• Tidak ada hasil yang ditemukan

MAT 363 - EPrints USM

N/A
N/A
Info
Unduh - Bebas
Protected

Academic year: 2024

Membagikan "MAT 363 - EPrints USM"

Copied!
8
0
0

Memuat.... (Lihat teks lengkap sekarang)

Unduh sekarang ( 8 Halaman )

Teks penuh

(1)

UNIVERSITI SAINS MALAYSIA Peperiksaan Kursus Semasa Cuti Panjang

Sidang Akademik 2009/2010 Jun 2010

MAT 363 – Statistical Inference [Pentaabiran Statistik]

Duration : 3 hours [Masa : 3 jam]

Please check that this examination paper consists of EIGHT pages of printed material before you begin the examination.

[Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan ini mengandungi LAPAN muka surat yang bercetak sebelum anda memulakan peperiksaan ini.]

Instructions: Answer all four [4] questions.

[Arahan: Jawab semua empat [4] soalan.]

In the event of any discrepancies, the English version shall be used.

[Sekiranya terdapat sebarang percanggahan pada soalan peperiksaan, versi Bahasa Inggeris hendaklah diguna pakai].

(2)

1. (a) If X has a normal distribution,

N ( 0 ,

2

)

, with density function given by

), 2 (

2 exp ) 1

(

2 ( , )

2

x x I

x f

find the density for

Y X

.

[30 marks]

(b) Show that if X and Y are independent positive continuous random variables, then the density function for the random variable

Y Z X

is

dy

y f zy yf z

g ( )

X

( )

Y

( )

0 .

[30 marks]

(c) The joint density function

X

1 and

X

2 is

2 1 2

/ ) ( 2

1

, ,

2 ) 1 ,

( x x e

12 22

x x

f

x x .

Let

Y

1

X

1

X

2 and

Y

2

X

1

X

2

.

Find the joint density function for

Y

1 and

Y

2

.

[40 marks]

2. (a) Let

Y

1

Y

2

Y

3

Y

4 be the order statistics of a random sample of size 4 from the distribution having probability density function

( )

x

,0 , zero elsewhere.

f x e x

Find

P (3 Y

4

).

[30 marks]

(b) Differentiate the moment-generating function for the geometric random variable and show that

E X ( ) (1 p p )

and

Var( ) (1 X p p )

2.

[30 marks]

(c) (i) Let U has an F distribution with parameters r and s. Using the related theorem, prove that

1

U

has an F distribution with parameters s and r.

(ii) Let

W

T V r

, where the independent variables W and V follow the standard normal distribution and the chi-square distribution with r degrees of freedom, respectively. Using the related theorem, show that

T

2 has an F distribution with parameters 1 and r.

[40 marks]

…3/-

(3)

1. (a) Jika X mempunyai taburan normal,

N ( 0 ,

2

)

, dengan fungsi ketumpatan yang diberikan oleh

), 2 (

2 eks ) 1

(

2 ( , )

2

x x I

x f

cari fungsi ketumpatan untuk

Y X

.

[30 markah]

(b) Tunjukkan bahawa jika X dan Y pembolehubah rawak selanjar positif yang tak bersandar, maka fungsi ketumpatan pembolehubah rawak

Y

Z X

ialah

dy y f zy yf z

g ( )

X

( )

Y

( )

0 .

[30 markah]

(c) Fungsi ketumpatan tercantum

X

1 dan

X

2 ialah

2 1 2

/ ) ( 2

1

, ,

2 ) 1 ,

( x x e

12 22

x x

f

x x .

Biarkan

Y

1

X

1

X

2 dan

Y

2

X

1

X

2

.

Cari fungsi ketumpatan tercantum

Y

1 dan

Y

2

.

[40 markah]

2. (a) Biarkan

Y

1

Y

2

Y

3

Y

4 sebagai statistik tertib bagi suatu sampel rawak saiz 4 daripada suatu taburan dengan fungsi ketumpatan kebarangkalian

( )

x

,0 , .

f x e x sifar di tempat lain

Cari

P (3 Y

4

).

