一、第一类贝塞耳函数

(1)

§5 贝塞耳函数

[第一类贝塞耳函数的定义与表达式]

 _ ^



^







 ^  ^



 _k _k ^z ^z

z

J ^k

k

a r g 2)

)( 1 (

! ) 1 ) (

( ²

0

称为第一类阶贝塞耳函数，它在除去半实轴(,0)的z平面内单值解析（当为整数时，

) (z

J_ 在全平面上解析）.它满足贝塞耳微分方程

(1 ) 0 (1) dz

dw 1 dz d

2 2 2

2    w

z v z

w

方程中常数（实数或复数）称为方程的阶或解的阶.

当 n（整数）时，e²^z⁽^t^¹^t⁾是J_n(z)的母函数：

⁾

( 1 2t t z

e ^ =



^

 













n

n z t t z

J ( ) 0 ,

且有

J__n(z)(1)ⁿJ_n(z)







 

 ^

 z

z z

z z z z

J ⁿ ⁿ ⁿ

n

s i n d )

( d ) 2

1 ( )

( ¹

2

1 











 





^

 



 2

0(2 )!( 2 )!(2 )2

)!

2 ( ) 1 ) (

sin( 2 2

n

k k

k

z k n k

k n z n

z













 





^

 

 

 

2 1

0 (2 1)!( 2 1)!(2 )2 1

)!

1 2 ( ) 1 ) (

cos( 2

n

k k

k

z k

n k

k n z n

(n0,1,2,)







 ^ 



 z

z z

z z z z

J ⁿ ⁿ

n

c o s d )

( d ) 2

( ¹

2

1 











 





^

 



 2

0(2 )!( 2 )!(2 )2

)!

2 ( ) 1 ) (

cos( 2 2

n

k k

k

z k n k

k n z n

z













 





^

 

 

 

2 1

0 (2 1)!( 2 1)!(2 )2 1

)!

1 2 ( ) 1 ) (

sin( 2

n

k k

k

z k

n k

k n z n

(n0,1,2,)



^







0 2 2

2

0( ) ( 1) 2 ( !)

k k

k z z

J



^

 

 

0 2

2

1 2 !( 1)!

) 1 ( ) 2

(

k k

z z z

J

(2)

z z z

J 2 s i n

) (

2

1 ^  z

z z

J 2 c o s

) (

2

1 ^ 



s i n c o s)

2 ( ) (

2

3 z

z z z z

J  

 c o s)

s i n 2 (

) (

2

3 z

z z z z

J   

 







  



 



 

 z

z z z

z z

J 3c o s

s i n 3 1

) 2

( 2

2

5 







 



 



 



  z

z z z z z

J 3 1 c o s

s i n 3 ) 2

( 2

2

5 

[积分表达式]







 ^   

 ⁰

2 d

s i n ) cos cos(

2) ( 1 2) ( )

( ⁿ

n

n z

n z z

J （泊松积分表示）





^ 

   

 ^{c o s (} ^{s i n}⁾^d 2

1 n z （贝塞耳积分表示）





 





 ¹

1

2 1

2) d

1 ( 2) ( 1 2) ( )

( t e t

z z

J ^ ^{i z t}



   )

2 ( R e 1

^_



0^ ^^ ^ ^^ _^



0^ ^ ^^^ ^ ) sh

( d

d sin ) sin

1 cos( _z

e z

(Re 0,Rez0)

)

2 Re 1 2 , 1 0 ( d ) 1 (

sin 2 )

(1 2) ( 2 )

( 1

2 1 2















^ _





 ^



 t x

t xt x

x J

^



0^ ^ )ch( )d ( ^0,^1^Re ^1) ch 2

2 sin(   

 ^x ^t ^t ^t ^x



^ ^ ^ ^





  ⁽¹ ⁾( ² 1) ²¹ d 2)

(1 2

2) 2 )(

(1 )

( ^ ^



 

 _z

B

izt t e t

i z z

J

, , 2 ,3 2

(  1  在B点，arg(t² 1)0) 积分路线如图12.4的“8 ”字形，在B点

a r g (t1)a r g (t1)0.

d (a r g )

) 2

( ⁰ ¹ ⁴

1

2 

 ^



 



^ 

 



 t e t t

i z z

J ^t

t z

[有关公式]



^      













 

0 1 2 1 2 1 1

1 , ,

) 2 2 4 (

, d 0

) ( )

( ^  

 n m n

n t m

t J

t _n _m

















 



_[  ₍ _)] _, _, ₁

2 1

1 , ,

0 d

) ( )

( ₂

1 1

0  

 



 

 J m n

n m t

t J t tJ

m n

m

其中_m,_n,为函数J_(x)的两个正零点.

(3)



0¹tJ_(_mt)J_(_nt)dt

 















 





 



2 , 1 ,

)]

( )[

( )]

( 2 [

1

2 , 1 ,

0

2 2

2 2     





 J m n

J

n m

m m

m

其中_m,_n为函数zJ_(z)aJ_(z)的两个正零点，且 2

1

  ，a是任意给定的常数.



^







k

k n k

n x y J x J y

J ( ) ( ) _ ( ) （加法公式）



^











1

2 1 2

0 1 0 2

1 2 2 2 1

0( 2 c o s) ( ) ( ) 2 ( ) ( )c o s ,

m

m r J r m

J r

J r J r

r r r

J  

其中r₁和r₂表示原点O到平面上任意两点P₁,P₂的距离， 为OP₁和OP₂的交角.

[渐近表达式]

J_(z)



























 











 n

k

n k

k

z O z

k k

k

z z ₀

2 2 2

) ( )

2 2)(

2 1 ( )!

2 (

2) 2 1 ( ) 1 ( 4)

cos( 2 2



 





























 



 ^ ^ ^

 



⁽ ⁾

) 2 2)(

2 1 ( )!

1 2 (

2) 2 3 ( 4)

sin( 2

2 ¹ ₂ ₃

0 2 1

n n

k k

z O z

k k

k

z z 

 





(固定， z ,argz )



  ^





 ( )

2

~ 1 )

( ²⁾^ln ¹

( 1

ln2 





 z e O

J

z (z固定， )

) 1 ( ) 2

( ^ 



  x 

x

J (x0)

)

4 c o s ( 2

2 ) ( )

( ²

1  

   x 

x x

J (x)

x x J x

J^ ^ 

) 2 ( )

( ²₁

2  _  (x )

) 1 ( 2 ) 1

(   



ey

z z

J （其中 )

2 , 1

Im 

 z y

二、第二类贝塞耳函数（诺伊曼函数）

[第二类贝塞耳函数的定义与其他表达式]

( ,a r g )

s i n

) ( c o s

) ) (

( 



 _

    

 J z J^ z z z

z N

称为第二类贝塞耳函数（有的书中N_(z)也记作Y_(z)），又称为诺伊曼函数，它也是贝塞耳微

分方程（1）的解，式中J_(z)为第一类贝塞耳函数，

N__(z) J_(z)sin N_(z)cos

) (z

N_ 和N__(z)在除去半实轴(,0)的z平面内的单值解析.







 





^

0 2

2

) 1 (

! ) 2

1 ( 2) )(

sin cos(

) 1 (

k k

z z z

N  

 ^



(4)











 





^



 

  (

) 1 (

! ) 2 1 ( 2)

(

0 2

2

k k

z

z 整数）



^









 





 ¹

0

)2

(2

! )!

1 (

) 1 ( 2 )

2 (ln ) ( lim ) (

n

k

n k n n

n

z k

k z n

z J z

N z

N  

 





^

 

 





 



 

0 1 1

2 1 1)

( 2) )!( (

! ) 1 ( 1

k

m

k n

m k

n k

m m

z k n

 k

(n0,1,2,,a r gz , 为欧拉常数）

N__n(z)(1)ⁿN_n(z)

z

z z

z z z z

J z

N ⁿ ⁿ ⁿ

n n n

) cos d ( d ) 2

1 ( ) ( )

1 ( )

( ¹ ¹

2 1 1 2

1  



    















 







^

 

 





 2

1

0

1 2

)!

1 2 ( )!

1 2 (

) 2 ( )!

1 2 ) (

1 ( 2 )

2 sin(

n

k

k k

k n k

z k

n z n

z















 

 ^ ^

 





 ^k

n

k

k z n k

k n z

z n ²

2

0

) 2 )!( 2 ( )!

2 (

)!

2 ( ) 1 ) (

cos( 

(n0,1,2,)



⁰^,¹^,²^,^



s i n) ( d ) ( d ) 2

( ) 1 ( )

( ¹

2 1 2

1    ^ 





 n

z z z

z z z z

J z

N ⁿ ⁿ

n n

n 

 







 



 ^k

m k k

k

m z

z k z J

z N

1 2

0 0

) 1 (2 )

! (

) 1 ( ) 2

( 2 )

( l n ) 2

(  



) ( 2 )

2(ln )

( ₁

1 z J z

z

N 

 ^

 

 



 



 



 

^









 1

1 1

1 2 1

)!

