Kelas fungsi dengan pekali selang-seli dan bakbintang terhadap titik simetri konjugat

(1)

KELAS FUNGSI DENGAN PEKALI SELANG-SELI DAN BAKBINT ANG TERHADAP TITIK SIMETRI KONJUGAT

TING YINGQIAN

PERPUST1.MAM

m:Wf.R51T1 MALAYSIA . ; ^'!lI

DISERTASIINI DIKEMUKAKAN UNTUK MEMENUHI SEBAHAGIAN DARIPADA SYARA T MEMPEROLEHI IJAZAH SARJANA MUDA SAINS

DENGAN KEPUJIAN

PROGRAM MA TEMA TIK DENGAN EKONOMI SEKOLAH SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITI MALAYSIA SABAH

MAC 1009

UMS

(2)

PUMS99:1

BORANG PENGESAHAN STATUS TESIS@

JUDUL:

KHPtS

fUNfl~1

O'E-N t,AtJ Plikl\U

~~LkNq

-

~t-L\

DirN

BfW.~\N1A-Nb 1t-~J\A-OA-P

In\k

~'W\t1fL\

KON]UE)A-l

llNQ . YING, &(~

SAYA ____________ ~~~~~~---

(HURUF BESAR)

SESI

PENGAJIAN:~

⁰^t

mengaku membenarkan tesis (LPSMlSaJjana/Doktor Falsafah) ini ~isimpan di Perpustakaan Universiti Malaysia Sabah dengan syarat-syarat kegunaan seperti berikut:-

I. Tesis adalah hakmilik Universiti Malaysia Sabah.

2. Perpustakaan Universiti Malaysia Sabah dibenarkan membuat salinan untuk tujuan pengajian sahaja.

3. Perpu~~~ di.benarkan membuat salin~R1BiIj!'i.~~~ai bahan pertukaran antara institutsi pengaJlan trnggr. U"'WERS\Tl tr.AlAYSlr. ' ~A'"

4. Sila tandakan ( I ) .. ~

DSULIT

DTERHAD

I I

^TIDAK^TERHAD

(T ANDA T ANGAN PENULIS) Alamat Tetap:-,-H,

l..oTM}\ .

