PDF М.И. Арпабеков**, К.С. Шоланов*,

1

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ГОРНОГО

ВЫЕМОЧНОГО МАНИПУЛЯТОРА С ПРИМЕНЕНИЕМ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА-ЭЙЛЕРА

М.И. Арпабеков**, К.С. Шоланов*, Д.А. Аубакир**

*Казахский Национальный технический университет им. К.И. Сатпаева

**Евразийский Национальный университет им. Л.Н. Гумилева,

Введение. Цель динамического исследования заключается в получении требуемого динамического отклика управляемого от ЭВМ робототехно- логического комплекса подземных работ в горнодобывающей отрасли, чтобы этот отклик соответствовал некоторому заранее определенному множеству критериев. Эти критерии могут быть выражены через импульс и силы реакции и инерции, воздействующие на резцовые коронки. В общем случае проблема управления заключается в получении основных уравнений динамики робота в форме динамической модели горного автоматического выемочного манипулятора ВМФ-5 и ВМФ-6 в последующем определении законов управления, позволяющих достичь желаемого динамического отклика.

§ 1. Теория и практика горных выемочных манипуляторов

Как отмечалось выше, горный выемочный манипулятор, управляемый от ЭВМ, может моделироваться как разомкнутая кинематическая и динамическая цепь из нескольких твердых тел (звеньев), связанных последовательно вращательными сочленениями. Поскольку нам уже известно решение обратной задачи кинематики [1], мы найдем множество обобщенных углов 𝜃₁, которые позволят придать резцовой коронке положение и ориентацию, задаваемые через 𝑇_𝑖⁰ относительно базовой систе- мы координат. В статике и динамике роботов мы имеем дело с обобщенными силами 𝑓_𝑖 и моментами 𝑡_𝑖, позволяющими достичь требуемого усилия f и момента t на резцовой коронке. Таким образом, мы имеем дело с обратной задачей динамики манипуляторов – задачей вычисления обобщенных моментов, требуемых для получения заданных обобщенных координат скоростей и ускорений.

Существуют три подхода, позволяющих получить совокупность взаимосвязанных существенно нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих динамику ВMФ-5:

- представление динамики методом связных графов (разработан Хэнком Пейнтером в 1950 г.);

- представление динамики методом Ньютона-Эйлера;

- представление динамики методом Лагранжа-Эйлера.

2

В дополнение к этим методам представления динамики манипуляционных роботов известны два рекурсивных подхода – рекурсивный метод Ньютона-Эйлера и рекурсивный метод Лагранжа. Эти альтернативные подходы позволяют существенно уменьшить количество вычислений. Эффективность этих методов основана на совокупности рекуррентных связей между скоростями, ускорениями и обобщенными силами. Число сложений и умножений в этих методах изменяется пропорционально числу сочленении (n) в отличие от предыдущих методов с зависимостями от более высоких степеней n [2-5].

Основные уравнения являются обыкновенными нелинейными взаимосвязанными дифференциальными уравнениями второго порядка.

Каждое дифференциальное уравнение содержит большое число составляющих момента или силы, классифицируемых по четырем группам:

- инерционные силы или моменты, появляющиеся из-за наличия массы звеньев;

- силы или моменты реакции, вызванные ускорением других сочленений;

- центробежные и кориолисовы силы и моменты между сочленениями;

- гравитационные или нагрузочные силы и моменты в звеньях.

В связи с этим среди известных из этих подходов исследуем ВМФ-5, основанный на методе Лагранжа-Эйлера.

Этот метод будем использовать в сочетании с представлением систем координат в разомкнутых кинематических цепях методом Денавита- Хартенберга.

Общий метод получения уравнений с помощью подхода Лагранжа- Эйлера основан на следующем уравнении:

𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝑞_𝑖 − ^𝜕𝐿

𝜕𝑞_𝑖 = 𝜏_𝑖, (1) где L – функция Лагранжа 𝐿 = 𝑇 − 𝑉 ;

T – полная кинетическая энергия системы;

V – полная потенциальная энергия системы;

𝑞_𝑖 – обобщенные координаты, т.е. 𝜃_𝑖; 𝜏_𝑖 – обобщенные силы и моменты.