1 (

! 2) ( ) 1 1 (

2 ^k

m k

k k

k m k

k z z 

z z z

N 2 cos

) (

2

1 ^^ 

z z z

N 2 s i n

) (

2

1 ^ 



c o s) ( s i n ) 2

(

2

3 z

z z z z

N  



) sin cos

2 ( )

(

2

3 z

z z z z

N  

 

[积分表达式]



   





^



^ ^ ^^ ^

  

 ⁰ ^sin( ^sin ⁾^d ⁰ ⁽ ^cos( ⁾⁾ ^sinh ^d ) 1

(z z t t t e e e t

N ^t ^t ^z ^t ( R ez 0)

) 0 2, Re 1 2 ( 1 d

) 1 (

cos 2 )

(1 2) ( 2 )

(

1

2 1 2









 



^ _



x t

t xt x

x

N 



 ^



^^



0^ ^ )ch d



^1^Re ^1, ^0



ch 2 2 cos(

x t

t t

x   



(5)

xt t t

t t t

t xt x t

N sin( )d

1 ) 1 ln(

d 4 ) 1 sin(

arcsin ) 4

( ¹

0 1 2

2 2 2

0 ^_2



_ ^_



^ ^ _ ^ (x0)

[渐近表达式]

































 







^





 

1

0

2 2

2 ( )

2) 2 1 ( )!

2 (

2) 2 1 ( )

2 (

) 1 ) (

4 sin( 2

) 2 (

n

k

n k

k

z O k

k

k z z

z z N



 



  

































 



 ^ ^ ^

 



⁽ ⁾

2) 2 1 ( ) 1 2 (

2) 2 3 ( )

2 (

) 1 ) (

4

c o s ( 2 ² ³

1

0 2 1

n n

k k

k

z O k

k

k z z



 





(固定， z ,argz )

2 ( ) ( 0, 0)

)

(     x

x x

N 





x x

N 2

2ln )

0( ^ (x0)

三、第三类贝塞耳函数（汉克尔函数）

[第三类贝塞耳函数的定义与表达式]

) s i n (

) ( ) ) (

( ) ( ) (

) 1

( 

 

 



 i

e z J z z J

iN z J z H

i

 





 (z ,a r gz )

) s i n (

) ( )

) ( ( ) ( ) (

) 2

(  ^

 



 i

z J e z z J

iN z J z H

i  







称为第三类贝塞耳函数，H_⁽¹⁾(z)和H_⁽²⁾(z)分别称为第一类和第二类汉克尔函数，它们在除去

半实轴(,0)的z平面内单值解析，且满足贝塞耳微分方程（1）.

H_⁽¹_⁾(z)eⁱ^H_⁽¹⁾(z) H_⁽_²⁾(z)e^ⁱ^H_⁽²⁾(z) l i mH⁽¹⁾(z) H_n⁽¹⁾(z)

n 

 

 l i mH⁽²⁾(z) H_n⁽²⁾(z)

n 

 



( ) ( ) ( 1) ( )

2 1 1 2

1 )

1 (

2

1 z J z i J z

H

n n n

n  



   

) ( ) d

( d ) 2

1

( ¹

z e z z z

i z

iz n n

n 



 

k n

k k iz n

z k n k

k i n

e

zi (2 )

1 )!

(

! )!

( 2

0

1







 

 



( ) ( ) ( 1) ( )

2 1 1 2

1 )

2 (

2

1 z J z i J z

H

n n n

n  



   

) ( ) d

( d ) 2

1

( ¹

z e z z z

i z

iz n n

n

 



 







 

 

 ⁿ

k k

k iz

n

z k n k

k i n

e

zi ₀

1

) 2 (

1 )!

(

! )!

