PDF Астана

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ Л.Н. ГУМИЛЕВ АТЫНДАҒЫ ЕУРАЗИЯ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ

Студенттер мен жас ғалымдардың

«Ғылым және білім - 2014»

атты IX Халықаралық ғылыми конференциясының БАЯНДАМАЛАР ЖИНАҒЫ

СБОРНИК МАТЕРИАЛОВ

IX Международной научной конференции студентов и молодых ученых

«Наука и образование - 2014»

PROCEEDINGS

of the IX International Scientific Conference for students and young scholars

«Science and education - 2014»

2014 жыл 11 сәуір

Астана

УДК 001(063) ББК 72

Ғ 96

Ғ 96

«Ғылым және білім – 2014» атты студенттер мен жас ғалымдардың ІХ Халықаралық ғылыми конференциясы = ІХ Международная научная конференция студентов и молодых ученых «Наука и образование - 2014» = The IX International Scientific Conference for students and young scholars «Science and education - 2014».

– Астана: http://www.enu.kz/ru/nauka/nauka-i-obrazovanie/, 2014. – 5830 стр.

(қазақша, орысша, ағылшынша).

ISBN 978-9965-31-610-4

Жинаққа студенттердің, магистранттардың, докторанттардың және жас ғалымдардың жаратылыстану-техникалық және гуманитарлық ғылымдардың өзекті мәселелері бойынша баяндамалары енгізілген.

The proceedings are the papers of students, undergraduates, doctoral students and young researchers on topical issues of natural and technical sciences and humanities.

В сборник вошли доклады студентов, магистрантов, докторантов и молодых ученых по актуальным вопросам естественно-технических и гуманитарных наук.

УДК 001(063) ББК 72

ISBN 978-9965-31-610-4 © Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық

университеті, 2014

2311

УДК 519.8

ОБ ОДНОЙ МОДЕЛИ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ РАЗМЕЩЕНИЯ

И ПОЛЯ ДЕЙСТВИЯ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ИСТОЧНИКОВ В НЕПРЕРЫВНОЙ СРЕДЕ

Гранкина Наталья Александровна grankinanatalia@gmail.com

студентка факультета прикладной математики Днепропетровского национального университета им. Олеся Гончара, Днепропетровск, Украина

Научный руководитель – Л.С. Коряшкина

На практике часто встречаются задачи оптимального размещения некоторых объектов (сервисных центров) в непрерывной среде, создающих в совокупности территориальное

«поле обслуживания» для «клиентов», находящихся в данном ареале. Примером таких задач является, например, приведенная в [1] задача оптимального планирования лучевой терапии злокачественных новообразований, в которой требуется распределить заданное число источников облучения внутри (на) пораженной области так, чтобы дозовое поле (совокупный эффект действия источников) было как можно более однородным.

В данной работе представлена математическая модель задачи размещения источников облучения в (на) области, которая является модификацией модели, предложенной в [1] и сформулирована с применением элементов теории непрерывных задач оптимального разбиения множеств [2]. Построенная модель предполагает привлечение для ее численного решения методов недифференцируемой оптимизации, таких как метод проекции обобщенного градиента или метод обобщенного градиентного спуска с растяжением пространства в направлении разности двух последовательных градиентов – r-алгоритм Н.З.

Шора. Также, для сравнения результатов вычислений, реализованы эвристические алгоритмы решения подобных задач.

Математическая постановка задачи. Пусть  – ограниченное множество из пространства Eⁿ,n1,2,3. Обозначим через i 



i¹,...,iⁿ



,ⁱ1,^N , источники воздействия на среду, которые требуется разместить (рис. 1). Пусть влияние каждого i-ого источника в точке x характеризуется функцией d_i(r_i)d_i( x_i ),i1,N, где



– евклидова норма. Совокупный эффект действия всех источников _i,i1,N, в точке x образует поле действия D(,x), определяемое выражением:

) (

) , (



1





 ^N

i

i

i x

d x

D  . (1)

Требуется разместить в источники _i,i1,N таким образом, чтобы максимизировать минимальный уровень поля D(,x) в рассматриваемой области  (в предположении, что

«слипание» источников недопустимо). Другими словами, нужно так расположить источники, чтобы дозовое поле на всей области  было как можно более однородным.

Математически это требование записывается так:

min ( , ) max

x D x N





   . (2)

2312

Рисунок 1 – Размещение трех источников в двумерной области 

В отличие от модели в [1], где в качестве функции влияния источника d_i(r_i), выбиралась степенная функция при  2, в данной работе предлагается рассматривать функции вида:

), exp(

)

( _{i i i i}

i r Q r

d    (3) где Q_i – интенсивность (или мощность) і-го источника;



_i>0 – параметр функции, который показывает, насколько «широко» действие соответствующего источника



_i (подбирается экспериментально); r_i  x_i , i1,N. На рис. 2, 3 изображены графики функций (3) и функции совместного влияния (1) заданного количества источников, расположенных в определенных точках на множестве =[0,1], имеющих различные интенсивности .

