書名：數學，為什麼是現在這樣子？
班級：１０２
座號：２３
姓名：張耀瑋
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前言：數學，是現代社會中常使用到的工具，無論是算考試成績、或是投資、抑 或是賭博，都用得上它，但對一般人而言，不過是用到加減乘除罷了，鮮少人 有 機會使用根號、log等符號。也有許多人好奇：數學是誰發明的？數學是從哪 來的？一旦脫離了人類社會，數學還存在嗎？或是有無其存在的意義？數學對 我們的生活，影響真的很大嗎？就讓我們跟隨著這本書的腳步，一同追溯數學 的歷 史，發掘代數與幾何、微積分、機率等數學的奧妙吧！
目錄
封面─────────────────────────── p.1 前言─────────────────────────── p.2 目錄─────────────────────────── p.2 數學發展簡史─────────────────────── p.3 數學理論簡史─────────────────────── p.3 印度──阿拉伯數字──────────────────── p.4-p.5 幾何學簡介──────────────────────── p.5-p.7 代數學簡介──────────────────────── p.8-p.9 代數與幾何的結合───────────────────── p.9 碎形幾何學──────────────────────── p.9-p.10 無限─────────────────────────── p.10-p.11 機率─────────────────────────── p.11-p.12 統計─────────────────────────── p.12-p.13 集合─────────────────────────── p.13-p.14 自我感想與結語────────────────────── p.14
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數學發展簡史
1.目前所知最早的數學活動紀錄（約四千年前），是在位於埃及的尼羅河三角 洲以及美索不達米亞平原（今伊拉克），不過我們對早期數學家的認識有限。
2.約西元前六百年，希臘人發展出對數學的興趣，亟力於發現適用於任何類似 問題的規則，為後來的所有數學發展奠下基礎。這些數學家大都定居於希臘或埃 及的學術中心亞歷山卓城，但希臘文明結束後，西方數學的發展也隨之停滯。
3.約西元七百五十年，巴格達成為耀眼的學術中心，阿拉伯的穆斯林學者彙整 希臘、印度的數學家們的偉大遺產，並將之鍛造地新穎有力，他們的進步大大受 益於我們現所採用的印度──阿拉伯數字系統，而他們對天文學和光學的興趣、
伊斯蘭曆法的研究需要和找出麥加方向的需求也促進了他們的數學發展。然而，
宗教的力量雖然一開始促進了數學發展，最後卻成了抑制數學發展的原因，因 為穆斯林的神學觀反對智力活動，認為會造成精神與信仰上的危險。
4.十一世紀晚期，西班牙的阿拉伯人將數學知識直接帶入歐洲，阿拉伯和希臘 的數學知識被翻譯成拉丁文並且迅速在歐洲流傳開來。
5.中世紀時期，歐洲的數學有些微的進展，也不乏能推動數學前進的人才，但 黑死病（1347-1350）的襲擊，造成約四分之一到二分之一的歐洲人口死亡。
6.十六世紀時，除了數學外，科學、藝術、哲學、音樂各方面活動都開始興盛，印
刷術也助長了新知識的傳播，歐洲的數學家和科學家從而開始形塑現代數學並 尋求數學的大量應用。
小結語：依據過去的數學發展史，我們不難發現，早期的數學發展，是相當緩 慢的，往往都要經過數個世紀，才會有較大的突破，原因大致有三，一是「從無 到有」的過程，本就艱辛；二是資訊流通不若現在發達，既沒有方便的交通工具 也沒有電話，更不要說現代網路了，只能仰賴文獻的傳承（更早期甚至沒有印 刷術，只能用手寫）；三是早期宗教力量過於強大，打壓了許多數學與科學的 發展，許多數學家和科學家因而不敢挑戰宗教權威，深怕遭到軟禁終身甚至直 接處死（當然，勇於挑戰的也大有人在，如大家熟知的伽利略即為一例），但 宗教力量仍深深影響數學及科學的發展。
