數學考科

Z X C V

NO.00843

武陵高中 / 洪榮良 老師 家齊女中 / 黃峻棋 老師

【試題．答案】依據大考中心公布內容

出 版 / 民國一0二年七月

發行所 / 7 0 2 4 8 臺南市新樂路 76 號 編輯部 / 7 0 2 5 2 臺南市新忠路 8 - 1 號 電 話 /（06) 2619621 # 314

E-mail / periodical@hanlin.com.tw 翰林我的網 http://www.worldone.com.tw 發行人 / 陳炳亨

總召集 / 周耀琨 總編輯 / 蔣海燕 主 編 / 陳俊龍 校 對 / 黃秉璿

美 編 / 張淳惠．杜政賢

試題解析

高一數學：數與式、多項式函數、指數與對數函數、排列組合、機率、數據分析；

高二數學：直線與圓、平面向量、矩陣；

選修科目數學乙：機率統計Ⅱ、極限與函數。

二 試題分析

各單元佔分 1

題號 題型 出處 內容 配分

1 單選題 第一冊第二章 多項式函數 6

2 單選題 第二冊第四章 數據分析 6

3 多選題 第三冊第二章 直線與圓 8

4 多選題 選修乙（下）第一章 極限與函數 8

5 多選題 第二冊第四章 數據分析 8

6 多選題 選修乙（上）第一章 機率與統計Ⅱ 8

7 多選題 第四冊第三章 矩陣 8

A 選填題 第二冊第二章 排列組合 8

B 選填題 選修乙（上）第一章 機率與統計Ⅱ 8

C 選填題 第三冊第三章 平面向量 8

一 非選擇題 第一冊第三章 指數與對數函數 12

二 非選擇題 第三冊第二章 直線與圓 12

2 各冊佔分

第一冊 第二冊 第三冊 第四冊 選修乙（上） 選修乙（下）

18 22 28 8 16 8

武陵高中 洪榮良 老師

數學乙

試題分析

大考中心公布數學乙三顆星範圍

一

三 試題特色

此份試題全部出現在大考中心公布的「99課綱指考數學考科命題方向」所標示的數 學乙三顆星的範圍內，而且幾乎每個單元都有命題。今年的題目難易適中，多以觀念為 主，沒有複雜計算；各單元配分還算平均，大考中心公布含三顆星的單元，幾乎都有命 題。整份試題，比去年稍難，對社會組來說，很有鑑別度，命題方向也很符合社會組未來 進入社科、商管領域應擁有的數學能力，如餘式定理、線性規畫、極限概念、期望值等題 型，部分試題取自考生日常生活情境，如研究所的申請入學、民意調查等。考生平常多演 練課本的習題並細心作答，即可得分。因為題目大多出現在數學甲的非三顆星的單元，例 如：第二冊第二章的排列組合（8分）、第二冊第四章的數據分析（14分）、第三冊第二章 直線與圓的線性規劃（20分）、選修上第一章機率與統計的信賴區間（8分），所以跨考的 自然組考生不一定佔的到便宜。

其中單選第2題與多選第5題考學生解讀題目的能力，尤其單選題第5題題目占去整 張A4考卷，堪稱數乙有史以來「最長」的題目，對社會組考生是一大挑戰；考生若能耐 心的將題目讀完，實際上只要看題目提供的數字趨勢決定坐標軸，不需任何計算就能找出 答案。由今年命題可看出近幾年數乙考題越來越偏重學生閱讀能力。另外，非選擇題第1 題要學生說明常用對數的理由，題目設計引導學生跟著每一小題，一步一步解出答案，這 樣的考法在過去指考比較少見，頗有申論題的味道，未來可能成為命題主流趨勢，學生不 能只會背公式，而要能夠說出數學原理背後的成因。未來大考如能維持今年數乙的命題方 向，應可鼓勵社會組考生別輕易放棄數學。

四 未來趨勢

近幾年的指考，數學乙的命題著重在排列組合、機率、統計和線性規劃，今年亦不例 外。尤其非選擇部分已連續幾年出現線性規劃相關的計算題，例如102年非選擇題二（12 分）、101年非選擇題二（13分）、100年非選擇題一和選填題D（共20分）、99年選填 題F（8分）、98年選填題D（8分），線性規劃成為近幾年固定命題的單元，題目的解法 都大同小異，而且簡單，是比較容易掌握的單元。近幾年數學乙的題目難度已不若以往，

