106.09.22 範圍1-1 銳角的三角函數班級二年____班姓 - 明誠

高雄市明誠中學  高二數學平時測驗        日期：106.09.22  範 

圍  1‐1 銳角的三角函數  班級  二年____班 姓 名

  座號   

一、填充題(每題 10 分)

1.

求tan²30  sin45  cos45  cos²60  ____________﹒

 

  解答   13 12 

 

     解析     原式 1 ² 2 2 1 ² 1 1 1 13

( ) ( )

2 2 2 3 2 4 12

3

        ﹒

 

2.

求2sin30  cos60  3tan60  tan30  2sin45  ____________﹒

 

  解答   5 2 

 

     解析     原式 1 1 1 2 5

2 3 3 2

2 2 3 2 2

         ﹒

  3.

1  sin²45  tan30  cos30  ____________﹒

 

  解答  1

 

     解析     原式 2 ² 1 3

1 ( ) 1

2 3 2

     ﹒

 

4.

等腰直角△ABC中﹐在直線BC上取一點D使CDCA﹐求tan22.5  ____________﹒ 

 

  解答 2 1

 

     解析     如圖﹐△ACD為等腰△ 

 

∠ADC  22.5 

2 2 2 2

1 (1 2) 4 2 2

AD AB BD      ∴ AD 42 2 

tan 22.5 1 2 1

2 1 AB

BD

    

 ﹒

 

5.

tan²30  sin45  cos45  sin²60  ____________﹒

 

  解答   1 12 

 

     解析     原式 1 ² 2 2 3 ² 1 1 3 4 6 9 1

( ) ( )

2 2 2 3 2 4 12 12

3

           ﹒

 

6.

設∠A  15﹐求sin²2A  cos²3A  tan²4A  ____________﹒

 

  解答   15 4  

 

     解析      ^{2 2 2 2 2 2} 1 ² 2 ^{2 2}

sin 2 cos 3 tan 4 sin 30 cos 45 tan 60 ( ) ( ) ( 3)

2 2

A A A         1 1 15

4 2 3 4

    ﹒

  7.

log₂sin30  log₃tan30  ____________﹒

 

  解答   3

2 

 

     解析      _{2 3 2} 1 ₃ 1 1 3

log sin 30 log tan 30 log log 1 ( )

2 3 2 2

           ﹒

 

8. 

 為銳角﹐若 4

tan



3﹐求cos 



  sin 



  tan 



  ____________﹒

 

  解答   5 3 

 

     解析     ∵ 4

tan



3﹐如下圖 

 

sin 4



5﹐ 3

cos



5，則 3 4 4 9 16 25 5

cos sin tan

5 5 3 15 15 3











    ^   ﹒

  9.

如下圖﹐坐標平面上一點P (2 , 3)﹐且PQx軸於Q點﹐分別求

 

(1)sin∠POQ  ____________﹒ (2)cos∠POQ  ____________﹒ (3)tan∠POQ  ____________﹒ 

 

  解答  (1)3 13

13 ;(2)2 13 13 ;(3)3

2

 

     解析      OP² OQ²PQ²2²3²13，OP 13 

(1) 3 3 13

sin 13 13

POQ PQ OP

    ﹒ 

(2) 2 2 13

cos 13 13

POQ OQ OP

    ﹒ 

(3) 3

tan 2

POQ PQ

 OQ ﹒ 

 

10.

如下圖﹐已知AC為半圓的直徑﹐B為半圓上一點﹐AB12﹐BC5﹐則cosA  ____________﹒ 

 

  解答   12

13 

 

     解析     半圓內的圓周角為直角∠B  90 

2 2

12 5 13

AC    ， 12

cos 13

A AB

 AC  ﹒

 

11.

下圖為單位圓﹐AT ﹐BS均與圓相切﹐PQ垂直x軸﹐PR垂直y軸﹐∠AOP  



 ﹐若 4

BS3﹐求矩形 OQPR的周長為____________﹒ 

 

  解答   14

5  

 

     解析      4 1

3 tan BS ^{ }



 

∴ 1 3

tan 4 4

3



  ﹐ 3

sin



5﹐ 4 cos



5 

cos

OQRP



﹐PQORsin



 ∴ 矩形OQPR周長 14 2(sin cos )

 

5

   ﹒

 

12.

如圖△ABC中﹐ADBC﹐已知AB25﹐ 3

sinB5﹐ 15

sinC17﹐求BC____________﹒ 

 

  解答  28

 

     解析     △ABD中﹐cos BD

B AB  

 4

cos 25 20

BDAB B  5  ADABsinB15ACsinC 

∴ AC17 ，DCACcosC8 

13.

設 



 為銳角且滿足方程式2cos²



  3cos



  2﹐求sin tan 4







____________﹒

 

  解答   4 3 2

  

 

     解析     ∵ 2cos²



  3cos



  2 0 

 (2cos



  1)(cos



  2)  0  1

cos



2或cos



   2（不合） 

∴



  60     故 3 4 3

sin tan sin 60 tan15 ( ) (2 3)

4 2 2







        ^ ﹒

 

14.

直角△ABC中﹐∠C為直角﹐ABc﹐BCa﹐CAb﹐∠A  



 ﹐若滿足a  c  5b﹐求tan



  ____________﹒ 

 

  解答   12

5  

 

     解析     

2 2 2

5 a c b a b c

  

  









  由c  5b  a代入   

a²  b²  (5b  a)²  a²  b²  25b²  a²  10ab 

24b²  10ab  24b  10a  12

5 a

b     ∴ 12

tan 5

a



 b ﹒

  15.

