Kelas fungsi meromorfi dan bakbintang terhadap titik semetri, konjugat dan simetri konjugat

(1)

KELAS FUNGSI MEROMORFI DAN BAKBINT ANG TERHADAP TITIK SIMETRI, KONJUGAT DAN SIMETRI KONJUGAT

MADONNA WILFRID

DISERTASI INI DIKEMUKAKAN UNTUK MEMENUHI SEBAHAGIAN DARIPADA SYARAT MEMPEROLEHI IJAZAH SARJANA MUDA SAINS

DENGAN KEPUJIAN

PROGRAM MATEMA TIK DENGAN EKONOMI SEKOLAH SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITI MALAYSIA SABAH

APRIL 2009

UMS

(2)

PUMS99:1

UNIVERSITI MALAYSIA SABAH

BORANG PENGESAHAN STATUS TESIS@

JUDUL

~ (4) -(ltl Ci<;,; !\!'£,vo ~\ .~ f <3"" bt),.; & i' .

tet~v~~f ~·~t S\Vl~e1v, {~~~1~1 d~ .. &~t-\!I ~~W~1

SAYA

frA'O

0 N I\l

A t~\L. ~ID

^. SESJ PENGAJIAN:

~~s L.2OO1

(HURUF BE AR)

mengaku membenarkan tesis (LPSMISarjana/Doktor Falsafah) ini disimpan di Perpustakaan Universiti Malaysia Sabah dengan syarat-syarat kegunaan seperti berikut:-

1. Tesis adalah hakmilik Universiti Malaysia Sabah.

2. Perpustakaan Universiti Malaysia Sabah dibenarkan membuat salinan untuk tujuan pengajian sahaja

3. Perpustakaan dibenarkan membuat salinan tesis ini sebagai bahan pertukaran antara institutsi 4.

pengajian tinggi.

Sila tandakan ( I )

suur

TERHAD

TIOAK TERHAO

Ui'W'E~~m r.::~lf.\·St~ ~r\::. .. ,

(Mengandungi maklumat yang berdarjah keselamatan atau Kepentingan Malaysia seperti yang termaktub di dalam AKT A RAHSIA RASMI 1972)

(Mengandungi maklumat TERHAD yang telah ditentukan oleh organisasilbadan di mana penyelidikan dijalankan)

I

D

Disahkan Oleh NURULAIN BINI' I :ISMAll

/).£

/l~~ LlBRARI N,

(TA~s¥m~~k~ALA ^SiASABAH

Or. Aini Janter 9 I

,4-if'JI

:r

"""N ~Pensyarah I F ~nesihat AiademfK _ - - - - Nama Pen_ram Mal matik Der.gan ~kOnoas

Sel<olah Sain Dan Teknolog^l Tarikh:

s-o!~,

UNIVERSITI <l.AlAYSIASABAH CAT AT AN:- ·Potong yang tidak berkenaan.

"Jika tesis ini SUUT atau TERHAD, sila Iampirkari surat daripada pihak berkuasa lorganisasi berkenaan dengan menyatakan sekali sebab dan tempoh lesis ini perlu dikelaskan sebagai SULIT dan TERHAD.

@Tesis dimaksudkan sebagai tesis bagi Ijazah Doktor Falsafah dan Sarjana secara

penyelidikan atau disertai bagi pengajian secara kerja kursus dan Laporan Projek Sarjana'

Muda (LPSM) ..

(3)

ii PENGAKUAN

Saya akui karya ini adalah hasH kerja saya sendiri kecuali nukilan dan ringkasan yang setiap satunya telah dijelaskan sumbemya.

30 April 2009

MADONNA WILFRID HS2005-3733

UMS

(4)

iii

PENGESAHAN

DIPERAKUKAN OLEH

Tandatangan

1. PENYELIA

(DR. AINI JANTENG)

2. PEMERIKSA

(elK KHADIZAH GHAZALI)

3. DEKAN

(PROF DR. MOHD. HARUN ABDULLAH)

(5)

iv PENGHARGAAN

Pertama sekali saya ingin merakamkan syukur kepada Tuhan kerana dengan berkat dan kumia-Nya saya dapat menghasilkan disertasi ini. Sekalung penghargaan ditujukan buat Dr. Aini Janteng kerana sudi menjadi penyelia dan memberi maklumat-maklumat serta tunjuk ajar yang amat berguna kepada saya dalam menghasilkan disertasi ini.