~~).·1~6V1)

~~~_~~k~

______ _

Tarikh:

- . - -

l,4!lf

f >1hJ? .

CAT AT AN:- ·Potong yang tidak berkenaan .

(Mengandungi maklumat yang berdarjah keselamatan atau Kepentingan Malaysia seperti yang termaktub di dalam AKT A RAHSIA RASMI 1972)

(Mengandungi maklumat TERHAD yang telah ditentukan oleh organisasilbadan di mana penyelidikan dijalankan)

Disahkan Oleh !

NURULAIN BINTI !Sf\AII.

n .... a .. ~

^LIBRARIAN

I

(fAN~4~fIAS

BAH

t>r . _A,1'f\.\ 1t\~-\-~

Nama Penyelia Tarikh:

~l 'f I ~

•• Jika tesis ini SULIT atau TERHAD, sila lampirkan surat daripada pihak berkuasa /organisasi berkenaan dengan menyatakan sekali sebab dan tempoh tesis ini perlu dikelaskan sebagai SULIT dan TERHAD.

@Tesis dimaksudkan sebagai tesis bagi Ijazah Doktor Falsafah dan Sarjana secara penyelidikan atau disertai bagi pengajian secara kerja kursus dan Laporan Projek Sarjana Muda (LPSM).

(3)

11

PENGAKUAN

Saya akui bahawa karya ini adalah basil kerja saya sendiri kecuali nukilan dan ringkasan yang setiap satunya telah dijelaskan sumbemya

Mac 1009

TING YING QIAN

HS2006-3014

(4)

111

DIPERAKUKAN OLEH

Tandatangan

1. PENYELIA (Dr. Aini Janteng)

• 2.

PEMERII<SA

(prof. Madya Dr. Ho Chong Mun)

3. DEKAN

(Prof. Dr. Mohd. Hanm AbduUah)

(5)

iv

PENGHARGAAN

Pertama sekali. saya ingin mengucapkan terima kasih kepada Dr.

Aini

Janteng selaku penyelia saya Sepanjang penulisan ini dijalankan, beliau telah memberikan banyak bantuan dan nasihat agar saya dapat menyiapkan penulisan ini dengan sepenuhnya

Selain

itu,

saya juga ingin mengucapkan terima kasih kepada barisan pensyarah Program Matematik dengan Ekonomi kerana telah banyak. memberikan nasihat dan cadangan semasa penulisan projek I agar saya dapat memperbaiki kelemahan saya.

Akhir sekali, terima kasih diucapkan kepada kawan-kawan sepeJjuangan dan keluarga saya kerana sanggup mernberi bantuan, cadangan dan sokongan yang tidak.

terhingga sehingga saya dapat menyiapkan penulisan say a.

(TING YlNG QIAN)

HS2006-3014

(6)

v

ABSTRAK

Kajian ini memberi perhatian kepada kelas fungsi analisis di dalam suatu cakera unit terbuka D = {z:\z\<l} yang dilambangkan sebagi A. Seterusnya, S melambangkan subkelas bagi A yang terdiri daripada fungsi univalen dan temormal dengan keadaan

1(0) = II

(0) -1

= o.

^Jika

I

^ES maka

f

dapat dinyatakan dalam bentuk dengan

a"

adalah nombor kompleks. Selain itu,

r

dilambangkan sebagai kelas yang mengandungi fungsi

f

dalam bentuk

f(z)

= ! -

^I:l(-l)lHa "z· dengan a" adalah nombor nyata tidak negatif. Di dalam kajian ini, kelas s~r(O') dan

s"scr(O' ,k)

diperkenalkan dengan menggabungkan idea daripada beberapa penyelidik terdahulu serta mempertimbangkan fungsi fEr . Keputusan yang diperoleh bagi kelas yang diperkenalkan terdiri daripada anggaran

pekal~ basil pertumbuhan dan titik ekstrim.

(7)

VI

ABSTRACT

This study focuses on a class of functions analytic in the open disc D = {z:\z\<1}

