答 答案案 解 解析析 個

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：93.12.13 班級

範

圍 3-3歸納法+Ans

座號

姓 名 一. 填充題 (每題 10 分)

1、遞迴數列< a_n >，a₁=1且 ₁ ( )¹ 3

n

n n

a ₊ =a ⋅ ，則a₃ =_______，a_n的通式為______。

答案答案：：

( 1)

1 1 2

, ( ) 27 3

n n−

解析解析： ：

1 1

a =

1

2 1

2

3 2

3

4 3

1 1

( ) ,1 3 ( ) ,1

3 ( ) ,1

3 ( )1 ,

3

n

n n

a a a a a a

a a ₋ ⁻

=

=

=

= 全部全部相相乘乘

1 2 2

( 1)

1 2 3 ( 1) 2

1 1 1 1

1 ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3 3

1 1

1 ( ) ( )

3 3

n n

n

n n n

a ^{− −}

+ + + + − −

= ⋅ ⋅

= ⋅ =

1

(1(1))

3(3 1) 2 3

1 1

( )3 2

a

= − =

7，(2)

( 1)

1 2

( )3

n n

an

= −

2、求 ^{1 1 1 1}

1 3+3 5+5 7+ +99 101

× × × × =______。

答案答案：： ⁵⁰ 101 解

解析析：原：原式式 ¹[ ^{2 2 2 2} ]

2 1 3 3 5 5 7 99 101

= + + + +

× × × ×

1 1 1

2 1[( 3

= − 1

) (+ 3 1

− 5 1 ) (+ 5 1

− 7 1

) (

+ + 99 1 101)]

−

1 1 1 100

(1 )

2 101 2 101

= − = × 50

=101。 。

3、設4a_n =a_n−1+4，且a₁ = 1，(1)試求a₄ = ______，(2)寫出a_n的通式為______。

答案答案：(：(11))⁸⁵

64(2(2))⁴[1 ( ) ]¹

3 4

− n

解

解析析：：4 ₁ 4 4( ⁴) ⁴

3 3

n n n n

a =a ₋ + ⇒ a − =a ₋₁− ( Why? 想一想 )

第 1 頁

1

4 4

4( )

3 3

n n

a − =a ₋ −

1 2

4 4

4( )

3 3

n n

a ₋ − =a ₋ −

)

3 2

2 1

4 4

4( )

3 3

4 4

4( )

3 3

a a

a a

− = −

× − = −

1

1

4 4

4 ( )

3 3

n

an a

− − = −

1

4 1 4

( ) (1 )

3 4 3

n n

a − = ₋ − ⇒a_n = ⁴[1 ( ) ]¹

3 4

− n

(

(11)) ₄ ⁴[1 ( ) ]^{1 4}

3 4

a = − = 85

64 ，，((22)) a_n = ⁴[1 ( ) ]¹

3 4

− n

4、設數列<c_n >的遞迴定義為 ¹ ，則

1

1

n n 2

a a₊ a

⎧ =

⎨ = +

⎩ n a²⁰ =_______。

答案答案：3：38811 解

解析析：： a₂₀ = a₁₉ + ×2 19 a19 = a₁₈ + ×2 18

3

a = a₂

)

2

2 2 a

+ × + = + ×a₁ 2 1

20 1

19 20

2(1 19) 1 2 381

a a 2⋅

= + + + = + ⋅ = 。 。

5、有一數列依照規則排列如下1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, …,

( 1 )

, , ,

n

n n n

+個

… … 則a160 = ______，又前 160項之和S160 = ______。

答

答案案：1：177,, 11776688 解

解析析：1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, ： …,

( 1 )

, , ,

+個

… …,

因 因 [2[2 ++ 33 ++……++ (( ++ 11))]] << 116600，，則則 之之最最大大值值為為1166 2 2 ++ 33 ++……++ 1177 == 115522則a則a16₁600 == 1177

160 16

1

1 2 2 3 3 4 16 17 17 8

( 1) 17 8 1 17 8 17

16 17 18 68

k 3 S

k k

=

= × + × + × + + × + ×

=

∑

+ + × = × × × + × = 6、遞迴數列< a_n >，已知a₁ = 1,且a_n =a_n−1+ −(n 1)，則(1)a

=

5 = ______，(2)an的通式為______，

(3) ______。

1 n

n k

k

S a

=

=

∑

第 2 頁

答案答案：(：(11))1111((22))

2 2

2 n − +n

((33)) ( ² 5 6

n n + )

解析解析：(：(11))a₅ =a₄+ =4 a₃+ + =3 4 …= + + + + =a₁ 1 2 3 4 11 (2(2))

全全部部相相加加

1 1

a =

2 1

3 2

4 3

1

1, 2, 3,

( 1)

n n

a a a a a a a a ₋ n

= +

= +

= +

= + − ,

( 1) 2 2

1 [1 2 3 ( 1)] 1

2 2

n

n n n n

a = + + + + + −n = + − = − +

2

2

1 1 1 1 1

2 2

2 1

(3) [ 2]

2 2

1 ( 1)(2 1) ( 1)