頂標都已接近90 分，學生只要對高中數學基礎概念深入理解，社會組學生一樣可以拿高

分。 F

試題解析

第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占 76 分）

一、單選題（占 12 分）

說明：第1題至第2題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，

請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得6分；答錯、

未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1 設a，b，c為實數，且二次多項式 f（x）=ax（x-1）+bx（x-3）+c（x-1）（x-3） 滿足 f （0）=6、f（1）=2、f（3）=-2。請問a+b+c等於下列哪一個選項？

1 0 2

2

3

^{3 1 4-}

1

2

^5-

4 3

答 案 2

命題出處 第一冊第二章　多項式函數

測驗目標 多項式的運算

詳 解 f（x）=ax（x-1）+bx（x-3）+c（x-1）（x-3）

∵f （0）=3c=6!c=2 　 f （1）=-2b=2!b=-1 　 f （2）=6a=-2!a=-

1

3

∴a+b+c=

2

3

^，故選2

難 易 度 易

類 似 題 《大滿貫複習講義•數學乙》第16頁經典試題12 2 綜合數種糧食的【糧食自給率】定義為 A

B^，其中A為「每一種糧食之國內生產量 乘以該糧食每單位產生熱量之後的總和」，B 為「每一種糧食之國內消費量乘以 該糧食每單位產生熱量之後的總和」。已知甲、乙、丙三種糧食相關數據如下表：

糧食 國內生產量

（單位：千公噸）

國內消費量

（單位：千公噸）

單位糧食產生的熱量

（單位：大卡 每百公克）

甲 1000 1200 300

乙 280 320 100

丙 100 1000 600

請問綜合甲、乙、丙這三種糧食的【糧食自給率】最接近下列哪一個選項？

1 37 % 2 39 % 3 41 % 4 43 % 5 45 %

家齊女中 黃峻棋 老師

試題解析

數學乙

答 案 2

命題出處 第二冊第四章　數據分析

測驗目標 一維數據分析

詳 解 所求為

1000

*

300

+

280

*

100

+

100

*

600 1200

*

300

+

320

*

100

+

1000

*

600

　　　=

388000

992000

^{0.39=39 %，故選2}

難 易 度 易

類 似 題 101.指考數學乙單選7 二、多選題（占 40 分）

說明：第3題至第7題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正 確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所 有選項均答對者，得8分；答錯1個選項者，得4.8分；答錯2個選項者，

得1.6分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

3 坐標平面上兩點（4﹐1）和（5﹐9）在直線 3x-y-k=0 的兩側，其中k 為整 數。請選出正確的選項。

1滿足上式的k最少有5個 2所有滿足上式的k的總和是35 3所有滿足上式的k中，最小的是7 4所有滿足上式的k的平均是9

5所有滿足上式的k中，奇數與偶數的個數相同

答 案 35

命題出處 第三冊第二章　直線與圓

測驗目標 二元一次不等式

詳 解 令A（4﹐1），B（5﹐9），L：3x-y-k=0

∵A，B在L之異側

∴（12-1-k）（15-9-k）<0!（k-11）（k-6）<0

∴6<k<11，又kl

∴k=7，8，9，10 1×：k值有4個

2×：7+8+9+10=34 3○

4×：

7

+

8

+

9

+

10

4

⁼

17

2

5○：奇數有2個，偶數有2個 故選35

試題解析

難 易 度 易

類 似 題 《大滿貫複習講義•數學乙》第49頁經典試題9

4 下列有關循環小數的敘述中，請選出正確的選項。

10.7+0.3=0.6+0.4 20.72+0.28=1.1 30.7+0.3=1 40.5+0.5=1.1 50.49=0.5

答 案 145

命題出處 第一冊第一章　數與式、選修數學乙（下）第一章　極限與函數

測驗目標 循環小數的概念

詳 解 1○：0.7+0.3=

7 9

⁺

3 9

⁼

10 9

　　　0.6+0.4=

6

9

⁺

4 9

⁼

10 9

2×：0.72+0.28=

72

99

⁺

28 99

⁼

100

99

⁼¹⁺

1 99

　　　1.1=1+0.1=1+

1

9

3×：0.7+0.3=

10

9

^_1 4○：0.5+0.5=

5

9

⁺

5 9

⁼

10

9

⁼¹⁺

1 9

^=1.1 5○：0.49=

49

-

4

90

⁼

45 90

⁼

1 2

^=0.5 故選145

難 易 度 易

類 似 題 《大滿貫複習講義•數學乙》第8頁經典試題2、第107頁範例6

5 某研究所處理個人申請入學，其甄選總成績係採計測驗A分數及測驗B 分數各占 50 %。50位申請同學依甄選總成績高低排序，錄取前20名。現依准考證號碼順 序，將這些同學的成績列表如下：（例如，第一位同學的測驗A 分數及測驗B分 數分別為93分及28分）

