高雄市明誠中學高一數學平時測驗日期：108.03.22

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：108.03.22

範 圍

排列

班級 一年____班 姓

座號 名

1. 將詞句「色不迷人人自迷」的七個字全取排列﹐則 (1)有____________種排法﹒

(2)若同字不得相鄰﹐又有____________種排法﹒

解答 (1)1260;(2)660

解析 (1)色﹑不﹑自﹑人人﹑迷迷 ^7! 1260

2!2! ﹒

(2)所求全部人人相鄰迷迷相鄰人人相鄰且迷迷相鄰 1260 ^{6! 6!}

2!2!5!  660﹒

2. 從1﹐2﹐3﹐4﹐5﹐6﹐7七個數中﹐組成數字不重複的三位數﹐則其中3的倍數有_____個﹒

解答 78

解析 將7個數字分三類﹕3k型者有3﹐6﹐3k1型者有1﹐4﹐7﹐3k2型者有2﹐5﹐

3k型取1﹐3k1型取1﹐3k2型取1排列之﹐三位數有2  3  2  3﹗= 72個﹒

3k1型取3個排列之﹐三位數有1  3﹗= 6個﹐∴三位數有72 6 78個﹒

3. 星期一上午四堂課預計排入國文﹑數學﹑化學及體育﹒依下列排課條件﹐考慮各有幾種排法﹕

(1)若國文課與數學課不能連排﹐則排法有____________種﹒

(2)若體育課不排在第一節與第二節﹐則排法有____________種﹒

(3)若體育課不排在第一節與第二節且國文課與數學課不能連排﹐則排法有____________種﹒

解答 (1)12;(2)12;(3)6

解析 (1)不能連排  插空位﹐先排體育與化學﹐再將國文與數學排入﹐則有2!  3  2  12

種﹒

(2)體育課排第三節或第四節﹐則有2  3  2  1  12種﹒

(3)所求  (體育課不排在第一節與第二節)  (體育課不排在第一節與第二節且國文課與

數學課連排)﹐

體育課排第三節  國﹑數連排有2種﹒

體育課排第四節  國﹑數連排有4種﹒

所求  12  6  6種﹒

4. 1到100的自然數中﹐不是2的倍數且不為3的倍數有____________個﹒

解答 33

解析 100 [¹⁰⁰] [¹⁰⁰] [¹⁰⁰] 100 50 33 16 33

2 3 6

        （個）﹒

5. 甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑戊五人排成一列﹐甲排末位的排法有____________種﹒

解答 24

解析 甲 甲 甲 甲 甲 4!  24（種）﹒

6. 甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑戊﹑己六人排成一列﹐依下列情形﹐各有幾種排法﹖

(1)甲﹑乙﹑丙全相鄰﹐有____________種﹒

(2)甲﹑乙﹑丙全不相鄰﹐有____________種﹒

(3)甲不排首位且乙不排第三位且丙不排末位﹐有____________種﹒

(4)甲﹑乙不排首位且丙﹑丁不排末位﹐有____________種﹒

解答 (1)144;(2)144;(3)426;(4)336

解析 (1)甲乙丙丁﹑戊﹑己 4!  3!  24  6  144﹒

甲乙丙互換

(2)△丁△戊△己△  3! P₃⁴（先排丁﹑戊﹑己再插空） 6  24  144﹒

(3)6!  3  5!  3  4!  1  3!  720  360  72  6  426﹒

(4) A集合：甲或乙排首﹐B集合：丙或丁排末﹐

所求任意排 n (A  B) 6!  (2  5!  2  5!  2  2  4!)  720  (240  240  96)  336﹒

7. 一樓梯共有10階﹐某人登樓時﹐

(1)每步跨一階或二階均可共有____________種不同的登樓方法﹒

(2)若規定一定要跨上第6階﹐則有____________種走法﹒

解答 (1)89;(2)65

解析 (1)設跨一階x次﹐跨二階y次﹐則x  2y  10 10 8 6 4 2 0

0 1 2 3 4 5

x y

共有1 ^{9! 8! 7! 6!} 1 89 8! 6! 2! 4!3! 2! 4!

      種走法﹒

(2)x  2y  6﹕ ^{6 4 2 0}

0 1 2 3

x

y 有1 ^{5! 4!} 1 13

4! 2! 2!

