關於〝平均數〞與〝比例〞的抽樣分配

Sample Distributions

關於〝平均數〞與〝比例〞的抽樣分配

抽樣分配

統計對象 型態 分配類型

母體分配 樣本分配

離散型 機率分配

均勻分配 二項分配 多項分配 負二項分配 超幾何分配 幾何分配 伯努利分配 波松分配 連續型

機率分配

連續均勻分配 常態分配 標準常態分配 指數分配

Gamma分配

卡方分配

抽樣分配 機率分配

樣本比例差（

Ƹ𝑝 − 𝑝

） 平均數～

Z分配 t分配

變異數～

單母體變異數 卡方分配 兩母體變異數比

F分配

Sampling Distribution of the Proportion

樣本比率的 Ƹ𝑝 抽樣分配

函數定義（分配形式）

母體比率與樣本比率

在抽樣調查實務中，經常對比率的問題感到興趣，例如偶 像劇的收視率、政黨支持的比率、學生打工比率、產品生 產瑕疵品比率等問題。若是母體的比率未知，就必須透過 抽樣方式來估計，假定：

𝑝 = 𝐾 𝑁

，其中N：母體個數；

K：母體中某類別的總個數

Ƹ𝑝 = 𝑘 𝑛

，其中n：樣本個數；

k：樣本中抽出某類別的個數

抽樣誤差

抽樣誤差＝▏母體參數 – 樣本統計量 ▏＝

▏𝑝 − Ƹ𝑝

▏

函數定義（分配形式）

樣本比率的抽樣分配 ～ 採取出放回或無限母體

𝑓 Ƹ𝑝 = 𝐶

_{𝑛 ො}ⁿ_𝑝

p

^{𝑛 ො𝑝}

q

^{n−𝑛 ො𝑝}

, Ƹ𝑝 =0,

¹

𝑛

,

²

𝑛

.., 1 Ƹ𝑝 =

^𝑥

𝑛

⇒ 𝑥 = 𝑛 Ƹ𝑝 ，

帶入二項分配的機率函數，可得：

期望值 變異數

E Ƹ𝑝 = 𝑝

V Ƹ𝑝 =

^{𝑝(1−𝑝)}

𝑛

E Ƹ𝑝 = E 𝑥

𝑛 = 1

𝑛 𝐸 𝑥 = 1

𝑛 𝑛𝑝 = 𝑝 V Ƹ𝑝 = 𝑉 ^𝑥

𝑛 = ¹

𝑛²𝑉 𝑥 = ¹

n² (npq)

= ^𝑝𝑞

𝑛 = ^{𝑝(1−𝑝)}

𝑛

函數定義（分配形式）

樣本比率的抽樣分配 ～ 採取出不放回且有限母體

𝑓 ො 𝑝 = ^𝐶

^𝑛ෝ𝑝

S

C

_n−𝑛ෝ^N−S_𝑝

C

_n^N

, ො 𝑝 ^=0,

¹

𝑛

,

²

𝑛

.., 1 Ƹ𝑝 =

^𝑥

𝑛

⇒ 𝑥 = 𝑛 Ƹ𝑝 ^，

帶入超幾何分配的機率函數：

期望值 變異數

E Ƹ𝑝 = 𝑝

V Ƹ𝑝 =

^{𝑝(1−𝑝)}

𝑛

×

^𝑁−𝑛

𝑁−1

有限母體修正因子

（超幾何分配）

大樣本時的樣本比率抽樣分配

如果取出的樣本數很大時，np ≧ 5 且

n(1-p) ≧ 5，

根據中央極限定理：

ො

𝑝 ～ _{N( p,} ^{𝑝(1−𝑝)}

𝑛 )

採取出放回或無限母體

採取出不放回且有限母體

ො

𝑝 ～ _{N( p,} ^{𝑝(1−𝑝)}

𝑛 × ^𝑁−𝑛

𝑁−1 )

⟹ 𝑍 = ^{𝑝−𝑝 ො}

𝑝(1−𝑝) 𝑛

～ _N(0,1)

