109 學年度學科能力測驗模擬試題
數學科
作答注意事項
考試時間：100 分鐘
題型題數：單選題共 5 題
多選題共 7 題
選填題共 8 題
作答方式：選擇題答案請填入後面之作答欄中
◎註：1. 答錯不倒扣
2. 此份試題本為模擬學科能力測驗之測驗形式，
作答方式仍以未來實際之測驗形式為準
版權所有 請勿翻印
第壹部分：選擇題（占 60 分）
一、單選題（占 25 分）
說明：第1題至第5題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請作答於
「選擇 ( 填 ) 題答案區」。各題答對者，得5分；答錯、未作答或作答多於一個選項 者，該題以零分計算。
(3) 1. 若一遞迴關係為an－12－2an2＋an+12＝0，其中a2＝2，a6＝4，則a7為下列哪一個選項？
(1) 2
3 (2) 2
9 (3) 19 (4) 19 (5) 8
(1) 2. 登革熱是一種藉由病媒蚊叮咬而感染的急性傳染病，而臺灣的病媒蚊主要分成兩種，白線
斑蚊與埃及斑蚊。假設兩種病媒蚊在臺灣的比例為2：3，而被叮咬感染後通常會出現三種 情況：
A類：「無警示症狀」，此類大部分都會自行康復。
B類：「有警示症狀」，此類會出現典型登革熱症狀，例如：高燒、頭痛、噁心嘔吐等。
C類：「重症病患」，少數人可能進入危險期並發展成登革熱出血熱或登革休克症候群。
假設被白線斑蚊叮咬後有50%會有A類症狀，40%會為B類，10%為C類；若被埃及斑蚊
叮咬後有50%會有A類症狀，35%為B類，15%為C類。已知有一登革熱病患為B類，則
此人被白線斑蚊叮咬的機率為下列哪一個選項？
(1) 37
16 (2) 37
21 (3) 5
2 (4) 15
8 (5) 15
7
(3) 3. 某公司的銷售部門正在檢討A , B , C , D , E五項產品是否符合市場需求。下列為各產品的
數據，其中x表年齡 ( 1單位＝5歲 )，y表銷售量 ( 萬份 )，
A：
B：
C：
D：
E：
x與y的相關係數愈大，表示該年齡對該產品的銷售量相關程度愈大。請選出相關係數最大的
選項。
(1) A (2) B (3) C (4) D (5) E
(2) 4. 設a＞1，b＞1，c＞1，若4 ( loga c－logb c )＝15 logab c，則loga b為下列哪一個選項？
- 1 -
(1) 1 (2) 4 (3) －4 (4) 4
1 (5) － 4 1
(4) 5. 每到跨年的時候，攝影迷都須提前卡位，才可以佔到一個好位置捕捉
最美的煙火。若有一個三角架收起時，長度為160公分 ( AB＝160 )，
展開時，底面為一邊長為60公分的正三角形，如右圖，則當腳架展開 時，最大高度 (AH) 為下列哪一個選項？
(1) 5 61 (2) 10 61 (3) 15 61 (4) 20 61 (5) 25 61
二、多選題（占 35 分）
說明：第6題至第12題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項 作答於「選擇 ( 填 ) 題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得5分；
答錯1個選項者，得3分；答錯2個選項者，得1分；答錯多於2個選項者或所有選 項均未作答者，該題以零分計算。
(1)(3) 6. 已知算幾不等式為a＞0，b＞0，ab ab
2 ，且等號成立時a＝b，請選出正確的選項。
(1) x＞0，x＋x－12
(2) x＞0，x≠1，log x＋log1x 2 (3) x∈R，則2x＋2－x的最小值為2
(4) x＞0，y＞0，若xy＝16，則xxy y 的最大值為2 (5) x , y∈R，且滿足2x＋y＝2，則9x＋3y的最小值為8
(1)(3) 7. 擲筊是一種道教信仰問卜的儀式，又稱「擲筶」、「擲杯」、「博杯」，普遍流傳於華
人
(4) 民間傳統社會。「筊杯」是一種占卜工具，是世俗之人與神明溝通的工具。「笑筊」為 兩平面的筊；「陰筊」為兩凸面的筊；「聖筊」為一平面、一凸面的筊，如下圖所示：
- 2 -
假設每次擲筊時的機會均等，請選出正確的選項。( log 2 ≈ 0.3010 ) (1) 投擲到「笑筊」的機率為
4 1 (2) 投擲到「聖筊」的機率為
4 1
(3) 若通常抽出特定籤時，需連續三個「聖筊」，則投擲連續三個「聖筊」的機率為 8 1 (4) 承(3)，若擲出一「笑筊」時，可再擲一次，則四次內共有三次「聖筊」的機率為
32 7
(5) 連續60次無「聖筊」的機率為小數點後第18位不為0
(2)(4) 8. f (x) 是實係數n次多項式，g(x) 是實係數二次多項式，且n＞2。已知f (1)＝g (1)＝3，，
