Kelas fungsi meromorfi dan cembung terhadap titik konjugat

(1)

KELAS FUNGSI MEROMORFI DAN CEMBUNG TERHADAP TITIK KONJUGAT

MARY ANNE K. BALTAZAR

tfRPUSTAKAA" . UNIVERS/TI MAt AYSIA ~M~1v

DISERTASllNl DlKEMUKAKAN UNTIJK MEMENUHI SEBAHAGIAN DARlPADA SY ARAT MEMPEROLEHI IJAZAH SARJANA MUDA SAINS

DENGAN KEPUJIAN

PROGRAM MA TEMA TIK DENGAN KOMPUTER GRAFIK SEKOLAH SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSm MALAYSIA SABAH

MAC 2009

UMS

UNIVERSITI MALAYSIA·SABAH

(2)

PUMS99:1 UNIVERSITI MALAYSIA SABAH

BORANG PENGESAHAN STATUS TESIS@

JUDUL: t;:ELlt S _ f'uNGJ I ~~f\'\OR'F( D~ c.emS U.N~

Te~

DItP

TlTIt. ICONJ~ ~~-t

SAY A M It!lJ.{ AtJIV~

k.

l!>Itt..:( ReAR..

(HURUF BESAR)

SEsr PENGAJIAN: Jbjf/'J60'l

mengaku membenarkan tesis (LPSMlSaJjana/Doktor Falsafah) ini disimpan di Perpustakaan Universiti Malaysia Sabah dengan syarat-syarat kegunaan scperti berikut:- pr-:RrU~T,"~.Ii::j . __

I. Tesis adalah hakmilik Universiti Malaysia Sabah. r~·"~~t:;\!;:TI M~.LAY~I~ ~. i':",.:rr

2. Perpustakaan Universiti Malaysia Sabah dibenarkan membuat salinan untuk tujuan pengajian sahaja.

3. Perpustakaan dibenarkan membuat salinan tesis ini sebagai bahan pertukaran antara institutsi . pengajian tinggi.

4. Sila tandakan ( I )

o o

[2j

SULIT

TERHAD

TIDAK TERHAD

(Mengandungi maJdumat yang berdarjah keselarnatan atau Kepentingan Malaysia seperti yang tcrmaktub di dalarn AKT A RAHSIA RASMI 1972)

(Mcngandungi maklumat TERHAD yang tclab ditcntukan olch organisasilbadan di mana penyelidikan dijalankan)

Disahkan OJch

/ J

~ ~ NURULAIN BINT I$MAIL

~ LlBRARIAr

I

-=(T~AN~DA~T==A=-:-N7:G:-:AN±P~UftWBOOfI==;;;;;;;;~= LAye IA SABAH Or. Aini Ja:1ler ~ I

I

Pensyarah I P ~nQ~ihal AI(c.:demik ---:N⁷· am-a--:P-:-e~ner~jHWml'::l'almll M~tE matik Dengan Ekonomi

.... J

^sekolah^Saln~Dan Teknolugi

Tarikh :~JL"'tj~ UNIVERSITII~l.AYSIASP.BAH

Tarikh: - - - . - -

CAT A T AN;- • Potong yang tidak berkenaan .

•• Jika tesis ini SULIT atau TERHAD, sila lampirkan sural daripada pihak berkuasa /organisasi berkcnaan dcngan mcnyatakan sekaJi scbab dan tcmpoh lesis ini perlu dikelaskan sebagai SULlT dan TERHAD.

@Tesis dimaksudkan sebagai tesis bagi Ijuab Doktor Falsafah dan SarJana sec~ . penyelidikan atau disertai bagi pcngajian seeara kerja kursus dan Laporan ProJck SarJ~_a _

Muda (LPSM). . _ . . ..

UMS

UNIVERSITI MALAYSIA SABAH

(3)

ii

PENGAKUAN

Saya akui karya ini adalah hasH kerja saya sendiri kecuali nukilan dan ringkasan yang setiap satunya telah dijelaskan sumbemya.

