數學考科

108TDT0201

全 國 公 私 立 高 級 中 學

108 學 年 度 學 科 能 力 測 驗 第 一 次 聯 合 模 擬 考 試

考試日期：108年7月30 ~31日

數 學 考 科

－作答注意事項－

考試時間： 100 分鐘

題型題數：單選題 6 題，多選題 7 題，選填題第 A 至 G 題共 7 題 作答方式：用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦

拭，切勿使用修正液（帶）。未依規定畫記答案卡，致機 器掃描無法辨識答案者，其後果由考生自行承擔。

選填題作答說明： 選填題的題號是 A，B，C，……，而答案的格式 每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且 每一個列號只能在一個格子畫記。請仔細閱讀下 面的例子。

例：若第 B 題的答案格式是 ，而依題意計算出來的答案是

8

3

，則考生必 須分別在答案卡上的第 18 列的 與第 19 列的 畫記，如：

例：若第 C 題的答案格式是

50

，而答案是

50

−7

時，則考生必須分別在答案 卡的第 20 列的 與第 21 列的 畫記，如：

※試題後附有參考公式及可能用到的數值

○²⁰○²¹

○¹⁹

○¹⁸

第壹部分：選擇題（占 65 分）

一 、 單選題（占 30 分）

說 明 ： 第 1 題 至 第 6 題 ， 每 題 有 5 個 選 項 ， 其 中 只 有 一 個 是 正 確 或 最 適 當 的 選 項 ， 請 畫 記 在 答 案 卡 之「 選 擇（ 填 ）題 答 案 區 」。 各 題 答 對 者 ， 得 5 分 ； 答 錯 、 未 作 答 或 畫 記 多 於 一 個 選 項 者 ， 該 題 以 零 分 計 算 。

1. 已 知i= −1， 若 1＋i 是 方 程 式 x²＋ax－4＝0 的 其 中 一 根 ， 則 此 方 程 式 的 另 一 根 為 何 ？ (1) 2 2i−

(2) − +2 2i (3) 1−i (4) − +1 i (5) 1 2i+

2. 不 等 式(x²－4x＋2)(3x－7)(3x－22)≤0 的 整 數 解 有 幾 個 ？ (1) 3

(2) 4 (3) 5 (4) 6 (5) 7

3. 方 程 式log (₂ x−3)＋ log (₂ x−4)＝1 的 所 有 實 數 解 之 和 為 何 ？ (1) 5

(2) 6 (3) 7 (4) 8 (5) 9

4. 表(1)為 常 用 對 數 表 log₁₀N的 一 部 分 ， 小 南 向 地 下 錢 莊 借 10 萬 元 ， 月 利 率 10%， 每 月 複 利 計 算 ， 如 果 一 個 月 後 還 款 ， 須 還 本 利 和 11 萬 元 ， 若 過 兩 個 月 才 還 款 ， 則 本 利 和 為 12.1 萬 元 ， 若 小 南 經 過 5 年 後 才 打 算 還 款 ， 則 本 利 和 最 接 近 下 列 何 值 ？

表(1)

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374

11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755

17 2304 2330 2355 2380 2405 2430 2455 2480 2504 2529

30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900

(1) 170 萬 (2) 248 萬 (3) 300 萬 (4) 2484 萬 (5) 3000 萬

5. 設 p , q都 是 實 數 且 p＜q， 已 知 二 次 函 數 y＝x²的 圖 形 和 直 線 y＝q的 圖 形 相 交 於 相 異 兩 點 A 和 B， 而 二 次 函 數 y＝x² 的 圖 形 和 直 線 y＝p 的 圖 形 相 交 於 相 異 兩 點 C 和 D， 若

△ABC 恰 為 直 角 三 角 形 且∠ACB＝90°， 則 q－p 的 值 為 何 ？ (1) 1

(2) 2 (3) 2 (4) 3 (5) 4

6. 設 f (x)＝6x⁴＋11x³－15x²＋2， 試 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) 方 程 式 f (x)＝0 沒 有 實 根