[30 markah]

(b) Bezakan fungsi penjana momen bagi pembolehubah rawak geometri dan tunjukkan bahawa

E X ( ) (1 p p )

dan

Var X ( ) (1 p p )

2.

[30 markah]

(c) (i) Biarkan U mempunyai taburan F dengan parameter r dan s.

Dengan menggunakan teorem yang berkaitan, buktikan bahawa

1 U

mempunyai taburan F dengan parameter s dan r.

(ii) Biarkan

W

T V r

, yang mana pembolehubah tak bersandar W dan V, masing-masing mengikuti taburan normal piawai dan taburan khi kuasa dua dengan r darjah kebebasan. Dengan menggunakan

T

2
(4)

3. (a) Let

X

1

, X

2

,..., X

n represent a random sample from the N( ,1) distribution. Show that the minimum variance of an arbitrary unbiased estimator

μ

2 from the Cramer-Rao’s inequality is

n 4

2

.

[30 marks]

(b) Assume that

X

1

, X

2

,..., X

n represent a random sample from a common distribution with probability density function

elsewhere

, 0

1

, 1 0

, ) 1

;

(

21

1 1 1 2

x x x

f

.

Find the maximum likelihood estimator for .

[30 marks]

(c) Assume that

X

1

, X

2

,..., X

n is a random sample from the G(5, ) distribution. By using the sample mean

1 ,

1 n i

X

i

X n

derive the

(i) approximate 100 % (0< <1) confidence interval for when n is large.

(ii) 100 % (0< <1) confidence interval for when n is small.

[40 marks]

…5/-

(5)

3. (a) Biarkan

X

1

, X

2

,..., X

n mewakili suatu sampel rawak daripada taburan N( ,1). Tunjukkan bahawa varians minimum sebarang penganggar saksama untuk 2 daripada ketaksamaan Cramer-Rao ialah

n 4

2

.

[30 markah]

(b) Andaikan bahawa

X

1

, X

2

,..., X

n mewakili sampel rawak daripada taburan sepunya dengan fungsi ketumpatan kebarangkalian

1 2 1 1 1

1 , 0 1,

2

1

( ; )

0 ,

x x

f x di tempat lain

.

Cari penganggar kebolehjadian maksimum bagi .

[30 markah]

(c) Andaikan bahawa

X

1

, X

2

,..., X

n adalah suatu sampel rawak daripada taburan G(5, ). Dengan menggunakan min sampel

1 ,

1 n i

X

i

X n

terbitkan

(i) selang keyakinan hampiran 100 % (0 < <1) bagi apabila n besar.

(ii) selang keyakinan 100 % (0 < <1) bagi apabila n kecil.

[40 markah]

(6)

4. (a) Assume that

X

1

, X

2

,..., X

n is a random sample from the normal distribution with mean, and an unknown variance. Then

n S

T X

t(n – 1)

is a pivotal quantity. Find the shortest 100 percent confidence interval for .

[30 marks]

(b) Assume that the random variable X has the density function

elsewhere

, 0

0 ) ,

;

( e x

x f

x

.

A random sample of size two,

X

1

and X

2, is taken to test

2 : 1 H

0

versus

4 : 1

H

1 . The test used is based on the critical region C=

x

1

, x

2

: x

1

x

2

9 . 5

. Find the power of the test used.

[30 marks]

(c) Let

X

1

, X

2

,..., X

n represent a random sample from the Poisson distribution with density function

)

! ( )

;

( I

{0 ,1 ,...}

x e x

x f

x

.

Find the uniformly most powerful (UMP) test of size = 0.1 to test

2

0

:

H

versus

H

1

: 2

. Assume that the sample size is n = 30.

[40 marks]

(7)

4. (a) Andaikan

X

1

, X

2

,..., X

n sampel rawak daripada taburan normal dengan min, dan varians yang tidak diketahui. Maka

n S

T X

t (n – 1)

ialah suatu kuantiti pangsian. Cari selang keyakinan 100 peratus tersingkat bagi .