Для определения уравнений динамики горного выемочного автоматического манипулятора используем метод Лагранжа-Эйлера, т.е. для неконсервативных систем общего вида будем использовать уравнение (1).

Таким образом, нужно вычислить функцию Лагранжа 𝐿 = 𝑇 − 𝑉, где 𝑇 − кинетическая энергия, а 𝑉– потенциальная энергия ВМФ-5 и ВМФ-6.

Кинетическая энергия 𝑑𝑇 горного автоматического манипулятора тела массы 𝑑𝑚 равна

𝑑𝑇 = ^𝑛_𝑖=1𝑑𝑇_𝑖,

3

где 𝑑𝑇_𝑖 – кинетическая энергия тела массы 𝑑𝑚 𝑖 − го звена ВМФ-5, ВМФ-6 которая выражается следующим образом:

𝑑𝑇_𝑖 = 1

2∙ 𝑇𝑟 𝑣_𝑖𝑣_𝑖^𝑇 𝑑𝑚_𝑖

𝑣_𝑖𝑣_𝑖^𝑇 = 𝑣_1𝑖 𝑣_2𝑖 𝑣_3𝑖 0

𝑣_1𝑖𝑣_2𝑖𝑣_3𝑖0 =

𝑣_1𝑖² 𝑣_2𝑖𝑣_1𝑖 𝑣_3𝑖𝑣_1𝑖

0

𝑣_1𝑖𝑣_2𝑖 𝑣_2𝑖² 𝑣_3𝑖𝑣_2𝑖

0

𝑣_1𝑖𝑣_3𝑖 𝑣_2𝑖𝑣_3𝑖

𝑣_3𝑖² 0

0 0 0 0

𝑇𝑟 𝐴 = ^𝑛_𝑖=1𝐴_𝑙𝑖.

Таким образом, опираясь на уравнения преобразования Денавита–

Хартенберга, можно показать, что

𝜕𝐴_𝑖−1^𝑖

𝜕𝑞_𝑓 = 𝑄_𝑖𝐴_𝑖−1^𝑖 (2) где 𝑄_𝑖 – постоянная матрица.

Решение:

𝑄_𝑖 = 0 1 0 0

−1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

Определим величину 𝐷_𝑙𝑖 как

𝐷_𝑙𝑖 =^{𝜕𝐴0𝑖}

𝜕𝑞_𝑓 = 𝐴₀^𝑓−1𝐴_𝑓−1 ^𝑓 , 𝑗 ≤ 𝑖

0 𝑗 > 𝑖 . (3) Таким образом, опираясь на уравнения (2) и (3), получаем

𝑑𝑇_𝑖 =1

2𝑇𝑟 𝐷_𝑖𝑝𝑞 _𝑝𝑟_𝑖 𝐷_𝑖𝑟𝑞 _𝑟𝑟_𝑖

𝑖

𝑟=𝑖 𝑖 𝑇

𝑝=1

𝑑𝑚_𝑖

или окончательно

𝑑𝑇_𝑖 =1

2𝑇𝑟 𝐷_𝑖𝑝

𝑖

𝑟=1

𝑟_𝑖𝑑𝑚_𝑖𝑟_𝑖^𝑇

𝑖

𝑝=1

𝐷_𝑖𝑟^𝑇𝑞 _𝑝𝑞 _𝑟 .

Интегрирование дает

𝑇_𝑖 = 𝑑𝑇_𝑖 =1

2𝑇𝑟 𝐷_𝑖𝑝

𝑖

𝑟=1 𝑖

𝑝=1

𝑟_𝑖𝑟_𝑖^𝑇𝑑𝑚_𝑖 𝐷_𝑖𝑟^𝑇𝑞 _𝑝𝑞 _𝑟 .

