高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：108.04.12
範 圍
排列組合(B)
班級 一年____班 姓
座號 名 1. A, B, C等七人排成一列，則：
(1)A在B之前，排法有__________種.
(2)A在B之前，B在C之前，排法有__________種.
(3)A在B, C之前，排法有__________種.
答案： (1)2520 (2)840 (3)1680
解析： (1) A在B之前A、B看成同物(次序已定不用再排) 7! 2520
2!
(2) A在B之前B在C之前A、B，C看成同物(次序已定不用再)排7! 840
3!
(3) A在B, C之前A、B，C看成同物(B、C必須再排) 7! 2! 1680
3! 2. 若P4n 6P2n，則
n
.答案： 5
解析： 4 2 ! !
6 6
( 4)! ( 2)!
n n n n
P P
n n
1 6 1
(n 2)(n 3)
n25n 6 6 n 5, 0(不合) 故n5
3. 正六邊形的6個頂點與中心共7個點，則這7個點中任選3個，可構成_____個三角形.
答案： 32
解析： 37 33
3
3 35 3 32
C C
↓ 三點共線有 組
4. 將甲、乙……等10人分為3人，3人，4人等三組住入A, B, C三室，其中甲、乙兩人需住同 一室，則住法有______種.
答案： 3360
解析： 甲乙住三人一房 + 甲乙住四人一房
18 37 44 3 ! 28 36 331 3 ! 3 3 6 0 C C C C C C 2!
5. 用數字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6組成數字不重複的四位數，其中個位，十位，與百位上的數字和為偶
數，則滿足此條件的四位數共有__________個.
答案： 324
解析： 偶數有0.2.4.6，奇數有1.3.5
(1)個位，十位，百位有3個偶數
3 1 3 4
1 1 2 1
0 0 3
3! C C C 3! C
後三位沒有 千位數 後三位有 偶數 排後 位 千位數
18 72
90
(2)個位，十位，百位有1個偶數，2個奇數
3 3 3 1 3 4
1 2 1 1 2 1
0 0
(C C 3!) C (C C 3!) C
沒有 千位數 有 千位數
3 3 6 3 3 6 4
162 72 234
90 234 324
6. 有6男4女共10名學生擔任本週值日生，導師規定在本週5個上課日中，每天兩名值日生, 且至少須有1名男生，試問本週安排值日生的方式共有 種﹒
答案： 43200
解析： 6男先挑2人一組，此2人周一至五挑一天當值日生；剩餘的4男與4女各排入其餘4天
6 5
2 1 4! 4! 43200
C C （種）
7. 5件不同的物品分給甲、乙、丙、丁4人，甲至少得一個之方法數有 種.
答案： 781
解析： 全(甲不得)4535781（種）
8. 用警報器吹鳴信號，分1秒與2秒兩種，每鳴一次間隔1秒，今有15秒鐘之時間，則可作 種不同的信號．
答案： 37
解析： 設長鳴
x
次，短鳴 y次，則間隔x y 1次∴2x y (x y 1) 153x2y16
x 4 2 0 y 2 5 8
所求 6! 7! 8!4!2! 2!5! 8! 37
種
9. 已知高鐵列車有12節車廂，今欲挑選其中兩節車廂為「自由席」之車廂，且此兩節「自由 席」車廂之間至少需間隔2個車廂，請問有__________種選法.
答案： 45
解析： 如圖取四節車廂，剩下8節車廂，在箭號3個空隙位置選擇，且可重複
3 8 1 10 10
8
8 8
3
2 45
C
H C C
10. 由五對夫妻中任選三人組成委員會，
(1)若規定夫妻不得同時當選，共有_______種選法.
(2)若五對夫妻中恰有一對李姓夫妻，則李先生或李太太至少有一人當選的方法有___種.
