遞迴關係示範教學

＜ 遞 迴 關 係 遞 迴 關 係 ＞

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遞迴關係

各式問題找 遞迴關係

•

切割平面

•

雪花曲線

•

爬樓梯

數學遊戲

談遞迴關 係

•

河內塔

•

大象轉彎

評量試題

解遞迴關係

•

符號意義

•

遞迴關係式的意義

•

簡單的遞迴關係式

•

解遞迴關係式

(

求一般式

)

•

計數問題

. 教學演示教材 .

＜ 遞 迴 關 係 遞 迴 關 係 ＞

• 生活中，我們時常會碰到與 自然數有關的問題，

• 例如 :

•

金氏記錄

香檳杯塔的高度 為

54

層！

•

那需要幾個 香檳杯啊？！

•

生活中，

我們時常會碰到與自然數有關的問題，

它們往往會隱含固定的規律，像

•

生活中，

我們時常會碰到與自然數有關的問題，

它們往往會隱含固定的規律，

但是

當個數增加時，我們數數時

似乎有種『喘不過氣來』的感覺，

•

排列這樣的三角形，需不需要

100

顆球呢？！

•

生活中，

我們時常會碰到與自然數有關的問題，

它們往往會隱含固定的規律，

但是當個數增加時，我們數數時 似乎有種『喘不過氣來』的感覺，

更別說，

在真實世界裡有形形色色的各式型態

•

生活中，

我們時常會碰到與自然數有關的問題，

它們往往會隱含固定的規律，

但是當個數增加時，我們數數時 似乎有種『喘不過氣來』的感覺，

事實上，

純粹由數學知識發展出來的概念 也需要有效的計數方法。

平面上的

1

條直線最多可把平面分割成

2

個區域

。

平面上的

1

條直線最多可把平面分割成

2

個區域。

1

2

平面上的

1

條直線最多可把平面分割成

2

個區域

。平面上的

2

條直線最多可把平面分割成

4

個區域

。

平面上的

1

條直線最多可把平面分割成

2

個區域

。平面上的

2

條直線最多可把平面分割成

4

個區域

。

1

2

4

3

平面上的

1

條直線最多可把平面分割成

2

個區域。

平面上的

2

條直線最多可把平面分割成

4

個區域

。

平面上的

3

條直線最多可把平面分割成幾個區域？

8 8

嗎？

6 6

嗎？

平面上的

3

條直線最多可把平面分割成 個區域

7

。

5 6

3

7

8

10 9

11

12

13 14

15

16

平面上的

1

條直線最多可把平面分割成

2

個區域

。平面上的

2

條直線最多可把平面分割成

4

個區域。

平面上的

3

條直線最多可把平面分割成

7

個區域。

那平面上的

₁₀

條直線最多可把平面分割成幾個區域呢

？

平面上的

4

條直線最多可把平面分割成

11

個區域

。平面上的

5

條直線最多可把平面分割成

16

個區域

。

平面上的

n

條直線最多可把平面分割 成

a

_n 個區域，則

a

_n 之表示式為何？

問題

平面上的

n

條直線最多可把平面分割 成

幾個區域呢？

•

生活中，

我們時常會碰到與自然數有關的問題，

它們往往會隱含固定的規律，

遞 迴 關 係

•

數學課程中，

我們將介紹一種數學方法，

幫助我們解決這一類問題。

(Recurrence Relation)

三角形數

三角形數之第

n

項

a

_n 之表示式為何？

Type

1st 2nd 3rd 4th 5th 6th nth

三角形數

Value

1 3 6 10 15 21 a

_n

問題

a_n ＝ a_{n － 1} ＋ n a₃ ＝ 6 ＝ 3 ＋ 3

a₄ ＝ 10 ＝ 6 ＋ 4 a₅ ＝ 15 ＝ 10 ＋ 5

a₆ ＝ 21 ＝ 15 ＋ 6 a_n 之遞迴關係式

，其中 a₁ ＝ 1

三角形數之第

n

項

a

_n 之表示式為何？

Type

1st 2nd 3rd 4th 5th 6th nth

三角形數

Value

1 3 6 10 15 21 a

_n

a₁ ＝ 1

a₂ ＝ 3 ＝ 1 ＋ 2

問題

a₂ ＝ 1 ＋ 2 ＝ (1 ＋ 2)×2/2

a_n ＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ 6 ＋…＋ n ＝ n×(1 ＋ n) /2 a₃ ＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＝ (1 ＋ 3)×3/2

a₄ ＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝ (1 ＋ 4)×4/2

a₅ ＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＝ (1 ＋ 5)×5/2

a₆ ＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ 6 ＝ (1 ＋ 6)×6/2 a_n之一般式