Рисунок 2 – Дозовое поле, образованное двумя источниками: _i=20, Q_i=5200, і=1,2

Рисунок 3 – Дозовое поле, образованное двумя источниками: _i=30, і=1,2,3

( ) 1

i i

i

d r  r

^

Q

i

2313

Выбор вида функций влияния источников обосновывается следующими соображениями.

Степенные функции вида 1 , 0 )

(  _   r r

d , удовлетворяющие условию d_i(0), обладают той «неприятной» с вычислительной точки зрения особенностью, что вызывают необходимость «выкалывания» этих точек при вычислении значения функции (1), реализуя тот или иной алгоритм решения задачи. Это затрудняет или делает почти невозможным применение к решению поставленной задачи максимизации численных методов, хорошо зарекомендовавших себя даже при решении задач недифференцируемой оптимизации, сходимость которых теоретически обоснована. Функции вида (3) лишены указанного недостатка.

Результаты вычислительных экспериментов по реализации представленной модели задачи оптимизации размещения и поля действия источников влияния в непрерывной среде показывают, что в некоторых случаях происходит «слипание» источников, т.е. размещение некоторых из них достаточно близко друг от друга. На практике это часто недопустимо, что вызывает необходимость уточнения математической модели задачи.

В данной работе предлагается следующий подход к учету требования недопустимости

«слипания» источников. Введем в рассмотрение класс P_N() всех возможных разбиений множества  на N подмножеств:

 







          







N j i j i mes

P _{i j}

N

i i N

N( ) ( ,..., ): , 0, , , 1,

1

1





 ,

где

mes ( )

– мера Лебега.

С каждой точкой



_i будем ассоциировать подмножество _i, входящее в одно из возможных разбиений  (₁,...,_N)P_N(). Это подмножество будем рассматривать как зону (область) интенсивного влияния і-ого источника (рис. 4).

Рисунок 4 – Возможное разбиение области



на 3 подмножества

Наряду с местами расположения в области  источников , i1,N, будем искать и разбиение  (₁,...,_N)P_N(), такие что:

N i b dx x

d_{i i i}

i

, 1 , )

(   





 , (4)

а функция достигала своего максимального значения.

Здесь значения b_i,i 1,N, считаются известными. Эти параметры задают максимально возможное воздействие соответствующего источника на выделенной

i

1,

( , ) min min ( , )

x i

i N

I

 

D



x



 

2314

подобласти, которое может считаться нормативным (с целью недопущения возникновения побочных эффектов).

Следует заметить, что если в качестве функций влияния источников выбираются функции вида (3), то параметры

Q

_i могут быть неизвестными заранее, а определяться совместно с местом расположения источников и разбиения области



на зоны их интенсивного влияния.

Список использованных источников

1. Клеппер Л.Я. Оптимизация поля действия конечного числа источников в непрерывной среде/ Экономика и математические методы. – 2009. – Т. 45. – № 2. – С.

113 – 119.

2. Киселева Е.М., Коряшкина Л.С. Модели и методы непрерывных задач оптимального разбиения множеств: линейные, нелинейные, динамические задачи / К.: Наукова думка. – 2013. – 606 с.

УДК 519.6

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РАСЧЕТА ПЕРЕНОСА ЗАГРЯЗНЕНИЙ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

Дерий Вероника Станиславовна deriyveronika@mail.ru

студентка Днепропетровского национального университета имени О. Гончара, Днепропетровск, Украина

Научный руководитель – А.А. Кочубей

Ухудшение качества поверхностных вод, обеднение, а кое-где и истощение их запасов, интенсивно продолжающееся в последние десятилетия, заставляют все чаще обращаться к грунтовым водам, как источнику водоснабжения.

Однако в последние годы возникает все больше проблем с качеством грунтовых вод: к традиционному избыточному засолению грунтовых вод сейчас добавилось загрязнение широким спектром химических, радиоактивных и биологически активных веществ, которые могут не только составить угрозу здоровью людей, потребляющих эту воду, но и нанести существенный ущерб сельскому хозяйству (как животноводству, так и растениеводству).

Следует выделить два антропогенных источника загрязнения грунтовых вод: загрязнение поверхностных водоемов, происходящее, в первую очередь, вследствие сброса в эти водоемы сточных вод и отходов сельскохозяйственного производства, а также попадания в них загрязненных атмосферных осадков; загрязнение поверхностных слоев почвы, в которых доминируют химические вещества, применяемые в сельском хозяйстве в качестве удобрений, гербицидов и пестицидов, кроме того, в загрязнение грунтов могут внести существенный вклад загрязненные атмосферные осадки. Что касается загрязнения биологически активными веществами, то эта тенденция наиболее остро проявилась в последнее время, и выражается она не только в прямом попадании в грунтовые воды указанными выше путями разнообразных органических отходов, но и в нежелательных биологических процессах, происходящих в биологических отходах. Отличительной чертой процессов загрязнения грунтовых вод являются значительные характерные времена процесса. С другой стороны, значительная часть загрязнений поверхности почвы носит бессистемный, случайный, хаотичный характер, то есть, одноразовое локальное загрязнение может проявиться на удаленном водозаборе через достаточно длительное время, вплоть до нескольких лет. Учитывая сложную структуру грунтов, неканонические формы водоносных грунтов, а также значительные трудности в исследовании их формы, структуры и состава