案例

假設台北市國小學生有10%的比例有體重過重的 現象，現在隨機抽取400位台北市國小學生，其 體重過重的比例之期望值及變異數為多少？又體 重過重之比率大於12%之機率為多少？

「現代統計學」p123，吳柏林 著，五南圖書

案例解說

10%比例 → p＝0.1 ；抽取400人 → n=400 ；→ 符合二項分配

(1) E( Ƹ𝑝) = p = 0.1 , V Ƹ𝑝 =

^{𝑝(1−𝑝)}

𝑛

=

^0.1×0.9

400

= 0.000225 (2)P( Ƹ𝑝＞ 0.12)= p

^p−0.1ෝ

0.000225

＞

^0.12−0.1

0.000225

= P(Z ＞ 1.33) [查表]

= 1-0.9082 ＝ 0.0918

Sampling Distribution of the Mean

樣本平均數 𝑥 ҧ 的抽樣分配

函數定義（分配形式）

利用樣本平均數

ҧ𝑥

來推論出母體的平均數μ，來瞭解母體 集中趨勢。假定現在從母體中隨機抽取

n

個樣本，根據

「中央極限定理」，當

n

很大時，樣本平均數

ҧ𝑥

_n 將趨近 於平均數 μ ，變異數 σ²

/n

的常態分配：

Z _{𝑥 ҧ}

𝑛

= 𝑥 ҧ

_𝑛

− 𝜇 𝜎 ²

𝑛

⟶ 𝑁( 0,1 )

轉化為標準常態分配後，就可以利用查表方式將結果查出。

樣本變異數 S ²

我們利用樣本平均數

ҧ𝑥

來推論出母體的平均數μ，同樣地，

根據變異數σ²的原始定義，我們可以使用樣本變異數

S

² 來推論母體的變異數：

𝑆

²

= σ(𝑥

_𝑖

− ҧ 𝑥)

²

𝑛 − 1

S

² 也稱為σ²的「不偏估計量」，因為：

E(S

²

) ＝E(

^{σ(𝑥𝑖 − ҧ𝑥)2}

𝑛−1

) = σ

²

「n-1」 稱為〝自由度〞

（degree of freedom, df）

Student's t distribution

t 分配

函數定義（分配形式）

t分配由英格蘭化學家W.S.Gosset在1908年所提出，他將 Z分配與卡方分配結合創造了t分配。其適用在當我們實務

上不知道母體變異數的狀況下，可以利用t分配來取代Z分 配。也就是說，只要母體為常態分配且母體變異數未知，

就可以用t分配來估計母體平均數。

𝑡 = 𝑥 ҧ

_𝑛

− 𝜇 S ²

𝑛

⟶ 𝑡( n − 1 )

可藉由查表而得

t分配特性

期望值 變異數

E(x) = 0 ， ν ＞ 1 V x =

^ν

ν−2

， ν ＞ 2

若隨機變數X為具自由度 ν 之t分配

偏態係數 β

₁

＝ 0

峰度係數 β

₂

＝

^3(ν−2)

ν−4

， ν ＞ 4

n → ∞時，t 分配趨近N(0,1)

t分配使用時機

樣本抽自母體，n ＜ 30，母體變異數未知時，可 用t 分配估計母體平均數。

兩個常態母體變異數未知，且樣本皆為小樣本情 況下，兩母體平均差 μ

₁

-μ

₂

的推論。

可用於變異數分析的事後檢定，以及相關分析、

迴歸係數之推論。

案例

假設X代表某班級統計學成績，已知其為 常態分配，X～N( 80, σ2 )，現自該班級 抽出10位學生，算出其標準差等於8.63，

求此10位學生之平均成績在85分以上的 機率是多少？

「應用統計學 二版」p215，李德治、童惠玲 著，博碩文化

案例解說

X～N( 80, σ² ) → 常態分配，小樣本(10)且變異數「未知」 → 考慮 t分配 根據題目所提供資訊： μ = 80， S²=8.63 ，自由度＝9

P( 𝑥 ҧ ＞ 85)= p t

₉

＞

⁸⁵⁻⁸⁰

8.632 10

= P(t

₉

＞ 1.83) [查表]

= 0.05

The End