106.06.16 範圍4-2 橢圓(C) 4-3 - 明誠

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：106.06.16 範

圍

4-2橢 圓(C) 4-3雙曲線(A)

班級 二年____班 姓 座號 名

一、填充題(每題10分)

1. 一橢圓的二焦點為( 3 , 0), ( 3, 0), 且過(2, －1), 則此橢圓的方程式為 . 解答

2 2

6 3 1 x  y  .

解析 中心( ^{3 3} 2

 , 0) = (0, 0),

2a = (2 3)² ( 1)²  (2 3)² ( 1)² 2 6 a = 6 , 2c = 3 ( 3)2 3 c = 3 ,

b² = a²－c² = 6－3 = 3, 故橢圓方程式為

2 2

6 3

x y

 = 1.

2. 若橢圓Γ過點(3, 2), 且與 ^{2 2} 1

9 4

x  y  共焦點, 則Γ的方程式為 . 解答

2 2

15 10 1 x  y 

解析 設Γ為 x²₂ y²₂ 1 a b  ,

∵過(3, 2), ∴ ⁹₂ ⁴₂ 1

a b  ……➀ 又a²－b² = c² = 9－4 = 5……➁

解➀➁得a² = 15, b² = 10, 或a² = 3, b² = -2（不合）,∴ Γ： ^{2 2} 1 15 10

x  y 

3. 在坐標平面上, 到直線L：x + 1 = 0之距離是到點F(1, 0)之距離的兩倍的所有點所形成的圖形是 一個橢圓, 其中F(1, 0)為此橢圓的一焦點, 則

(1)此橢圓的方程式為 . (2)此橢圓的另一個焦點 . 解答 (1)3x²－10x + 4y² + 3 = 0.或

2 2

( 5) 3

16 12

9 9

x y

 (2)( , 0)⁷

3 .

解析 (1)設P(x, y)為橢圓上的動點, 依題意d(P, L) = 2PF

| 1| ^{2 2}

2 ( 1) 1

x  x y  (x+1)² = 4(x²－2x + 1 + y²)  3x²－10x + 4y² + 3 = 0.

(2)由(1)得3x²－10x + 4y² + 3 = 0

 3(x²－^{10 25}

3 x 9 ) + 4y² =－3 +^{25 16} 3  3 

2 2

( 5) 3

16 12

9 9

x y

 = 1,

則a² =¹⁶

9 , b² =¹²

9 , c² = a²－b² =⁴

9  c =²

3, 即焦點(^{5 2}

33, 0)  (⁷

3, 0)或(1, 0), 4. 設在一橢圓

2 2

( 1) ( 2)

5 9

x  y = 1上, 以兩正焦弦四端點為頂點所形成的矩形之面積為 .

解答 40 3 .

解析 a² = 9, b² = 5, 則

2 2

3

2 a

c a b

 

   

 , 正焦弦長=

2 2 10 3 b

a  , 故此矩形面積¹⁰

3 × (2c) =⁴⁰ 3 .

5. 設P為橢圓

2 2

( 5) ( 3)

80 144 1

   

x y

上一點, 但不是短軸的頂點, 若F F₁, ₂為此橢圓的兩焦點, 且 PF F1 2

△ 為一等腰三角形, 則cosF PF_{1 2}之值為 . 解答 1

4

解析 ∵a = 12, c = 144 80 = 8,

∴PF₁PF₂= 2a = 24,F F_{1 2}= 16,

已知ᇞPF1F2為等腰三角形, 但點P不在短軸上, 取PF₁F F_{1 2}= 16,PF₂= 8,由餘弦定理知cos∠F1PF2 =

2 2 2

16 8 16 1

2 16 8 4

  

  .

6. 已知一橢圓的中心在焦點F''(-1, 1)的右方, 一長軸頂點為A(8, 1), 且短軸長為6, 則此橢圓的方 程式為 .