Tidak dilupakan juga kepada keluarga dan rakan-rakan yang banyak memberikan sokongan serta pandangan dalam menghasilkan disertasi ini. Terima kasih juga diucapkan kepada setiap individu yang terlibat secara langsung atau tidak langsung sepanjang menyiapkan disertasi ini.

MADONNA WILFRID HS 2005-3733

UMS

(6)

v ABSTRAK

Misalkan A dilambangkan sebagai kelas fungsi anal isis di dalam eakera unit terbuka D

= {z : Izl

< I}. S pula melambangkan subkelas bagi A yang terdiri daripada fungsi

univalen dan temormal dengan syarat

j(O) =

0

=

/,(0)-1. Jika

f

e

S,

maka

f

00

mempunyai kembangan siri Maclaurin iaitu j(z)

=

^Z+

I

a"z" dengan a" merupakan

n^m2

suatu nombor kompleks. Seterusnya, T merupakan subkelas bagi S yang terdiri daripada

GO

fungsi

f(z) =

z- Ianz" dengan an adalah nombor nyata tidak negatif. Kelas fungsi

n-2

bakbintang, S', kelas fungsi eembung, C dan kelas fungsi hampir cembung, K merupakan tiga subkelas utama bagi S. Kajian ini memperkenalkan kelas baru fungsi meromorfi dan bakbintang terhadap titik simetri, konjugat dan simetri konjugat. Selain itu, anggaran pekali, hasil pertumbuhan dan titik ckstrim ditentukan bagi kesemua kelas fungsi tersebut.

(7)

vi CLASS OF MEROM ORPHIC FUNCTIONS AND STARLIKE WITH RESPECT

TO OTHER POINTS

ABSTRACT

Let A is symbolized as a class of functions analytic in the open unit disc D

= {z : IZI

^<I}. S symbolizes as a subclass of A which is consisting of univalent functions and normalized with the condition /(0)

=

0

= 1'(0)-1.

If

f

e

S,

then

f

has the Maclaurin series

co

expansion of the form

/(z) =

^Z+

Lanz"

with

an

is a complex number. Next, T is

_2

eo

subclass of S which is consisting of

f(z) =

z

-l>nzn

where

an

is a non negative real

Ifz2

number. Class of starlike functions, S', class of convex functions, C and class of c1ose- to-convex functions, K are three main subclasses for S. This research introduced the new classes of meromorphic and starlike function with respect to symmetric, conjugate and symmetric conjugate points. Besides that, coeflicicnt estimates, growth results and extreme points are determined for the new classes.

UMS

(8)

PENGAKUAN PENGESAHAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT

SENARAIKANDUNGAN SENARAI RAJAH

SENARAI SIMBOL

BABI PENDAHULUAN 1.1 Pengenalan

1.2 Subkelas bagi S 1.3 Fungsi Bakbintang 1.4 Fungsi Cern bung 1.5 Objektif Kajian 1.6 Skop Kajian

KANDUNGAN

BAB 2 ULASAN LITERA TUR 2.1 Pengenalan

2.2 Fungsi Bakbintang terhadap Titik Simetri, Konjugat dan Simetri Konjugat

2.3 Kelas

s;r(a,p), s;.r(a,/3)

dan S.~T(a,/3)

2.4 Fungsi Cern bung terhadap Titik Simetri, Konjugat dan Simetri Konjugat

2.5 Kelas S·

A(a)

BABl ANGGARAN PEKALI

3.1 Pengenalan

3.2 Kelas S;

r(O"),

S;.

r{O")

dan S.~.

r(O")

3.3 Lema

viiii

Muka Surat

ii iii iv v vi vii ix

x

1 1 2 3 4 5 5 6 6

7 9

10 13 14 14 IS 16

(9)

vi iii

BAB4 HASIL PERTUMBUHAN 25

4.1 Pengenalan 25

4.2 HasH Pertumbuhan 25

4.3 Titik Ekstrim 28

BABS PERBINCANGAN, KESIMPULAN DAN CADANGAN 32

5.1 Perbincangan 32

5.2 Kesimpulan 33

5.3 Cadangan 33

RUJUKAN 34

UMS

(10)