答案： (1)80 (2)64
解析： (1)五對夫婦挑出其中的三家，每家再挑先生或太太中一人 C35 23 80
(2)李姓夫妻恰有一人當選(李姓夫妻先選一人，再從其餘8人中選2人)：C C12 2856；
李姓夫妻都當選(李姓夫妻皆選，再從其餘8人中選1人)：C C22 18 8 共64種 11. 老師將12枝相同的鉛筆分給甲，乙，丙，丁，戊與己六位小朋友，其中兩位各分得4枝，兩
位各分得2枝，而有兩位沒分到，則共有 種分法﹒
答案： 90
解析： 6! 90
2!2!2! （種）（即做6張卡片4, 4, 2, 2, 0, 0的排列數）
12. 右圖所示為一個含有斜線的棋盤形街道圖．今某人欲從A取捷徑走到B，則共有 ________ 種走法．
答案： 30
解析： 不規則圖形，則利用累加法故共有30種走法
13. 某電子產品由3個電阻串聯而成，其中有A, B, C, D, E, F 6個焊接 點，如果 某個焊接點脫落，則整個電路便不通，今已知電路不通，則可能脫落的方式有__________種.
答案： 63
解析： 電路不通即A, B, C, D, E, F 6個焊接點，至少一個焊接點脫落 26 1 63
↓ 沒有脫落
14. 某校辯論社由5名男生及5名女生組成. 現從其中選出5人組成代表隊，且男生、女生均至 少要有1人，則組隊方法共有 種.
答案： 250
解析： 任意選，去除掉全部為男生與全部為女生，C105 2 250
15. 棒球比賽每隊的先發守備位置有九個：投手、捕手、一壘手、二壘手、三壘手、游擊手、右外 野、中外野、左外野各一位. 某一棒球隊有 18 位可以先發的球員，由教練團認定可擔任的守 備位置球員數情形如下：
(一)投手4位、捕手2位、一壘手1位、二壘手2位、三壘手2位、游擊手2位；
(二)外野手4位（每一位外野手都可擔任右外野、中外野或左外野的守備）；
(三)另外1位是全隊人氣最旺的明星球員，他可擔任一壘手與右外野的守備.已知開幕戰
的比賽，確定由某位投手先發，而且與此投手最佳搭檔的先發捕手也已確定，並由人氣最
旺的明星球員擔任一壘手守備，其餘六個守備位置就上述可擔任的先發球員隨意安排，則
此場開幕戰共有 種先發守備陣容. （當九個守備位置只要有一個球員不同時，
就視為不同的守備陣容）
答案： 192
解析： 投手、捕手、一壘手守備已確定，其餘六個守備位置：1 1 1 C C C P12 12 12 34 192
16. 由0, 1, 2, 3, 4, 5等6個數字中，任取4個，作數字不重複的四位數，則這些四位數中，不被
5整除的有___________個.
答案： 192
解析： 24
,
4 4 P 16 12 192
個位 千位 百 十位
17. 將6名學生分配住進完全相同的兩間寢室，每室住3人，則共有_______種住法，若將寢室編 號為101室與102室，則共有_______種住法.
答案： (1)10 (2)20
解析： (1)
6 3
3 3 2!
2 2! 10 C C
！ (2)
6 3
3 3
2! 20 2!
C C
18. 14個編號座位排一列，甲、乙、丙、丁四人各選一個位子入座，則相鄰兩人之間至少空兩個
位子的選法有__________種.
答案： 1680
解析： 如圖，先排10個座位，且第1, 4, 7, 10有坐人剩下 4張椅子，可重複的插入5個位置
5 5 4 1 8
4 4 4
4! =4!C 24C 24 70 1680 19. 甲、乙、丙、丁、戊、己6人排成一列，
(1)甲不排首、乙不排第二位、丙不排第三位，有 種排法.
(2)甲、乙、丙3人必須排在一起，有 種排法.
(3)甲、乙、丙3人中任兩人不可相鄰，有 種排法.
(4)甲必須排在乙、丙兩人的左邊（不一定要相鄰），有 種排法.
答案： (1)426(2)144(3)144(4)240
解析： (1)6! 3 5! 3 4! 3! 426（種）
(2)甲乙丙丁戊己 4! 3! 144 （種）
(3)丁.戊.己先排甲、乙、丙再插空隙3!P34 144（種）
(4)6! 2! 240
3! （種）
20. factoring中各字母全取排成一列，則
(1)母音保持a, o, i之順序有______種排法.
(2)子音保持f, c, t, r, n, g之順序有______種排法.
(3)母音保持a, o, i之順序同時子音保持f, c, t, r, n, g之順序有______種排法.
答案： (1)60480 (2)504 (3)84 解析： (1)9!=60480
3! (2)9!=504
6! (3) 9! =84 6!3!
