答案解析：∵PB PC APK K K= AB+ AC x y PCK K K=PA AC+ = − ABK K K− AC AC α β = −5 5 2、設Ka 則 b = K t aK K+ ⏐b 的最小值為，又此時t=

(1)

高雄市明誠中學高三數學平時測驗日期：97.11.20 班級三年班

範圍

Book3

平面向量座號

姓名一、選擇題 (每題 5 分)

1、( C ) 設P(1,3)，直線L 2 2

: 2

x t

y t

= − +

⎧⎨ = −

⎩ (t∈\)，則P點到直線L的距離為 (A) 1

5 (B) 3

5 (C) 5 (D) 9

5 (E)5

解析： 1 6 2

( , ) 5

d P L + −5

= =

2、( E ) G為△ABC的重心，且GA

K

⏐=2

, GB

K

⏐=3

, GC

K

⏐=4

，若GB

K

, GC

K

之夾角為θ，則 (A) 0° < ≤ °θ 90 (B) 90° < ≤θ 120° (C)120° < ≤θ 135° (D)135° < ≤θ 150°

(E)150° < <θ 180° 為重心

解析：∵G ∴GA GB GC

K K K

+ + =

K

0

∴GB GC

K K

+ ⏐ =⏐− ⏐² GA

K

²

∴GB

K K K K K

⏐ +² 2GB GC⋅ +⏐ ⏐ =⏐ ⏐GC² GA²

∴ 21

GB GC

K K

⋅ = − 2

, cos ⁷ ³

8 2

θ = − < − ∴150° < <θ 180°

3、( E ) 於平面上，P, Q二點對於A點對稱，Q, R二點對於B點對稱。若

K

x =OA

K

,

K

y =OB

K

且 PR

K

=α

K K

x+β y

，求α β− =

第 1 頁

？ (A)4 (B)2 (C)0 (D)−2 (E)−4 解析：PR

K K K

=QR QP−

2QB 2QA 2(OB OQ) 2(OA OQ) 2OB 2OA

=

K K K K K K K K

− = − − − = −

∴α= −2,β =2,∴α β− = − − = −2 2 4

4、( B ) △ABC中，BC =2, CA=3, AB=4，則AC BC

K K

⋅ =

(A)-3 (B) ³

−2 (C)³

2 (D)3 (E)¹¹ 2 解析：

2 2 2

3 2 4 3

2 2

AC BC

K K K K

⋅ =CA CB⋅ = + − = −

5、( E ) 設正五邊形ABCDE中，AB=2，則下列內積之值何者最小？ (A)AB AC

K K

⋅ (B)

AC AD

K K

⋅ (C)AC AE

K K

⋅ )

(D AB AD

K K

⋅

(E)AB AE

K K

⋅ 解析：∵AB AC

K K K K

⋅ =⏐ ⏐⏐ ⏐AB ACcos 36° >0

cos 72 0 AB AD

K K K K

⋅ =⏐ ⏐⏐ ⏐AB AD ° >

cos108 0 AB AE

K K K K

⋅ =⏐ ⏐⏐ ⏐AB AE ° <

cos 36 0 AC AD

K K K K

⋅ =⏐ ⏐⏐ ⏐AC AD ° >

cos 72 0 AC AE

K K K K

⋅ =⏐ ⏐⏐ ⏐AC AE ° >

6、( ^BC_D ) (複選) 設A(4,3), B(6,8), O(0,0)為平面上之三點，令C點為OB之中點，且令

(2)

,

a =OA b =OB

K K K K

，則下列何者為真？ (A)向量

K K

a+b

的長度為15 (B)內積 (C)

△OAB的面積為7 (D)A點到直線OB

48 a b⋅ =

K K

HJJG的距離為⁷

5 (E)AC

K

=(1, 1)− 解析：

K

a =(4, 3), (6,8),

K

b =

K K

a+ =b (10,11), ⏐ + ⏐=

K K

a b 221

48 a b⋅ =

K K

, △OAB的面積 ¹ 5 10² ² 48² 7

= 2 × − =

直線OB為4x−3y=0, 7 ( , ) d A OBHJJG = 5

，C(3,4), AC

K

= −( 1,1) 二、填充題 (每題 10 分)

1、設△ABC中，P在線段BC上且PB PC: =2: 3，若AP

K K K

=x AB y AC+

，又，

則數對( ,

PC

K K K

=α AB+β AC )

x y =__________，又數對( , )α β =_________。

答案：( , )^{3 2}

5 5 ; ( ^{3 3},

−5 5)