SENARAI RAJAH

No. Rajah

1.1 Domain bakbintang 1.2 Domain cembung

2.1 Domain bakbintang terhadap titik simetri

Muka Surat

3 4 6

ix

(11)

x

SENARAI SIMBOL

~ lebih kecil daripada atau sarna dengan

~ lebih besar daripada atau sarna dengan

< lebih keeil daripada

> lebih besar daripada

E unsur kepada

-+ rnengharnpiri kepada

L

hasil tam bah

UMS

(12)

BABI

PENDAHULUAN

1.1 Pengenalan

Kajian ini memberi penekanan kepada fungsi analisis dalam cakera unit terbuka D:

{z : /z/

< I} yang dilambangkan sebagai A. Subkelas bagi A terdiri daripada fungsi- fungsi univalen dan temormal dengan syarat

/(0)=/'(0)-1=0

yang dilambangkan sebagai S. Menurut Goodman (1975), suatu fungsi

/(z)

dikatakan univalen di dalam D

Fungsi univalen juga dipanggil sebagai schlicht yang diambil dalam bahasa Jerman yang bermaksud mudah. Fungsi univalen disebut sebagai odnolistni yang memberi maksud lapisan tunggal bagi orang dari negara Rusia (Goodman, 1975).

(13)

2 Fungsi-fungsi

f

dalam S dapat dinyatakan dalam bentuk kembangan siri Maclaurin iaitu

f(z)

=

^{z+ Lanz}

..

ⁿ ^(1.1)

n-2

dengan an adalah nombor kompleks.

Seterusnya, T dilambangkan sebagai subkelas bagi S yang mengandungi fungsi- fungsi berbentuk

f(z)

=

z- Lanz"

..

^(1.2)

n-2

dengan an adalah nombor nyata tidak negatif. Kelas T telah diperkenalkan oleh Silverman pada tahun 1975.

1.2 Subkelas bagi S

Subkelas utama bagi S terbahagi kepada tiga iaitu kelas fungsi bakbintang, kelas fungsi cembung dan fungsi hampir cembung yang masing-masing dilambangkan sebagai S·,C dan K. Walau bagaimanapun, kajian ini cuma membincangkan mengenai kelas S· dan C sahaja.

UMS

(14)

3 1.3 Fungsi Bakbintang

Definisi 1.3.1 (Goodman, 1975) Suatu set E pada satah kompleks dikatakan bakbintang terhadap titik w_o'suatu titik pedalaman bagi E, j ika setiap tembereng garis dengan titik awal Wo menyilang pedalaman E dalam suatu set iaitu tembereng garis juga. Jika fungsi

j{z)

memetakan D ke seluruh domain yang bakbintang terhadap w_{o' maka}

j{z)

dikatakan bakbintang terhadap Wo • Dalam kes Wo = 0,

f{z)

merupakan fungsi bakbintang.

Perwakilan geometri bagi domain bakbintang terhadap titik Wo adalah seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 1.1. tembereng garis

Kh .

/~,

, '

Ny

Rajah 1.1 Domain bakbintang

(Sumber daripada Goodman, 1975)

Perwakilan beranalisis bagi fungsi bakbintang diterangkan seperti di bawah.

Definisi 1.3.2 (Goodman, 1975) Suatu fungsi

f

e S· jika dan hanyajika

(15)

4 1.4 Fungsi Cembung

Seterusnya, perwakilan beranalisis dan geometri bagi fungsi cembung diterangkan.

Definisi 1.4.1 (Goodman, 1975) Suatu set E pada satah kompleks adalah cembung jika untuk setiap pasangan titik WI dan w₂di dalam pedalaman E, tembereng garis yang menghubungkan WI dan w₂juga berada di dalam pedalaman E. Jika suatu fungsi

f(z)

memetakan D ke seluruh domain cembung, maka

f(z)

dikenali sebagai fungsi cembung.

Rajah 1.2 menunjukkan perwakilan geometri bagi domain cembung.

tembereng garis,

Rajah 1.2 Domain cembung , ,

Kh

,

" , , , , , ,

(Sumber daripada Goodman, 1975)

Ny

Perwakilan beranalisis bagi kelas bagi fungsi cembung diterangkan seperti berikut.

Definisi 1.4.2 (Goodman, 1975) Suatu fungsi

!