[30 markah]

(b) Andaikan pembolehubah rawak X mempunyai fungsi ketumpatan

dtl , 0

0 ) ,

;

( e x

x f

x

Sampel rawak saiz dua,

X

1

dan X

2, diambil bagi menguji

2 : 1 H

0

lawan

4 : 1

H

1 . Ujian yang digunakan adalah berdasarkan rantau genting C =

x

1

, x

2

: x

1

x

2

9 . 5

. Cari kuasa bagi ujian yang digunakan.

[30 markah]

(c) Biarkan

X

1

, X

2

,..., X

n menandai sampel rawak daripada taburan Poisson dengan fungsi ketumpatan

)

! ( )

;

( I

{0 ,1 ,...}

x e x

x f

x

Cari ujian paling berkuasa secara seragam (UPBS) bersaiz = 0.1 bagi menguji

H

0

: 2

lawan

H

1

: 2

. Andaikan bahawa saiz sampel ialah n = 30.

[40 markah]

(8)

APPENDIX / LAMPIRAN

- ooo O ooo -

Referensi

Unduh sekarang ( PDF - 8 Halaman - 394.53 KB )

Dokumen terkait

Pengaruh Dan Pengelompokan Dimensi Pembangunan Manusia Terhadap Keterlantaran Lansia Di Indonesia Dengan Structural Equation Modeling Partial Least Square (SEM-PLS) Dan Prediction Oriented Segmentation Partial Least Square (POS-PLS) - ITS Repository

Pengujian konvergen validitas untuk persamaan struktural disajikan pada Tabel 4.2 dibawah ini.. Selain itu indikator Y1, Y2, Y3, Y4 dan Y5 juga dianggap tidak valid dalam mengukur

Analisis Pengaruh Keterampilan Kerja dan Perilaku Karyawan Terhadap Kinerja Karyawan dengan Variabel Peran Manajerial sebagai Moderasi

Nilai Loading Factor Indikator Peran Manajerial Indikator Nilai Loading Factor Peran Manajerial Y1 0,516 Y2 0,564 Y3 0,603 Y4 0,588 Note : hasil merujuk pada pengolahan data

MAT 263 – PROBABILITY THEORY [Teori ... - EPrints USM

Bilangan bank kuasa yang dijual di sebuah lot kedai setiap minggu adalah pembolehubah rawak dengan nilai jangkaan 120.. i Beri batas atas kepada kebarangkalian jualan pada minggu

MST 561 - EPrints USM

Jika pemandu dipilih secara rawak, i Apakah kebarangkalian bahawa dia tidak akan mempunyai kemalangan?. ii Apakah kebarangkalian bersyarat bahawa dia akan mempunyai 2 kemalangan,

MAT 363 - EPrints USM

i Cari rantau genting paling berkuasa secara seragam untuk menguji H0 :θ 1 lawan H1:θ 1.. Dengan mengandaikan bahawa n adalah besar secara cukup, cari nilai hampiran k dengan

q2-$(v,-Y)' - EPrints USM

ii Untuk sampel rawak berstratum saiz 80, tentukan saiz sampel yang patut diambil dari setiap stratum jika menggunakan peruntukkan Neyman.. iii Apakatr saiz sampel yang patut diambil

MAT 263 – Probability Theory [Teori ... - EPrints USM

[5 markah] b Diberi bahawa adalah fungsi kebarangkalian melonggok bagi , tunjukkan bahawa [4 markah] c Biarkan menjadi tempoh hayat hadapan bagi bayi yang baru lahir, apakah

The Evaluationof Lecturer's PerformanceandSekolah Tinggi Perikanan's Performance ThroughIntellectual Capital

Model SEM Hypothesis Note: Information: X1: Knowledge Y1: Key Performance Indicator X2: Expertise Y2: Customer perspective X3: Experience Y3 Financial perspective X4: Database Y4: