PDF ИНФОРМАТИКА

ИНФОРМАТИКА

А.А. Адамов, Т.Б. Акишев

Один итерационный метод для определения коэффициента теплоотдачи грунта

(Евразийский нацональный университет им. Л.Н. Гумилева, г.Астана) (Экибастузский инженерно - технический институт им. К. Сатпаева, г.Экибастуз)

В работе изучается кондуктивное распространения тепла в неоднородной среде. Предлагается новый итерационный метод, предназначенный для определения коэффициента теплоотдачи грунта в окружающую среду.

На практике часто сталкиваются проблемой определения коэффициента теплоотдачи грун- та в окружающую среду. В настоящее время существуют многочисленные эмпирические фор- мулы для определения выше указанной характеристики грунта. Большое разнообразие этих формул указывают на неточность приведенных формул [1]. Поэтому, в настоящей работе при- водится метод, отличающийся от других методов тем, что с помощью данного метода опреде- ляются характеристики грунта, не извлекая пробу грунтов земляного участка. Прямые задачи решения уравнения теплопроводности для кондуктивного распространения тепла изучена в работе [3]. Обратные задачи для уравнении математической физики изучены в работах [4-8], а решение обратной коэффициентной задачи для уравнении теплопроводности исследованы в работах [9-13].

1. Постановка задачи

В областиQ= (0, H)×(0, T)рассматривается кондуктиное распростронение тепла в грунте γ₀∂θ

∂t = ∂

∂z

λ∂θ

∂z

, (1)

λ∂θ

∂z

z=H =−α θ

z=H −T_b(t

, θ(0, t) =T1, θ(z,0) =θ0(z). (2) и задается дополнительное условие

θ(H, t, α) =Tq(t (3)

Здесьγ₀- удельная масса грунта, ^кг

м³; с-коэфицент теплоемкости грунта _{кг.град.}^ккал ;

α- коэфицент теплоотдачи грунта в окружающую среду,_м2.chas^ккал_.град..;T_b =T_b(t)- температура окружающей среды (воздуха);T_q=T_q(t)- заданная температура грунта на поверхности земли.

Ось направлена вверх,z=Hповерхность земли.T1 - температура грунта на неизменном слое, причемT1 =const. Введем обозначение θ(z, t) =θ(z, t)−T1. Тогда

γ₀c^∂θ_∂t = _∂z^∂ λ^∂θ_∂z

, λ^∂θ_∂z

z=H =−α(θ

z=H −T_b(t)), θ(0, t) = 0, θ(z,0) =θ0(z).

Где T_b(t) =T_b(t)−T₁.Функцию θ(z, t)обозначим снова черезθ(z, t). Тогда γ0c∂θ

∂t = ∂

∂z ∂θ

∂z

, (4)

А.А. Адамов,Т.Б. Акишев

λ∂θ

∂z

z=H =−α θ

z=H −T_b(t)

, θ(0, t) = 0, θ(z,0) =θ0(z). (5) Начальное условие θ₀(z) определяем так:

θ₀(z) = ^zT_H^q(0). В этом случае имеются место условия согласования

θ₀(0) = 0, θ₀(H) =T_q(0).

Зная температура грунта на поверхности земли T_q(t), требуется определить коэффицент теплоотдачи α.

2.Интерационная формула

Задается начальное приближение коэффицента теплоотдачи αn, тогда соответствующая система имеет вид

γ0c^∂θ_∂tⁿ = _∂z^∂ λ^∂θ_∂zⁿ , λ^∂θ_∂zⁿ

z=H =−α_n θⁿ

z=H

−T_b(t)

, θⁿ(0, t) = 0, θⁿ(z,0) =θ₀(z).

гдеθⁿ(z, t) =θ(z, t, αn).

Для следующего значения коэффицента теплоотдачи α_n+1 дифференциальная задача за- писывается в виде

γ0c^∂θ_∂tⁿ⁺¹ = _∂z^∂

λ^∂θ_∂zⁿ⁺¹ , λ^∂θ_∂zⁿ⁺¹

z=H =−α_n+1 θⁿ⁺¹

z=H

−T_b(t)

, θⁿ⁺¹(0, t) = 0, θⁿ⁺¹(z,0) =θ₀(z).