^EC jika dan hanyajika

Ny{(Z!I(Z ))'}

> 0 zED

f'(Z) ,

⁽¹⁰⁴⁾

UMS

(16)

5 1.5 Objektif Kajian

Melalui kajian ini,terdapat empat objektifutama yang hendak diperoleh, iaitu

a. memperkenalkan kelas bagi fungsi meromorfi dan bakbintang terhadap titik simetri. titik konjugat dan titik simetri konjugat;

b. menentukan anggaran pekali;

c. memperoleh hasil pertumbuhan; dan d. mendapatkan titik ekstrim

1.6 Skop Kajian

Kajian ini memberi penekanan kepada kelas fungsi meromorfi dan bakbintang terhadap titik simetri, konjugat dan simetri konjugat dengan fungsi meromorfi berbentuk

(1.5)

Kelas fungsi meromorfi dilambangkan sebagai

r.

Kelas baru yang diperkenalkan merupakan idea daripada Owa dan Pascu (2003). Setelah itu, anggaran pekali, hasil

pertumbuhan dan titik ekstrim akan diperoleh untuk kelas fungsi tersebut.

(17)

BAB2

ULASAN LITERA TUR

2.1 Pengenalan

Dalam bab ini, kelas fungsi bakbintang dan cembung terhadap titik simetri, konjugat dan simetri konjugat akan dibincangkan. Kelas fungsi bakbintang terhadap titik simetri,

S;,

mula diperkenalkan oleh Sakaguchi pada tahun 1958. Seterusnya, kelas fungsi ini telah membangkitkan minat Robertson (1961), Stankiewicz (1965), Wu (1987) dan Owa (1984) untuk turut mengkaji lebih mendalam terhadap kelas fungsi tersebut. EI-Ashwah dan Thomas (1987) pula telah memperkenalkan dua kelas lain iaitu kelas fungsi bakbintang terhadap titik konjugat, S; ,dan simetri konjugat,

S:.

Setelah itu, Sudharsan et al. (1998) pula telah memperkenalkan kelas S; (a,

/3)

dan secara tidak langsung menggerakkan minat Halim et al. (2005) dan Halim et al. (2007) untuk mewujudkan kelas S;T(a,p) ,S;T(a,p) dan S:T(a,p).

UMS

(18)

7 Kelas fungsi cembung terhadap titik simetri pula telah diperkenalkan oleh Das dan Singh (1977). Seterusnya, pada tahun 2008, Wong dan Janteng telah memperluaskan kajian terhadap kelas ini dengan memperkenalkan kelas fungsi cern bung terhadap titik sirnetri, konjugat dan simetri konjugat iaitu C~T{a,p)

, CcT{a,p)

dan

C.<reT{a,p).

2.2 Fungsi Bakbintang terhadap Titik Simetri, Konjugat dan Simetri Konjugat

Suatu fungsi

f

e A adalah bakbintang terhadap titik sirnetri di dalarn D jika bagi setiap r

yang menghampiri 1, r < 1 dan untuk setiap titik Zo pada

Izl

⁼r , halaju sudut bagi f{z) terhadap

f{-

zo) adalah positif pada titik z = Zo apabiJa

z

melalui bulatan

Izl =

^{r pada}

arah positif. Pernyataan tersebut dapat digambarkan seperti dalarn Rajah 2.1 berikut:

Cr

Rajah 2.1 Domain bakbintang terhadap titik sirnetri (Sumber daripada Sakaguchi, 1959)

(19)

8 Definisi bagi fungsi bakbintang terhadap titik simetri, konjugat dan simetri konjugat dinyatakan seperti berikut.

Definisi 2.2.1 (Sakaguchi, 1959) Andaikan fungsi

1

analisis di dalam D dengan

1(0)=

/,(0)-1 ⁼0 adalah bakbintang terhadap titik simetrijika dan hanyajika

N { z!'(z) }

0

y

I(z)-/(-z)

^{> ,}

zeD.

^(2.1)

Kelas fungsi ini dilambangkan sebagai

S:.

Definisi 2.2.2 (EI-Ashwah dan Thomas, 1987) Andaikan fungsi

1

analisis di dalam D dengan

1(0)=

/,(0)-1

=

0 adalah bakbintang terhadap titik konjugatjika dan hanyajika

N {

z/'(z) }

0 y

I(z)

+

:rm

^{> ,}

Kelas fungsi ini dilambangkan sebagai

S;.

zeD.