2S Mac 2009

HS2005-3082

UMS

(4)

iii

PENGESAHAN

DIPERAKUKAN OLEH

Tandatangan

1. PENYELIA

(DR. AINI JANTENG)

2.

PEMERIKSA

1

(pN. SUZELA WA TI ZENIAN)

3.

DEKAN

(PROF. DR. MOHO. HARUN ABDULLAH)

UMS

(5)

iv

PENGHARGAAN

Saya in gin mengucapkan syukur kepada Tuhan kerana sentiasa membimbing dan memberikan saya semangat terutama sekali sepanjang pelaksanaan projek ini. Tanpa Dia, tidak mungkin saya dapat mengharungi setiap cabaran dan dugaan di alam universiti ini dan seterusnya menamatkan pengajian saya dengan jayanya.

Saya juga ingin mengucapkan ribuan terima kasih kepada penyelia saya, Dr. Aini Janteng yang tidak putus-putus memberikan dorongan dan galakan kepada saya dan tidak pemah berputus asa dalam membimbing saya di dalam projek ini mahupun di dalam pengajian says. Segala usaha dan bantuannya amat dihargai.

Selain itu, saya in gin berterima kasih kepada keluarga saya yang amat saya cintai dan kepada semua rakan-rakan saya yang telah memberikan sokongan dan berdoa untuk kejayaan saya terutama sekali kepada Amelia Jack, Priscilla Shim dan Harold Eswar.

Akhir sekali saya ingin berterima kasih kepada semua pihak yang telah membantu saya dalam apa-apa aspek sekalipun di dalam menjayakan projek ini. Segal a pertolongan amat saya hargai.

Sekian, terima kasih.

MARY ANNE K. BALTAZAR HS2005-3082

UMS

(6)

v

ABSTRAK

Misalkan A adalah kelas fungsi anal isis di dalam cakera unit terbuka D =

{z : \z\

^<^{I} .}

Subkelas bagi A yang dilambangkan sebagai S adalah kelas fungsi yang terdiri daripada fungsi-fungsi

1

yang univalen dan ternonnal dengan keadaan

1(0) = 1'(0)-1 =

^{O. Jika}

1

^ES, maka

1

mempunyai kembangan siri Maclaurin berbentuk

1 (z)

= z

+ ! o.z·

.-2

dengan o. suatu nombor nyata tidak negatif.

r

dilambangkan sebagai kelas fungsi meromorfi yang mengandungi fungsi-fungsi

1

berbentuk

1 (z)

=

! -

_z

! ._1 o.z·

^dengan

o.

adalah nombor nyata tidak negatif. Dalam kajian ini, kelas baru bagi kelas fungsi meromorfi dan cembung terhadap titik konjugat akan diperkenalkan dengan mempertimbangkan fungsi

1

E

r .

Anggaran pekali bagi kelas tersebut akan ditentukan.

Daripada anggaran pekali tersebut, basil pertumbuban dan titik ekstrim juga dapat ditentukan bagi kelas baru tersebut

UMS

(7)

vi

CLASSES OF MEROMORPHIC FUNCTIONS AND CONVEX WITH RESPECT TO CONJUGATE POINTS

ABSTRACT

Let A be the class of analytic functions in the open unit disc D = {z :

Izl

^<I} . The subclass of A denoted by S, is a class of functions consisting of univalent functions and nonnalized by the conditions

J

(0)

= J' (

^{0) -1}

= o.

^If

J

^ES, then

J

has a Maclaurin series expansion in the form

f (z )

= Z

+ f Q.z·

^where

Q.

is a non negative real number.

r

is denoted as a class of meromorphic functions consisting of functions

f

in the form

J(z) =.!.- !Q.z·

where

Q.

is a non negative real number. In this study, new classes of Z ^.-1

meromorphic functions and convex with respect to conjugate points will be introduced by considering the functions

fEr.