解答

2 2

( 3) ( 1)

25 9 1

x  y 

解析 ∵2b = 6, 則b = 3, 又b² = a²c², 亦即a²c² = 9, 依題意, 如圖, 得a + c = 8(1) = 9,

則a²c² = (a + c)(ac) = 9, ∴ ac = 1, 故a = 5, c = 4,則中心為(1 + 4, 1) = (3, 1),

∴^{( 3)2 ( 1)2} 1

25 9

x  y  為所求.

7. 若已知方程式x² + 4y² + 2x + 4y + k = 0的圖形為橢圓, 則k的範圍為 . 解答 k < 2.

解析 配方得x² + 2x + 1 + 4y² + 4y + 1 =－k + 1 + 1  (x + 1)² + 4(y +¹

2)² =－k + 2, 又圖形為橢圓, 所以－k + 2 > 0  k < 2.

8. 在坐標平面上有一橢圓, 它的長軸落在x軸上, 短軸落在y軸上, 長軸與短軸 的長度分別為6, 4. 如附圖所示通過橢圓的中心O且與x軸夾角為45度的直 線在第一象限交橢圓於P, 則P與中心O的距離為 .

解答 6 13 26.

解析 ∠POX = 45°, 故P點坐標可設成( t, t ), t > 0, 又P在

2 2

9 4

x y

 = 1上, 則

2 2

9 4

t t = 1, t > 0, 解得t = 36

13 , 故 36 6

2 26

13 13

OP   .

9. 設一圓C同時與兩圓C₁：(x + 2)² + y² = 4, C₂：(x－2)² + y² = 64相切, 則圓C的圓心軌跡方程式 為 .

解答

2 2 2 2

1 1

25x  21y  或x9  y5  .

解析 設圓C的圓心為P(x, y), 且半徑為r,

(1)若圓C與圓C1外切, 則PC₁= 2 + r……① 且圓C與圓C2內切, 則PC₂= 8－r……② ①+②得PC₁PC₂= 10,

則P的軌跡是以C1(－2, 0), C2(2, 0)為焦點之橢圓, a = 5, c = 2, b = 5²2²  21, 故其方程式為

2 2

25 21

x  y = 1.

(2)若圓C與圓C1內切, 則PC₁= r－2……③ 且圓C與圓C2內切, 則PC₂= 8－r……④

③+④得PC₁PC₂= 6, 則P的軌跡是以C1(－2, 0), C2(2, 0)為焦點之橢圓, a = 3, c = 2, b = 3²2²  5, 故其方程式為

2 2

9 5

x  y = 1.

10. 已知橢圓的一焦點為(3,4), 一長軸頂點為(3, 4), 短軸長為8, 則此橢圓方程式為 . 解答

2 2

( 3) ( 1)

16 25 1

   

x y

解析 由圖可知, VF a c  8, ∵a²b²c^, 又短軸長  8 b 4, 由

2 2

16 8

  



  

a c

a c

5 3

 

   a

c 得中心(3,1),

∴橢圓方程式為

2 2

( 3) ( 1)

16 25 1

   

x y

.

11.如圖所示, 線段AB的長度為3, 且AC CB: = 2：1. 若保持A點在y軸上下移動, B

點在x軸左右移動時, 則C點所經過的軌跡會形成一圖形. 則此圖形的方程式為 ________ .

解答 ^{2 2} 1

4 1

x  y 

解析

如圖所示, 設A(0, a), B(b, 0), C(x, y),

∵ ²

1 AC

CB  , 由分點公式得

2 3 3 x b

y a

 

 



 ³2 3

b x

a y

 

 



……①

∵AB3, 則a² + b² = 9……^②

①代入^②得(3 )² (³ )² 9

y  2x  ^{9 2} 9 ² 9

4x  y   ^{2 2} 1

4 1

x y

  為所求.

12. 若兩橢圓

2 2

2 1

1 4

x y

k  k 

  ,

2 2

77 50 1 x y

  共焦點, 則k= . 解答 6

解析

設：

2 2

77 50 1

x  y  ,  '：

2 2

2 1

1 4

x y

k  k 

  , 兩橢圓共焦點,

則^{c2 7750}



^{k2 1}

 ^

^4k

^

^{ k2 k 300}

^

^k5

^

^k6

^

^{0k5或k 6﹐}

又4  k > 0, 故k = 6.