數學理論簡史
1.阿拉伯──印度數字的出現（正整數）→分數→小數→無限→無理數→虛數
→複數→負數（負數的出現其實並不晚，但由於多數數學家對其抱持否定態度，
認為其沒有實質意義，因此最晚被承認）
2.基本的四則運算→歐式幾何學→代數學→解析幾何學（即代數和幾何的結 合）→非歐式幾何學（亦為較晚被承認之學問，因其爭議較大）→微積分→統 計與機率→集合論與邏輯（此門學問目前尚有些許爭議，但已被大部分的人所 接受）
（註：以上順序依照大部分的人已接受的順序，並非完全依出現順序）
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印度──阿拉伯數字
一、緣起
我們現在所使用的數字系統，就是所謂的「阿拉伯數字」（在許多國家中又稱為
「印度數字」），許多人為此數字系統是阿拉伯人還是印度人所發明的，爭論不 休。據歷史考證指出，它發源自超過兩千年前的印度河流域文明，最早出現在佛 教的碑文上。不過，我們所熟知的9個數字，似乎不是一起出現的，像1、4、6就 可追溯至印度阿育王（Ashoka）的碑文，其記錄了西元前三百零四年至二百三 十二年間，阿育王的思想與功績。而西元前二世紀的娜娜吉哈（Nana Ghat）碑 文為數字表加上2、7、9，3和5則最早被發現於西元一或二世紀時的納西克
（Nasik）洞穴中。由此可知，那時的數字發展並不齊全。
二、傳播
阿拉伯作家伊本．格弗第（Ibn al-Qifti, 1172-1242）在他的著作《科學家列 傳》（Chronology of the Scholars）中，記載了西元七百六十六年時一位印 度學者如何將一本書帶到伊拉克巴格達，交給阿拔斯王朝（Abbasid）的第二 任哈里發（caliph，伊斯蘭世界對統治者的稱呼）統治者阿布．加法爾．阿卜 杜拉．伊本．穆罕默德．阿爾．曼蘇爾（Abu Ja’far Abdallah ibn
Muhammad al-Mansur, 712-775）。這本書有可能是印度數學家婆羅摩笈多
（Brahmagupta）在西元六百二十八年所寫的《婆羅門曆數全書》，此書就是 在這裡被翻譯成阿拉伯文，是印度數字也像西方世界邁出第一步。印度數字之所 以能遍及中東，是智慧宮的兩本重要文本的功勞：波斯數學家阿爾．花拉子米
（Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi）的《印度數碼算數》（On the Calculation with Hindu Numerals, 825）和阿拉伯數學家阿爾．肯迪
（Abu Yusuf Yaqub ibn Ishaq al-Kindi）的《印度數碼的用途》（On the Use of Indian Numerals, 830）。不久之後，煥然一新的印度──阿拉伯數 字系統從西班牙（當時的阿拉伯帝國包含西班牙）傳入歐洲大陸。第一本提及此 系統的歐洲著作在西元九百七十六年於西班牙出版。（註：我們可以得到一個結 論，那就是數字是印度人發明的，阿拉伯人其實只是幫忙發揚而已。）
三、印度數碼與角
大家知道嗎？我們現今使用的數字，竟然和「角的個數」有關，不敢相信吧！其 實我們現在寫出來的數字，已較先前簡化了許多，所以不好發現，但如果將印 度數字以直線繪如第5頁的圖，便會發現「數字1」有一個角，「數字2」就有兩 個角，依此類推。
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沒錯吧？果然如此（註：打叉處即為角），另外，是否發現到「數字0」剛好沒 有角呢？雖然以前的數字的寫法跟現在有些許差異，不過是個有趣奧妙的現象 吧！
四、零
零？聽到這個數字你會有什麼想法呢？是沒錢了，東西不見了，沒有機會了，
還是考卷上的分數呢？你們一定想不到，「零」這個數一開始飽受爭議，既然沒 有，為何還要把它寫出來呢，何不空著？因為最早數字在發展時，並不是十進 位，有人發明二進位（現今電腦程式即為一例）、四進位、五進位、甚至是十六 進位……等，所以沒有空格占用問題，但十進位出現後，「0」就得把自己表示 出來，否則像十、一百等數字在表達上便有困難，不知只有一個「1」是表達十，
一百，甚或是一億，一兆呢?因此，零就這樣誕生在這世界上了。
幾何學
一、古希臘三大古典幾何難題
這三大問題即是：化圓為方、任意角三等分、倍立方，且只能以尺規作圖方式作 答。數學家為了這三個問題整整煩惱了兩千兩百年，最後才證明出，僅用無刻度 之尺與圓規是無法解答的。化圓為方的問題最初是由安娜克薩哥拉斯
（Anaxagoras, 500-428B.C.）所研究，化圓為方即解答出下列問題：對於 任意一圓，如何用尺規畫出一個等面積的正方形。而相傳倍立方問題是雅典人
（另一說為印度人）為了將祭壇體積加大一倍，而產生的。基本上，高斯認為僅 用尺規亦無法解決此命題，西元一千八百三十七年皮耶．萬澤爾（Pierre Wantzel）證明了他的說法是正確的。任意角三等分顧名思義就是將某角分成三 等分，當時，希臘人已知某些特殊角可被三等分（如直角），一些機械方法也 能將任意角三等分，自然而然，這問題便顯得不太重要，而且當然亦為無解
（45∘之倍數角不在此限）。
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二、歐幾里得的五大公理與公設（歐式幾何學）
歐幾里得是大約在兩千年前出了名的希臘數學家，我們都知道他最著名的著作 即是《幾何原本》，這本書也不斷地被後來的學者翻譯再翻譯，直到現在，都仍 非常具參考價值，裡面的內容以平面幾何及二維圖形聞名，其中他提出了五個 與幾何學較少嚴格相關的公理，分別如下：
1.兩個與同一個物件相等的物件，彼此相等。
2.若相等的物件加上等量，則其總量仍會相等。
3.若相等的物件減去等量，其餘量仍會相等。
4.相互重合的物件，彼此相等。
5.整體大於局部。
但較為重要的其實為下列五個公設：
1.任意兩點可用一直線相連。
2.任意線段可延伸成一直線。
3.給定一個中心與任意半徑就可以畫出一個圓。
4.所有的直角都全等。
5.平面上，若兩直線與第三條直線（截線）相交，且截線的一邊的同側內角和 小於兩個直角，則兩直線延長後，必相交於該側的一點。
在這五個公設當中，較有爭議的為最後一個公設，又稱「平行公設」，它不像前 四個公設「不證自明」（self-evident）且「自我充分」（self-sufficient），柏拉圖認 為公設應該具備簡單、不證自明的性質，即人人皆可一眼看出其必然成立，明顯 地，第五個公設有爭議，歐幾里得其實也心知肚明。然而，直到十九世紀才有人 明確指出，最後一項公設無法由前四條推導而出。
究竟「平行公設」有何問題呢？就讓我們以上圖解釋吧！上左圖與上又圖是在球 面上畫出的直線，分別稱作「雙曲線」及「橢圓」，曲面促成兩種非歐式幾何學的 誕生，我們已從球面幾何學發現畫在球面上的直線與畫在平面上的直線有不同 特性，也發現歐幾里得的第五公設是無效的，因為在第五公設中，同一直線垂 直的兩條直線將會平行（這也是我們國中時所學），但在曲面上，就不是這樣 了。
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三、非歐式幾何學
a.拒絕接受時期
曲面上的線之特性與歐式幾何法則的對立事實一直困擾著數學家，幾個世紀以 來，數學家處理的方式就是「拒絕接受」非歐式幾何學的出現。義大利數學家沙 卻利（Giovanni Girolamo Saccheri, 1667-1733）甚至試著證明「非歐式幾何學」不 可能存在，沒想到反而得到相反的結果：他發現非歐式幾何學得的可能性，並 導出一些雙曲線的幾何原理。他的論證很顯然取材於伊朗數學家海亞姆的著作，
但他的論證應該是自己創造的。
b.逐漸接納期