直角△ABC中﹐∠C  90﹐若BC20﹐ 4

sinA5﹐則△ABC的周長為____________﹒

 

  解答  60

 

     解析     如圖﹐ 4

sinA5  AB：BC：CA5：4：3 

 

令AB5t﹐BC4t﹐CA3t，BC204t  t  5﹐所以周長  12t  60﹒

 

16.

如圖﹐0  



  90﹐AB為單位圓（半徑為1的圓）的切線段﹒請以sin 



 ﹐cos 



 ﹐tan 



 表示下列線段 長﹕(1)AB____________﹒(2)CD____________﹒(3)OC____________﹒ 

 

  解答  (1)tan 



 ;(2)sin 



 ;(3)cos 



 

 

     解析     (1)∵ AB tan

OA



 ABtan



﹒  (2)∵ CD sin

OD



 CDsin



﹒  (3)∵ OC cos

OD



 OCcos



﹒

 

17.

如圖△ACD﹐已知∠C  90﹐∠ABC  30且ABBD﹒  試問﹕ 

(1)若∠ADC  



 ﹐則 



  ____________﹒ 

(2)承(1)﹐試求sin 



  ____________﹐cos 



  ____________﹐tan 



  ____________﹒ 

 

  解答  (1)15;(2) 6 2

4

  6 2

4

 2 3

 

     解析     (1)∵ ABBD  ∠DAB  ∠ADB 

且∠DAB  ∠ADB  ∠ABC  30 

∠DAB  ∠ADB  15  ∠ADC﹒ 

(2)由於∠ABC  30﹐直角△ABC﹐設AC1﹐BC 3﹐AB2  BD2  且AD AC²DC²  1 (2  3)²  84 3 82 12  6 2 

sin 



  1 6 2 6 2 4

 

 ﹐cos 



  2 3 (2 3)( 6 2) 6 2

4 4

6 2

     

 ﹐ 

tan 



  1

2 3

2 3  

 ﹒

 

18.

如下圖﹐直角△ABC﹐∠A  90﹐若∠ADB  



 ﹐BCCD﹐且 1

tan



2﹐求tan2



  ____________﹒ 

  解答   4 3 

 

     解析     設tan 2

1



 x﹐則可令ABx﹐CA1  BC 1x² ∴ CD 1x²  

2

tan 1

1 1 2

AB x

AD x



  

   

 2x 1 1x²  (2x  1)²  1  x²  3x²  4x  0  4

x3或0（不合）﹒

  19.

在空格內填入適當的數字﹕ 

(1)cos15  cos(90  ____________)  sin(____________)﹒ 

(2)sin37  cos(____________)﹒

 

  解答  (1)7575;(2)53

 

     解析     (1)cos15  cos(90  75)  sin75﹒ 

(2)sin37  sin(90  53)  cos53﹒

 

20.

求(sin43  sin47)²  (cos43  cos47)²  ____________﹒

 

  解答  2

 

     解析     原式  sin²43  2sin43  sin47  sin²47  cos²43  2cos43  cos47  cos²47 

 (sin²43  cos²43)  (sin²47  cos²47)  2sin43  sin47  2sin47  sin43  2﹒

 

21.

求cos²10  cos²20  cos²30  cos²40  cos²50  cos²60  cos²70  cos²80  ____________﹒

 

  解答  4

 

     解析     原式  cos²10  cos²20  cos²30  cos²40  sin²40  sin²30  sin²20  sin²10 

 (cos²10  sin²10)  (cos²20  sin²20)  (cos²30  sin²30)  (cos²40  sin²40)   1  1  1  1  4﹒

 

22.

已知45  



  90﹐且 1 sin cos







4﹐求下列各式之值﹕ 

(1)sin 



  cos 



  ____________﹒(2)sin 



  cos 



  ____________﹒

 

  解答  (1) 6

2 ;(2) 2 2

 

     解析     (1)利用(sin 



  cos 



 )²  sin² 



  cos² 



  2sin 



  cos 



  1  2 1 3 42 

∴ 3 6

sin cos

2 2







    （取正）﹒ 

(2)利用 ^{2 2 2} 1 1

(sin cos ) sin cos 2sin cos 1 2 4 2























     

∴ 2

sin cos







  2 ， 

∵45  



  90  sin 



  cos 



      ∴ 2 sin cos







 2 ﹒

 

23.

已知cos 



  tan 



 ﹐求 1 1

1 sin



^1 sin



^____________﹒

 

  解答  1 5 

 

     解析     cos



  tan



   

cos sin cos

 





 cos²



  sin



 1  sin²



  sin



 sin²



  sin



  1  0 

  1 5

sin



^{ }2 （取正） 

2 2

1 1 1 sin 1 sin 2 2 2 4

1 sin 1 sin 1 sin cos sin 1 5 1 5

2

 

    

  

     

        

      4 1 5 4( 1 5)

1 5

1 5 1 5 1 5

   

    

     ﹒

 

24.

若 3

sin



5﹐求cos(90 ) sin(90 )





  

  ____________﹒

 

  解答   3 4 

 

     解析     原式 sin 3

cos tan 4

 





  ﹒

  25.

若tan 



 ﹐ 1

tan



^{為方程式x2}  4x  1  0之二根﹐求sin 



  cos 



  ____________﹒

 

  解答   1 4 

 

     解析     由根與係數關係得 

tan 1 4



tan





  tan 



  cot 



  4  1

sin



cos



^4  1 sin cos







4﹒