3i л xix

²

di)

- d(xix²d² Л Xi д\ Л xix²<9i) - д(х± '<Э² Л х² 'д² Л x i x²d i ) = 0.

12. г = х⁽?⁾д²Лх[^к1)д1 € V.. . Пусть fci = sp^fc + r, 5 = 0 или р { s, 0 ^ г < р.

а) г ф 0, 3. Тогда

fcl(fcl2

~

³⁾

^ = а(4

²⁾

а

²

лх

⁽¹²⁾

а

¹

л4'°

¹

-

¹⁾

з

¹

)+а(4

²⁾

а

²

лх

¹

х

²

а

²

л4'

^г1

-

¹⁾

а

¹

) = о.

б) г = 3, s > 1. В этом случае 3* + <Э(4²⁾д² Л x[^spk+2)d² Л x i x ^ )

- з д ( 4

^{3 }}

9 i л х ^ э , л 4

^{2 )}

1 2 % ) s w ^ i z * л 4

^{8 р 1 >}

а

²

.

Последнее выражается через

а(х

⁽¹²⁾

а

¹

лх

⁽¹³⁾

х

²

э

²

лх

^{(15р ]}

д

²

).