    種走法﹒

x  2y  4﹕ ^{4 2 0} 0 1 2 x

y 有1 ^3! 1 5

2!   種走法﹒

共有13  5  65種走法﹒

8. 將六個字母AABBCC全取排成一列﹐相同字母均不相鄰的排法有____________種﹒

解答 30

解析 ^6! 3 ^5! 3 ^4! 1 3! 30 2!2!2! 2!2! 2!   ﹒

9. 自0﹐1﹐2﹐3﹐4﹐5中任取四個相異的數字作成一個四位數字A﹐剩下的二個數字作成一個二

位數字B﹐則此種數對(A , B )共有____________個﹒

解答 480 解析

一 二 三 四 五 六

0可放在第二﹑三﹑四﹑六﹐∴4  5!  480﹒

10. 在數線上有一個運動物體從點 3 處出發﹐在此數線上跳動﹐每次向正方向或負方向跳 1 個單 位﹐跳動過程可重複經過任何一點﹒若經過7次跳動後運動物體落在原點處﹐則此運動物體共 有___________種不同的跳動方法﹒

解答 21

解析 令向正方向跳x次﹐向負方向跳y次 ⁷ 5

3 0

x y x y x

  

     

 ﹐ 2 ^7! 21

y 5!2! ﹒

11. 將3白2黑4紅共9顆大小相同的球排成一列﹐共有____________種不同的排法﹒

解答 1260

解析 ^9! 1260

3! 2! 4!  （種）﹒

12. 籃中有蛋15個﹐每次從中取出2個或3個﹐取完為止﹐則共有____________種取法﹒

解答 28

解析 設取2個有x次﹐取3個有y次﹐∴2x  3y  15﹐

y 1 3 5

x 6 3 0 所求為^{7! 6!}

6!3!3! 1  7  20  1  28﹒

13. 有八個座位排成一列﹐甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑戊五人入座﹐則 (1)甲乙相鄰﹐但丙丁戊全不相鄰的方法有____________種﹒

(2)甲乙丙丁恰有一人在戊之左邊的方法有____________種﹒

解答 (1)480;(2)1344 解析 (1)

甲乙 ○ ○ ○

    

丙 丁 戊 5 3

(4! 2!) 480

3! P

    ﹒

(2) ^8! (1 ₁⁴ 3!) 1344

3!5! C   ﹒

↑ ↑

戊之坐法 選一人至戊左

14. 小明與小美玩猜數字遊戲﹐小明寫一個五位數﹐由小美來猜；小美第一次猜75168﹐小明說五 個數字都對﹐但只有萬位數字對﹐其他數字所在的位數全不對﹐則小美最多再猜____________

次才能猜對﹒

解答 9

解析 先考慮5不在千位﹐1不在百位﹐6不在十位﹐8不在個位的方法﹐

1  4!  4  3!  6  2!  4  1!  1  0!  9﹐∴最多再猜9次﹒

15. 有6個排成一列的座位﹐詹姆斯﹑布萊恩﹑歐尼爾三人欲選互不相連的三個位置坐下﹐有 _______種坐法﹒

解答 24

解析 (1 , 3 , 5)﹐(1 , 3 , 6)﹐(1 , 4 , 6)﹐(2 , 4 , 6)  3!  4  24﹒

16. A﹐B﹐C﹐D﹐E五個人排成一列﹐若A不排首且B不排尾共有____________種不同的排法﹒

解答 78

解析 5!  4!  4!  3!  5!  2  4!  1  3!  78（種）﹒ 17. 如圖的棋盤式街道﹐甲走捷徑從A至B﹐則

(1)走法有____________種﹒

(2)若不得經過C且不經過D的走法有____________種﹒

解答 (1)56;(2)20 解析 (1) ^8! 56

5!3! ﹒

C D

A

B

(2)所求全部 n (C  D)

 56  [(A→C→B)  (A→D→B)  (A→C→D→B)]

5 6 ^{3 !}( ^{5 ! 4 ! 4 !}1 ^{3 !}) ^{4 !}

2 ! 3 ! 2 ! 3 ! 2 ! 2 ! 2 ! 2 ! 2 !