f (－1 )＝g (－1 )＝5，f (－2 )＝g (－2 )＝9，請選出正確的選項。
(1) g ( 2 )＝7
(2) 方程式g (x)＝0無實根 (3) g (x) 是f (x) 的因式
(4) ( x－1 ) ( x＋1 ) ( x＋2 ) 是 ( f (x)－g (x) ) 的因式 (5) 方程式f (x)＝0無實根
(1)(3) 9. 已知等差數列an的公差為d，設bn＝a2n＋1，cn＝a3n－2＋a3n－1＋a3n，請選出正確的選項。
(4) (1) bn是等差數列 (2) cn非等差數列 (3) bn的公差為2d
(4) cn的公差為9d (5)以上皆非
- 3 -
(2)(4)10. 如右圖，有兩正六邊形ABCDEF、ABGHIJ，請選出正確的選項。
(5) (1) AH
＝4AJ
＋4AB
(2) AI
＝2AJ
＋AB
(3) 若BG之中點為K，則CJ
⊥FK
(4) CF
在CJ
上之正射影為 ( 7 2 ,7 3
6 )
(5) 四邊形EJGD之面積為
4 3 9
(1)(2)11. 坐標平面上，有一圓以原點O為圓心，半徑為4。今沿摺痕AB內摺，
使其恰切於直線y＝x於原點O，如右圖所示，請選出正確的選項。
(1) 直線y＝x恰好將圓分割成兩半圓
(2) 以新弧作一新圓，其圓心為 (－2 2 , 2 2 )
(3) 新圓的方程式為 ( x＋2 2)2＋( y－2 2)2＝8 (4) AB的長為4 3
(5) AB線段所在的直線方程式為x－y－2 2＝0
(3)(4)12. 在△ABC中，已知B ( 1 , 2 )，L1：4x＋y－23＝0為
BC
上的中線，L2：7x＋6y－53＝0為
(5) AB上的中線，請選出正確的選項。
(1) A ( 11 ,－4 ) (2) C ( 3 , 11 )
(3) △ABC的重心G ( 5 , 3 ) (4) 直線AC的方程式為15x＋8y－133＝0
(5) △ABC的面積為51
第貳部分：選填題（占 40 分）
說明：1. 第A至H題，將答案作答於「選擇(填)題答案區」所標示的列號 (13 ~ 41)。
2. 每題完全答對給5分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A. 若f (x)＝4．((x122)()(1x33))＋7．((2x11)()(2x33))＋m．((3x11)()(3x22)) 為一次函數，且f (4)＝
n，
則m n ＝。
B. 職業棒球選手，經過一場比賽後，常常需要休息多日挑整身體狀況以面對接下來的比賽。
- 4 -
假設某球團為了保護投手，規定每位投手每出賽一場都要休息至少4天，試問某一球員在 一個月 ( 30日 ) 賽季期間，若須出賽四場，並保證兩場比賽中間至少休息4天，則球團有 種賽程的安排。
C. 一線段AB為直徑做一半圓，且半圓上有一點C，使得△ABC面積為5，又D , E在
CB , AC邊上有一點，且AE：EC＝2：5，BD：DC＝3：4，試求DE 之最小值為。
D. 如右圖，在一邊長為4的正方形ABCD中，E是BC邊上一點，
且以A為圓心，AB為半徑的圓弧，與以E為圓心，EC為半徑 的半圓外切，則tan (∠EAF )＝。
E. 若A＝
1
5 －
b
a ，B＝
2 4
1
3 ，且滿足 ( A＋B )n＝C0nAn＋C１nAn－1B＋C2nAn－2B2＋…＋
CnnBn
( n2 )，求a－b＝。
F. 如右圖，設一正立方體四頂點為 (－1 , 2 , 0 )，( 1 , 2 , 0 )，
(－1 , 4, 0 )，(－1 , 2 , 2 )，且一平面均通過此正立方體各邊 中點，試求此平面方程式為。
( 以最簡方程式表示 )
G. 如右圖，ABCD為圓內接四邊形，若∠ACD＝3∠BCA，AD＝2AB， 且AC＝6，CD＝8，則BC＝。
H. 在坐標平面上，已知F1 , F2為雙曲線Γ：x2－y2＝16的兩焦點。若通過F1作鉛直線L1，則L1
與兩漸近線所圍成的面積為。
- 5 -
※請同學們撕下此張作答聯作答
109 學年度學科能力測驗模擬試題 數學科
1. (2) 2. (5) 3. (5) 4. (4) 5. (3) 6. (1)(2) (3)(4)
(5) 7. (1)(2)
(3)(5) 8. (1)(2)
(5) 9. (1)(2) (3)(4)
(5) 10. (1)(2) (3)(4) 11. (2)(3)
(4)(5) 12. ± 13. 3 14. 9 15. 9 16. 0 17. 5 18. 9 19. － 20. 5
21. 5 22. 2 23. 8 24. 5 25. 26. 27. 28. 29. 30. 7
31. 32. 33. 34.
得 分
- 6 -
年 班 號 姓名
裁 切 線
- 1 -