4

Интегральный член в скобках является ни чем иным, как матрицей инерции звена i относительно начала системы координат сочленения i:

𝐽_𝑖 = 𝑟_𝑖𝑟_𝑖^𝑇𝑑𝑚_𝑖 =

𝑥_𝑖²𝑑𝑚_𝑖 𝑥_𝑖𝑦_𝑖𝑑𝑚_𝑖 𝑥_𝑖𝑧_𝑖𝑑𝑚_𝑖 𝑥_𝑖𝑦_𝑖𝑑𝑚_𝑖 𝑦_𝑖²𝑑𝑚_𝑖 𝑦_𝑖𝑧_𝑖𝑑𝑚_𝑖 𝑧_𝑖𝑥_𝑖𝑑𝑚_𝑖 𝑦_𝑖𝑧_𝑖𝑑𝑚_𝑖 𝑧_𝑖²𝑑𝑚_𝑖

𝑥_𝑖𝑑𝑚_𝑖 𝑦_𝑖𝑑𝑚_𝑖 𝑧_𝑖𝑑𝑚_𝑖 𝑥_𝑖𝑑𝑚_𝑖 𝑦_𝑖𝑑𝑚_𝑖 𝑧_𝑖𝑑𝑚_𝑖 𝑑𝑚_𝑖

.

Выражая J_i через тензор инерции I:

𝐼_𝑖𝑗 = 𝐼 =

𝛿_𝑖𝑗 𝑥_𝑘²

𝑘

− 𝑥_𝑖𝑥_𝑗 𝑑𝑚, 𝑖 = 𝑗, 𝑥_𝑖𝑥_𝑗𝑑𝑚, 𝑖 ≠ 𝑗,

,

получаем

𝐼_𝑖𝑗 =

−𝐼_𝑥𝑥 + 𝐼_𝑦𝑦 + 𝐼_𝑧𝑧 /2 𝐼_𝑥𝑦 𝐼_𝑥𝑧

𝐼_𝑥𝑦 𝐼_𝑥𝑥 − 𝐼_𝑦𝑦 + 𝐼_𝑧𝑧 /2 𝐼_𝑦𝑧

𝐼_𝑥𝑧 𝐼_𝑦𝑧 𝐼_𝑥𝑥+ 𝐼_𝑦𝑦 − 𝐼_𝑧𝑧 /2

𝑚_𝑖𝑥_𝑖 𝑚_𝑖𝑦 _𝑖 𝑚_𝑖𝑧 _𝑖 𝑚𝑖𝑥 _𝑖 𝑚_𝑖𝑦 _𝑖 𝑚_𝑖𝑧 _𝑖 𝑚_𝑖

,

где x _i, y _i и z_i – координаты центра масс звена I в i-й системе координат.

Таким образом, полная кинетическая энергия манипулятора равна

T = T_i =¹

2 ⁿ_i=1 ⁱ_p=1 ⁱ_r=1 Tr D_ipJ_iD_ir^T q _pq _r

ni=1 (4)

Потенциальная энергия выемочного манипулятора ВМФ-5. Полная потенциальная энергия, связанная с весом манипуляционного робота, по- прежнему определяется как сумма всех потенциальных энергий отдельных звеньев. Следовательно,

𝑉 = ^𝑛_𝑖=1𝑉_𝑖 = ^𝑖_𝑖=1 −𝑚_𝑖𝑔 ∙ 𝐴_𝑜^𝑖𝑟 _𝑖 , (5) где r _i – вектор положения центра масс i-го звена, выраженный в i-й системе координат, а g – вектор ускорения свободного падения.

Функция Лагранжа L = T − V.

Из формул (3.4, 3.5) получаем:

𝐿 =1

2 𝑇𝑟 𝐷_𝑖𝑝 𝐽_𝑖 𝐷_𝑖𝑝^𝑇 𝑞 _𝑝𝑞 _𝑟 + 𝑚_𝑖𝑔 ∙ 𝐴₀^𝑖𝑟 _𝑖

𝑛

𝑖=1 𝑖

𝑝=1 𝑖

𝑗 =1 𝑛

𝑖=1

.

5

Вспомните, что мы пытаемся вывести уравнения динамики с помощью уравнений Лагранжа-Эйлера, т. е.

𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝑞 𝑖 − ^𝜕𝐿

𝜕𝑞 𝑖 = 𝜏_𝑖, 𝑖 = 1,2 … 𝑛. (6) Заметим, что

𝜕𝐿

𝜕𝑞 _𝑘=1

2 𝑇𝑟 𝐷_𝑖𝑗𝐽_𝑖𝐷_𝑖𝑝^𝑇 𝑞 _𝑝𝛿_𝑗𝑘 + 𝑞 _𝑖𝛿_𝑘𝑝 = 𝑇𝑟 𝐷_𝑖𝑝𝐽_𝑖𝐷_𝑖𝑘^𝑇 𝑞 _𝑝

𝑖

𝑝=1 𝑛

𝑖=𝑘 𝑖

𝑝=1

,

𝑖

𝑖=1 𝑛

𝑖=1

^𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝑞 _𝑘 = ^𝑛_𝑖=𝑘 ^𝑖_𝑝=1𝑇𝑟 𝐷_𝑖𝑝𝐽_𝑖𝐷_𝑖𝑘^𝑇 𝑞 _𝑝+ ^𝑛_𝑖=𝑘 ^𝑖_𝑝=1 ^𝑖_{𝑚 =1} 𝑇𝑟 𝐷_𝑖𝑝𝑚𝐽_𝑖𝐷_𝑖𝑘^𝑇 𝑞 _𝑝𝑞 _𝑚+ + ^𝑛_𝑖=1 ^𝑖_𝑝=1 ^𝑖_{𝑚 =1}𝑇𝑟 𝐷_𝑖𝑘𝑚𝐽_𝑖𝐷_𝑖𝑝^𝑇 𝑞 _𝑝𝑞 _𝑚.

Аналогично

^𝜕𝐿

𝜕𝑞_𝑘 =¹

2 𝑇𝑟 𝐷_𝑖𝑗𝑘𝐽_𝑖𝐷_𝑖𝑝^𝜏 𝑞 _𝑖𝑞 _𝑝+ ¹

2 ^𝑛_𝑖=𝑘 ^𝑖_𝑖=1 ^𝑖_𝑝=1 𝑇𝑟 𝐷_𝑖𝑝𝑘𝐽_𝑖𝐽_𝑖𝐷_𝑖𝑗^𝑇 𝑞 _𝑖𝑞 _𝑝+

𝑖𝑝=1 𝑖𝑗 =1 𝑛𝑖=𝑘

𝑖=𝑝𝑛𝑚𝑖𝑔∙𝐷𝑖𝑘𝑟𝑖

Следовательно, уравнение (6) может быть представлено в следующем виде

𝜏_𝑘 =

^𝑖_𝑝=1𝑇𝑟 𝐷_𝑖𝑝𝐽_𝑖𝐷_𝑖𝑘^𝑇 𝑞 _𝑘+

𝑛𝑖=𝑝

𝑖=𝑘𝑛𝑝=1𝑛𝑚=1𝑖𝑇𝑟𝐷𝑖𝑝𝑚𝐽𝑖𝐷𝑖𝑘𝑇𝑞𝑝𝑞𝑚+𝑖=𝑝𝑛𝑝=1𝑖𝑚=1𝑖𝑇𝑟𝐷𝑖𝑘𝑚𝐽𝑖𝐷𝑖𝑝𝑇𝑞𝑝𝑞𝑚

−12𝑖=𝑘𝑛𝑖=1𝑖𝑝=1𝑖𝑇𝑟𝐷𝑖𝑗𝑘𝐽𝑖𝐷𝑖𝑝𝑇𝑞𝑗𝑞𝑝−12𝑖=𝑘𝑛𝑗=1𝑖𝑝=1𝑖𝑇𝑟𝐷𝑖𝑝𝑘𝐽𝑖𝐷𝑖𝑗𝑇𝑞𝑗𝑞𝑝

− ^𝑛_𝑖=𝑘𝑚_𝑖𝑔 ∙ 𝐷_𝑖𝑘𝑟 _𝑖 (7) Обеспечение переноса и пространственную ориентацию прямой (оси ротациирезцовой коронки) движения горного выемочного манипулятора ВМФ-6 можно реализовать путем совмещения двух точек этой прямой с заданными точками пространства. Следовательно, для перемещения в пространстве тела с шестью степенями свободы достаточно переместить две произвольно выбранные точки тела и повернуть тело вокруг оси проходящей через эти точки.