大約在西元一千八百三十年，因為匈牙利人亞諾什．波利耶（János Bolyai, 1802-1860）和俄羅斯人羅巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobachevski, 1792- 1856）兩人各自發表的作品，雙曲線幾何學才得以重見天日。高斯提出把雙曲 幾何的面與橢圓幾何的面當作「空間」看待的概念，因為雖然它們存在於三度空 間，但其實只有兩個維度，只需要用兩個變數就能定出圖形上的點，他證明只 需距離與角度就能完整描述整個曲面。儘管波利耶和羅巴切夫斯基已經證明這些 替代的方法可以適用於雙曲幾何的面，但是，能處理曲面的幾何學仍然沒有發 展出可以與歐式幾何學相媲美的模型。
c.已被接受期
西元一千六百六十八年，義大利人貝爾特拉米（Eugenio Beltrami, 1835-1899）
使用現在的虛球面（preudosphere）、龐加萊圓盤（Poincaré disc）、克萊因模型
（Klein model）和龐加萊半平面（Poincaré half-plane）這些特殊空間模型，證 明出只要歐式幾何學是相容的，雙曲面幾何學也會是相容的。在龐加萊圓盤邊上 兩點之間的最短距離是與圓邊界垂直的圓弧，如下左圖；雙曲幾何中的圓中心 並非位於圖形中間，如下右圖。
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代數學
一、緣起
代數問題第一次浮上檯面，是為了處理與二維和三維有關的幾何問題，所以要 處理簡單的代數不可能不用到幾何學。不過早期人用代數解決實際問題的方是不
但沒有系統，表達之方式也和我們大相逕庭。但這些早期的發展確實是日後代數 公式化的源頭。
二、從幾何邁向代數
三世紀中葉，希臘數學家丟番圖（Diophantus）發展出解題的新方法，這些方 法便是現在所知的線性與二次方程式，他的作品《數論》（Arithmetica）（只有 一部分流傳下來）包含許多的代數方程式及解法。但他未延伸普遍性的解法且屏 棄負數解，而且不管方程式有多少解，他在找到第一組解後便停止運算。此外，
他採用了一些變形的希臘字母，並使用符號來指出平方和立方，這方法是介於 單純文字推論和單純文字符號系統間的媒介階段，也讓他有探索高於立方之次 方數的機會（例：平方－平方表四次方，立方－立方表六次方，依此類推）。同 時，丟番圖亦沒有等式之概念，尚不會移項及等量公理。
三、丟番圖方程式
丟番圖方程式是指所有的數（含解）都是整數集。所以像下列式子無解：
「2x+2y=1（任兩偶數之和必為偶數）」
此種方程式在處理不可分之事物很有用，像是典型的分房間問題、遊覽車問題…
…等，不過據印度的《祭壇建築法規》載，就已處理過許多類似問題，所以丟番 圖並不是第一個研究此問題的人。雖然這方程式現在在我們看來真是再簡單不過 了，但這方法在當時來說，已是史無前例。
四、巴斯卡三角形
最早完整研究此三角形的，可能是海亞姆，巴斯卡三角形型如下：
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1
1 4 6 4 1
此種三角型的運作規則很簡單，只要將上方兩數加起來即可不斷延伸下去，最 讓我感到方便的就是，第x行的數字即是式子（x+y）x次方後的各系數，省去 很多背公式的時間，這也是代數應用很典型的一個例子。
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五、現代數學的開端
史迪飛的《整數算數》（1544）是重要的作品，但隨後即被卡當諾的《大術》
（1545）取代地位，他解釋出如何解三次及四次方程式。這是繼巴比倫人發現 如何以配方法解二次方程式以來，代數發展史上最重要的里程碑。這讓代數不再 需要和我們習以為常的三維世界連結，而能在理論上假設更多維度的空間。在此 解法出現不久後，義大利數學家邦貝利（Rafael Bombelli, 1526-1572）率 先引入與複數相關的運算，與此同時負數和複數也逐漸合法化，直角坐標系、解 析幾何學、積分學也有一定程度的發展。