解析：∵PB PC: =2: 3 ∴ 3 2

5 5

AP

K K K

= AB+ AC

∴( , ) ( , )^{3 2} x y = 5 5

3 2

5 5

PC

K K K

=PA AC+ = − AB

K K K

− AC AC+

∴( , ) ( ^{3 3}, ) α β = −5 5 2、設

K

a =(1,-1), (3,1)，則

b =

K

t a

K K

+ ⏐b

的最小值為______，又此時t=______。

答案：2 2 ; -1 解析：t a

K K

+ ⏐=b

2 2

(t+3) + − +( t 1) = 2t²+ +4t 10= 2(t+1)²+8，∴最小值2 2，此時t =-1 3、平面上A, B, C三點共線，O為不在此線上之任一點，若(2t+1)OA

K

+(3t+4)OB

K K

+5OC=

K

0

，求實數t =______。

答案：−2

解析： 2 1 3 4

5 5

t t

OC

K

= − + OA

K

− + OB

K

∵C, A, B共線，∴ ² ¹ ³ ⁴ 1 2

5 5

t t

+ + t

− − = ⇒ = −

4、設

K

a =(2, 6)− ，，則(1) 在 (1, 2)

b =

K

a

K

b

K

上的投影量為_____________，

(2)

K

a對於 b

K

的對稱向量為___________。

答案：−2 5; (-6,-2) 解析：(1) ¹⁰ 2 5

5 a b

b

⋅ =− = −

⏐ ⏐

K K

K

⁽²⁾ 2

(1, 2)

2 2 ( 2 5) (2, 6) (

5 a b b a

b

⋅ ⋅ − = × − × − − = − −6, 2)

⏐ ⏐

K K K K K

5、設△OAB是邊長為2的正三角形，在AB上有三點P, Q, R使AP=PQ=QR=RB，則 ______。

OP OR

K K

⋅

=

(3)

答案：¹¹ 4

解析：∵AP=PQ=QR=RB ∴ 3 1

4 4

OP

K K K

= OA+ OB

∴ 1 3

4 4

OR

K K K

= OA+ BA 又

∴

2 OA OB

K K

⋅ =

2 2

3 3 10 11

16 16 16 4

OP OR

K K K

⋅ = ⏐ ⏐ + ⏐ ⏐ +OA OB

K

OA OB

K K

⋅ = 6、若D為△ABC內部一點，且AD BD CD

K K K

+ + =

K

0

，則AD

K

=_____AB

K

+_____AC

K

，又△ABD的面積：△ACD的面積：△BCD

的面積

=______。

答案：¹ 3; ¹

3; 1:1:1

解析：∵AD BD CD

K K K

+ + =

K

0

∴D為△ABC的重心

∴△ABD的面積：△ACD的面積：△BCD的面積=1:1:1，且 1 1

3 3

AD

K K K

= AB+ AC

第 3 頁

7、如圖等腰梯形ABCD，AB=AD=CD=2, BC=4，則AC BD

K K

⋅ =

______，若M為BC之中點，N為CD的中點，則AM AN

K K

⋅ =

______。

答案：6; 4

解析：∵等腰梯形ABCD，AB= AD=CD=2, BC=4

∴AD//BC且∠ABC=60° ∴ 1

2 4 4

BA BC

K K

⋅ = × × =2

( ) ( ) ( ) ( 1 )

AC BD

K K K K K K K K K K

⋅ = BC BA− ⋅ BA AD+ = BC BA− ⋅ BA+2BC = 6

1 1 1

( ) ( ) ( ) (

2 2 2

AM AN

K K K K K K

⋅ = BM−BA ⋅ AD DN+ = BC BA

K K K K

− ⋅ BC+ AM )

1 3 1

( ) ( )

2BC BA 4BC 2BA

=

K K K K

− ⋅ − = 4

8、△ABC中，AB

K

=(5,12), ，則△ABC的周長為______。

(3, 4) BC

K

= − 答案：18+8 2

解析：AC

K

=(8,8)，∴△ABC的周長為

13 5 8 2 AB

K K K

⏐+⏐ ⏐+⏐ ⏐=AC BC + + =

18 8 2+ 9、平面上三點A(4, 1), B( 2, 3), C(3, 2)，求

(1) A 的距離 =________________， (2) △ABC的面積 =_____________，

(3)

− −

到BCHJJG AB

K

在BCHJJG上的正射影 =____________。

答案：(1)^{7 26}

13 (2) 7 (3)( ^{85 17}, 13 13

− )

(4)