) ( 2 (



( ) ( 1) ⁽¹⁾ ( )

2 1 )

1 (

2

1 z i H z

H

n n

n 

  

( ) ( 1) ⁽²⁾ ( )

2 1 )

2 (

2

1 z i H z

H

n n

n 

  

(6)

i e z z

H

iz

 ) 2

)(

1 ( 2

1  e^iz z z

H 

) 2

)(

1 (

2

1 



i e z z

H

iz

 ^

 ) 2

)(

2 ( 2

1 e ^iz z z

H ^

 

 ) 2

)(

2 (

2 1

[积分表达式]

1 d (0 arg , 1 Re 1)

)

( ² ^ch

) 1

( 



^     

 



 ^ 



 e e t z

z i

H ^iz ^t ^t

i

( ) ^ch d ( arg 0, 1 Re 1)

2 )

2

(       





^



  

 ^



 e t z

i z e

H ^iz ^t ^t

i

)

2 Re 1 , 0 (Im d

) 1 ( 2 )

(1 2) ( 2 )

( 1

2 1 2

) 1

(  





 



^ _





 ^



 t z

t e i z

z H

izt

)

2 Re 1 , 0 (Im d

) 1 ( 2 )

(1 2) ( 2 )

( 1

2 1 2

) 2

(  









^ ^ _





 ^



 t z

t e i z

z H

izt

t

z t it

e e z z i

H ^t

z i

d 2 ) 1 ( 2)

( 1 ) 2

( 0

2 1 2

) 1 4 2 ( 1 )

1

( ^ ^



^ ^ ^ ^ ^





 ^ ^

 

   a r g )

, 2 2

( R e 1   z

t

z t it

e e z z i

H ^t

z i

d 2 ) 1 ( 2)

( 1 ) 2

( 0

2 1 2

) 1 4 2 ( 1 )

2

( ^ ^ ^



^ ^ ^ ^ ^





  ^ ^

 

   )

a r g 2 2,

( R e 1   z

e t t

i z z

H i

i z t( 1) d 2)

(1 2) 2 )(

(1 )

( ¹

1

2 1 2

) 1

(



^

 





  ^



 



e t t

i z z

H i

i z t

d ) 1 ( 2)

(1 2) 2 )(

(1 )

( ¹

1

2 1 2

) 2

(



^^

 

  ^



 





   2 , 1 0

( R ez  正整数，arg(t² 1) )

积分路线如图 12.5.

[渐近表达式]





































 

 n

k

n k

k z

i O z

k k

iz

k ze

z H

0 ) 1 4 2 ) (

1

( ( )

2) ( 1

! ) 2 (

2) ( 1

) 1 2 (

) (









(固定， z , argz2)



































 



 n

k

n k

z

i O z

k k

iz

k ze

z H

0 ) 1 4 ( 2 )

2

( ( )

2) ( 1

! ) 2 (

2) ( 1

) 2 (









(7)

(固定， z ,2 argz)

( ) ( 0, 0)

2) ( )

)(

1

(   x

i x x

H 





 



( ) ( 0, 0)

2) ( ) (

) 2

(    x

i x x

H 



 



i x x

H 2

2 ln )

)(

1 (

0 ^^  (x0)

i x x

H 2

2ln )

)(

2 (

0 ^  (x0)

四、各类贝塞耳函数之间的关系与有关公式

[自递推关系] 下面Z_(z)表示贝塞耳函数J_(z),N_(z),H_⁽¹⁾(z)及H_⁽²⁾(z). zZ__₁(z)zZ__₁(z)2Z_(z)

[ ( ) ( )]

2 ) 1 d (

d

1

1 z Z z

Z z

zZ_  _^  _^

₁( ) ( ) Z (z) Z ₁(z) z z

zZ z

Z _    _

 _  _  _ _

) [ ( )] ( )

d

( d z Z z z Z z

z

z ^m

m

m ^ _  ^ _

) [ ( )] ( 1) ( )

d

( d z Z z z Z z

z

z ^m

m m m





^ _   ^ _

Z__n(z)(1)ⁿZ_n(z) Z_n(z) [各类贝塞耳函数之间的关系]

( ) ( )

) s i n (

) c o s ( ) ( ) ) (

( N z N z H⁽¹⁾ z iN z

z

J_ ^ ^ _ _



  

 ^ 

( ( ) ( ))

2 ) 1 ( )

( ⁽¹⁾ ⁽²⁾

) 2

( z iN z H z H z

H_  _  _  _



( ) ( )

) s i n (

) ( ) c o s ( ) ) (

( J z J z iJ z iH⁽¹⁾ z

z

N_ ⁿ ^ _ _



   

 ^

[ ( ) ( )]

) 2 ( )

( ⁽²⁾ ⁽¹⁾

) 2

( i H z H z

z iJ z

iH_  _  _  _



) s i n (

) ( )

( )

s i n (

) ( )

) ( (

) 1

(   ^

 

 

 

z N e z N i

z J e z z J

H

i

i 

 

 

 J_(z)iN_(z)

) s i n (

) ( )