代數與幾何的結合
笛卡兒發現不論是幾何或代數都無法完全滿足他，所以他設法將兩者結合以求 完善。他將方程式的量視為線段，免除了高次方程式的理解障礙，並允許等號兩 邊次數不同。他指出，一個點在平面上的位置能從該點與兩條當作測量基準的相 交軸之間的關係來確認，由此發展出我們熟悉的笛卡兒坐標系（Cartesian
system），但在他的圖形中，從未使用過x的負數值，我們現所使用之四個象
限的平面坐標系，是後來由牛頓引進的。此外，笛卡兒坐標系兩軸相交的角度並 非總是直角，他相信任何具有x和y的多項式都能夠以曲線表達，並能用解析 幾何來研究。
碎形幾何學
歐式幾何學處理的是「平滑性質」，但其實真正完全「平滑」的物質在自然界中是 很少出現的，就像我們找不到完全沒有摩擦力的平面一般，所以「碎形幾何學」
焉然而生，它處理的是真實宇宙的「粗糙」特性，一般而言，碎形雖始於方程式 但以幾何形式呈現較易理解。瑞典數學家科赫（Niels von Koch, 1870- 1924）提出了模型「科赫雪花」（the Koch snowflake），科赫雪花的操作如 下：畫個正三角形，將每一邊分成三段等長，以每一邊中間的線段為新的邊，
往外畫出新的正三角形，然後塗掉原先正三角型的中間線段，不斷持續下去，
形狀最終會像一片雪花，如下圖：
繼續這個動作無限多次是可能的，此圖的周長是無限大的，但卻圍住一塊有限 的面積。若將此步驟應用在一條線上，想當然爾，最後將非常接近一條曲線，它 被稱作為科赫曲線（the Koch curve）。
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科赫曲線的長度亦為無限長，每一個步驟會使總長曾加三分之一。科赫曲線並不 屬於任一度空間的線段，也不包圍任何一塊區域，而且因為它無限長，所以任 何區段的線段長皆無法測得。它被認定為具有log4/log3（約1.26）之碎形維 度，大於直線卻小於平面區域。自然界中也有許多碎形例子，像是樹皮、銀河、
血管分布……等，這對歐式幾何學來說，實在太不規則且難以描述。碎形是無論 大的架構或其中某一區塊，都由相同或相似的幾何形狀，並以同樣的模式延伸 發展而成，若就近觀察它，便會發現他的每一部分都相當接近整體縮小後的形 狀。
無限
一、緣起
兀、e、帶有根號等數皆是無窮級數，永遠沒有寫完的一天。無限這個觀念一直困 擾著數學家，直到十七世紀，數學家開始比較認真看待無限大和無限小的問題，
因此建立起適用於窮舉法的代數公式，最後以積分學問世，不過若先前沒有解 析幾何和極限，這一切當然不會發生。
二、芝諾悖論
芝諾提出了一個阿基里斯（Achilles）與烏龜比賽的故事：烏龜先起跑，當阿 基里斯追趕了從起跑點到烏龜的一半距離的同時，烏龜繼續前進，接著依此類 推，這樣下去，阿基里斯將無限接近烏龜，但卻永遠無法追到烏龜。這顯示著無 限的最大問題：我們得不到想要的答案（何時追到烏龜）。不過，這問題可用微 積分表示，往後許多有關「無限」的問題，都需要微積分（但在此題中，仍無法 解決，畢竟這是個悖論）。
三、微積分
微積分分為微分和積分，微分是用來算「斜率」的；積分是用來算「曲線下的面 積」的。微積分的基本原則，是大約在西元一千六百七十年由牛頓和德國的萊布 尼茲各自發現。兩人都知道積分是微分的逆運算，這揭露了總值和變化率之間的 微妙關係，牛頓研究微積分是為了處理冪級數（即多次方x的無限總和），而 萊布尼茲對變化所產生的性質與無限小的總和較有興趣，他還與瑞士兄弟雅各．
伯努利（Jacob Bernoulli, 1654-1708）和約翰．伯努利（Johann
Bernoulli, 1667-1748）一同引領微積分的發展，伯努利兄弟發展出微分規則、
有理函數的積分、初等函數的理論、微積分的力學應用與曲線的幾何性質，他們 甚至利用微積分論證出牛頓未能充分解釋的平方反比定律（inverse square rule），但萊布尼茲在著作中將連續量視為離散量，仍舊沒有解決芝諾悖論的 邏輯瑕疵。十九世紀中葉黎曼修正積分方法，提出比較內接曲線與外接曲線兩組 薄切片的方法，當切片越來越薄時，兩組切片之數值會越來越接近，最終可發 現真正的積分值。