(2) 方 程 式 f (x)＝0 有 兩 個 實 根 和 兩 個 虛 根 (3) 方 程 式 f (x)＝0 沒 有 有 理 根

(4) 方 程 式 f (x)＝0 恰 有 一 個 有 理 根 (5) 方 程 式 f (x)＝0 恰 有 兩 個 相 異 有 理 根

二 、 多選題（占 35 分）

說 明 ： 第 7 題 至 第 13 題 ， 每 題 有 5 個 選 項 ， 其 中 至 少 有 一 個 是 正 確 的 選 項 ， 請 將 正 確 選 項 畫 記 在 答 案 卡 之「 選 擇（ 填 ）題 答 案 區 」。 各 題 之 選 項 獨 立 判 定 ， 所 有 選 項 均 答 對 者 ， 得 5 分 ； 答 錯 1 個 選 項 者 ， 得 3 分 ； 答 錯 2 個 選 項 者 ， 得 1 分 ； 答 錯 多 於 2 個 選 項 或 所 有 選 項 均 未 作 答 者 ， 該 題 以 零 分 計 算 。

7. 坐 標 平 面 上 ， 有 一 直 線 L：y＝mx與 二 次 函 數 f (x)＝x²＋4x＋1， 已 知L^{的 圖 形 恆 在} f (x)

圖 形 的 下 方 ， 則m值 可 能 為 下 列 哪 些 選 項 ？ (1) 1

(2) 3 (3) 5 (4) 7 (5) 9

8. 關 於 多 項 式 f(x)＝ 5 2 6 2 3

( ) ( ) ( ) 2 ( )

2 1 1 2

2 2

x x x x x x

− − − + − − + − ， 試 選 出 正 確 的 選

項 。

(1) f (x)的 常 數 項 為 − 2− 3 (2) f (x)的 各 項 係 數 總 和 為

2

(3) f (2)＝ 2− 3

(4) f (x)是 二 次 多 項 式 (5) f (4)＝ (3) (5)

2 f + f

9. 「 若 函 數 y＝f (x)的 圖 形 ， 沿 一 直 線 L 對 稱 後，與 函 數 y＝g(x)的 圖 形 完 全 重 合 ， 則 稱 此 兩 函 數 圖 形 對 稱 於 直 線 L， 例 如 y＝2^x與 y＝

log

₂x^{對 稱 於 直 線} y＝x。 」下 列 哪 些 選 項 中 的 兩 個 函 數 圖 形 也 會 對 稱 於 某 一 直 線 L？

(1) f (x)＝2x²＋4x＋6，g(x)＝ －x²－2x－3 (2) f (x)＝ 2^x，g(x)＝ 1

2

 x

 

  (3) f (x)＝2^x＋3，g(x)＝ －2^x－3 (4) f (x)＝

log

₂x^，g(x)＝

log

₄4x (5) f (x)＝

log

₂2x^，g(x)＝ ₁

2 2

log

^x

10. 給 定 一 個 實 係 數 三 次 多 項 式 f (x)＝x³＋bx²＋cx＋d， 試 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) 存 在 實 數 α ， 使 得 f (α)＝1000