測驗A 93 98 100 100 100 98 96 96 98 96 96 98 98 測驗B 28 50 59 22 52 67 30 15 46 11 72 21 59 測驗A 93 100 100 100 100 98 98 96 98 100 96 100 96 測驗B 24 13 53 33 61 57 55 26 35 40 9 60 23 測驗A 96 96 96 100 100 96 98 98 91 100 96 100 98 測驗B 66 29 34 58 55 35 16 28 28 72 51 39 40 測驗A 98 96 96 93 98 96 98 98 98 98 93

測驗 B 18 43 8 38 32 53 38 53 30 54 72

所有學生測驗A分數的平均數為97.38，而測驗B分數的平均數為 40.22。現從 甄選總成績、測驗A分數及測驗B分數之中任選兩種成績作散佈圖，圖甲及圖 乙為其中之二；兩圖中各有50 個資料點，每一點代表一位同學；兩個橫軸與縱 軸之單位長可能皆不相同。請選出正確的選項。

1圖乙的橫軸為測驗A 分數 2圖乙的縱軸為甄選總成績 3圖甲的橫軸為甄選總成績

4 若只以測驗B分數高低錄取20位同學（不採計測驗A分數），錄取的同學與 以甄選總成績高低錄取的同學完全相同

5甄選總成績的平均數為97.38 及40.22 的平均數

圖甲 圖乙

試題解析

答 案 1245

命題出處 第二冊第四章　數據分析

測驗目標 二維數據分析

詳 解 1○：圖乙的橫軸為測驗A分數 2○：圖乙的縱軸為甄選總成績

3×：圖甲的橫軸為測驗 B分數，縱軸為甄選總成績 4○：由圖甲可知，以B分數錄取的前20名

　　　和以甄選總成績錄取的前20名相同 5○：A分數總分：97.38*50

　　　B分數總分：40.22*50

　　　甄選總成績的平均為

（

^97.38*50*

¹ ₂

^+40.22*50*

¹ ₂ ）

^*

₅₀ ¹

　　　　　　 =

1

2

^{（97.38+40.22）} 故選1245

難 易 度 中

6 想要了解選民對某候選人真正的支持度（支持率）p，四家媒體所做的民意調查結 果如下表所示：

媒體A 媒體B 媒體C 媒體D

p^{^} 0.30 0.40 0.30 0.28

σ^{^} 0.02 σ^{^}_B 0.01 0.01

其中p^{^} 表示抽樣支持度，σ^{^}= p^{^}（

1

-p^{^}）

n ^，n為抽樣人數。請選出正確的選項。

1在95 %的信心水準之下，媒體A抽樣所得p的信賴區間為[0.28﹐0.32] 2如果媒體B抽樣的人數與媒體A相同，則σ^{^}_B大於0.02

3媒體C抽樣人數約為媒體A抽樣人數的兩倍

4媒體A的抽樣支持度比媒體B的抽樣支持度更接近候選人真正的支持度p 5 在95 %的信心水準之下，至少有一家媒體抽樣所得p的信賴區間會包含真正

的支持度p

答 案 2

命題出處 選修數學乙（上）第一章　機率統計Ⅱ

測驗目標 信賴區間和信心水準的解讀

詳 解 1×：媒體A的信賴區間為[0.30-2*0.02﹐0.30+2*0.02]

　　　　　　 =[0.26﹐0.34]

2○：先求n：0.02=

0.3

*

0.7

n ^!