Строение механизма, предназначенного для того, чтобы осуществить эти перемещения, можно функционально расчленить на три составные части: на два механизма переноса двух точек перемещаемого тела и на механизм вращения вокруг оси. По функциональным требованиям механизм переноса должен обеспечить перемещение в рабочем объеме заданной точки с тремя степенями свободы. Этот механизм должен иметь не менее трех степеней подвижности.

6

1 – первый механизм переноса из неполного СФГ-1; 3, 6 – призматическое соединение 4 – второй механизм переноса из неполного СФГ-1; 6 – приводная пара поступательного движения; 7, 8 – соединительное звено; 9 – резцовая коронка.

Рисунок 1. Схема строения горного выемочного манипулятора ВМФ-6 с замкнутой кинематической цепью манипулятора.

Со стойкой одной из СФГ (первая СФГ) связана система координат OX₀Y₀Z₀, которая названа базовой системой координат. Со стойкой второй СФГ, входящей в состав манипулятора, связана система координат O^’X₀^’Y₀^’Z₀^’, названная вспомогательной. Так как имеется некоторая свобода в выборе направления оси O^’X₀^’, указанная ось направлена параллельно оси OX₀. При таком выборе вспомогательной системы координат базовая система может быть совмещена со вспомогательной единственным движением – переносом вдоль оси ОX_о на постоянную величину Н.

Координаты точки М выходного звена в базовой системе координаты характеристической точки выходного звена СФГ-3:

x_м= S₃S₂C₁-dS₁ ;

yм= S3S ₂S₁₊dC₁ ;

z_м= L₁-S₃C₂; (8) Координаты точки А соединительного звена определяются как координаты характеристической точки выходного звена СФГ-3 (8) и равны

X_А = s₃S₂C_{1 –} dS₁, Y_А = s₃S₂S₁ + dC₁, Z_А = L_{1 –} s₃C₂,

где X_А, Y_А, Z_А – координаты точки А относительно базовой системы координат.

7

Координаты характеристической точки В, принадлежащей СФГ-3, определяются относительно системы координат O^’X^’₀Y^’₀Z^’₀ такжепо формуле (8). Тогда относительно базовой системы координаты точки В соединительного звена будут равны

XB = H+ s6S₅C₄ – d1S₅, Y_B = s₆S₅S₄ -d₁C₄,

Z_B=L¹₁-s₆C₅, (9)

где _4, _5, s_{6 –} обобщенные координаты второго СФГ.

Определим расстояние s_r между точками А и В соединительного звена.

Из рисунка 1 следует, что



_{A B} ² _{A B} ² _{A B} ²



r X X Y Y Z Z

s  (  ) (  ) (  ) . (10) Ориентация оси соединительного звена и схвата относительно осей базовой системы координат, при известных координатах двух точек прямой, следует из выражения для направляющих косинусов.

Угол между соединительным звеном и осью OX равен   

arccos X X s

В A

r

. (11) Угол между соединительным звеном и осью OY

   arccos y y

s

B A

r

(12) Угол между прямой АB и осью ОZ

   arccosz z

s

B A

r

. (13) Следует отметить, что достаточно определить лишь два угла, так как один из углов при известных остальных углах может быть определен из условия ортогональности

. 1 Cos

Cos Cos

²  ²  ² 

Координаты центра схвата С при известных координатах точек А и В определяются согласно теореме о делении отрезка в данном отношении.

Соединительное звено АС делится точкой В в отношении  = sr\L. Тогда координаты точки С центра схвата определяются следующими выражениями

8

. s Z

) Z Z ( Z L

; s Y

) Y Y ( Y L

; s X

) X X ( X L

B r

A B c

B r

A B c

B r

A B c

 



 



 



(14)

Таким образом, на примере одного манипулятора c параллельной структурой имеющего замкнутую кинематическую цепь показана методика определения положения центра схвата rc=(Xc, Yc, Zc, 1)^т и ориентации соединительного звена манипулятора. Указанная методика может быть применена для любого манипулятора или исполнительного механизма шагающего аппарата с замкнутой кинематической цепью, составленного из нескольких полных и неполных СФГ.