三角形數之第

n

項

a

_n 之表示式為何？

Type

1st 2nd 3rd 4th 5th 6th nth

三角形數

Value

1 3 6 10 15 21 a

_n

a₁ ＝ 1 ＝ (1 ＋ 1)×1/2

三角形數之第

n

項

a

_n 之表示式為何？

Type

1st 2nd 3rd 4th 5th 6th

三角形數

Value

1 3 6 10 15 21

問題

a_n 之遞迴關係式 a_n 之一般式 a_n ＝ a_{n － 1} ＋ n

，其中 a₁ ＝ 1

a_n ＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ 6 ＋…＋ n ＝ n×(1 ＋ n) /2

三角形數

a _n ＝ a _{n － 1} ＋ n

，其中 a ₁ ＝ 1

像三角形數問題，

我們可以看出某些與自然數有關的問題，

往往隱含固定的規律，

處理這一類的問題通常分成三個步驟：

1.

依據題設條件構造一個數列

 a

_n



2.

建立相鄰項間的遞迴關係 ( 亦稱為遞迴方程式

)

3.

解遞迴方程式，求出一般項

a

_n ( 用

n

表示

)

91

年指考數學乙

用單位長的不銹鋼條焊接如下圖系列的四面體鐵架，

圖中的小圈圈「。」表示焊接點，圖

E_1

有兩層共

4

個 焊接點，圖

E_2

有三層共

10

個焊接點，圖

E_3

有四層 共

20

個焊接點。試問依此規律，推算圖

E_5

有六層共 多少個焊接點？

問題

像這一題指考題，

我們可以看出與自然數有關，

我們要找出隱含的固定規律，

處理時，可分成三個步驟：

1.

依據題設條件構造一個數列

 a

_n



2.

建立相鄰項間的遞迴關係 ( 亦稱為遞迴方程式

)

3.

解遞迴方程式，求出一般項

a

_n ( 用

n

表示

)

問題

用單位長的不銹鋼條焊接如下圖系列的四面體鐵架，圖中的 小圈圈「。」表示焊接點，圖

E_1

有兩層共

4

個焊接點，

圖

E_2

有三層共

10

個焊接點，圖

E_3

有四層共

20

個焊接點。

試問依此規律，推算圖

E_5

有六層共多少個焊接點？

91

年指考數學乙

設 n 層的不鏽鋼條有 E_n 個焊接點，則

E₃ ＝ 10 ＝ 4

＋ 6

E_n ＝ E_{n － 1} ＋ (1+2+3+…+n) E₄ ＝ 20 ＝ 10 ＋ 10

E₅ ＝ 35 ＝ 20 ＋ 15

E₆ ＝ 56 ＝ 35 ＋ 21 ，其中 E₂ ＝ 4 E_n 之遞迴關係式 E₂ ＝ 4

四面體數之第 n 項 E _n 之表示式為何？

Type 1st 2nd 3rd 4th

5th nth

四面體 數

Value

1 4 10 20 35 E

_n

問題

E_n ＝ E_{n － 1} ＋ (1+2+3+…+n)

，其中 E₀ ＝ 1 E_n 之遞迴關係式

四面體數

E _n ＝ E _{n － 1} ＋ (1+2+3+…+n)

，其中 E ₁ ＝ 1

Type

0 1st 2nd 3rd 4th nth

四面 體數

Value

1 4 10 20 35 E

_n

E_n ＝ E_{n － 1} ＋ (1+2+3+…+n)