which is denoted by A. Then, S denoted the subclass of A which is consisting of functions univalent and normalized by the conditionJ(O)=f(O)-l= O. If

J

^ES, thenJ can be stated in form of

f(z)

= z +

I:2a.z·

and

a.

is a complex number. Let

r

denote the class consisting of functionsJ of the formJ(z)

=.!.- L:,

(-1) ... ¹a.z"

z

where

a"

is non negative real number. In this study, class s~r«(7) and S~r«(7,k) are introduced by combining the ideas from several earlier researchers and considering the functions

fer.

The results obtained for the new classes consist of coefficient estimates, growth results and extreme points.

(8)

vii

KANDUNGAN

Mukasurat

PENGAKUAN

ii

PENGESAHAN

111

PENGHARGAAN iv

ABSTRAK v

ABSTRACT

_VI

SENARAI KANDUNGAN

_VII

SENARAI RAJAH

_ix

SENARAI 51MBOL x

Dab 1 PENDAHULUAN

₁

1.1 Pengenalan

₁

1.2 Sejarah Bagi Fungsi Univalen 2

1.3 Subkelas Utama Bagi

S

2

1.3.1 Fungsi Bakbintang 2

1.3.2 Fungsi Cembung 3

1.3.3 FWlgsi Hampir Cembung 4

1.4 ObjektifKajian 5

1.5 Skop Kajian 5

DAHl ULASAN LITERA TUR

₆

2.1 Pengenalan

₆

2.2 Kelas Fungsi Bakbintang Terhadap Titik Simetri. Konjugat dan Simetri

Konjugat

₆

UMS

(9)

V111

2.3 Kelas S;T(a,p), S;T(a,p) dan S:;r(a,p) 8

2.4 Kelas Cembung Terhadap Titik Simetri. Konjugat dan Simetri

Konjugat 9

2.5 Kelas C.T(a,p), C~T(a,p) dan CJ(a,p) 10

2.6 Kelas S· (a) 12

BAB 3 ANGGARAN PEKALI 13

3.1 Pengenalan 13

3.2 Anggaran Pekali Bagi s~r(O') 14

3.3 Anggaran Pekali Bagi S~r(O',k) 19

BAB 4 BASIL PERTUMBUHAN DAN TITIK EKSTRIM 26

4.1 Pengenalan 26

4.2 Hasil Pertwnbuhan 26

.

4.3 Titik Ekstrim 29

BAB 5 PERBINCANGAN, KESIMPULAN DAN CADANGAN 3S

5.1 Perbincangan 35

5.2 Kesimpulan 36

5.3 Cadangan 36

RUJUKAN

37

(10)

IX

SENARAI RAJAH

No Rajah MukaSurat

1.1 Domain fungsi bakbintang 3

1.2 Domain fungsi cembung 4

UMS

UNIVEASITI MAlAYSIA SABAH

(11)

x

SENARAI SIMBOL

E

unsur kepada

00 infiniti

L basil tambah z konjugatz

$

lebih lrurang mau sarna dengan

~

lebih besar

atau

sarna dengan

<

lebih kurang daripada

>

lebih besar daripada

II modulus

UMS

(12)

BABt

PENDAHULUAN

1.1 Peogenalan

Kajian ini memberi perhatian kepada kelas ftmgsi analisis di dalam suatu cakera

unit

terbuka D

=

{r.1zI<1} yang dilambangkan sebagai A. Seterusnya subkelas bagi .A dilambangkan sebagai S iaitu kelas bagi fungsifyang lDlivalen dan temormal dengan keadaanf(O}=f(O}-l=

o.

Menurut Goodman (1975) ftmgsifdikatakan univalen di dalam D, jikafmempunyai pemetaan satu ke satu pada imej D,f(D}.

Dengan

^kata lain,fdikatakan lDlivalen di dalam D jika f(z\)

=

f(Z2) , mengimplilwikan Zl

=

^Z2'

ZI,Z2 ED. Jika

f

^ES. makafmempmtyai kembangan siri Maclaurin berbentuk

CI)

f(z) = Z

+

La.z" (1.1)

"c2

dan

a.

adalah nombor kompleks.

(13)

2

1.1 Sejarab bagi Fungsi Univalen

Perkataan univalen juga digelar sebagai

Schlicht.

Perkataan

Schlicht

adalah berasal daripada perkataan Jerman yang bermaksud mudah. Kajian terhadap fungsi

Schlicht

dimulakan di dalam kertas Koebe pacta tabun