13. 如圖, 圓O的半徑為6, F的坐標為(4, 0), Q在圓O上, P為FQ的中垂線與OQ的交點,當Q在圓 O上移動時, 動點P的軌跡方程式為 .

解答

2 2

( 2)

9 5 1

x y

 

解析 OQ OP PQ OP PF    ,則PO PF OQ   6 OF 4, P的軌跡為以O, F為兩焦點的橢圓,則a =3, c =2, b²a²c²5, 中心為(2, 0),故方程式為

2 2

( 2)

9 5 1

x y

  .

14. 若方程式 (x2)²(y3)²  (x4)²(y5)² k表一橢圓, 則

(1)k的範圍為 . (2)長軸所在的直線方程式為 . (3)中心座標為______________. (4)二焦點座標____________.

解答 k>10、4x+3y+10、

解析 (1) (x2)²(y3)²  (x4)²(y5)² k表一橢圓,

即兩焦點F1(2, 3), F2(4, 5), 2c 6² ( 8)² 10, 故k >10.

(2)長軸所在之直線必經過F1及F2,即 : 3 ⁴( 2)

L y 3 x , 4x+3y+10.

15. 設一雙曲線方程式其中心在原點﹐一焦點在

 

^{5, 0 ﹐一漸近線為 3}

y4x﹐則方程式為___________﹒ 解答

2 2

16 9 1 x y

 

解析 由題意知﹐左右型且由漸近線斜率3 4=

b

a 設b3k﹐a4k

c²a²b²^{52 }

   

^{3k 2 4k 2k21a4﹐b3﹐∴所求為 2 2 1}

16 9

x y

  ﹒ 16. 若一等軸雙曲線的中心為



^{1, 2}



^{且一焦點為}



^1,5



﹐則此雙曲線方程式為____________﹒

解答



¹

 

^{2 2}



²

9 9 1

2 2

x y

  

解析 ∵中心



1, 2



﹐焦點



1,5



﹐∴c3﹐上下型﹐

等軸a b  c²a²b²92a²﹐∴ ^{2 2 9}

a b 2﹐方程式為



¹

 

^{2 2}



²

9 9 1

2 2

x y

   ﹒

17. xy平面上三點A﹑B﹑C﹐已知^A

 

^{0,5 ﹐B}



^{0, 5}



^﹐AC^{3 10}﹐BC 10﹐則以A﹑B為兩焦 點且通過C點的雙曲線方程式為____________﹒

解答

2 2

10 15 1 y x

 

解析 由題意知﹐2a AC BC 2 10 a 10﹐2c10c5﹐

中心

 

^{0, 0 b 52}

 

^{10 2  15}﹐∴上下型雙曲線方程式為

2 2

10 15 1 y x

  ﹒

18. 已知雙曲線的兩焦點分別為F1

 

8, 2 ﹐F2



2, 2



﹐其一漸近線的斜率為³

4﹐則此雙曲線的共軛雙 曲線方程式為__________________﹒

解答



³

 

^{2 2}



²

16 9 1

x y

  

解析 由題意知﹐中心

 

^{3, 2} ﹐左右型﹐由漸近線斜率3 4=

b

a 設a4k﹐b3k



   

^{4k 2 3k 252k 1 原雙曲線方程式為}



³

 

^{2 2}



²

16 9 1

x y

  ﹐

故共軛方程式為



³

 

^{2 2}



²

16 9 1

x y

   ﹒

19. 設雙曲線的兩漸近線為2x y  4 0﹐2x y 0並過



1, 4



﹐則此雙曲線方程式為____________﹒ 解答



^{2x y 4 2}



^{x y}



^{ 4}

解析 設雙曲線方程式為



^{2x y 4 2}



^{x y}



^k﹐過



^{1, 4}



^

 