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四、微積分邏輯瑕疵的解決
微積分已帶給人們許多方便，微分可用來模擬流行病的擴散、制定飛機的飛行路 徑；積分可用來計算物體以不同速度移動的距離，或車輛燃料消耗量的總和。微 積分甚至可用於天氣預報、天文學等領域，對人們的幫助實在太多，以致於沒有 人對微積分核心的矛盾提出質疑，但它本質的矛盾總要處理，這矛盾分別被柏 克萊稱為「消失量幽靈」（ghosts of departed quantities）和「瞬間量幽靈」
（ghosts of a moment）。舉例來說，因為時間可以不斷被分割，所以只有 把時間停住，才可能得到正確的測量值，但流動的速率與時間息息相關，若是 讓時間停住，流動速率也會變成零。溫度的測量也是如此，從2∘到3∘之間，必
有無限多的中介溫度，甚至連2∘和3∘本身都是無限小數（小數點後有無限多 個零）。若要制定連續量變化的模型，就必須處理這些一閃而逝的值，然而這些 值必是無限小數。無窮量背後的概念與演繹結構，使得數學家在研究微積分時要 全神貫注，並致力於發展出更嚴謹的規則，簡言之，就是要解決「消失量幽靈」
和「瞬間量幽靈」的模糊性。終於，救星出現了，他就是德國數學家卡爾．維爾 斯特拉斯（Karl Weierstrass, 1815-1897），他為級數的極限提供嚴謹的定 義，他認為要算出級數的極限，唯一要做的是設立一個可接受的誤差範圍或近 似值，稱之為ε，並找出這個級數的若干項之和，使其與1得差小於ε，則稱此 級數收斂到極限值1。這個方法使大家不再需要模糊不清的無窮小量
（infinitesimal）。如今，近似值的上下界可以計算得出來，準確程度也能量 化，不用再擔心數量會像幽靈般莫名消失，從此，微積分的邏輯性便充分了。
機率
一、緣起
人類玩機率已經幾千年了，像是賭博時擲骰子和轉動輪盤，都相當的隨機。最簡 單的機率就是丟硬幣，大家都知道出現正面或是反面的機率皆為二分之一，但 這個現象竟然直到十七、十八世紀間，才被雅各．伯努利注意到，他被視為此現 象的發現者，因為他花了二十年發展出一套嚴謹的論證來說明此原理，並稱之 為「黃金定理」（Golden Theorem），也就是現在賭場仰賴的「大數法則」
（the Law of Large Numbers），整體而言，賭場可在輪盤上留住所有賭注 的5.3％。
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二、巴斯卡的賭注
西元一千六百五十七至一千六百五十八年，巴斯卡寫了一篇哲學文章：不信神 的懲罰可能是被打入地獄，但若相信神，即便祂不存在，代價卻很輕微。因此他 選擇相信神。由這個賭注我們可以知道，我們在作任何決定時，可能不只在乎發 生的機率大不大，還會受到邊際效用影響（marginal utility）。再打個比方，
假若有個癌末患者要動一個可以根除癌細胞的手術，但成功率只有10％，不動 嗎？
三、機率的獨立性
人們對機率常常抱持著主觀的態度，相信一些沒有根據的推斷，反而不相信有 科學根據的機率（話雖如此，但我認為某些情況下例外）。假若在路上被狗咬而
染上狂犬病的機會是萬分之一，你被狗咬了第一次，覺得自己不會那麼不幸，
沒去醫院檢查，但當被咬了第十次，甚至第一百次時，你可能便不會那麼想了，
認為好運到此結束，但其實每一次被咬，染上狂犬病的機率是一樣的，不會隨 著被咬次數的增加，然上狂犬病的機會就跟著增加。
四、機率的例外狀況（個人見解）
至於，為何我認為某些情況下例外呢？舉個例子，假若建核電廠，輻射外洩機
率是0.01％，算是非常安全了吧，但為什麼那麼多人反對呢？我想原因很明顯，
就是因為0.01％不保證一定不會發生，僅代表「機率很低」，萬一發生了，後果
