§ K [ E K ( , ) ( ) , , ( ) E ¨¨ ¸¸ ³ E t dt K

1212

     

 



, ,

  

, ,

 

( ) . 2

) 1 ( )

1 (

) ( ,

, )

( )

, (

1 1

0 1

2 3 2

1

1 2 1 0

1 2 1 1

1

dt t t

F t F

t t

dt t t

t F

t

u _t

































 



 









 



 









 



  



 

 















 



 



  

 



 

 

(11)

Осыдан келесі бағалауды аламыз:

4 , )

( 3

| ) , (

| ^{1 1}

1

2 1 1

1







 

 







 ^{  }  ^









  

 ^N



^{t t dt N}

u (12)

мұндағы max



, | ( )|, | ( )|



, max| ₁ ( )|.

] 1 , 0 0 [

] 1 1 , 0

1 [ N N F t N F t ал N t

N _t

t

t 



 

 (12) теңсіздігінен

4 1 2

1  

  болған кездегі 1-теореманың тұжырымы шығады.

2-Теорема. Егер , (0) 0, (0) 0 2

,1 2 0

,1 0 )

( ^{2 1}   







 



   

 x C C болса, онда  1 болғанда

Гурса есебінің C²(D)C(D)класында шешімі бар болу үшін



^{1     }

0

4 1 1

, 0 )

(t t ^k dt

  (13)

мұндағы,



 

 



 

 4

1 4 егер 1 4 ,

..., 1 , 2 ,

1   

k және

.

4 1 4 егер 1 , 4 1 ..., 1 , 2 ,

1 

 

 



 

    

k

теңдігінің орындалуы қажетті және жеткілікті.

Қолданылған әдебиеттер тізімі

1. Кальменов Т.Ш. Критерий непрерывности решения задачи Гурса для одного вырождающегося уравнения // Дифф. уравнения, 1972, Т. 8, №1.

2. Сабитов К.Б. Уравнения математической физики: Учеб. пособие для вузов. – М.:

Высш.шк., 2003, 255 с.

3. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие транцендентные функции. - М., «Наука», 1965.

УДК 517.5

О МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ КРАТНЫХ РЯДОВ В ПРОСТРАНСТВАХ ЛОРЕНЦА СО СМЕШАННОЙ МЕТРИКОЙ

Ыдырыс Айжан Жҧмабайқызы aizhanyd@gmail.com

Докторант 2 года обучения кафедры фундаментальной математики ЕНУ им. Л.Н.Гумилева, Астана, Казахстан

Научный руководитель – Е.Д. Нурсултанов

Задачи, связанные с мультипликаторами, были рассмотрены в работах М.Рисса, Г.Марцинкеевича [1], И.Стейна [2], и другие [3, 4, 5]. Задачу можно сформулировать следующим образом:

1213

Пусть 1 pq, 0r. Будем говорить, что последовательность комплексных чисел 

 

_{k kZ} является мультипликатором тригонометрических рядов Фурье из L_p,r[0,1] в

] 1 , 0

,r[

Lq , если для любой функции f L_p,r[0,1] с рядом Фурье ^ikx

Z k

e k fˆ( ) ^2





найдется функция f из L_q,r[0,1] с соответствующим рядом Фурье ^ikx

Z k

kf k e ^

 ˆ( ) ²





и оператор T_,T_f  f_ является ограниченным оператором из L_p,r[0,1] в L_q,r[0,1]. Множество всех мультипликаторов обозначим через m^q_p^,_,^r_r, оно является линейным пространством с нормой

. sup

sup

, ,

0 pr

r N q f

N f

f S _







Будем рассматривать m- мерное пространство Лоренца со смешанной метрикой [6].

Если f L_p,r[0,1]^m, то норма задается так:

, ...

) ,..., ( ...

, ,

, 1 _{1 1}

m mr r p m p r

p f x x

f 

где норма

i ir p,

 берется по переменной x_i.

Пусть E{ (₁,...,_m) :_i 0 или _i 1,i1,...,m}- вершины единичного куба в R^m. Тогда верны следующие результаты:

Лемма. Пусть 1 pq,0 и 1 1. 1,

1 1

0   p q   p q Тогда верно неравенство:

1 . )

(

sup ,

1

1 

 





X p k

X q m k m

f k C

m f S

k 

































^ 

 

Теорема. Пусть 1 p(p₁,...,p_m)q(q₁,...,q_m),0r(r₁,...,r_m)и 1.

, 1 1 1 1

0   p q   p q Если последовательность комплексных чисел  

 

k _k_N^m

удовлетворяет следующим условиям E

, ) ,..., (

sup ₁

1 1









 

  



 



 











 

^{m m}

j

s j m

i i N k

k k s

k ^{i i j}

i

где ... _,..., ,

1

1 m s sm

s 

 _{ }

  

 то m^q_p^,_,^r_r и

, ,

,



 qr c

r

mp  где c0 зависит только от p,q,r.

Список использованных источников

1. J. Marcinkiewicz. Sur les multiplicateurs des series de Fourier // Studia Math., 1939, № 8, Р. 78-91.

2. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. – М.:

Мир, 1973, 342 с.

3. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. – М.: Мир, 1965, 537 с.

4. Лизоркин П.И. О мультипликаторах интегралов Фурье в пространствах L_p, //

Труды МИРАН им. В.А. Стеклова, 1967, № 139, С. 231-248.