The coefficient estimates for the classes will be determined. From the coefficient estimates, growth results and extreme points will also be determined for the above classes.

UMS

(8)

PENGAKUAN PENGESAHAN PENGHARGAAN ABSTRAK

ABSTRACT

SENARAI KANDUNGAN SENARAI RAJAH

SENARAI SIMBOL

BABl PENDAHULUAN

1.1

Pengenalan

1.2

Subkelas Utama bagi S

1.3

Fungsi Bakbintang

1.4

Fungsi Cembung

1.5

Fungsi Hampir Cembung

1.6

Objektif Kajian

1.7

Skop Kajian

KANDUNGAN

BAB 1 ULASAN LITERA TUR

2.1

Pengenalan

2.2

Fungsi Bakbintang terhadap Titik Simetri, Konjugat

dan

Simetri Konjugat

2.3

Fungsi Cembung terhadap Titik Simetri, Konjugat

dan

Simetri Konjugat

2.4

Kelas s;r(a,p),

S~T(a,p) dan s~r(a,p) 2.5

Kelas

S· A( a)

BAB3 ANGGARANPEKALI 3.1 Pengenalan

3.2

Kelas

Ccr(u) dan

Ccr(u,k)

3.3 Lema

3.4

Anggaran Pekali

V11

Muka Surat

11

III

iv v vi vii ix x

1 1 2

3 4

5 6

6

7

10 11

12 14 14 15 16

s

UNIVERSITI MAlAYSIA SABAH

(9)

viii

BAB4 BASIL PERTUMBUHAN DAN TITIK EKSTRIM 27

4.1 Pengenalan 27

4.2 Hasil Pertumbuhan 27

4.3 Titik Ekstrim 30

BAB S PERBINCANGAN, KESIMPULAN DAN CADANGAN 35

5.1 Perbincangan 35

5.2 Kesimpulan 36

5.3 Perbincangan 36

RU~ 38

UMS

(10)

SENARAI RAJAH

No.

Rajah

1.1

Domain

bakbintang 1.2

Domain

cembung

2.1

Domain

bakbintang terhadap titik simetri

\

lX

MukaSurat

3 5

8

UMS

(11)

x

SENARAI SIMBOL

< lebih keeil daripada

> lebih besar daripada

S; lebih keeil daripada atau sarna dengan

~ lebih besar daripada atau sarna dengan

E unsur kepada

-+ menghampiri kepada

L

basil tambah

UMS

(12)

BABI

PENDAHULUAN

1.1 Pengenalan

Kajian ini memperkenalkan kelas fungsi meromorfi dan cembung terhadap titik konjugat. Terlebih dahulu, andaikan A adalah kelas fungsi

I

yang analisis di dalam suatu cakera unit terbuka D = {% :\ %

\<

I}. Subkelas bagi A yang dilambangkan sebagai

S

adalah kelas fungsi yang terdiri daripada fungsi-fungsi

I

yang univalen dan temormal dengan keadaan /(0) = /'(0)-1

= o.

Suatu fungsi dikatakan analisis pada suatu titik %0 sekiranya

f

tertakrif pada

Zo dan wujud suatu jiranan titik Zo dengan terbitan

I

wujud pada setiap titik di dalam jiranan tersebut (Ressang, 1995). Menurut Goodman (1975) pula, suatu fungsi

I

^dikatakan ^univalen ^pada ^D _{se ranya}^ki

I( ) I()

_z\ ₌ Z2 t z\

e ,

D ^Z2

e ,

D mengimplikasikan

z, =

^{%2 •}

UMS

(13)

2

Jika

f

e S , maka

f

mempunyai kembangan sirl Maclaurin berbentuk

f(z) =

z+

La.z"

..

^(1.1)

. . 1

dengan a. suatu nombor nyata tidak negatif.

Fungsi univalen juga dikenali sebagai schlicht yang berasal daripada bahasa Jerman yang bennaksud mudah. Di Rusia pula, fungsi ini dikenali sebagai odnolistni yang bermaksud lapisan tunggal (Goodman, 1975).