( )

s i n ( ) ( ) ) (

(

) 2

(   ^

 



 



z N e z N i

z J z J z e

H

i

i   

 ^ ^  J_(z)iN_(z) [其他有关公式]

z z J z J z J z

J 





) sin(

) 2 ( ) ( ) ( )

( _ _₁  _ _₁   J_(z)J__(z)J_(z)J__(z)

2 ( ) ( ) ( ) ( )

) ( ) ( )

( )

( ₁ ₁ J z N z J z N z

z z J z N z N z

J_ _ _ _ _ _ _ _



 

 



 _



2 ( ) ( ) ( ) ( )

) ( ) ( )

( )

( ⁽¹⁾₁ ₁ ⁽¹⁾ J z H⁽¹⁾ z J z H⁽¹⁾ z

z z i H z J z H z

J_ _ _ _ _ _ _ _

 ^ ^ ^ ^



 _



2 ( ) ( ) ( ) ( )

) ( ) ( )

( )

( ⁽²⁾₁ ₁ ⁽²⁾ J z H⁽²⁾ z J z H⁽²⁾ z

z z i H z J z H z

J_ _ _ _ _ _ _ _



 

 

 

 _



(8)

4 ( ) ( ) )

( ) ( )

( )

( ⁽²⁾₁ ⁽¹⁾₁ ⁽²⁾ ⁽¹⁾ ⁽²⁾

) 1

( H z H z

z z i H z H z H z

H_ __  __ _    _ _ 

 ^^H^⁽¹⁾^⁽^z⁾^H^⁽²⁾⁽^z⁾

)

2 ( 1

)] 1 ( ) ( 2[

1 2 2

2

2     

  

 J^ x N^ x x ^x

x

五、变型贝塞耳函数

[变型贝塞耳函数的定义与表达式]

) ( ,a r g )

(2 ) 1 (

! ) 1

( ²

0

 ^ 

  



 ^  ^



 _k _k ^z ^z ^z

z

I ^k

k

) s i n (

) ( ) ( ) 2

2 ( ) 2 (

)

( ⁽¹⁾ ⁽²⁾





 _ _

 



z I z iz I

H i iz

H i z

K ^k ^k 



 



 ^ ^ ^

(a r gz , 0,1,2,)

分别称为第一类和第二类变型贝塞耳函数，K_(z)也称为白塞特（Basset）函数，它们在除去

半实轴(,0)的z平面内单值解析 I (z) e ² J (iz)

i







  ) a r g 2 (  z e ² J ( iz)

i 

 ^ _ a r g )

(2 _ _

z K__(z)K_(z)

I__n(z) I_n(z) （n为正整数）

)

) ( l n2 ( ) 1 ( ) ( l i m )

( _ ¹ 

   

 ^



z z I z

K z

K ⁿ _n

n n



^



 



 ¹ 

0

)2

(2

!

)!

1 (

) 1 ( 2 1 ⁿ

k

n k

k z

k k n

  













 

  ^k

m

k n

m k

n k

n

m m

z k n

k 1 1

2 0

1) ( 1

2) )!( (

! 1 2

) 1 (

(n0,1,2,, 为欧拉常数）

_















 



n

k k

k z

n k n k z

k e n

z z I

) 0 2

( 1 !( )!(2 )

)!

( ) 1 ( 2

) 1

(  







 









 n

k k

z n

z k n k

k e n

0 1

) 2 ( )!

(

!

)!

) ( 1 (









 

 ⁿ 

k k

z

n k n k k

k e n

z z K

) 0 2

( 1 !( )!(2 )

)!

( ) 2

( 

z e z z z

z

z n n

n

 



 )

d ( d ) 2

1

(  ¹

(n0,1,2,)



^



0 2

2

0 ,

)

! (

2) ( ) (

k

k z z

I



^





 

 

0

1 2 0

1 !( 1)!

2) ( )

( ) (

k

k k

z z

I z I



^



 







0 2 2 1

2 0

0

1 )

! ( ) 2

( 2 )

( l n )

(

k

k m k

m k

z z z I

z

K 

z

z z

I 2sh

) (

2

1 ^  z z z

I 2ch

) (

2

1 ^ 



e ^z

z z

K ^

 

) 2 (

2 1



;1 2 ;2 )

2 (1 2)

)( 1 ( ) 1

( z e ₁F₁ z

z

I ^z  

 ^

  



  ^

一、 第一类贝塞耳函数 - Dr. Huang

§5 贝塞耳函数