1907.

Hasil kajian Koebe telah menarik perhatian ahIi matematik seperti Gronwall

(1914)

dengan memperkenalkan prinsip

keluasan. Seterusnya,

di

sekitar tabun 1916,

Bieberbach

telah mengutarakan

cadangan berkenaan dengan

masalah

pekali kepada fungsi

Schltcht.

Pada tabun

1917

pula,

LOwner

telah memberikan lambang a" kepada pekali bagi suatu kelas fungsi

Schlicht.

Sebenamya,

rarnai

ahli matematik

termasuklah

Rogozinski

(1932)

dan Spencer

(1947)

juga terbabit dalam penyelidikan tentang fungsi ini.

1.3

Subkelas

Utama bali S

Subkelas utama bagi

S

terdiri daripada kelas fungsi bakbintang, cembung dan hampir cembWlg. Setiap kelas fungsi tersebut dapat dinyatakan melalui perwakilan beranalisis dan perwakilan geometrinya

1.3.1 Funlsl Bakbintanl

Ddinisll.3.1 (Goodman, 1975)

Suatu

set E

pada

satah

kompleks dikatakan

bakbintang terhadap

w_{o ,}

yang merupakan titik peda1aman set

E,

jika setiap garis

tembereng dengan titik

asal Wo

menyilang pedalaman E dalam suatu set iaitu garis

tembereng juga

Jib

fungsi

f(z)

memetakan D pada satu domain yang bakbintang

(14)

3

terhadap titik

w

o,

^makaf(z)

itu

dikatakan

bakbintang terhadap titik

WOo

Dalam kes

w()9>. f(z)

dikatakan fungsi bakbintang.

Defmisi 1.3.2

f

^ES·

jib dan hanya jika

7oJ,f zfl(Z»)

^>⁰ ^ZED.

H)'l

^f(z) ^• ^(1.2)

Perwakilan geometri bagi domain bakbintang ditWljukkan dalam

Rajah

1.1 di bawah.

Kh , ,

,

, , ,

,

Rajah 1.1

Domain bakbintang

(Sumber daripada Goodman, 1975)

1.3.1 Fungsi CembuDI

Definisi 1.3.3 (Goodman, 1975) Suatu set E pada satah kompleks

dikatakan cembWlg

jika untuk

setiap pasangan titik

WI

dan w

₂

di dalam

E, maka

garis tembereng

yang

menghubungkan

WI

dan w

₂

juga berada

di

dalam

E. Jib nmgsif(z)

memetakan

D

ke domain cembung,

makaf(z)

itu adalah ftmgsi

cembWlg.

UMS

UNIVEASITI MALAYSIA SABAH

(15)

4

Def"misi 1.3.4

fee

jika

dan

hanya jib

W.[I+ zfll(Z»)

^>⁰

zeD.

H)'l

^j'(z) ^, ^(1.3)

Perwakilan geometri bagi domain cembung ditunjukkan dalam Rajah 1.2 di bawah.

Kh

Rajah

1.1

Domain

cembung

(Sumber daripada

Goodman,

1975)

1.3.3 Fungsi Hampir CembuDI

Definisi 1.3.5

(Goodman, 1983) Suatu fungsi f

yang

analisis di dalam

D

dikatakan hampir cembung

jib

terdapat

satu

fungsi ; e C dan p nombor nyata dan memenuhi syarat

~

^{I'(z) )}^p >0, zED.

e' ;'(z) (1.4)

(16)

5

lA Objektif Kajiao

Objektif utama bagi kajian ini adalah seperti berikut:

a memperkenalkan kelas dengan pekali selang-seli dan bakbintang terhadap titik simetri konjugat,

b. menentukan anggaran pekali.

c. mcndapatkan basil

pertumb~

dan d. mendapatkan titik ekstrim.

1.5 Skop Kajian

Kajian ini memberi perhatian kepada kelas fungsi dengan pekali selang seli

dan

bakbintang terhadap titik simetri konjugat. Terlebih

dahulu,

r dilambangkan sebagai kelas yang mengandungi fungsi f berbentuk

(1.5)

dengan

Q_II

adalah nombor nyata bukan negatif. Kajian ini telah menggabungkan idea daripada EI-Ashwah dan