Fungsi univalen mula dikaji sekitar tahun 1907 oleh Koebe. Kajian yang berkaitan dengan fungsi univalen juga menarik minat ramai ahli matematik yang lain termasuk Duren (1977), Ma dan Minda (1997), Chun dan Shi (2007) dan Sitin dan Ianteng (2008).

1.2 Subkelas Utama bagi S

T erdapat tiga subkelas utama bagi S iaitu kelas fungsi bakbintang yang dilambangkan sebagai

S·,

kelas fungsi cembung yang dilambangkan sebagai C dan kelas fungsi hampir cembung yang dilambangkan sebagai K.

UMS

(14)

3

1.3 Fungsi Bakbintang

Perwakilan geometri bagi fungsi bakbintang adalah seperti berikut.

Defmisi 1.3.1 (Goodman, 1975) Suatu set E pada satah kompleks adalah dikatakan bakbintang terhadap Wo , suatu titik pedalaman pada E , sekiranya setiap tembereng garis dengan titik awal Wo menyilang pedalaman E di dalam suatu set iaitu suatu tembereng garis juga. Sekiranya suatu fungsifmemetakan D ke seluruh domain yang bakbintang terhadap Wo , makaf dikatakan bakbintang terhadap Wo. Dalam kes Wo

=

0 ..

fungsif dikatakan sebagai fungsi bakbintang.

Domain bakbintang boleh digambarkan seperti Rajah 1.1 berikut:

Kh

,

--r---~---~--4_--~~Ny

Rajah 1.1 Domain bakbintang

(Sumber daripada Goodman, 1975)

UMS

UNIV£RSITI MALAYSIA SABAH

(15)

4

Perwakilan beranalisis bagi fungsi bakbintang adaIah seperti berikut:

Definisi 1.3.2 (Goodm~ 1975) Andaikan

1

anaIisis di daIam D, dengan 1(0)=1'(0)-1=0. Maka leS· jikadanhanyajika

Ny(ZI'(Z»)

^>0,^zeD.

J(z) (1.2)

1.4 Fungsi Cembung

Perwakilan geometri bagi fungsi cembung adaIah seperti berikut:

Definisi 1.4.1 (Goodm~ 1975) Suatu set E pada satah kompleks adaIah dikatakan cembung sekiranya untuk setiap pasangan titik WI dan ^W2di pedalaman E, tembereng garis yang menghubungkan ^WIdan w2juga berada di pedalaman E. Sekiranya fungsil memetakan D ke seluruh domain cembung, makal adalah fungsi cembung.

Domain bakbintang boleh digambarkan seperti Rajah 2.1 berikut.

UMS

(16)

Kh

...

.... .... ...

... .... ....

Rajah 1.2 Domain cembung

(Sumber daripada Goodman, 1975)

.... ...

Ny

Perwakilan beranalisis bagi fungsi cembung adalah seperti berikut.

5

Defmisi 1.4.2 (Goodman, 1975) Andaikan

1

analisis di dalam D, dengan 1(0)

=

^1'(0)-1

=

O. Maka fungsi 1 e C jika dan hanya jika

Ny

{I + z/ft{Z)}

^>

0

^zeD

I'(z) • (1.3)

I.S Fungsi Hampir Cembung

Perwakilan geometri bagi fungsi cembung adalah seperti berikut.

Definisi 1.5.1 (Goodman, 1983) Suatu fungsi

1

yang analisis di dalam D dikatakan hampir cembung di dalam D sekiranya terdapat fungsi

pee

^dan

p

suatu nombor nyata supaya

UMS

(17)

1.6 Objektif Kajian

NY{

^f'(z)

}>o,zen.

e'P;'(z)

Terdapat empat objektifyang hendak dicapai di dalam kajian ini iaitu:

6

a.

memperkenalkan kelas fungsi meromorfi dan cembung terhadap titik konjugat;

b. mengenalpasti anggaran pekali bagi Q.;

c. mendapatkan basil pertumbuhan bagi fungsi f; dan

d. menentukan titik-titik ekstrim bagi fungsi

f .