Пусть:

𝑈_𝑖𝑗𝑘 = 𝑇𝑟 𝐷_𝑗𝑘𝐽_𝑗𝐷_𝑗𝑖^𝑇 = 𝑇𝑟 𝐷𝑘𝑗𝐽_𝑘𝐷_𝑘𝑖^𝑇 = 𝑈𝑖𝑘𝑗,

тогда уравнение расстоянии s_r между точками А и В соединительного звена.

Из рисунка 1 следует, что



A B ²



2 B A 2

B A

r X X Y Y Z Z

s  (  ) (  ) (  ) . (15) В этом случае уравнение (8) принимает вид:

𝜏_𝑖 = ^𝑛_𝑘=1𝑀_𝑖𝑘𝑞 _𝑘+ ^𝑛_𝑘=1 ^𝑛_{𝑚 =1}𝑀_𝑖𝑘𝑚𝑞 _𝑘𝑞 _𝑚+ 𝑀_𝑖 . (16)

𝑀_𝑖, 𝑀_𝑖𝑘 и 𝑀_𝑖𝑘𝑚 – обобщение матрицы масс, так, что

𝑀_𝑖 = −𝑚_𝑗𝑔 ∙ 𝐷_𝑗𝑖𝑟_𝑗 ,

𝑛

𝑗 =𝑖

𝑀_𝑖𝑘𝑚 = 𝑇𝑟(𝐷_𝑗𝑘𝑚𝐽_𝑗𝐷_𝑗𝑖^𝑇)

𝑛

𝑗 =max ⁡(𝑖,𝑘,𝑚 )

𝑔 = [𝑔_𝑥 𝑔_𝑦 𝑔_𝑧 0]

Уравнение (16) в литературе по робототехнике также дается в более компактной векторной форме:

𝜏 = 𝐷 0 0 + 𝐻 0,0 + 𝐺(0)

Исследуемый выемочный манипулятор ВМФ-5, ВМФ-6 состоит из соединительного звена с рабочим органом – резцовой коронкой и двух исполнительных механизмов составленных из СФГ.

Заключение. Динамический анализ ВМФ-5, ВМФ-6 начинается с выходного звена, т.е. соединительного звена с пластом угля резцовой коронкой. Эффективность того или иного алгоритма во многом определяется

9

быстродействием вычислений. В этой связи следует отметить [2], что машинное время на расчеты с помощью уравнений Ньютона-Эйлера затрачивается на два порядка меньше, чем при вычислениях с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода.

Литература:

1. Шоланов К.С. Анализ и синтез многоподвижных исполнительных механизмов роботов с замкнутыми кинематическими цепями: докт. дисс.:

05.02.18. – Алматы: Изд-во КазНТУ, 2000. – 222 с.

2. Арпабеков М.И. Оценка спектрально корреляционных характеристик работы манипулятора на базе коронки ПК-3М, ПК-9Р // Вестник ПГУ им С.

Торайгырова (серия энергетическая). – Павлодар: Изд-во Кереку, 2009. – №1.

– С. 19-23.

3. Ермеков Т.Е., Шоланов К.С., Арпабеков М.И. Технологические схемы роботизированного комплекса для безотходной экологически чистой селективной выемки. // Научно-технический и производственный Горный журнал Казахстана. – Алматы, 2010. – №2. – С. 30-33.

4. Ермеков Т.Е., Шоланов К.С., Арпабеков М.И. Научные основы решения, а также обоснование параметров горных и строительных робототехнологических комплекесов. // Монография. – Алматы: Изд-во Эверо, 2009. – 272 с.

5. Ермеков Т.Н., Исмагамбетов М.У., Арпабеков М.И. Технологиялық машиналар динамикасы (Оқу құралы). – Астана: Изд-во ЕНУ, 2007. – 128 с.