(2) 若 f (1)＝f (1－i)＝0， 則 b＝ －3 (3) 若 f (1)＝0， 且 b,c,d 為 整 數 ， 則 1

2

+i可 能 為 f (x)＝0 的 解 (4) y＝f (x)的 圖 形 可 能 同 時 通 過 (0,1) , (1,2) , (2,3) 三 點

(5) y＝f (x)的 圖 形 可 能 同 時 通 過 (0,1),(1,2),(2,3),(3,4) 四 點

11. 19 世 紀 起 ， 日 本 的 數 學 家 會 在 寺 廟 留 下 自 己 精 心 設 計 的 考 題 ， 供 人 挑 戰 演 練 ， 這 類 寫 有 題 目 的 木 板 稱 為 「 算 額 」 。 前 來 挑 戰 解 答 的 師 生 也 會 留 下 更 簡 易 的 解 答 方 法 ， 互 相 切 磋 。 小 波 到 日 本 旅 遊 時 參 觀 了 桐 生 市 天 滿 宮 ， 該 寺 廟 流 傳 一 道 「 算 額 」 ， 小 波 挑 戰 後 發 現 答 案 x ^{是 方 程 式} 8x³－8 2x²＋5x－12＋8 2 ＝0 的 其 中 一 個 根 ， 為 了 求 出 此 根 ， 他 令 f(x)＝8x³－8 2 x²＋5x－12＋8 2 ， 並 計 算 1

( )2

f , 1

( )4

f 數 值 的 正 負 ， 如 表(2)。 試 選 出 正 確 的 選 項 。

(1) f (0)＞0 (2) f ( 2

4 )＞0 (3) f (x)＝0 在 1

4≤ x ≤ 1

2沒 有 實 根 (4) f (x)＝0 在 1

2≤ x ≤1 只 有 一 實 根 (5) f (x)＝0 沒 有 負 實 根

12. 已 知 多 項 式 f x( )， 經 三 次 的 除 法 運 算 ， 其 結 果 分 述 如 下 ：

① f x( )除 以 x−2， 得 商 式 為Q x₁( )， 餘 式 為 1

② Q x₁( )除 以 x−2， 得 商 式 為Q x₂( )， 餘 式 為 2

③ Q x2( )除 以 x−2， 得 商 式 為 x−3， 餘 式 為 3 試 選 出 正 確 的 選 項 。

(1) f x( )是 三 次 多 項 式 (2) f(2) 1=

(3) f x( )除 以Q x₁( )的 餘 式 為1 (4) f x( )除 以 (x−2)²的 餘 式 為Q x₂( ) (5) f(2+ 2) 11=

表(2)

x 0 1

4

2 4

1

2 1

f (x) － －

13. 設 a , b , c ,d皆 為 大 於 1的 實 數 ， 圖(1)中 有 兩 個 指 數 函 數 與 兩 個 對 數 函 數 的 圖 形 ， 試 選 出 正 確 的 選 項 。

(1) d＞c (2) c＞a (3)

1 0.5

b

  

  ＞ 1 0.5

a

  

  (4)

3

2

d d+ ＞ d²

(5) 2log 2 log 5 3

b + b ＞ log 3_b

第貳部分：選填題（占 35 分）

說 明 ： 1. 第 A 至 G 題 ， 將 答 案 畫 記 在 答 案 卡 之「 選 擇（ 填 ）題 答 案 區 」所 標 示 的 列 號 （ 14–32） 。

2. 每 題 完 全 答 對 給 5 分 ， 答 錯 不 倒 扣 ， 未 完 全 答 對 不 給 分 。

A. 若 將6¹⁰⁰以 科 學 記 號 表 示 為a×10ⁿ， 其 中1≤ <a 10，n 為 整 數 ， 則 n＝ ＿＿＿＿＿＿

○

¹⁴

○

^{15 。}

B. 已 知 矩 形 的 面 積 為 10 平 方 單 位 ， 若 以 矩 形 的 任 一 頂 點 為 圓 心 ， 對 角 線 為 半 徑 作 一 圓 ， 則 此 圓 面 積 的 最 小 值 為 ＿＿＿＿＿＿＿

○

¹⁶

○

¹⁷

π

^{平 方 單 位 。}

C. 多 項 式(2x＋3)³•(2x－1)⁷除 以(2x＋1)^{1 0}的 餘 式 為 R(x)， 則 R(x)的 常 數 項 為

＿＿＿＿＿＿＿＿

○

¹⁸

○

¹⁹

○

^{20 。}

圖(1)