21. 試求滿足下列條件的三位數各有幾個？
(1)個位數字大於十位數字大於百位數字有______個.
(2)百位數字大於十位數字大於個位數字有______個.
答案： (1)84 (2)120
解析： (1)C39(不包括0)(由1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9任取三個) (2)C310(包括0)(由0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9任取三個)
22. 甲、乙、丙、丁、戊、己六人排成一列，則甲、乙不相鄰，丙、丁也不相鄰的排法有____種.
答案： 336
解析： 6!
5! 2! 5! 2! 4! 2! 2!
720 (240 240 96) 336 23. 將9件不同的玩具，依下述條件，分別求其分法個數：(1)平分給甲、乙、丙三人，有______種.
(2)平分成三堆有______種.
(3)分給甲4件，乙3件，丙2件有______種.
(4)按4件，3件，2件分成三堆有______種.
(6)分給甲4件，乙4件，丙1件有______種.
(7)按4件，4件，1件分成三堆有______種.
答案： (1)1680 (2)280 (3)1260 (4)1260 (5)7560 (6)630 (7)315 解析： (1) 39 36 33 3! 1680
3!
C C C
(2)
9 6 3
3 3 3 280
3!
C C C
(3)C C C49 35 22 1 1 1 1260 (4)C C C49 35 22 1260
(5)C C C49 35 22 3! 7560 (6)
9 5 1
4 4 1 2! 1 630
2!
C C C
(7)
9 5 1
4 4 1 315
2!
C C C
24. 渡船三隻，每船可載五人，今有七人要同時通過，且甲必坐A船，有_________種方法.
答案： 714
解析： 剩餘6人，每人有3種選擇，再扣去不安全的有兩種：
(1)剩下6人共乘一船 (2)6人中有5人與甲同船，另一人乘坐另一艘船
36C66P1 3C56 1 P2 27 2 9 3 1 2 7 1 4
25. 有 6 張卡片，分別記以數字1, 2, 2, 3, 3, 3，現在自此 6 張卡片中任取 3 張，再由左而右排成一 個三位數，則能排出 種不同的三位數.
答案： 19
解析： (1)3 張數字皆相異，有3! 6 種
(2)3 張數字 2 同 1 異，有 12 12 3! 12 C C 2! 種 (3)3 張數字皆相同，有 11 3! 1
C 3! 種 所求 6 12 1 19 （種）
26. 設 3 個人分 4 件不同的物品，每個人可以全拿，可以拿一些，也可以都沒拿：
(1)物品一定要分完，請問有 種方法.
(2)物品可以不分完（4 件物品都不分下去也可以），請問有 種方法.
答案： (1)81(2)256
解析： (1)每個物品皆可給 3 人中的任一人 所求34 81（種）
(2)每個物品皆可給 3 人中的任一人或不給 所求44 256種
27. 將編號為1, 2,…, 10的10個球放入編號為1, 2,…, 10的10個盒子內，每個盒子內放入一球，
則恰好有3個球的編號與其所在盒子編號不同的方法有__________種.
答案： 240
解析： C310[C03 3! C13 2! C23 1! C330!] C3102 120 2 240
28. 7男5女選出5個人為委員，至少有2位女委員的選法有 種.
答案： 596
解析： 全(5男0女)(4男1女)C125 C C57 05C C47 15 792 21 175 596 （種）
29. 6 對夫婦選 4 人同坐一車，至少有一對夫婦同車的選法有 種.
答案： 255
解析： 所求任意選完全沒有夫婦同車 124 46 4
4 1
2 255
C C
從其中 對選出 夫或婦其中 人
（種）
30. 已知
n
及k為正整數，且nk，若Ckn1:Ckn:Ckn11: 2 : 3，則n
, k . 答案： 14；5解析： Ckn1:Ckn:Ckn11: 2 : 3 1 1
1 2 3
n n n
k k k
C C C
! !
( 1)!( 1)! 2 !( )!
n n
k n k k n k
!
3 ( 1)!( 1)!
n k n k
因為分子相同，所以分母亦相同
( 1)!( 1)! 2 !( )!
2 !( )! 3 ( 1)!( 1)!
k n k k n k
k n k k n k
1 2 2( ) 3 ( 1)
n k k
n k k
3 1
2 5 3
n k n k
n 14,k5