       56  (30  24  18)  20﹒  

18. 甲﹑乙﹑丙﹑…等七人排成一列﹐則甲﹑乙﹑丙三人相鄰排列數為____________﹒

解答 720

解析 5!  3!  720﹒

19. 某地共有9個電視頻道﹐將其分配給3 個新聞台﹑4個綜藝台及2 個體育台共三種類型﹒若同 類型電視台的頻道要相鄰﹐而且前兩個頻道保留給體育台﹐則頻道的分配方式共有________種﹒

解答 576 解析

所求 1  2!  2!  3!  4!  576﹒

↑ ↑ ↑ 體 新 綜 20. 由0﹐1﹐1﹐1﹐2﹐2﹐3﹐3八個數字

(1)任意排成一列有____________種不同的排法﹒

(2)做成八位數有____________種不同的排法﹒

解答 (1)1680;(2)1470 解析 (1) ^8! 1680

3! 2! 2!  （種）﹒(2) ^{8! 7!} 1680 210 1470

3! 2! 2! 3! 2! 2!    （種）﹒ 21. 如圖為棋盤型街道﹐由A取捷徑走到B﹐則

(1)走捷徑的方法共有____________種﹒

(2)經過P但不經過Q的走法有___________種﹒

(3)經過P或R任一點的走法有____________種﹒

解答 (1)126;(2)24;(3)100 解析 (1) ^9! 126

5!4! ﹒

(2) (A→P→B)  (A→P→Q→B) ^{4! 5! 4! 3!} 2

2!2! 3!2! 2!2! 2!

      60  36  24﹒

(3) (A→P→B)  (A→R→B) 60 ^{4! 5!}

3! 2!3!

   60  40  100﹒

22. 小功家住在一棟 7 樓的電梯公寓﹐今天小功回家時有 5 人同時和小功一起進入 1 樓電梯欲往 上﹐假設每人按下自己想要到的樓層（可相同或不同）﹐請問電梯有____________種停靠方式﹒

（假設這期間電梯只會由下而上依次停靠這6人所按的樓層）

解答 63

解析 2⁶  1  63﹒

23. 將6本不同的書全部分給甲﹑乙﹑丙﹑丁四人﹐則下列各有幾種分法﹖

(1)任意分﹐有____________種﹒

(2)丙恰得1本﹐有____________種﹒

解答 (1)4096;(2)1458

體體 新新新 綜綜綜綜

Q P A R

B

解析 (1) 4⁶  4096﹒(2)C₁⁶ 3⁵ 1458﹒

24. 將3白﹑2黑﹑1紅共6顆大小相同的球排成一列的排列數為____________﹒

解答 60 解析 ^6! 60

3!2! ﹒

25. 將八個人排成一列﹐其中甲至少與乙或丙一人相鄰的排法有____________種﹒

解答 18720

解析 所求任意排甲與乙﹑丙不相鄰

 8!  5!  (P⁶₃P⁶₂2!)  40320  21600  18720﹒

↓ 其餘5人

26. 連續投擲一顆公正的骰子3次﹐至少出現1次5點且點數和是13的情況有____________種﹒

解答 12

解析 13  (5 , 6 , 2)：3!  6﹐

(5 , 5 , 3)：^3!

2! 3﹐

(5 , 4 , 4)：^3!

2! 3﹐

∴共12種﹒

27. 有甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑戊﹑己六人排成一列﹐則

(1)若甲﹑乙分別排在最旁邊﹐共有____________種排法﹒

(2)規定甲在乙的左方且乙在丙的左方﹐則其排法有____________種﹒

解答 (1)48;(2)120

解析 (1)甲╳ ╳ ╳ ╳乙  2!  4!  48﹒

(2)甲乙丙╳ ╳ ╳ ^6! 120 3! ﹒

28. A﹐B﹐C﹐D﹐E等五人排成一列﹐求下列各排列數﹕

(1)任意排列有__________種﹒(2)A排首位有__________種﹒(3)A不排首位有__________種﹒

解答 (1)120;(2)24;(3)96

解析 (1)5!  5  4  3  2  1  120（種）﹒

(2) ^{A A A A A} 1  4!  24（種）﹒ (3)全  (A排首)  120  24  96（種）﹒

29. A﹐B﹐C﹐D﹐E﹐F六人排成一列﹐A﹐B不相鄰﹐且D﹐E不相鄰的排法有____________種﹒

解答 336

解析 設甲集合為AB相鄰﹐乙集合為DE相鄰﹐

所求為全部 n (甲乙) 6!  (5!  2!  5!  2!  4!  2!  2!)  720  (480  96)  336﹒

30. 如圖﹐從A走到B﹐依下列規則求其方法數﹕

(1)可以走↑→↓且不重複走﹐則有____________種走法﹒

(2)走捷徑﹐可以有____________種走法﹒

解答 (1)256;(2)35

解析 (1)4  4  4  4  4⁴  256（種）﹒

A

B

(2) ^7! 35

4!3!  （種）﹒

31. 將SENSE的5個字母任意排列﹐且同字不相鄰﹐則排法有____________種﹒

解答 12

解析 全部（S相鄰  E相鄰） ^5! (^{4! 4!} 3!) 2!2! 2! 2!