^(2.2)

Definisi 2.2.3 (EI-Ashwah dan Thomas, 1987) Andaikan fungsi

1

anal isis di dalam D dengan

1(0)= 1'(0)-1

=

0

adalah bakbintang terhadap titik simetri konjugat jika dan hanyajika

N{ z/'(z) }

⁰

y

I(z) - I{:- z)

> , Kelas fungsi ini dilambangkan sebagai

S;.

zeD.

(2.3)

UMS

(20)

9

2.3 Kelas S;T(a,p~

S;T(a,p)

dan

S:T(a,p)

Definisi yang akan dinyatakan di bawah adalah hasH daripada kajian Sudharsan et al.

(1998) yang telah memperluaskan hasil kajian Sakaguchi (1959) dan mempertimbangkan fungsi

f

^ES untuk mewujudkan kelas

S;(a,p}

Definisi 2.3.1 Suatu fungsi

J

^E

S;(a,/3)

jika dan hanyajika

z!'(z)

^-1^<

nI cif'lzl

⁺¹

f(z)- J(- z) PI!(z)- f(- z) ,

^zeD. ^(2.4)

dengan 0 S

a

S 1 dan 0 S

pSI.

Dengan mempertimbangkan

f

^ET, Halim et al. (2005) pula memperkenalkan S;T(a,p~

S;T(a,p)

dan

S:T(a,p)

dengan

a

dan

p

memenuhi syarat-syarat

tertentu, iaitu 0 S a S I , 0

~ 13

S 1 dan 0 S 2(1-

13)

< I.

1

+ap

Takrifan bagi kelas s:r(a,p~

S;T(a,p)

dan S~T(a,p) dinyatakan seperti berikut.

J

^E

s;r(a,p)

adalah bakbintang terhadap titik simetri jika dan hanyajika

z!,(z)

^_I^<

J cif'(z)

⁺¹

J(z)-J(-z) P\!(z)-f(-z) '

^zeD. ^(2.5)

(21)

10

J

e

s;r{a,p)

adalah bakbintang terhadap titik simetri jika dan hanyajika

zeD.

(2.6)

J

e

s:r{a,p)

adalah bakbintang terhadap titik simetri konjugatjika dan hanyajika

z!'{z}

-1 <

j af'(z}

+ 1

J{z}- J(~z) I-'\J{z)_ J(-z) , zeD.

^(2.7)

2.4 Fungsi Cembung terhadap Titik Simetri, Konjugat dan Simetri Konjugat

Pada tahun 1977, Das dan Singh telah memperkenalkan kelas fungsi seperti yang dinyatakan di dalam definisi berikut.

f

e C adalah cembung terhadap titik simetri jika dan hanya jika

N { zJ'(z) }

⁰

Y J(z}- J(- z}

^{> ,}

zeD. (2.8)

Kelas fungsi ini dilambangkan sebagai C_J^•

UMS

(22)

II Seterusnya, pada tahun 2008, Wong dan Janteng telah memperluaskan idea Das dan Sin'gh (1977) kepada kelas Cc dan Cr.

J

^ECc adalah cembung terhadap titik konjugat jika dan hanyajika

N {

zJ'(z) }

0 Y

J(z)

⁺

J{;)

> • Kelas fungsi ini dilambangkan sebagai C_{c •}

zeD. (2.9)

f

e C,w: adalah cembung terhadap titik konjugat jika dan hanyajika

N {

z!,(z) }

0 Y

J(z)- fb)

^{> •}

Kelas fungsi ini dilambangkan sebagai C_{sc '}

zED. (2.10)

Dengan menggunakan hasil kajian Halim el al. (2005), Wong dan Janteng (2008) telah memperkenalkan kelas C~T{a.p1

CcT{a,p)

dan

CM;T{a,p)

dengan

a

dan

p

2(1 -

p) memenuhi syarat-syarat 0 ~ a ~ I • 0 ~ PSI dan 0 S < I.

I+ap

(23)

12 Definisi 2.4.4 Suatu fungsi

1

e

C.T(a,p)

adalah cembung terhadap titik simetri jika dan hanyajika

z!,(z)

1

J

^~f'(z) ¹

I(z)-/(-z)- <I-'I/(z)-/(-z)+ ,.