可是不堪設想的。但若不建，電價又將飆漲，社會上有很多例子都像這樣，是很 多因素互相參雜、影響的，不是單靠「機率」就能決定一切。
統計學
一、緣起
十七世紀晚期，人們才開始蒐集人口和經濟數據，突然之間，到處都是統計資 料，這意味著人們不再需要靠臆測來規畫，而能有實際數據做參考。但到了十九 世紀中葉，統計學才開始被運用在科學上。
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二、處理誤差
十九世紀早期，統計相關的數學方法快速進步。為了測量出地球經線的周長以決 定公尺的長度，必須要有統計方法來處理大地測量時所出現的誤差和不一致，
西元一千八百零五年時，法國數學家勒讓德（Adrien-Marie Legendre.1752- 1833）提出一種「最小平方法」（least squares method）的技術，他從所觀 察的點、線或曲線中曲值，求所有觀察值的誤差平方總和最小值。高斯對此很有 興趣，並在西元一千八百零九年提到，若測量的誤差遵循常態分配，這個方法 能算出最佳的誤差估計值。最小平方法就此成為十九世紀統計學家最重要的工具 也常用於從小樣本推估母體的研究。
三、隨機
統計常需要「抽樣」，而抽樣是要隨機的，否則結果容易偏袒某一方，但真正隨 機是有一定難度的，因為許多事件看似隨機，其實是由複雜的規則與大量變數 所控制的，不過現在利用機械方法，或是電腦可運用大氣噪聲（atmospheric
noise），即可產生真正隨機的數字。
集合
一、緣起
集合論是西元一千八百七十四年至一千八百七十九年由康托爾（Georg Cantor）發展出來的。
二、操作
任何物件與集合只有兩種情形：屬於該集合或不屬於該集合。操作方式非常簡單 但也引發了問題，假如將某班分為「成績好的集合」和「成績不好的集合」
那何謂成績好？何謂成績不好呢？
三、模糊計算法
對於上述問題，我們無法處理的原因是因為沒法定義出什麼是成績好，什麼是 成績不好，因此，數學家發明了模糊計算法，不再硬將物質分為兩大類，而用 數值評估一個元素屬於該集合的程度高低，所以，六十分的同學在成績好的集 合可表示為0.6，在成績不好的集合可表示為0.4，值得注意的是，由於此兩集 合相對立，所以數值是互補的，這麼一來，問題就解決囉！（若數值為0，則 視為其不屬於該集合）
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四、應用
模糊計算法可用於控制系統、專家系統、人工智慧、聲音辨識和圖像處理軟體，
模擬人類的決策判斷，減少系統所需的人為介入（human intervention）。只 要由一個專業的人設立規則，以此作為系統進行判斷的標準，智慧型系統
（intelligent systems）便能吸收操作者對系統設定所做的調整，以此作為自 我修正的方向。模糊集合和傳統集合重新定義了二十世紀和二十一世紀的數學，
它們能處理概念和概念之間的關係。集合論提供了一種比過去更精確的模型，描 述實際世界的運作。
自我感想與結語
能打完一份接近萬字的報告，我的內心十分的感動，雖然國中時常常在做，但 從來沒有做過和數學相關的報告，也沒打過那麼多字。這本書和這份報告，大大 地提升我對數學的興趣，此書囊括了數學許多的領域，詳述了數學的歷史與演 進，讓我知道原來數學有這麼多有趣的故事，並非只是教科書上枯燥乏味的公 式，而且此書也有很多知識我還沒學過，像是微積分、曲線，雖然在閱讀上花了 比較多的心力研究，但是也學到了很多我沒接觸過的東西。也許這些只是數學的 一小部分，不是非常深入的知識，但也因為這樣，讓我有更多機會探索更多我 所不知道的數學。在我的報告中，沒有任何的公式，只有有關數學一段又一段的
歷史故事，還有一些用小畫家畫的參考圖，就是希望能將本書透過我自己的整 理，讓數學的發展經過更有系統，不會東跳一個、西跳一個。同時，我也將著名 數學家和專有名詞的原文標示出來，以表示對他們的尊重，並供參考。最後希望 大家看完我的報告後，能有所獲。