    30  (12  12  6)  12﹒

32. 將「common」一字的字母全取重新排列共有____________種不同的排法﹒

解答 180

解析 o o m m c n 6! 180

2! 2!  （種）﹒

33. A﹐B﹐C﹐D﹐E﹐5個人排成一列﹐求A﹐B﹐C三人中恰有二人相鄰之排列數有________種﹒

解答 72

解析 全  (ABC相鄰)  (A﹐B﹐C完全分開)  5!  3!  3!  2! P³₃ 120  36  12  72

（種）﹒

34. 甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑戊五人由地下一樓搭電梯前往一﹑二﹑三不同的樓層﹐則每層樓當電梯打開 時﹐都會有人出來的情形有____________種﹒

解答 150

解析 1  3⁵  3  2⁵  3  1⁵  1  0⁵  150﹒

35. 夜市擺有空氣槍射氣球的遊戲﹐如圖﹒遊戲規定：「同一條線下的氣球﹐下方氣球未射破﹐不能 打上方的氣球」﹐則這8個氣球被打破的順序有____________種方式﹒

解答 560

解析 順序固定﹐可當作同色﹐則本題視為aaabbccc之排列數 ^8!

3!2!3!560﹒

36. 5本不同的書﹐分給甲﹑乙﹑丙三人﹐則 (1)每人所得不限﹐則有____________種分法﹒

(2)每人至少一本﹐則有____________種分法﹒

解答 (1)243;(2)150

解析 (1) 3⁵  243﹒(2) 3⁵  3  2⁵  3  1⁵  1  0⁵  150﹒

37. 老師將12枝相同的鉛筆分給五位小朋友﹐其中有兩位各得4枝﹐兩位各得2枝﹐而有一位沒分 到﹐分法有____________種﹒

解答 30

解析 甲乙丙丁戊 4 4 2 2 0 5!

2!2! 30

  ﹒

38. 四對情侶一起去看電影﹒四位女生去洗手間﹐四位男生先入場就座﹒若要求全部入座後八人坐 在同一排（此排恰八個位置）且每對情侶都相鄰而坐﹒請問先入場的四位男生有____________

種就座方法﹒

解答 384

解析 4!  2⁴  384﹒

39. 市場蘋果每個10元﹐買10送1﹐瑩瑩每次拿一個或兩個放入購物車﹐共11個蘋果100元﹐

則在拿的過程瑩瑩有____________種不同拿法﹒

解答 144

解析 設每次1個x次﹐每次2個y次﹐則x  2y  11﹐

y 0 1 2 3 4 5

x 11 9 7 5 3 1

10! 9! 8! 7! 6!

1 9! 2!7! 3!5! 4!3! 5!

      1  10  36  56  35  6  144﹒

40. 設一樓梯共十階﹐今有一人上樓﹐若每步跨一階或二階﹐則﹕

(1)其中第五階一定要走的方法共有____________種﹒

(2)第五階一定要走﹐但第七階毀損不走只能跨越的方法數共有____________種﹒

解答 (1)64;(2)16

解析 設每步一階走x步﹐二階走y步﹐

(1) x + 2y = 5﹐

x 1 3 5 y 2 1 0

∴走到第五階有 ^{3! 4! 5!} 3 4 1 8

2!1!3!1!0!5!    種﹐第六階到第十階亦有8種﹐

因此﹐共有8  8 = 64種走法﹒

(2)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

走到第五階有8種走法﹐第六階1種走法﹐第七﹑八階1種走法﹐第九﹑十階2種走 法﹐∴共有8  1  1  2 = 16種走法﹒

41. 甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑戊﹑己六對夫婦共12人一起跳雙人舞﹐規定同性不得共舞﹐且甲﹑乙﹑丙﹑

丁四人不與自己太太共舞的情形有____________種﹒

解答 362

解析 任意 n (甲或乙或丙或丁)

 1  6!  4  5!  6  4!  4  3!  1  2! 720  480  144  24  2  362﹒

42. 已知^{P8m 6P8m2}﹐則m  ____________﹒

解答 7

解析 P⁸_m6P⁸_m2 ^8! 6 ^8!

(8 m)! (10 m)!

 

 (10  m)!  6  (8  m)!  (10  m)(9  m)  6

 m²  19m  84  0  m  7或12（不合，∵m  8）﹒