① 经过 P 点并与 a、b 所成角度均为 30° 的直线有多少条？ ② 经过 P 点并与 a、b 所成角度均为 65° 的直线有多少条？ ③ 经过 P 点且 a 和 b 为 90° 的直线有多少条？ 。
④ 有多少条直线经过 P 点且 a 和 b 的夹角为 70°？ ⑤ 通过 P 点且 a、b 所成角度均为 20° 的直线有多少条？ 。
不等式“恒成立·能成立”问题梳理（二）——窦国栋
这类问题也可以认为是问题类型3的子类。在验证时，经常使用前面问题证明的结论，或者从二进制中选择主体并将二进制转换为一。注：本题第二题可以用(1)的结论来证明，也可以用二元选择法来证明，不等式左边部分证明了g(x)的凸性和凹性，即相当于“每一个x1, x2∈(0 , +∞)，验证：g。 点评：这就是传说中的决赛题，决赛中有这样的题，有点让人困惑。严格来说，它不是一个总体问题。这三个问题都是微不足道的，唯一的联系是。函数符号f(x)和g(x)实际上是三个不相关的问题连接在一起。
III) 有点困难。解决它的关键是首先将其泛化，用n代替100，即解决一个更普遍的问题： 。将6转换为序列{an}的前n项之和，然后将an与√进行比较。如果觉得用数学归纳法写起来有点繁琐，也可以直接证明{g(n)}是单调递增序列。
注意：序列 {(kn+b)qn} 的前 n 项之和可以使用导数获得。 II)的结论可以推广到我们所拥有的中心圆锥曲线（椭圆、圆和双曲线）。 I) 假设椭圆（（或圆）K 的中心为 O，其对称轴与 K 相交于 A、B 两点，|AB|= 2r，直线 L 与 K 相交于 C、D 两点，直线 AB 相交在 P 处，直线 AC 与直线 BD 相交于 Q，因此当点 P 与 A、B 不同时，#。
II) 假设双曲线 K 的圆心为 O，顶点为 A 和 B，|AB|= 2r，直线 L 和 K 相交于两点 C 和 D，直线 AB 相交于 P，直线 AC 和线 BD 与 Q 相交。当P点与A、B两点不同时，#。证明（一） 如图2.3.1所示，以中心K为原点，以X对称轴所在连线为x轴，建立平面直角坐标系。设方程为K×2。 II)建立以中心K为原点、AB对所在连线为x轴的平面直角坐标系。令 K 的方程为 x2 r2 −y2。
例谈不等式证明的十种常用方法——李明
由n个正数的算术几何平均不等式，成立上式。因此，原不等式成立。为了证明不等式，有时可以通过省略或增加一些项来适当放大或缩小不等式的一侧，利用不等式的传递性来达到证明的目的。证明方法称为标度法 代入元法根据不等式的结构性质选择适当的变量代入，从而简化复杂的方程或实现某种变换来进行证明。
这种证明方法称为数学归纳法，它在证明许多与自然数相关的不等式时相当有效。构造法是利用构造函数、向量、几何图形等证明不等式的方法，称为n元调和平均、n元几何平均、n元算术平均和n元二次平均。对于这四个平均值，我们有著名的平均不等式如下：
柯西不等式是显而易见的，所以原来的不等式得证了 据说有一天我在和网友讨论不等式话题的时候，谈到了下面这个简单的不等式： 所以不等式得清楚证明了。然后网友提出了如下公式：a3 b2 + b3。
不平等也适用。完成比赛后，我尝试增加次数，得到如下公式a4。由定理3.1.1，我们可以得到上述简单不等式开始时的第n次简单推广，即当2时，右边最小，相当于柯西不等式。该属性可归因于几何凸性。
二次根式开方的化简——何万程
上面两个±号选择与ab同号的字符。如果a、b和ab都是非完全平方的正整数，则n。该方程只有一个实数解。如果存在有理数解，则将其设置为 y=u，然后设置为 3。
中心对称、轴对称的计算，一元多项式函数的对称性——何万程
在牛顿之前，没有人能够将作为非简并二次曲线的三次曲线分为椭圆、双曲线和抛物线。从1664年开始，牛顿尝试遵循笛卡尔根据方程次数对曲线进行分类的思想来解决这个问题。 1667-1668年和1678-1679年间，他两次重返高阶曲线的研究，并取得重大进展。然而，一如既往，牛顿对于发表结果犹豫不决。直到1695年，他才将前人的成果总结在专着《Enumeratio Linearum tertii ordinis》中，并作为《光学》的附录出版。 《库比克曲线枚举》首次根据平面曲线与直线相交所产生的交点数量定义了曲线的阶数。它还指出圆锥曲线的许多概念和性质可以推广到更高的层次。例如，牛顿提出了适用于高阶曲线的一般直径理论（在该理论中，n次曲线的直径被定义为每条曲线的n个交点的重心几何轨迹）和一簇平行直线）以及渐近线的一般理论等。导论部分“三次曲线的枚举”以著名的“牛顿定理”达到高潮。牛顿定理相当于这样的陈述：a的三个纵坐标的乘积三次曲线平面上的点等于对应的三个横坐标的乘积，并且乘积保持恒定的比率。
本文无意对三次曲线的牛顿分类进行详细介绍，而只是讨论如何通过仿射变换将一般方程转化为牛顿标准方程。 从上面的讨论可以看出，三次曲线必然变成如下：仿射变换 四个标准方程之一： 三次曲线和二次曲线有很多区别 这里仅举一个例子：。
我们知道，同一条直线上没有四个点可以定义唯一的二次曲线，因为二次曲线的一般方程 ax2+bxy+ cy2+dx+ey+f = 0 有六个系数，其中独立的五个是单独的。这种理解正确吗？相信很多人都是这样理解的，但是这种理解是不正确的，在下面的例子中，我们可以看到一条一般的非简并三次曲线是否只需要九个点就可以确定：为什么可以知道呢？因为它不仅有很多奇妙的性质，而且这样的曲线在自然界中也经常发现并且有应用，标题图中的四个对数螺线的方程就是。
由于这个性质，对数螺线也被称为“等螺线”。