△ABC的三邊

10、在 BC, CA, AB上分別取D, E, F三點，使DC

K K

=4BD , , （如圖）。設G為△DEF的重心，

2 EC

K K

= AE

2 FB

K K

= AF

AG

K K K

=α AB+β AC

，則α=______, β =______。

答案：¹⁷ 45; ⁸

45

解析：∵G為△DEF的重心 ∴ 1

( )

AG

K K K K

=3 AD AE AF+ + 又DC

K K

=4BD ∴ ₄ ₁

5 5

AD

K K K

= AB+ AC

2 EC

K K

= AE

∴ 1 AE

K K

=3AC ∴

2

FB

K K

= AF ₁ AF

K K

=3AB

∴ 17 8

45 45

AG

K K K

= AB+ AC

∴α =¹⁷

45, β = 8 45 11、設

K

a =(3,1), 若

(1, 0) b =

K

₂

2 4

x y a b x y a

⎧ + = +

⎪

⎪ b

− = −

⎩

K K K K K K K K

⎨ ，則

K

x =

______,

K

y =

______。(以坐標表示) 答案：(2,1); (0,-1)

解析： 2

2 4

x y a b x y a

K

b ^⇒

⎧ + = +

⎪⎨

⎪ − = −

⎩

K K K K

K K K

³

^{K K}

^x ⁼³^a⁻³

^K

^b^∴

^{K K K}

^x ^{= −}^a ^b^,

K K K

^y ⁼³^b⁻^a

∴

K

x =(2,1),

(0, 1) y = −

K

12、梯形ABCD，AD//BC, AD=1, AB=2, BC=3，E在BC上且BE=5CE，BD與AE相交於O(1)若AO

K K K

=α AB+β A

D，則α =_______, β =_______，

(2)若BD⊥ AE，則AB AD

K K

⋅

=_______, ∠BAD=_______。

答案：² 7;⁵

7; -1;120 °

解析：∵ABCD為梯形， // , ⁵ ⁵

6 2

AD BC BE= BC=

∴ : 1:⁵ 2 DO BO= 2= : 5

∴ 2 5

7 7

AO

K K K

= AB+ AD

∴ ², ⁵

7 7

α β

∵

= =

AD⊥AE ∴AO BD

K K

⋅ =0

, 2 5

( ) (

7 AB

K K K K

+7AD ⋅ −AB AD)+ =0

(5)

2 2

2 5 3

7AB 7AD 7 AB AD 0

− ⏐ ⏐ + ⏐ ⏐ −

K K K K

⋅ =

∴ AB AD

K K

⋅ = −1 令∠BAD=θ, cos ¹

θ =2 1⁻

× ∴θ =120°

13、設直線L y: =mx+2與直線x−2y+ =3 0之交角為45°或135°，則m=_____或_____。

答案：3; ¹

−3

解析：

1 tan 45 2

1 1 2 m

m

° = −

+ ∴³ ² 2 ³ 0

4m − m− =4 ，m=3或 ¹

−3

14、已知點A(2,5)及一直線，試求

(1)A到L的距離為______，(2)A在L上的正射影為______，(3)A對於L的對稱點為______。

: 4 3 2 0 L x+ y+ =

答案：5; (-2,2); (-6,-1)

解析：(1) ( , ) ^{8 15 2} 5 d A L = + 5 + =

(2)A在L上的正射影為(2, 5) 5 ( , )^{4 3} ( 2, 2)

− ⋅ 5 5 = − (3)對稱點(2, 5) 2 5 ( , )^{4 3} ( 6, 1)

− × × 5 5 = − −

15、設

K

a =(3, 2), , ，若

(1, 2) b = −

K

( 3, 4) c = −

K

//( )

t a

K K K

b t c+

, t≠0，求實數t=______。

答案：⁴ 9

解析：t a

K

=t(3, 2)=(3 , 2 )t t

(1, 2) ( 3, 4) (1 3 , 2 4 ) b t c+ = − + −t = − t − + t

K K

∵t a

K K K

//(b t c+ ), ∴ ₃ ₂

1 3 2 4

t t

t = t

− − + ，∴− +6t 12t² =2t−6t²，18t²− =8t 0；2 (9t t−4)=0

∴t=0（不合）或⁴ 9 。

16、設△ABC為正三角形且邊長為6，若M, N是BC邊的三等分點，則AM AN

K K

⋅ _______。

= 答案：26

解析：∵ 1 2

3 3

AM

K K K

= AB+ AC

, 1 2

3 3

AN

K K K

= AC+ AB

∴ 1

( 2 ) (2

AM AN

K K K K K K

⋅ =9 AB+ AC ⋅ AB AC+ )