^zeD. ^(2.11)

1

e

CcT(a, p)

adalah cembung terhadap titik konjugat jika dan hanyajika

,_z::....f'~(z==)

^{=-1 <}

j af'(z)

+ 1

I(z)

+

M I-'1/(z)

⁺

M '

^zeD. ^(2.12)

1

e

C.J(a,p)

adalah cembung terhadap titik simetri konjugatjika dan hanyajika

,_z~f'-=(z==)

^=-1^<

j af'(z)

+ 1

I(z)- M I-'1/(z)_ I(~z) ,

^zeD. ^(2.13)

UMS

(24)

13 2.5 Kelas S·

A(a )

Pada tahun 2003, Owa dan Pascu telah memperkenalkan kelas S·

A(a)

dengan 0 ~

a

< 1

dan 0 S k < 1 serta mempertimbangkan fungsi berbentuk

1 ..

f(z)=-+ La"z",

z ".0 a" ~O.

Berikut diberikan definisi bagi kelas tersebut.

f

e

S·A(a)

jika dan hanyajika

z!'(z)

k

~ z/'(z) (2 -k~

f(z)

+ ~

f(z)

+ a

l'

(2.14)

zeD. (2.15)

(25)

34

RUJUKAN

Bakul~ M.I(, Ozdemir. M.E. & Pecaric. J.E. 2008. Hadamard type inequalities for

m -

convex and

(a, m) -

convex Functions. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 9 (4), ms. 1-20.

Clunie, J. & Keogh, F.R. 1960. On starlike and convex schlicht functions. J. London Math. Soc. 35, ms. 229-233.

Darus, M. 2000. A note on Fekete-Szego Theorem: An Open Problem. Jour. of Inst.

Math & Camp. Sci. (Math. Ser.) 13 (3), ms. 355-364.

Darus, M. & Thomas, O.K. 1996. On the Fekete-Szego Theorem for Close-to-Convex functions. Math. Japonica 44 (3), ms. 507-511.

Das, R.N. & Singh, P. 1977. On subclasses of schlicht function mapping. Indian J.

Pure Appl. Math. 8, ms. 864-872.

EI-Ashwah, R.M. & Thomas, D.K. 1987. Some subclasses of close-to-convex functions. J. Ramanujan Math. Soc. 2, ms. 86-100.

Goodman, A.W. 1975. Univalent Functions. Ed. 1. Mariner Publishing Company, Inc, Tampa, Florida. ms. 246.

Halim, S.A .• Janteng. A. & Darus, M. 2005. Coefficient properties for classes with negative coefficients and starlike with respect to other points. Proceeding of The 13th Mathematical Sciences National Symposium 2, ms. 658-663.

Halim. S.A., Janteng, A. & Darus, M. 2007. Classes with negative coefficients and starlike with respect to other points. International Mathematical Forum 46, ms.

2261-2268.

UMS

(26)

35

Hori, R & Yoshida, H. 2003. The Spectrum Radii of Free Convex Sums of Projections. Nat Sci Rep Ochanomizu Univ. 54 (2), ms.I-9.

Owa, S. 1984. On the special classes of univalent functions. Tamkang J. IS, ms. 123- 136.

Owa, S. & Pascu, N.N. 2003. Coefficient inequalities for certain classes of meromorphically starlike and meromorphically convex function. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 4, ms. 1-14.

Robertson, M.I.S. 1961. Applications of the subordination principle to univalent functions. Pacific J. of Math. 11, ms. 315-324.

Sakaguchi, K. 1959. On certain univalent mapping. J. Math. Soc. Japan II, ms. 72- 75.

Silverman, H. 1975. Univalent functions with negative coefficients. Proc. A mer. Math.

Soc. 51, ms. 109-116.

Stankiewicz, J. 1965. Some remarks on functions starlike w.r.t symmetric points.

Ann. Univ. Marie Curie Sklodowska 19 (7), ms.53-59.

Sudharsan, T.V., Balasubrahmananyam, P. & Subramanian, K.O. 1998. On functions starlike with respect to symmetric and conjugate points. Taiwanese Journal of Mathematics 2, ms. 57-68.

Wong, S.J. & Janteng, A. 2008. Classes with Negative Coefficients and Convex with Respect to Others Points. International Journal Contemporary Mathematical Sciences 3( 11), ms. 511-518.