ทฤษฎีบ ทของโคชี(Cauchy's theorem)

Lecture 17 สุจินต์ คมฤทัย – 1 / 19

ทฤษฎีบทของโคชี (Cauchy’s theorem)

ผศ.ดร.สุจินต์ คมฤทัย, Ph.D.

บทนำ

Introduction EX 1.

EX 2.

EX 3.

Paths Simple Closed Simply connected Cauchy’s theorem Proof Cauchy Thm EX 4.

EX 5.

EX 6.

EX 7.

• โดยทั่วไปอินทิกรัลตามเส้น Z

C

f(z)dz ขึ้นกับ z(a), z(b) และ ขึ้นกับ C ในหัวข้อนี้จะศึกษาเงื่อนไขที่ทำให้อินทิกรัลตามเส้น ขึ้นกับ z(a), z(b) แต่ไม่ขึ้นกับ C นั่นคือ ถ้า C¹, C² มีจุดเริ่ม และจุดปลายร่วมกัน จะได้

Z

C1

f(z)dz = Z

C2

f(z)dz

• ถ้า f(z) มีปฎิยานุพันธ์จะได้ว่าสมบัติดังกล่าวเป็นจริงเสมอ

• มีฟังก์ชันที่ไม่มีปฎิยานุพันธ์บนโดเมน เช่น

บทนำ

Introduction EX 1.

EX 2.

EX 3.

Paths Simple Closed Simply connected Cauchy’s theorem Proof Cauchy Thm EX 4.

EX 5.

EX 6.

EX 7.

Lecture 17 สุจินต์ คมฤทัย – 3 / 19

ตัวอย่าง 1

Introduction EX 1.

EX 2.

EX 3.

Paths Simple Closed Simply connected Cauchy’s theorem Proof Cauchy Thm EX 4.

EX 5.

EX 6.

EX 7.

EX. พิจารณาอินทิกรัลตามเส้น Z

C∗

Re zdz,

Z

C₁∪C₂

Rezdz เมื่อ C^∗ และ C¹ ∪ C² เป็นดังรูป

ตัวอย่าง 1

Introduction EX 1.

EX 2.

EX 3.

Paths Simple Closed Simply connected Cauchy’s theorem Proof Cauchy Thm EX 4.

EX 5.

EX 6.

EX 7.

Lecture 17 สุจินต์ คมฤทัย – 5 / 19

เส้นโค้งทั้งสองมีจุดเริ่มต้นและจุดปลายเดียวกัน ได้ว่า Z

C∗

Re zdz =

Z ¹

0

t(1 + 2i)dt = 1

2 + i Z

C1∪C

2

Rezdz =

Z ¹

0

tdt +

Z ²

0

1 · idt = 1

2 + 2i นั่นคือ R

C Re zdz ขึ้นกับเส้นโค้งด้วย

Note. f(z) = Re z ไม่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ที่จุดใดเลยใน C

ตัวอย่าง 2

Introduction EX 1.

EX 2.

EX 3.

Paths Simple Closed Simply connected Cauchy’s theorem Proof Cauchy Thm EX 4.

EX 5.

EX 6.

EX 7.

EX. พิจารณาเส้นโค้งเช่นเดียวกับตัวอย่าง 1 Z

C∗

zdz,

Z

C₁∪C₂

zdz

เนื่องจาก f(z) = z มีปฎิยานุพันธ์ F(z) = ^z₂² ดังนั้น Z

C∗

zdz = Z

C1∪C

2

zdz = z² 2

1+2i

0 = 1

2(1 + 2i)²

ตัวอย่าง 3

Introduction EX 1.

EX 2.

EX 3.

Paths Simple Closed Simply connected Cauchy’s theorem Proof Cauchy Thm EX 4.

EX 5.

EX 6.

EX 7.

Lecture 17 สุจินต์ คมฤทัย – 7 / 19

EX. พิจารณา I

C

1 z − z0

dz

เมื่อ C เป็นวงกลมดังรูป

ตัวอย่าง 2

Introduction EX 1.

EX 2.

EX 3.

Paths Simple Closed Simply connected Cauchy’s theorem Proof Cauchy Thm EX 4.

EX 5.

EX 6.

EX 7.

สังเกตุว่า f(z) = 1

z − z⁰ เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์บน C − {z0} ได้

z(t) = z⁰ + ρe^it, dz = iρe^itdt (0 ≤ t ≤ 2π)

ดังนั้น I

C

1

z − z⁰dz =

Z ^2π

0

1

ρe^itiρe^itdt = 2πi

เพราะฉะนั้น f(z) = 1/(z − z⁰) ไม่มีปฎิยานุพันธ์

Note. C ล้อมรอบจุด z⁰ ที่ f(z) ไม่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์

วิถีและเส้นโค้งปิดเชิงเดี่ยว

Introduction EX 1.

EX 2.

EX 3.

Paths Simple Closed Simply connected Cauchy’s theorem Proof Cauchy Thm EX 4.

EX 5.

EX 6.

EX 7.

Lecture 17 สุจินต์ คมฤทัย – 9 / 19

บทนิยาม

• วิถี (path) คือ เส้นโค้งเรียบเป็นช่วงที่ไม่มีจุดตัดกัน

• วิถีปิด (closed path) หรือ เส้นโค้งปิดเชิงเดี่ยว (simple closed curve) คือ เส้นโค้งเรียบเป็นช่วงที่ไม่ตัดกันที่จุดอื่น ยกเว้นจุดต้นและจุดปลาย

วิถีและเส้นโค้งปิดเชิงเดี่ยว

Introduction EX 1.