2 2

1(2 5 2 )

9 AB AB AC AC

= ⏐ ⏐ +

K K K

⋅ + ⏐ ⏐

K

1 1

(72 5 6 6 72) 26

9 2

= + ⋅ ⋅ ⋅ + =

第 5 頁

(6)

0

17、設直線L通過(-2,-3)且與

K

u =(1,2)垂直，則直線L的方程式為______。

答案：x+2y+ =8

解析：直線L與

K

u =(1, 2) 直

垂 ∴L x: +2y=k過(-2,-3) ∴x+2y+ =8 0 18、四邊形ABCD中，2BA

K K K

+3BC=3BD

，則(1)△ABD的面積：△CBD

的面積

=__________，

(2)△ABC的面積：四邊形ABCD

的面積

=____________。

答案：(1)3:2 (2)3:5 解析：

如圖BEHF為平行四邊形且 1 2 BA

BE = , 1 3 BC

BF = , 1 3 BD BH =

∴ 1

6 ABD

BEH =

△ 的面積

△ 的面積， 1

9 BCD

BFH =

△ 的面積

△ 的面積又△BEH

的面積

=△BFH的面積

∴△ABD的面積=

△

BCD

的面積

=3:2 1

6 ABC

BEF =

△ 的面積

△ 的面積 ,

△

BEF

的面積

=

△

BHE

的面積

∴△ABC的面積：面積四邊形ABCD ( ) : (¹ ¹ ¹)

6 6 9

= + =3 : 5

19、△ABC中，AB=5, BC=6, AC =3，若AD為△ABC之中線，求 AD=______。

答案：2 2

解析：利用中線長定理，∴25 9+ =2(AD²+9)；∴AD² =8, ∴AD=2 2 20、如圖，ABCD是平行四邊形，BF:FC=1: 1, CE:ED=1: 2， AE交DF

於P，設BP

K K K

=x BA y BC+

，求數對( , )x y =________。

答案：( , )¹ ³ 2 4

解析：(1) 1 1

3 3

BE

K K K K K K K

=BC CE+ =BC+ CD=BC+ BA

，∴ 1

BC

K K K

=BE−3BA

∴ 1 1

( ) ( )

3 3

BP

K K K K

=x BA y BE+ − BA = x− y BA y BE

K K

+

∵A, P, E共線 ( ¹ )

3 1

x y y

⇒ − + =

(7)

(2)BD

K K K K K K K

=BA AD+ =BA BC+ =BA+2BF

，∴BA

K K K

=BD−2BF

( 2 ) 2 ( 2 2 )

BP

K K K

= ⋅x BD− BF + ⋅y BF

K K

=x BD+ − +x y BF

K

∵D, P, F共線，∴

由(1)(2)得

( 2 2 ) 1 x+ − +x y =

2 1

3

2 1

x y x y

⎧ + =

⎪⎨

⎪− + =

⎩

⇒

3 4 1 2 y x

⎧ =⎪⎪

⎨⎪ =

⎪⎩

，故( , ) ( , )¹ ³ 2 4 x y = 。

21、設ABCD為平行四邊形，AB=4, AD=1，則AC BD

K K

⋅ =

______。

答案：-15

解析：∵ABCD為平行四邊形 ∴AC

K K K

= AB AD+ BD

K K K

= AD AB−

∴AC BD

K K K K

⋅ =⏐ ⏐ −⏐ ⏐ = −AD² AB² 15

22、設OA

K

=(4, 2), , 且

( 3,1) OB

K

= −

OC

K K

⊥OA

//

AC OB

K K

又OD OB

K K K

+ =OC

，則OC ____, _____。

K

= OD

K

=

答案：(-2,4); (1,3)

解析：設OC

K

=( , )x y , ∴

( , ) (4, 2)x y ⋅ =0 4x+2y=0 ( 4, 2) //( 3,1)