1.7 Skop Kajian

Skop bagi kajian ini terturnpu kepada kelas fungsi meromorfi dan cembung terhadap titik konjugat. Kajian ini menggabungkan idea Das dan Singh (1977), Owa dan Pascu (2003), serta mempertimbangkan fungsi meromorfi untuk memperkenalkan dua kelas fungsi yang barn. Anggaran pekali, hasil pertumbuhan dan titik ekstrim diperoleh untuk kelas-kelas tersebut.

UMS

(18)

DAB 1

ULASAN LITERATUR

1.1 Pengenalan

Bab ini akan membincangkan tentang kelas fungsi bakbintang dan cembung terhadap titik simetri, konjugat

dan

simetri konjugat Sakaguchi (1959) telah memperkenalkan kelas fungsi bakbintang terhadap titik simetri, S;. Seterusnya, EI-Ashwah

dan

Thomas (1987) memperkenalkan kelas fungsi bakbintang terbadap titik konjugat, S; dan kelas nmgsi bakbintang terhadap

titik

simetri konjugat,

S~.

Seterusnya, Das

dan

Singh (1977) pula memperkenalkan kelas fungsi cembung terhadap titik simetri, C

_{s •}

2.1 Fungsi Dakbintang terhadap Titik Simetri, Konjngat dan Simetrl Konjugat

Sakaguchi (1959) menyatakan bahawa suatu fungsi f e

A

adalah bakbintang terhadap titik simetri di dalam

D jika bagi

setiap

r

yang menghampiri 1.

r <

1 dan untuk setiap

UMS

(19)

8

pada bulatan

I

z

1=

r, halaju sudut bagi titik I(z) terhadap I( -zo) adalah positif pada titik

z

= Zo apabila

z

melalui bulatan

I z 1=

^r^pada^arah^positif.

Domain bakbintang terhadap titik simetri boleh digambarkan seperti berikut:

z

_o⁼^rer/J

Rajah 2.1 Domain bakbintang terhadap titik simetri (Swnber darlpada Sakaguchi, 1959)

Kelas

fungsi

bakbintang terhadap titik simetrl dilambangkan sebagai S; . Perwakilan beranalisis bagi kelas fungsi ini adalah seperti

berikut:

Dermisi 2.2.1 (Sakaguchi, 1959)

Andaikan

fungsi

1

analisis di dalam

D

dengan /(0) = /'(0) -1 == O. Maka /

e

S; jika dan banya jib

N { _y I(z)-/(-z) z/'(z)

}> O,zeD.

^(2.1)

UMS

(20)

9

Kelas fungsi bakbintang terhadap titik konjugat dilambangkan sebagai S;.

Perwakilan beranalisis bagi kelas fungsi ini

adalah

seperti berikut:

Defmisi

2.2.2

(EI-Ashwah

dan Thomas, 1987)

Andaikan fungsi 1 analisis

di dalam D

dengan 1(0)

⁼

1

^{'(0) -1}⁼^{0 • Maka}

1

^E^S~

jika

^dan

hanya jika

Ny{

^{zl'(z) }}

>

^0,^zeD.

/(z)

+

/(z)

(2.2)

Kelas fungsi bakbintang terhadap titik simetri konjugat dilambangkan sebagai

s~

. Perwakilan beranalisis

bagi

kelas fungsi ini adalah seperti berilrut:

Definisi

2.2.3

(EI-Ashwah

dan

Thomas,

1987) Andaikan

fungsi 1 analisis

di

dalam

D

dengan

/(0)= /'(0)-1

=0. Maka f

^e^S~jib dan hanyajika

NY{ z/'(z)

} >

0, zeD.

I(z)- I(-z)

(2.3)

2.3 Funpi Cembung terbadap Titik Simetri, Konjugat dan Simetri Konjogat

Das

dan Singh (1977) telah memperkenalkan fungsi cembung terhadap titik simetri.

Kelas fungsi cembung terhadap titik simetri dilambangkan sebagai

C_{s •}

Perwakilan beranalisis bagi kelas fungsi ini adalah seperti berikut:

UMS

(21)

10

Dermisi 2.3.1 Andaikan fungsi 1 analisis di dalam D dengan 1(0)=1'(0)-1=0.

Maka

1 e

C_sjika dan banyajika

NY{

^{(zl'(z» ,} ^}^>

0, zeD.

(/(z)- I(-z» ¹ ^(2.4)

Kelas fungsi cembung terhadap titik konjugat dilambangkan sebagai C_{c '} Perwakilan beranalisis bagi kelas fungsi ini adalah seperti berilrut:

Dermisi 2.3.2 Andaikan fungsi 1 analisis di dalam D dengan 1(0)=1'(0)-1=0.

Maka

1 e C

_cjika dan banyajika

NY{

(zf'(z» , } >

0, zeD.

(/(z) + I(z»'

(2.5)

Kelas fungsi cembung terhadap titik simetri konjugat dilambangkan sebagai

Cr'

Perwakilan beranalisis

basi

kelas fungsi ini adalah seperti berikut:

Defmisi 2.3.3

Andaikan

fungsi

1

analisis di dalam

D

dengan 1(0) = /'(0) -1 = O.

Maka 1 e Csc

jika dan hanyajika

{

(zf'(z»' }

Ny ~>O,zeD.

(/(z)- I(-z» , (2.6)

UMS

(22)

11

2.4 Kelas S;T(a,p), S;T(a,p) dan S~T(a,p)

Pada tabun 1998, Sudharsan et al. telah memperkenalkan kelas S;(a,p) yang terdiri daripada kelas fungsi

!

yang analisis di dalam D dan memenubi syarat

\ _...::..Z!~'(~Z)

^{_ _}l\<P\ azf'(z) +1\.zeD f(z)- !(-z) f(z)- !(-z)

(2.7)

dengan OSaSl, O<PSI danzeD.

Terlebih dahulu, T dilambangkan sebagai subkelas bagi S yang terdiri daripada fungsi

!

berbentuk

..

I(z)=z-

La"z", (2.8)

lOcI

dengan

a.

suatu nombor nyata tidak negatif.

Seterusnya, dengan menggabungkan idea dari Sakaguchi (1959), Sudharsan et al. (1998) dan

f

^{e T,} kelas-kelas S;T(a,p), S;T(a,p) dan S~T(a,p) telah diperkenalkan oleh Halim et al. (2005) dengan a dan

p

memenuhi syarat-syarat tertentu, iaitu

0

Sa

< 1,

O<P<1 dan 0 S

2(1-

P)

< 1.

l+ap

UMS

(23)

12

Dermisi 1.4.1 Suatu fungsi

f

e S;T(a,p) adalah dikatakan bakbintang terhadap titik simetri jika dan hanya jika ia memenuhi syarat

I

^--~~---I(z)- I(-z) ^zl'(z)

11

^<

pi

I(z)- f(-z) ^azf'(z)

+ 1

^t ^{ze .}^D (2.9)

Definisi 1.4.1 Suatu fungsi

f

e S~T(a,p) adaIah dikatakan bakbintang terhadap titik konjugatjika dan hanyajika ia memenuhi syarat

zl'(z) azif'(z)

1

<P

-:-+I,zeD. (2.10)

!(z)

+

fez) I(z)

+

I(z)

Definisi 2.4.3 Suatu fungsi

! e

S".:T(at

P)

adalah dikatakan bakbintang terhadap titik simetri konjugat jika dan hanya jika ia memenuhi syarat

zl'(z) azif'(z)

1

<

p +1 ,ze

D. (2.11)

I(z)- !(-z) I(z)- I(-z)