EX 2.

EX 3.

Paths Simple Closed Simply connected Cauchy’s theorem Proof Cauchy Thm EX 4.

EX 5.

EX 6.

EX 7.

บริเวณที่ถูกล้อมเรียกว่า Interior และบริเวณภายนอกเรียกว่า

บริเวณเชื่อมโยงเชิงเดี่ยว (Simply Connected Region)

Introduction EX 1.

EX 2.

EX 3.

Paths Simple Closed Simply connected Cauchy’s theorem Proof Cauchy Thm EX 4.

EX 5.

EX 6.

EX 7.

Lecture 17 สุจินต์ คมฤทัย – 11 / 19

บทนิยาม ให้ D ⊂ C เป็นเซตเปิด

จะกล่าวว่า D เป็นบริเวณเชื่อมโยงเชิงเดี่ยว ก็ต่อเมื่อทุกเส้น โค้งปิดเชิงเดี่ยวใน D ล้อมเพียงแค่จุดใน D เท่านั้น ไม่ล้อม จุดใน C − D

ทฤษฎีบทของโคชี

Introduction EX 1.

EX 2.

EX 3.

Paths Simple Closed Simply connected Cauchy’s theorem Proof Cauchy Thm EX 4.

EX 5.

EX 6.

EX 7.

ทฤษฎีบทของโคชี ให้ f(z) เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์บนบริเวณ เชื่อมโยงเชิงเดี่ยว D ⊂ C จะได้ว่าสำหรับเส้นโค้งปิดเชิงเดี่ยว C ใด ๆ ใน D

I

C

f(z)dz = 0

Note. ถ้า f(z) เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ที่ทุกจุดบน C และทุกจุด ภายในที่ล้อมด้วย C จะได้

I

f(z)dz = 0

ทฤษฎีบทของโคชี

Introduction EX 1.

EX 2.

EX 3.

Paths Simple Closed Simply connected Cauchy’s theorem Proof Cauchy Thm EX 4.

EX 5.

EX 6.

EX 7.

Lecture 17 สุจินต์ คมฤทัย – 13 / 19

บทพิสูจน์ทฤษฎีบทของโคชี

Introduction EX 1.

EX 2.

EX 3.

Paths Simple Closed Simply connected Cauchy’s theorem Proof Cauchy Thm EX 4.

EX 5.

EX 6.

EX 7.

บทพิสูจน์ แทน f(z) = u(x, y) + iv(x, y) และ dz = dx + idy จะได้

I

C

f(z)dz = I

C

(udx − vdy) + i I

C

(vdx + udy)

จาก D เป็นบริเวณเชื่อมโยงเชิงเดี่ยว และ C เป็นเส้นโค้งปิด เชิงเดี่ยว โดยทฤษฎีบทของกรีนจะได้

I

C

(udx − vdy) =

Z Z

R

∂(−v)

∂x − ∂u

∂y

dxdy เมื่อ R ⊂ D เป็นบริเวณภายในปิดล้อมด้วย C

บทพิสูจน์ทฤษฎีบทของโคชี

Introduction EX 1.

EX 2.

EX 3.

Paths Simple Closed Simply connected Cauchy’s theorem Proof Cauchy Thm EX 4.

EX 5.

EX 6.

EX 7.

Lecture 17 สุจินต์ คมฤทัย – 15 / 19

เนื่องจาก f(z) เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ที่ทุกจุดใน R โดยสมการ โคชี-รีมันน์จะได้

∂v

∂x = −∂u

∂y , ∂u

∂x = ∂v

∂y ที่ทุกจุดใน R ดังนั้น

I

C

(udx − vdy) =

Z Z

R

∂(−v)

∂x − ∂u

∂y

dxdy = 0

ในทำนองเดียวกันจะได้

I

C

(vdx + udy) =

Z Z

R

∂u

∂x − ∂v

∂y

dxdy = 0

ตัวอย่าง 4

Introduction EX 1.

EX 2.

EX 3.

Paths Simple Closed Simply connected Cauchy’s theorem Proof Cauchy Thm EX 4.

EX 5.

EX 6.

EX 7.

EX (Entire functions, D = C) จงหาค่า I

C

e^z2dz,

I

C

sin zdz,

I

C

zⁿdz (z = 1,2, . . .) เมื่อ C เป็นเส้นโค้งปิดใน C

ตัวอย่าง 5

Introduction EX 1.

EX 2.

EX 3.

Paths Simple Closed Simply connected Cauchy’s theorem Proof Cauchy Thm EX 4.

EX 5.

EX 6.

EX 7.

Lecture 17 สุจินต์ คมฤทัย – 17 / 19

EX. จงหาค่า I

|z|=1

sec zdz,

I

|z|=1

dz z² + 4

ตัวอย่าง 6

Introduction EX 1.

EX 2.

EX 3.

Paths Simple Closed Simply connected Cauchy’s theorem Proof Cauchy Thm EX 4.

EX 5.

EX 6.

EX 7.

EX. จงหาค่า I

C

dz z²

เมื่อ C เป็นเส้นโค้งปิดเชิงเดี่ยวใน C

ตัวอย่าง 7

Introduction EX 1.

EX 2.

EX 3.

Paths Simple Closed Simply connected Cauchy’s theorem Proof Cauchy Thm EX 4.

EX 5.

EX 6.

EX 7.

Lecture 17 สุจินต์ คมฤทัย – 19 / 19

EX. จงหาค่าอินทิกรัลตามเส้น I

|z+3i|=2

2z + 1 z² + 3izdz