Здесь θⁿ⁺¹(z, t) = θ(z, t, α_n+1).Тогда для разности ∆θ = θⁿ⁺¹ −θⁿ и ∆α = α_n+1 −α_n справедлива система

γ₀c∂∆θ

∂t = ∂

∂z

λ∂∆θ

∂z

, (6)

λ∂∆θ

∂z

z=H =−∆αθⁿ⁺¹

z=H −αn∆θ

z=H + ∆αT_b(t),∆θ(0, t) = 0,∆θ(z,0 = 0. (7) Умножим (6) на произвольную функцию ψ(z, t) и интегрируем по области Q = (0, H)× (0, T). Тогда, применяя формулу интегрирования по частям, выводим

−γ₀c Z T

0

Z H

0

∆θ∂ψ

∂tdtdz= Z T

0

λ∂∆θ

∂z ψ

z=Hdt− Z T

0

Z H

0

λ∂∆θ

∂z

∂ψ

∂zdtdz (8)

при этом предполагается, что

ψ(z, T) = 0, ψ(0, t) = 0.

Еще раз применяя формулу интегрирования по частям и учитывая (7) из (8) получим

−RT 0

RH 0

h

−γ₀c^∂ψ_∂t +_∂z^∂

λ^∂ψ_∂z i

∆θdtdz=−RT

0 ∆αθⁿ⁺¹(H, t)ψ(H, t)dt− RT

0 αn∆θ(H, t)ψ(H, t)dt−RT 0

λ^∂ψ_∂z∆θ

z=Hdt+RT

0 ∆αT_b(t)ψ(H, t)dt.

179

Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰҮ Хабаршы - Вестник ЕНУ им.Л.Н. Гумилева, 2010, №4

Функция ψ(z, t) подбирается так, чтобы γ₀c^∂ψ_∂t +_∂z^∂

λ^∂ψ_∂z

= 0

Тогда Z T

0

λ∂ψ

∂z

z=H+αnψ(H, t)

∆θ(H, t)dt=− Z T

0

∆αθⁿ⁺¹(H, t)ψ(H, t)dt+ Z T

0

∆αT_b(t)ψ(H, t)dt (9) На поверхности земли ставится граничное условие

λ^∂ψ_∂z

z=H +αnψ(H, t) =−2 (θ(H, t)−Tq(t))

Поставляя последнее равенство в (9) с учетом того, что θⁿ⁺¹=θⁿ+ ∆θвыводим

2 Z T

0

(θ(H, t)−T_q(t)) ∆θ(H, t)dt= Z T

0

∆α(θⁿ(H, t)−T_b(t))ψ(H, t)dt+ Z T

0

∆α∆θψ(H, t)dt (10) Следующее значение коэффициента теплоотдачи определяется из условия минимизации функционала

J(α) =RT

0 (θ(H, t)−T_q(t))²dt Тогда из формул

J(α_n) =RT

0 (θ(H, t, α_n)−T_q(t))²dt, J(α_n+1) =RT

0 (θ(H, t, α_n+1)−T_q(t))²dt.

имеем равенство

J(α_n+1)−J(α_n) = 2RT

0 (θ(H, t, α_n)−T_q(t)) ∆θ(H, t)dt+RT

0 (∆θ(H, t))²dt.

С учетом (10) приращение фуекционала имеет слудующий вид J(α_n+1)−J(α_n) =RT

0 ∆α(θⁿ(H, t)−T_b(t))ψ(H, t)dt+RT

0 ∆α∆θψ(H, t)dt+RT

0 (∆θ(H, t))²dt.

В этом случае градиент функционала записывается в виде

∇J =RT

0 (θⁿ(H, t)−T_b(t))ψ(H, t)dt=B_n,

а слудующие значение коэффициента теплоотдачи определяется по форуле α_n+1=α_n−β_nRT

0 (θⁿ(H, t)−T_b(t))ψ(H, t)dt.

3.Алгоритм

1⁰) Задается начальное приближение α_n 2⁰) Решается прямая задача

γ0c^∂θ_∂z = _∂z^∂ λ^∂θ_∂z λ^∂θ_∂z

z=H =−α_n(θ(H, t, αn)−T_b(t)), θ(0, t) =T1, θ(z,0) =θ0(z);

180

А.А. Адамов,Т.Б. Акишев

и определяетсяθ(H, t, αn).

3⁰) Решается сопряженная задача γ₀c^∂ψ_∂t +_∂z^∂

λ^∂ψ_∂z

= 0 λ^∂ψ_∂z

_z=H+α_nψ(H, t) =−2 (θ(H, t, α_n)−T_q(t)), ψ(z, t) = 0, ψ(0, t) = 0 и определяетсяψ(H, t).

4⁰) Слудующее значение коэффициента теплоотдачи определяется по α_n+1=α_n−β_nRT

0 (θⁿ(H, t, α_n)−T_b(t))ψ(H, t, α_n)dt.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мартынов Г.А. Тепло - и влагоперенос в промерзающих и оттаивающих грунтах. Основы геориологии (мерзлотоведения)(под. ред.Н.А. Цытович. гл VI)- М.: 1959.- C. 153-192

2.Чудновский А.Ф. Теплобмен в дисперсных средах. - М.: Гостехиздат, 1954.- 444c

3.Рысбайұлы Б., Адамов А.А. Исследвание изменений телоемкости фазовой зоны в мнослой- ном грунте

Доклады НАН РК.2007-№4. - C. 14-17

4.Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена - Москва: Машиностроение, 1988.-280 c.

5. Кабанихин С.И., Бектемисов М.А., Нурсейтова А.Т. Интерационные методы решения об- ратных и некорректных задач с данными на части границы - Алматы-Новосибирск,2006.-426с.

6.Кабанихин С.И. Обратные некорректные задачи.-Новосибирск,2009.-457 c.

7.Кабанихин С.И.,Искаков С.Т. Обратные и некорректные задачи для гиперболических уравнений - Алматы,207.-331 с.

8.Атанбаев С.А., Кожабекова П.А. Расчет теплового состояния почв и грунтов пл данным нестанцинарного теплфизического эксперимента// ДАН НАН РК, 2008.- №4, -C. 36-39

9.Рысбайұлы Б. Идентификация коэффициента теплопроводности распростронения тепла в неоднородной среде//Вестник КБТУ,2008.-№1- C. 62-65

10.Рысбайұлы Б., Байманкулов А.Т., Махамбетова Г.И. Обратная задача кондуктивного распространения тепла в однородной среде//Вестник НАН РК,2008.-№1- C. 11-13.

11.Рысбайұлы Б., Байманкулов А.Т., Исмаилов А.О. Разностный метод определение коэффи- циента теплопроводности грунта в процессе промерзаний//Вестник НАН РК,2008,-№2.-C.7-9.

12.Байманкулов А.Т. Определение коэффициента диффузии почвенной воды в однородной среде//Вестник НАН РК2008.-№2.-C.7-9.

13.Рысбайұлы Б., Махамбетова Г.И. Обратная задача распространения температуры в неод- нородом грунте.//Алматы,Вестник КБТУ №4(7),2008.-C.75-78

Адамов А.А, Акишев Т.Б.

Грунттың жылу қайтару коэффициентiн анықтаудың бiр итерациялық әдiсi.

Жұмыста бейтектi ортамен жылудын кодуктивтi таралуы карастырылады. Сыртқы ортаға грунттың жылу бергү- штүк коэффициентүн табуға болатын итерациялық тәсүл ұсынылады.

Adamov A.A, Akishev T.B.

An iterative method for determining of the heat transfer coefficient of the soil.

In work it exploring conducted transmission of warm in hetereogeneous medium. There is a new iterative method for rating constant of coach transfer in environment.

Поступила в редакцию 12.04.10 Рекомендована к печати 25.05.10

181