^{    2 2 4 k﹐}

∴雙曲線﹕



^{2x y 4 2}



^{x y}



^{ 4﹐整理得4x2}^y2^8x^4y ^{4 0}﹒

20. 已知等軸雙曲線 的中心在



1, 4



﹐一漸近線為3x y 1且 過點



2,3



﹐則 的方程式為____

解答



^{3x y 1}



^x3y13



^{ 8}

解析 等軸雙曲線漸近線互相垂直﹐

設另一漸近線為x3y t 0﹐



1, 4



代入得t13﹐則漸近線為x3y130﹐

設 : 3



x y 1



x3y13



k﹐又過



2,3



k    



6 3 1



  2 9 13



 8﹐

∴所求為



3x y 1



x3y13



 8﹒ 21. 設雙曲線



³

 

^{2 2}



²

16 9 1

x y

   ﹐則

(1)正焦弦長為____________﹒ (2)漸近線方程式為____________﹒

(3)共軛雙曲線的焦點坐標為____________﹒

解答 (1)³²

3 ;(2)3x4y 1 0或3x4y170;(3)



^{ 2, 2}



^或



^{8, 2}



解析 (1)a²9a3﹐b²16b4﹐

又c² a²b²  9 1625c5﹐∴正焦弦長為

2 2 2 16 3 b a

   32 3 ﹒ (2)當



²

 

^{2 3}



²

9 16 0

y x

  ⁹



^x3



^216



^y2



^20_³



^{x   3}



_² _⁴



^{y  2}



_^{2 0}

^_³



^{x 3}

 

^{4 y  2}

 

_{ }^{3 x 3}

 

^{4 y  2}



_ ^{0 }



^{3x4y1 3}



^x4y17



^0﹐

∴漸近線﹕3x4y 1 0或3x4y170﹒

(3)共軛雙曲線方程式為



³

 

^{2 2}



²

16 9 1

x y

  ﹐

中心



3, 2



﹐c5且為左右型﹐∴焦點



3 5, 2 







 2, 2



或



8, 2



﹒

22. 平面上雙曲線



¹

 

^{2 2}



²

25 144 1 x y

  與橢圓

  

²



²

2

1 2

1 2 1

x y

k k

 

 

 共焦點﹐則k____________﹒

解答 14

解析 ∵雙曲線和橢圓共焦點﹐且為左右型﹐

∴^{c2 25 144 }



^{k2 1}

 ^{ }

^{2k k22k1680}

^

^k14

^

^k12

^

^{0k14或k 12﹐}

又k² 1 0﹐2k 0 k0﹐∴k14﹒

23. 已知F₁﹑F₂是雙曲線

2 2

9 4 1

x  y  的焦點﹐AB是經過右焦點F₁的一弦﹐而且A﹑B都在此雙曲線 的右支上﹐若ᇞABF₂的周長為30﹐則弦長AB____________﹒

解答 9 解析

如圖且依定義可知﹐AF₂AF₁BF₂BF₁2a6﹐

ᇞABF₂周長為AF₂BF₂AB30



^6AF1

 

^{ 6 BF1}



^AB30

2AB18﹐∴AB9﹒∴方程式為

2 2

17 4 1

x  y  ﹒

24. 以y2x﹐y 2x為漸近線﹐且焦點是

 

4, 0 的雙曲線方程式標準式為____________﹒

解答 ^{2 2} 1 16 64

5 5

x y

 

解析 左右型﹐中心

 

^{0, 0 ﹐c4﹐}b 2

a b2a﹐ 又c²a²b²16a²4a²5a²﹐

∴ ^{2 16}

a  5 ﹐ ² 4 ² 4 16 64

5 5

b  a    ﹐方程式為 ^{2 2} 1 16 64

5 5

x y

  ﹒

25. 設

2 2

2 1

4 1

x y

t t 

  的圖形表一雙曲線﹐則t的範圍為____________﹒

解答 t 2或  1 t 2 解析



^4t2

 ^

^{t 1}

^

^{0 }



^t24

 ^

^{t 1}

^

^{0 }

^

^t2

^

^t2

^

^{t 1}

^

^{0﹐∴t 2或  1 t 2﹒}

26. 設k為實數﹐若方程式 ²



¹



²

10 5 1 x y

k k

  