（ ₅₀ ¹ ）

²⁼

21 100

n 　　　∴n=

21

100

^*2500=21*25 　　　求σ^{^}_B=

0.4

*

0.6

21

*

25

⁼

24

21

*

2500

⁼

1 50

^*

8

7

^>0.02 3×：σ^{^}_A=

0.3

*

0.7

nA

=0.02………1 　　　σ^{^}_C=

0.3

*

0.7

nC

=0.01………2 　　　由 1²

2^{2 得} nC

nA

=4 　　　∴大約4倍

4×：抽樣支持度和抽樣的樣本或樣本數有關，而且無法得知真正的支 持度p

5×：95 %信心水準的意義指重複進行抽樣100 次，則此100 個信賴 區間包含真正p值的機率大約0.95

故選2

難 易 度 中

類 似 題 《大滿貫複習講義•數學乙》第79、80頁，例題10、例題 11

7 已知二階方陣A= a b

c d 滿足A 1

1 = 5

2 ，A 1

2 = 7

4 。請選出正確的選項。

1A的行列式（值）為6 2A²=5A-6 1 0

0 1 3A^-1= 2 -2

0 　3 4A 1

3 = 9 6 5 1 1 A= 5 7

試題解析

答 案 124

命題出處 第四冊第三章　矩陣

測驗目標 乘法反方陣、矩陣的運算

詳 解 由題意知A• 1 1

1 2 = 5 7 2 4 !A= 5 7

2 4 • 1 1 1 2

-1

　 = 5 7

2 4 • 　2 -1

-1 　1 = 3 2 0 2 1○：det A=6

2○：A²= 3 2

0 2 • 3 2

0 2 = 9 10 0 4 　　　5A-6 1 0

0 1 = 15 10

0 10 - 6 0

0 6 = 9 10 0 4 3×：A^-1=

1

6

2 -2 0 　3 4○：A• 1

3 = 3 2 0 2

1

3 = 9 6 5×： 1 1 •A= 1 1 3 2

0 2 = 3 4 故選124

難 易 度 中

類 似 題 《大滿貫複習講義•數學乙》第64頁經典試題10

三、選填題（占 24 分）

說明：1 第 A. 至 C. 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的 列號（8～14）。

　　　2 每題完全答對給 8 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 從玫瑰、菊花、杜鵑、蘭花、山茶、水仙、繡球等七盆花中選出四盆靠在牆邊排

成一列，其中杜鵑及山茶都被選到，且此兩盆花位置相鄰的排法有　890　種。

答 案 120

命題出處 第二冊第二章　排列、組合

測驗目標 直線排列

詳 解 1　∵杜鵑、山茶都被選到

　 ∴再從剩下的5盆中選2盆：C²⁵=10 2　四盆花排一列且杜鵑、山茶相鄰：

　（杜鵑、山茶）○　○　：3!*2!=12

∴共有10*12=120種

難 易 度 易

B. 袋中有3 顆白球與1 顆黑球，每次隨機從袋中抽出 1 球，袋中每一球被抽到的機 率皆相同，抽出後不放回，直到抽中黑球時遊戲結束。若在第k 次抽到黑球，則 得到k 元獎金。此遊戲可獲得獎金的數學期望值為　q

w^{元（化為最簡分數）。}

答 案 5 2

命題出處 選修數學乙（上）第一章　機率統計Ⅱ

測驗目標 期望值

詳 解 【解法一】

第一次抽中黑球的期望值：

1

4

^*1=

1 4

第二次抽中黑球的期望值：

3

4

^*

1

3

^*2=

2 4

第三次抽中黑球的期望值：

3

4

^*

2 3

^*

1

2

^*3=

3 4

第四次抽中黑球的期望值：

3

4

^*

2 3

^*

1

2

^*1*4=

4 4

∴所求為

1 4

⁺

2 4

⁺

3 4

⁺

4 4

⁼

10 4

⁼

5

2

^（元）

【解法二】

本題亦可用獨立事件（公平原則）和期望值的定義解之：

每一次取到黑球的機率均為

1 4

∴E=

1

4

^{（1+2+3+4）=}

10

4

⁼

5 2

難 易 度 中偏易

類 似 題 《大滿貫複習講義•數學乙》第67頁例題1

杜鵑、山茶視為一體與其他兩盆排列 杜鵑、山茶可對調

試題解析

C. 在坐標平面上，設O 為原點，向量 aa =（1﹐2），ab =（2﹐1），ac =（1﹐1），

ad =（-1﹐1）。P 為平面上的動點，令點集合A={P│aOP=x aa +y ab 且0NxN1 且0NyN1}，點集合B={P│aOP=x ac +y ad 且0NxN1 且0NyN1}，則區域 AjB的面積為　e