AC

K

= x− y− −

∴x+3y=10

∴x= −2, y=4 ⇒OC

K

= −( 2, 4)，又

OD

K K K

=OC OB−

，∴OD

K

=(1,3) 23、設

K

a⏐= ⏐ ⏐≠2

K

b 0

，且 7⏐ + ⏐= ⏐ − ⏐

K K

a b 3

K K

a b

，則

K

a ,

K

b

之夾角θ =______。

答案：120 ° 解析：令

K

b⏐=K

,

K

a⏐=2K

, 7⏐ + ⏐ = ⏐ − ⏐

K K

a b ² 3

K K

a b ²

∴

K K

a b⋅ = −K²

∴

2 1

cos (2 ) 2

K K K

θ = ⁻ = − ∴θ =120°

24、設H為△ABC的垂心(即三高的交點)，其中BC=3, CA=4, AB=3，若AC

K K K

=α AB+β A C，則(1)AH AB

K K

⋅

=______，(2)α=______, β =______。

答案：8; ⁸ 10; ¹

10 解析：

2 2 2

3 4 3

2 8 AB AC

K K

⋅ = + − =

∵H

∵

為△ABC的垂心 ∴AH AB

K K K K K K

⋅ =AH AC⋅ = AB AC⋅ =8 AH

K K K

=α AB+β A

C ∴AH AB

K K K K K

⋅ = ⏐ ⏐ +α AB² β AC AB⋅

，8=9α+8β

第 7 頁

(8)

又AH AC

K K K K K K

⋅ =α AB AC⋅ +β AC AC⋅

，8=8α+16β

⇒ ⁸

α =10, ¹ β =10

25、過P(0, −1)且與直線L:3x+4y−12=0交成45º之直線方程式為______________________。

0 0

答案：x−7y− =7 或7x+ − =y 1 解析：設直線y=mx−1⇒mx− − =y 1 0

∴ 2 2 2

3 4

cos45

1 3 4

m m

− = °

+ ⋅ +

2 1

5 1

3 4

2 m− = m + ⋅

2 25 2

9 24 16 (

m − m+ = 2 m +1) 0，∴

7m2+48m− =7 1 m=7 或−7

∴ ¹ 1

y=7x− 或y= −7x−1，即x−7y− =7 0或7x+ − =y 1 0。

26、在四邊形ABCD中，∠ = 120A °, AB=1, AD=2，且AC

K K K

=3AB+2AD

，則的長度為 _______。

AC

K

答案： 13

解析： AB AD

K K

⋅ = × ×1 2 cos120° = −1

2 2 2

3 2 9 12 4 1

AC

K K K K K K K

⏐ =⏐ AB+ AD⏐ = ⏐ ⏐ +AB AB AD⋅ + ⏐ ⏐ =AD² 3

， ∴ AC

K

⏐= 13

27、在坐標平面上，一道光線通過原點O後，沿著y軸射向直線L： ¹ 1

y= 2x+ ，碰到直線L後，

假設光線依光學原理（入射角等於反射角）反射後通過x軸上的R點，則R點的x坐標為 ______。(化成最簡分數)

答案：⁴ 3

解析：直線 : ¹ 1

L y=2x+ ，即x−2y+ =2 0，L交y軸於A(0,1)

取L之一法向量

K

n =(1, 2)−

，已知AO

K

=(0, 1)−

,AR

K

=( , 1)x − 由AO

K

與之夾角等於

K

n

AR

K

與

K

n 之夾角

2 2 2 2 2 2 2 2

(0, 1) (1, 2) ( , 1) (1, 2)

0 1 1 2 1 1 2

x x

− ⋅ − = − ⋅ −

+ + + +

2

2 2

1 x

x

⇒ = + +

(9)

2 x2+ = +1 x 2

2 2

4(x + =1) x +4x+4

3x2 =4x (x≠0) 4

x=3故R的x坐標為⁴

3。

28、設A(2,1), B( 3, 2)− − ，直線L :3x−2y− =9 0，若直線AB與直線L相交於P，則(1)PA PB: 之值為_______，(2)A點對直線L的對稱點為_______。

答案： ⁵

14; (⁵⁶, ⁷ 13 13

− )

解析：(1)d(A,L) 5 5 14 , ( , ) 13 13 d B L 13

= − = = ，∴ : 5 :14 ⁵

PA PB= =14 A對L之對稱點為 ( 5) 3, 2 56 7

(2,1) 2 ( ) ( , )

13 13

− − −

− ⋅ =

第 9 頁

答案 解析：∵PB PC APK K K= AB+ AC x y PCK K K=PA AC+ = − ABK K K− AC AC α β = −5 5 2、 設Ka 則 b = K t aK K+ ⏐b 的最小值為______，又此時t=______

K

K

K

K

K

K K K

K

K K

K

K K K K K

K K

K

K

K

K

K

K K

K K K

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K K K

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K

K

K

的面積

K K K

答案解析：∵PB PC APK K K= AB+ AC x y PCK K K=PA AC+ = − ABK K K− AC AC α β = −5 5 2、設Ka 則 b = K t aK K+ ⏐b 的最小值為，又此時t=

^{K K}

^K

^{K K K}