  為雙曲線﹐則此雙曲線的焦點坐標為____________﹒

解答



^{5, 1}



^或



^{ 5, 1}



解析 (1)中心



0, 1



且為左右型﹐又c² 



10k

 

 k5



5c 5﹐焦點



^{5, 1}



^或



^{ 5, 1}



^﹒

(2)上下型﹐c² 



5k

 

 k10



 5（不合）﹒

27.

2 2

: 1

25 16

x y

k k

  

  ﹐若 表雙曲線﹐則k的範圍為____________﹒

解答 16 k 25;

解析



^k25



^k16



^016 k 25﹒

28. 已知兩圓C x₁: ²y²16﹐C2:



x10



²y² 4﹐若動圓C與C₁﹑C₂均相切﹐則此動圓C的圓心 軌跡方程式為____________﹒

解答



⁵



^{2 2}

1 24 1

x y

  ﹐



⁵



^{2 2}

9 16 1

x y

  解析 設動圓C的圓心O

均外切 均內切

1

2

4 2 OO r OO r

  



     ¹

2

4 2 OO r OO r

  



    

∵OO₁OO₂  2 O O_{1 2}﹐ 

∴O點軌跡為雙曲線以O₁﹐O₂為焦點

中心

 

^{5, 0 ﹐a1﹐c2a2b2b225 1 24﹐ 故方程式為}



⁵



^{2 2}

1 24 1

x y

  ﹒

C₁:內切﹐C₂:外切 C₁:外切﹐C₂:內切

1

2

4 2 OO r OO r

  



   ¹

2

4 2 OO r OO r

  



  

∵OO₁OO₂  6 O O_{1 2}﹐∴O點軌跡為雙曲線﹐以O₁﹐O₂為焦點

中心

 

^{5, 0 ﹐a3﹐b2 25 9 16  ﹐ 故方程式為}



⁵



^{2 2}

9 16 1

x y

  ﹒

29. 有一雙曲線A的貫軸方程式是y 4 0﹐且點



4, 4



是一個焦點；若直線2x y  8 0是A的一 條漸近線﹐則A的方程式為____________﹒

解答



⁶

 

^{2 4}



²

20 80 1

x y

 

解析

貫軸y 4 0與漸近線2x y  8 0的交點為中心



 6 , 4



c10﹐ b 2

m_漸  a ﹐∴設a k ﹐b2k﹐ 

又c² a²b²100k²4k²k² 20﹐∴a² 20﹐b²80﹐  故雙曲線方程式為



⁶

 

^{2 4}



²

20 80 1

x y

  ﹒ 

 

30. 雙曲線x²2x4y²8y 1 0上一點 1 5,¹ 2

  

 

 到兩漸近線的距離乘積為____________﹒

解答 ⁴ 5

解析 x²2x4y²8y 1 0 



¹

  

^{2 1 2 1}

4

x y

   

a1﹐b2﹐c 5﹐∴所求為

2 2

2 2

4 5 a b a b 

 ﹒

31. 若雙曲線

2 2

1: 2 1

9 x y

 a   上一點P到此雙曲線兩漸近線的距離乘積為³⁶

13﹐今有一橢圓₂與雙曲 線₁共焦點且短軸長為4﹐則橢圓₂方程式的標準式為____________﹒

解答

2 2

17 4 1 x  y 

解析 雙曲線₁中

2 2

2 2

36 13 a b

a b 

  ₂² 9 36 9 13 a

a

 

 ﹐∴a² 4﹐

∵橢圓與雙曲線共焦點﹐∴方向相同左右型﹐

雙曲線中

2 2 2

2 2

13 4 9 13

c a b

a b

   



   

 ﹐橢圓中

2 2 2

4 13 17 2

a b c

b

     

 

 ，

∴方程式為

2 2

17 4 1

x  y  ﹒