r^{（化為最簡分數）。}

答 案 1 3

命題出處 第三冊第三章　平面向量

測驗目標 向量所張開的平行四邊形（三角形）面積

詳 解 A=｛P│aOP=x•aa +y•ab 且0NxN1，0NyN1｝ 表由aa ，ab 所決定之平行四邊形面積

B=｛P│aOP=x•ac +y•ad 且0NxN1，0NyN1｝ 表由ac ，ad 所決定之平行四邊形面積

作圖如右，

∴AjB的面積為圖中陰影部分面積 由圖形得知OG直線方程式為2x-y=0 　　　　　EF直線方程式為x+y=2 　　　　　（EF 的斜率為-1）

∴G點坐標 2x-y=0

x+y=2 !x=

2

3

^，y=

4 3

∴所求為aOF與aOG所張開之三角形面積 aOF=（1﹐1）

aOG=

（ ² ₃

^﹐

⁴ ₃ ）

∴△OFG=

1

2 │ │ ² ₃

^{1 1}

⁴ ₃ │ ^│

⁼

^{1 2}

^*

^{2 3}

⁼

^{1 3}

難 易 度 難

類 似 題 《大滿貫複習講義•數學乙》第55頁經典試題7

第貳部分：非選擇題（占 24 分）

說明：本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號

（一、二）與子題號（1、2、……），同時必須寫出演算過程或理由，否 則將予扣分甚至零分。作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得 使用鉛筆。每一子題配分標於題末。

一、已知log20.3010，log30.4771。

　　1請以對數律計算log1.5（不必四捨五入）。（3 分）

　　2請以對數律計算log（1.5）⁶⁰（不必四捨五入）。（3 分）

　　3請問（1.5）⁶⁰的整數部分是幾位數？請說明理由。（3 分）

　　4請問（1.5）⁶⁰的整數部分中，最左邊的數字是幾？請說明理由。（3 分）

答 案 1 0.1761 2 10.566 3 11位數 4 3

命題出處 第一冊第三章　指數、對數函數

測驗目標 首數與尾數

詳 解 1 log1.5=log

3

2

^=log3-log20.4771-0.3010=0.1761 2 log（1.5）⁶⁰=60*log1.560*0.1761=10.566

3 承2，log（1.5）⁶⁰之首數10

　 ∴（1.5）⁶⁰的位數為10+1=11位數 4 承2，log（1.5）⁶⁰之尾數為0.566

　 又0.4771log3<0.566<log40.6020 　 ∴0.566log3.∼

　 ∴log（1.5）⁶⁰=10+log3.∼=log3.∼*10¹⁰ 　 故1.5⁶⁰=3.∼*10¹⁰

　 即最左邊數字（最高位數字）為3

難 易 度 中偏易

類 似 題 《大滿貫複習講義•數學乙》第23頁經典試題14

試題解析

二、某工廠使用三種貴金屬元素合成兩種合金，其中每單位的甲合金是由5 公克的 A 金屬、3 公克的B 金屬以及3 公克的C 金屬組成，而每單位的乙合金是由3 公克的A 金屬、6 公克的B 金屬與3 公克的C 金屬所組成。已知甲、乙合金每 單位的獲利分別為600、700 元。若工廠此次進了 1000 公克的A 金屬、1020公 克的B 金屬與660 公克的C 金屬投入生產這兩種合金，試問甲、乙兩種合金各 應生產多少單位，才能獲得最大利潤？又此時利潤為多少？（12 分）

答 案 甲合金生產100單位，乙合金生產120單位；此時最大利潤為144000元

命題出處 第三冊第二章　直線與圓

測驗目標 線性規劃

詳 解 1 設甲合金生產x 單位 　 　乙合金生產y單位

　 由題意可得聯立不等式S：

5x+3yN1000 3x+6yN1020 3x+3yN660 xM0，yM0

!

5x+3yN1000 x+2yN340 x+yN220 xM0，yM0 　 且目標函數f（x﹐y）=600x+700y，求f（x﹐y）之最大值 2 作圖如右

　 A（200﹐0），D（0﹐170） 　 C： x+y=220

x+2y=340 !C（100﹐120） 　 B： 5x+3y=1000

x+y=220 !B（170﹐50）

　 （x﹐y） （200﹐0） （170﹐50） （100﹐120） （0﹐170） f

（x﹐y） 120000 137000 144000 119000 　 故最大利潤144000 元

　 此時甲合金生產100單位，乙合金生產120單位

難 易 度 中

類 似 題 《大滿貫複習講義•數學乙》第50頁經典試題11 F