Tho~

(1987) dan Owa dan Pascu (2003). Anggaran pekali, basil

pertumbuhan

dan titik ekstrim akan ditentukan bagi kelas yang

diperkenal~

(17)

DADl

ULASAN LITERA TUR

1.1 Pengenalan

Dalam bah

ini.

kelas fim~i bakbintang terhadap titik simetri, konjugat dan simetri konjugat akan dibincangkan. Sakaguchi (1959) telah memperkenalkan kelas fungsi bakbintang terhadap titik simetri. Seterusnya EI-Ashwah dan Thomas (1987) telah memperkenalkan dua kelas lain

iaitu

kelas fim~i bakbintang terhadap titik konjugat dan simetri konjugat.

l.l Kelas Fungsi Dakbintang Terbadap Titik Simetri, Konjugat dan Simetri Konjugat

Kelas fungsi bakbintang terhadap titik simetri telah diperkenalkan oleh

Sakaguchi

pada

tahun 1959. Kelas fungsi ini dilambangkan sebagai S; dan ditakrifkan

seperti

berikut:

(18)

7

nermisi 2.2.1 (Sakaguchi. 1959) Andaikan fungsi

1

analisis di dalam D dengan I(O}=f(O}-l=O. Jadi,

1

e

S;

jika dan hanyajika ia memenuhi

NJ

^zj'(z)

»0

J'l!(z)-

^!(-z) ^, ^zeD. ^(2.1)

Manakala kelas fungsi bagi bakbintang terhadap titik konjugat dan titik simetri konjugat telah diperkenalkan oleh EI-Ashwah dan Thomas pada tabun 1987. Kelas fungsi ini masing-masing diJarnbangkan sebagai S; dan S: dan ditakrifbn seperti berilrut

Dermisi

l.1.1 (EI-Ashwah

&

Thomas, 1987)

Andaikan

fungsi

f

analisis di dalam D denganl(O}=f(O}-l=O. Jad~

Ie

S; jib dan hanyajika ia memenuhi

NY(

^zj'(z) ⁾^{> 0}

I(z) + fez) ,

zeD. (2.2)

Defanisi

1.1.3 (EI-Ashwah & Thomas, 1987) Andaikan fungsi

f

analisis di dalam D dengan/(O) =1'(0)-1 =0. Jad~

Ie

S: jib dan hanyajika ia memenuhi

NY(

^zf'(z) ⁾^>⁰

fez) -

I(-z) ,

^zeD. ^(2.3)

(19)

8

2.3 Kelas S:T(a,p), S;T(a,p) dan S;;r(a,p)

Pada tahun 1998, Sudharsan et al. telah memperkenalkan kelas S; (a,p) yang terdiri daripada fungsi

f

yang analisis di dalam D dan diberikan oleh persamaan (1.1) serta

memenuhi keadaan

zj'(z) 1

<

az/'(z)

+

11

f(z)- f(-z) f(z)- f(-z)

1

^(2.4)

dengan O~a ~1, 0<13 <1 dan

zeD.

Seterusnya, T dilambangkan sebagai kelas yang mengandungi fungsi

f

berbentuk f(z)

=

z - L:za"z" dengan a" adalah nombor nyata tidak negatif. Pada tahWl 2005,

Halim

et al. telah menggabWlgkan idea Sakaguchi (1959) dan Sudharsan et al. (1998) dengan memperkenalkan kelas S;T(a,p) , S;T(a,p) dan s:7(a,p)dengan a dan

p

memenuhi syarat tertentu, iaitu O~a

<l,O<P<l

dan

o ~

^{2(1 -}

~)

^<1 serta mempertimbangkan fungsi

f

^ET. Berikut ialah takrifan bagi l+a

kelas S;T(a,p), S;T(a,p) dan S:7(a,p).

(20)

9

Deftnlsl 2.3.1 (Halim et al., 2005) Andaikan fungsi

1

anaIisis di dalam D dengan 1(0}=f(0}-1=O. Jadi, 1

e

S;T(a,p)

jika dan banyajika ia memenuhi

z/'(z) 1 < azf'(z) + 1

/(z)- /(-z) , zeD. (2.5)

/(z)- I(-z)

Deftnisl2.3.l (Halim etal., 2(05)

Andaikan fungsi/analisis di dalamD dengan

/(O)=f(0}-1=0.

Jadi, f e

S;T(a,p)

jika dan hanyajika ia memenuhi

z/'(z) 1 <

P

azf'(z) + 1, _zeD. _(2.6) I(z) + fez) fez) + fez)