，其中 E₁ ＝ 1 E_n 之遞迴關係式

Type

1st 2nd 3rd 4th 5th

三角 形數

Value

1 3 6 10 15

a_n 之遞迴關係式 a_n 之一般式 a_n ＝ a_{n － 1} ＋ n

，其中 a₁ ＝ 1

a_n ＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋…＋ n ＝ n×(1 ＋ n) /2

三角形數

a

_n 四面體數

E

_n

E

_n ＝

E

_{n － 1} ＋

a

_n

，其中

E

₁

＝ 1, a

₁

＝ 1

a

_n ＝

a

_{n － 1} ＋

n

1 1 1

2

1 1

3

1 3 1

6

1 4 4 1

5 10 10 5 1 1

6 15 20 15 6

1 1

7 21 35 35 21

1 7 1

8 28 56 70 56

1 28 8 1

9 36 84 126 126

1 84 36 9 1

45

10 120 210 252

1 210 120 45 10 1

巴斯卡三角形

三角形數

1

四面體數

3 6 10 15 21 28 36

45

1 4 10 20 35 56 84

120

三角形數 四面體數

巴斯卡三角形

C C C

C

C C

C

C C C

C

C C C C

C C C C C C

0

0 1

1

0 2

1

0 2 3

2

0 1 3 4

1 2 3 4 5

0

0

1 1

2

2 2

3

3 3 3

4

4 4 4 4

5 5 5 5 5

5

C C C

C

C C

C

C C C

C

C C C C

C

C C C

C C

0

0 1

1

0 2

1

0 2 3

2

0 1 3 4

3

2 4 5

2 6 1

7 7

8

8 8

9

3 9 9

10

10 10 10 10

6

6 6 6

7

6

C

C C C

C C

C

C C C

C

C C C C

C C C C C

C

6

6 7

7

6 8

7

6 8 9

8

6 7 9 10

4 5

3 4 5

3

6

7 7

8

8 8

9

9 9 9

10

10 10 10 10

7 7

8 8 8

7

C C

₄^{9 59}

C

¹⁰⁵

•

生活中碰到與自然數有關的問題，

我們可以藉由數學課程介紹的數學方法，

遞 迴 關 係

•

幫助我們找到它們隱含的固定規律，

解決這一類問題。

•

隨著計算機科學的發展，這樣的想法 更形重要。

遞迴關係

各式問題找 遞迴關係

•

切割平面

•

雪花曲線

•

爬樓梯

數學遊戲

談遞迴關係

•

河內塔

•

大象轉彎

評量試題

解遞迴關係

•

符號意義

•

遞迴關係式的意義

•

簡單的遞迴關係式

•

解遞迴關係式

(

求一般式

)

•

計數問題

遞迴關係以

a _n ＝ α a _{n － 1} ＋ f ( n ) 及 a _n ＝ β a _{n － 1} ＋ γ a _{n － 2} 的形式為主，

其中 α 、 β 、 γ 為常數，

f ( n ) 是次數小於 3 的多項式

。

α= 1

：

a

_n

= a

_{n – 1}

+ f(n)

degf(n) = 0 →

等差數列

degf(n) = 1 →

與等差級數有關，如三角

數

degf(n) = 2 →

例如四面體數

(

需用到

Σk

²

)

α≠1

：

a

_n

= αa

_{n – 1}

+ f(n)

f(n) = 0 →

等比數列

degf(n) = 0 →

與等比級數有關，如河內塔^，

degf(n) = 1, 2 →

較難計算

a

_n

＝ αa

_{n － 1}

＋ f (n)

形式

1.

假設此式可改成

a

_n

– ka

_{n – 1}

= t (a

_{n – 1}

– ka

_{n – 2}

)

則

(a

_n

– ka

_{n – 1}

) = t (a

_{n – 1}

– ka

_{n – 2}

)

則

b

_n

= a

_n

– ka

_{n – 1} 為一公比

t

的等比 數列

此時

2.

使用生成函數或特徵方程式的方式解一般

t + k = –β

^，

t k = γ

式

a

_n ＝

βa

_{n － 1} ＋

γa

_{n － 2} 形 式

如費波那契數列