Owa dan Pascu (2003) telah memperkenalkan kelas barn iaitu S·A(a) dengan a memenuhi syarat tertentu iaitu 0 S

a

< 1 dan

a

< k S 1 serta mempertimbangkan

UMS

(24)

13

fungsi f eA. Di sini, A dilambangkan sebagai kelas yang mengandungi fungsi f

berbentuk

f(z)

=.!..+

i:a"z"

dengan

an adalah

nombor nyata tidak negatif.

z

^,,-0

Perwakilan beranalisis

bagi

kelas fungsi ini adalah seperti berikut:

Definui 2.6.1

(Owa &

Pascu, 2003) Andaikan fungsi f analisis

di

dalam

D.

Maka,

f

e S·A(a)jika dan hanyajika

zF(z)

+J~

^zF(z)

+(2a-kJ, zeD

f(z)

"'I

^f(z)

1

⁽²¹²⁾

UMS

(25)

38

RUJUKAN

Chun, Y.G. & Shi, Q.Z. 2007. Certain subclass of starlike functions. Applied Mathematics and Computation

187, ms.l76-182.

Clunie, J. & Keogh, F.R. 1960.

On

starlike and convex schlicht functions. J. London Math Soc. 35. ms.229-233.

Das, R.N.

&

Singh, P. 1977. On subclasses of schlicht function mapping. Indian J. Pure Appl. Math. 8, ms. 864-872.

Duren, P. L. 1977. Coefficients of univalent functions. Bulletin of the American Mathematical Society

5

(83),

ms.

891-911.

EI-Ashwah, R.M. & Thomas, D.K. 1987. Some subclasses of close-to-convex functions.

J. Ramanujan Math. Soc. 2,

ms.

86-100.

Goodman, A.W. 1975. Univalent Functions. Ed. 1. Mariner Publishing Company, Inc,

Tampa, Florida,

ms.

246.

Goodman, A.W. 1983. Univalent Functions. Ed. 2. Mariner Publishing Company, Inc,

Tampa, Florida,

ms. 11.

Hal~ S.A., Janteng, A. & Darns, M. 2005. Coefficient properties for classes with negative coefficients and starlike with respect to other points. Proceeding of The 13th Mathematical Sciences National Symposium 2, ms. 658-663.

Koebe, P. 1907. Ueber die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven. Nachrichten von der Gesellschafi der Wissenschaften zur Gottingen, ms. 191-210.

(26)

39

Ma, W. & Minda, D. 1997. Coefficient inequalities for strongly close-to-convex functions. Journal of Mathematical Analysis and Applications

205,

ms.

537-553.

Liu,

M.S.,

Zhu, Y.C.

& Srivastava,

H.M. 2008.

Properties

and

characteristics of certain subclasses of starlike functions of order

p.

Mathematical and Computer Modelling 48,

ms.402-419.

Owa, S.

1984.

On the special classes of univalent functions. Tamkang J. IS, ms.

123-136.

Owa, S. &

Pascu, N. N., 2003.

Coefficient Inequalities for certain classes of meromorphically starlike and meromorphically convex functions. Journai of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 4,

ms.I-14.

Ressang, A. 1995. Pembolehubah Komplelcs Permulaan. Jilid 1. Dewan

Bahasa

dan Pustaka, Kuala Lumpur, ms.85.

Sakaguchi, K. 1959. On certain univalent mapping. J. Matk Soc. Japan 11, ms.

72-75.

Silve~ H. 1975. Univalent functions with negative coefficients. Proc. Amer. Math.

Soc. SI, ms.

109-116.

Siti~ L. & Janteng. A.

2008.

Subclasses of Convex Functions with respect to other points. International Mathematical Forum 34 (2).

ms. 1675-1681.

Sudharsan,

T.V.,

Balasubrahmananyam,

P.

& Subramanian,

K.G. 1998.

On functions starlike with respect to symmetric and conjugate points. Taiwanese Journal of Mathematics

2,

ms.

57-68.

UMS