Deflnisi 2.3.3 (Halim et al., 2(05)

Andaikan fungsi 1 analisis di dalam

D dengan /(0}=f(0}-1=0.

Jadi, /

e s"...I(a,p)

jikadan banyajika ia memenuhi

zf'(z) -1 <

P

azf'(z)

+

I, /(z)-/(-z) I(z)- I(-z)

zeD. (2.7)

2.4 KeIas Fungsi CembullI Terhadap TItik Simetri, Konjngat dan Simetri Konjugat

Kelas fungsi cembung terhadap titik

simetri

telah diperkenalkan oleh

Das

and

Singh

pada tahun

1977.

Kelas fungsi

ini

dilambangkan sebagai

C,

dan ditakrifkan seperti

berikut:

(21)

10

Def"misi 1.4.1 (Das & Singh. 1977) Andaikan fungsi

f

analisis di dalam D dengan f(O)=f(O)-l;(). Jadi.

1

e C. jika dan hanyajika ia memenuhi

{

(zf'(z))' )

N >0,

(f(z)- I(-z»'

zeD.

(2.8)

Definisi

1.4.1 (Wong & Janteng. 2008) Andaikan fimgsifanalisis di daiamD dengan f(O)=f(O)-l;(). Jadi.

1

e C~ jika dan hanyajika ia memenuhi

NY(

^(zf'(z)'

J

^{> 0}

(f(z)

+

I(z»' '

zeD.

^(2.9)

DenDisi 1.4.3 (Wong & Janteng, 2008) Andaikan fimgsifanalisis di dalam D dengan f(O)=f(O)-l;(). Jadi,

1

e C.c jika dan hanyajika ia memenuhi

~

(f(z)- I(-z»' ^(zf'(z»'

J

^>0,

zeD.

(2.10) loS lUlu C~T(a,p), C~T(a,p) dan CJ(a,p)

Pada tahun 2008, Wong dan Janteng telah memperkenalkan tiga subkelas bam, iaitu C.T(a,p), CcT(a.p) dan C.;r(a,p) dengan ⁽¹dan ~ memenuhi syarat tertentu,

UMS

(22)

11

iaitu 0 S; a <

L

0 <

P

< 1 dan 0 S; 2(1-

/1)

< 1. Berikut adalah takrifan bagi 6ga l+ap

subkel~ tersebut

Defmisi 2.5.1 (Wong &. Janteng, 2(08) Andaikan ftmgsiJanaiisis di dalam D dengan f(O)=f(O)-I=O. Jad~ f e C.T(a,p) jika dan hanyajika ia memenuhi

(z/'(z»'

11

a(z!'(z»' 11

U(Z)-J(-z»' < (f(z)-f(-z»'

+1

^zeD. ^(2.11)

Defmisi 2.5.2 (Wong &. Janteng, 2(08) Andaikan fungsi

J

anaIisis di dalam D dengan f(O)=f(O)-J=O. Jadi,

!

^ECcT(a,p) jika dan hanyajika ia memenuhi

(zf'(z»' -1 <

(/(:) + f(z»'

a(zf'(z»'

+

¹

(f(z) + f(z»'

zeD.

(2.12)

Defmisi 2.5.3 (Wong &. Janteng, 2008) Andaikan ftmgsiJanalisis di daiamD dengan j(O)=f(O)-J=O. Jadi,

f

e C~T(a,jJ) jika dan hanyajikaia memenuhi

(z/'(z»' a(z/'(z»'

r-~~~~-l<D~--~=-~+l

(f(z)- !(-z»' U(z)- f(-z»'

zeD.

(2.13)

(23)

12

Pada tabun 2003, Owa dan Pascu telah memperkenalkan satu kelas baru iaitu

s"

A(a) dengan a memenuhi syarat tertentu, iaitu 0 ~ a < 1 dan a < k ~ 1 serta mempertimbangkan fungsi

f

EA. Di sini, A dilambangkan sebagai kelas yang mengandungi

fun~i f

^berbentuk^f(z)

=;+

L:oa"z" dengan a. adalah nombor nyata tidak negatif. Berikut adalah takrifan bagi kelas S" A(a) .

Dermisi 2.6.1 (Owa & Pascu, 2003) Andaikan fungsi

f analisis

di dalam D

=

{z: 0 ~ zl< r ~1}. Jadi,

f

e S"A(a) jika dan hanyajika ia memenuhi

ZED. (2.14)

8eberapa sifat-sifat pekali untuk fungsif(z) menjadi sebagai kelas-kelas r,"(a) dan Cr(a) bagi

Lr

dibincangkan. Selain itu, kebakbintangan dan kecembungan fungsi-fungsi f(z) pada

Lr

juga dibincangkan.

(24)

36

RUJUKAN

Biebetbach, L. 1916.

Ober

die Koeffizienten detjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, IDS. 94~955.