D. 如 圖(2)， 在 一 條 東 西 向 的 筆 直 道 路 上 ， 設 置 了 電 動 機 車 租 借 站 與 休 息 站 ， 分 別 位 於 道 路 里 程 10 與 25 的 位 置 。 遊 客 租 借 電 動 車 騎 乘 遊 玩 時 ， 偶 爾 會 在 路 上 耗 盡 電 力 而 需 要 道 路 救 援 。 由 於 人 力 與 成 本 的 考 量 ， 若 「 救 援 位 置 與 租 借 站 的 距 離 」 加 上 「 救 援 位 置 與 休 息 站 距 離 的 2 倍 」不 大 於 36 時 ， 可 以 免 費 服 務 。 則 可 免 費 救 援 的 里 程 位 置 最 小 值 為 ＿＿＿＿

○

²¹ ， 最 大 值 為 ＿＿＿＿＿＿

○

²²

○

^{23 。}

E. 設 a＞0， 若 a^{log 53} =3 3， 則 最 接 近 a^{(log 53 )2}的 整 數 為 ＿＿＿＿＿＿

○

²⁴

○

^{25 。}

F. 1999 年 丹 恩 颱 風 過 後 ， 金 門 縣 有 許 多 藍 孔 雀 從 畜 產 試 驗 所 逃 出 並 大 量 繁 殖 ， 截 至 2018 年 ， 金 門 全 縣 有 1500 隻 的 野 生 藍 孔 雀 。 若 不 有 效 控 制 ， 生 態 學 家 估 計 在 西 元 t(t≥2018) 年 ， 藍 孔 雀 的 數 量 會 有 p(t)＝ 1500×

2018

10^t−10 隻 。 若 按 照 此 函 數 估 計 ， 則 在 西 元

＿＿＿＿＿＿＿＿＿

○

²⁶

○

²⁷

○

²⁸

○

²⁹ 年 ， 藍 孔 雀 的 數 量 會 超 過 3000 隻 。(年 份 小 數 點 後 無 條 件 捨 去 至 整 數 位 ， 例 如 t=2025.75， 約 為 2025 年 九 月 ， 須 回 答 2025 年)

G. 如 圖(3)， 二 次 函 數 Γ 的 對 稱 軸 為 x＝1， 與 x 軸 交 於 A, B 兩 點 ， 與 y 軸 交 於 C 點 。 已 知 O為 原 點 ， AB^＝4， 且 點 D (2, 3

2)也 在 Γ上 ， 直 線 L 恰 平 分 四 邊 形 OBDC 的 面 積 。 若 直 線 L 的 方 程 式 為 y＝mx－2， 則 m＝

＿＿＿＿＿＿＿

○

³⁰

○

³¹

○

^{32 。}

圖(2)

圖(3)

參 考 公 式 及 可 能 用 到 的 數 值

1. 一 元 二 次 方 程 式 ax＋bx＋c＝0 的 公 式 解 ：x＝

2 4 2

b b ac

a

− ± − 。

2. 平 面 上 兩 點 P x y₁ ( ₁, ₁) ,P x₂ ( ₂,y₂)間 的 距 離 為 P P_{1 2}= − + − (x₂ x₁)² (y₂ y₁)² 。 3. 通 過( x y₁, ₁)與 ( x₂,y₂)的 直 線 斜 率 m＝ ^{2 1}

2 1

y y

x x

−

− ，x₂≠x₁。 4. 算 幾 不 等 式 ： 若 a，b 為 非 負 的 實 數 ， 則

2

a b+ ≥ ab； 當 a＝b 時 ， 2

a b+ = ab。

5. 分 點 公 式 ： 設 數 線 上 相 異 兩 點 A(a) , B(b)， 若 P 點 在 AB上 ， 且 AP： BP＝m：n， 則 P 點 坐 標 為 mb na

m n +

+ 。

6. 參 考 數 值 ： 2 1.414≈ ， 3 1.732≈ ， 5 2.236≈ ， 6 2.449≈ ， π ≈3.142。 7. 對 數 值 ：log 2 0.3010₁₀ ≈ ， log 3 0.4771₁₀ ≈ ，log 5 0.6990₁₀ ≈ ， log 7 0.8451₁₀ ≈ 。