2 (2 10) (

2 6 2 12 6

n n n n n

n k

k k k k k

k k

S a k k

n n n n n n n

n n n

= = = = =

= = − + = − +

+ + +

⎡ ⎤

= ⎢⎣ − + ⎥⎦= + =

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

+5) 二. 證明題 (每題 10 分)

1、設n∈ ，試證1 3 5+ + + +(2n− =1) n²。

答案答案：(：(11))當當n=1時時，，左左式式=1，右，右式式= × −(2 1 1)² =1，∴，∴左左式式=右右式式，，故故成成立立 (2(2))設設n 時成時成立立，，

當當 時時，，1 3

=k 1 3 5+ + + +(2k− =1) k² 1

n= +k + + + +5 (2k− +1) (2k+1)

2 (2 1)

k k

= + + =(k+1)²，故，故成成立立。。

∴根∴根據據數數學學歸歸納納法法，，∀ ∈n ，原，原式式恆恆成成立立。。 2、設p為一正質數，n∈ , f n( )=3²ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²

(1)∀ ∈n ，使得p f n( )，則p=________。

(2)試證明你的推論是正確的。

答案答案：(：(11))當當n=1時時，，p f(1)=35= ×5 7 當當n=2時，時，p f(2)=259= ×7 37

∴∴取取質質數數p=7。。 (

(22))¬¬當當 時時，， 為為77的的倍倍數數

−

1

n= f(1)=35

−設設n=k時成時成立立，，∴∴ f k( )=3^2k+1+2^k+2 =7 ,m m∈ 當當n= +k 1時時，，左左式式= f k( + =1) 3^2k+3+2^k+3

(2 1) 2 ( 2) 1

3 ^{k+ +} 2^k+

= + ⁺

2 1 2 2 2

3 ^k+ 3 2^k+

= ⋅ + ⋅

2 1 2 2

9(3 ^k+ 2^k+ ) 7 2^k+

= + − ⋅

9 7m 7 2^k+2

= ⋅ − ⋅

為為77的倍的倍數數，，故故成成立立。。 7(9m 2^k+2)

= −

∴

∴根根據據數數學學歸歸納納法法，，∀ ∈n ,,7 f n( )=3²ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²。 。

3、試證平方數列的首n項和為

第 3 頁

2 2 2 2 ( 1)(2 1

1 2 3

6

n n n

n + +

+ + + + = )

。

答案答案：(：(11))在在n=1時時，，左左式式= =1² 1，右，右式式==^{1 2 3} 1 6

⋅ ⋅ = ，故，故成成立立。。

(2(2))設設n=k時成時成立立：：1² 2² 3^{2 2 ( 1)(2 1)} 6

k k k

k + +

+ + + + = 。 。

當

當n= +k 1時，時，1²+2²+ + +3² k²+ +(k 1)² ( 1)(2 1) 2

( 1) 6

k k k

+ + k

= + +

( 1)

[ (2 1) 6( 1)]

6

k+ k k k

= + + +

( 1) 2

[2 7 6]

6

k+ k k

= + +

( 1)( 2)(2 3) 6

k+ k+ k+

= 也成也成立立。。

由

由((11))與與((22))，，根根據據數數學學歸歸納納法法，，知知此此命命題題對對一一切切自自然然數數nn都成都成立立。。 4、試證明對任何自然數n，5²ⁿ⁺²+2³ⁿ⁻¹恒為17的倍數。

答案答案：(：(11))當當n=1, 5⁴+2² =625 4+ =629 17 37= × 成立成立 (2(2))設設nn == kk時成時成立立 ∴5^2k+2+2^3k−1=17×m m, ∈ 當當n n == kk ++ 11時，時，

2( 1) 2 3( 1) 1 2 2 3 1

2 2 3 1 3 1

2 2 2 2

5 2 25 5 8 2

25[5 2 ] 17 2

25 17 17 5 17 (25 5 ) 17

k k k k

k k k

k k

m m

+ + + − + −

+ − −

+ +

+ = ⋅ + ⋅

= + − ×

= × − × = × − 為 的倍數

根據根據數數學學歸歸納納法法，，∀ ∈n ，， 5²ⁿ⁺²+2³ⁿ⁻¹=17的的倍倍數數恒恒成成立立。。 5、設n∈ ，試證10ⁿ⁺¹−9n−10恆為81之倍數。

答案答案：(：(11))當當n=1時時，，10²− −9 10=81為為8181之之倍倍數數，，∴∴成成立立。。 (2(2))設設n 時成時成立立，，

則則 時時，，

為為8181之倍之倍數數，，∴∴成成立立。。

∴∴根根據據數數學學歸歸納納法法，， ，原，原式式恆恆成成立立。。

=k 10^k+1−9k−10=81 (m m∈ ) 1

n= +k 10^{k+ +1 1}−9(k+ −1) 10 10^{k+ +}1 1−9k−19

10 (10^k+1 9k 10) 81k 81

= ⋅ − − + +

10 81m 81k 81

= ⋅ + + 81(10m k 1)

= + +

∀ ∈n

第 4 頁