Chmie, J. & Keogh. F.R 1960. On starlike and convex schlicht J.London Math Soc.

35, ms. 229-233.

Das, RN. & Singh. P. 1977. On subclasses of schlicht ftmction mapping. Indian J.

Pure Appl. Math 8, InS. 864-812.

EI-Ashwah. RM & Thomas, D.K. 1981. Some subclasses of close-to-convex functions. J. RamanujanMath Soc. 2, ms. 85-100.

Goodman. A. W. 1915. Univalent Functions. Volume I. Mariner Publishing Company, Inc, Tampa, Florida

Goodman. A.W. 1983. Univalent Functions. Volume II. Mariner Publishing Company, Inc, Tampa, Florida

Gronwall. T.H. 1914. Some remarks on conformal representation. Ann. of Math 16(2), ms.72-16.

Halim,

S.A,

Janteng.

A

& Darus.

M

2005. Coefficient properties for classes with negative coefficients and starlike with respect to other points. Proceeding of The 13''' Mathematical Sciences National Symposium 2,

ms.

658-663.

Khairnar.

S.M. & More, M. 2008. Subclass of univalent fimctions with negative coefficients and starlike with respect to symmetric and conjugate

points.

Applied Mathematical Science 2,

ms.

1139-1748.

UMS

(25)

37

Koebe, P. 1907. Oeber die Uniformisierung beliebiger analylischer Kurven.

Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zur G6ttingen

2, ms.

191-210.

(.Owner, K. 1917. Untersuchungen Qber die verzerrung bei konformen Abbildmgen des Einheitskreises Izl<l, die durch Funktionen, mit nichtverschwindender Ableit\U1g geliefert werden. Ber. Verh. Stlchs. Ges. Wiss. Leipzig 69, ms. 89- 106.

Owa, S. 1983. On hadamard products for certain classes of univalent fimctions with negative coefficients. J. Korean Math. Soc. 19, ms. 75-82.

Owa, S. 1984. On the special classes of univalent functions. Tamkang J.

15,

IDS. 123- 136.

Owa, S. & Pasco, N.N. 2003. Coefficient inequalities for certain classes of meromorphically starlike and meromorphically convex functions. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 4(7), InS. 1-14.

Rogozinski, W. 1932. Ober positive harmonische Entwicklungen und typisch-reelle Potermelhen. Mathematische Zeitschrift 35, ms. 93-121.

Sakaguchi, K. 1959. On a certain univalent mapping. J. Math. Soc. Japan 11, ms.72- 75.

Silverman, H. 1975. Univalent functions with negative coefficients. Proc. Amer.

Math. Soc.

51.

InS. 109-116.

Spencer, D.C. 1947. Some problems in conformal mapping. Bulletin of the American Mathematical Society 53, InS. 417-439.

(26)

38

Sudharsan, T.V., Balasubrahmananyam. P. & Subramanian, K.G. 1998. On functions starlike with respect to symmetric and conjugate points. Taiwanese Journal of Mathematics 2,

rns.

57~8.

Wong. S.l & lanteng. A. 2008. Classes with negative coefficients and convex with respect to other points. Int. J. Contemp. Math. Sciences 3, MS. 511-518.

Wong, SJ & Janteng, A. 2008. Classes with negative coefficients and convex with respect to other points. International Mathematical Forum 3, ms. 1339-1345.

Kelas fungsi dengan pekali selang-seli dan bakbintang terhadap titik simetri konjugat