家齊高中 / 黃峻棋 老師
數學 考科
ZX
2
指考 107 107 試 題 分 析 試 題 分 析
ZX
家齊高中 / 黃峻棋 老師
數 學 甲
前 言 一
最近四年指考數學甲五標的比較表如下：
103指考數學甲五標 104指考數學甲五標
頂標 前標 均標 後標 底標 頂標 前標 均標 後標 底標
68 59 45 30 19 67 56 40 25 16
105指考數學甲五標 106指考數學甲五標
頂標 前標 均標 後標 底標 頂標 前標 均標 後標 底標
75 65 47 27 15 71 60 43 26 15
試題的難易度難免讓五標分數來回擺盪，如果從最近四年的分數來看，105、106 年算是較理想的試題。
指考試題的難易度，我把它分成三類：
1 中等偏易的題型：
1 以103指考為例：單選1、2，選填A、B。 2 以104指考為例：單選1、2，選填C，計算一。
3 以105指考為例：單選1、4，選填C。
4 以106指考為例：單選1、2、4，選填A、B、C、D。 2 中等的題型：
1 以103指考為例：單選3、4，多選6、9，計算一。
2 以104指考為例：單選3、4，多選5、6、7、8，選填A。
3 以105指考為例：單選2、3，多選5、6，選填A、B，計算一。
4 以106指考為例：單選3，多選6、7。 3 中等偏難的題型：
1 以103指考為例：多選5、7、8，計算二。
2 以104指考為例：選填B，計算二。
3 以105指考為例：多選7，選填D，計算二。
4 以106指考為例：多選5，計算一、二。
個人認為一份最好的數甲試題，如果五標的分布是（75，65，50，35，25），這 樣應該最能區分出學生程度的好壞。對學生而言，只要能掌握中等或中等偏易的所有 題目，數甲這科就立於不敗之地了。
數 學 甲
數甲考試重點 二
1數與式
2多項式函數
3指數與對數函數
4機 率
（
打★者是 104 指考考過的重點）
打★者是 105 指考考過的重點 打★者是 106 指考考過的重點
指考 107 107 試 題 分 析 試 題 分 析
4
5三 角
6直線與圓
7平面向量
數 學 甲
8空間向量
9空間中的平面與直線
0矩 陣
q機率統計
6
w三角函數
e極限與函數
r多項式函數的微積分
數 學 甲
107 大學指考數學甲試題分布 三
題號 題型 命題出處 考試重點（測驗目標） 難易度 1 單選 第四冊第三章 矩陣 矩陣的乘法 中偏易 2 單選 第三冊第三章 平面向量 向量的線性組合 中
3 單選 第二冊第三章 機率 貝氏定理 中
4 多選
選修數學甲（下）第二章 多項式函數的微積分
第二冊第一章 數列與級數
定積分的意義、級數的 和（或利用上和、下和 概念）
中偏難
5 多選 第一冊第三章 指數與對數函數 第三冊第二章 直線與圓
對數函數的圖形、直線
方程式 中
6 多選 第四冊第一章 空間向量 向量的外積及應用 中偏難 7 多選 選修數學甲（上）第二章
三角函數 複數的幾何意涵 中偏難
8 多選 選修數學甲（下）第一章
極限與函數 函數的極限值 中
A 選填 第三冊第二章 直線與圓 圓的方程式 中偏易 B 選填 選修數學甲（上）第一章
機率統計 重複試驗、期望值 中
C 選填 第三冊第一章 三角 正弦定理、餘弦定理、
三角形的邊角關係 中偏易
一 計算 證明
第四冊第一章 空間向量 第四冊第二章
空間中的平面與直線
空間坐標系、空間平面
方程式 中
二 計算 證明
選修數學甲（下）第二章 多項式函數的微積分
多項式函數的圖形與極
值、方程式的根 中偏難
8
試題分析說明 四
整份試題符合數甲的特性，中間偏難，而且部分題目計算量很大，對大多數的學生而 言，應該會很吃力。
1 試題分布：第一冊8分、第二冊6分、第三冊18分、第四冊26分、選修數甲42分。
2 多選4命題非常有技巧，用傳統級數的運算要花許多時間，但是如果用上和、下和的 概念判斷，應該可以很快比較出來。
3 多選5、6、7則是常見的模擬考考古題型，不過都需要清楚的觀念判斷和大量計算，
鑑別度很高。
4 選填題是同學可以稍微喘息的地方，題目平易近人。
5 計算證明題名符其實，題組式的命題方式，觀念環環相扣，要全對非常不容易！
預估今年的五標為70，60，40，25，15。同學參考看看。 F
數 學 甲
指考 107 107 試 題 解 析 試 題 解 析
ZX
家齊高中 / 黃峻棋 老師
數 學 甲
第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占 76 分）
一、單選題（占 18 分）
說明：第1題至第3題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，
請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得6分；答錯、
未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。
1 設 A為 3*3矩陣，且對任意實數 a，b，c，A a b c
= b c a
均成立。試問矩陣
A2 1 0 -1
為何？
1 0 1 1
2 -1
1 0
3 1 0 1
4 0 1 -1
5 -1
0 1 2
第四冊第三章 矩陣 矩陣的乘法
難 易 度 中偏易
類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第87頁多選1（考古題）
∵A． a b c
= b c a
!A2． 1 0 -1
=A．A． 1 0 -1
=A． 0 -1
1
= -1
1 0 故選2
10
2 坐標平面上，考慮A（2﹐3）與B（-1﹐3）兩點，並設 O為原點。令 E為滿 足 aOP=aaOA+baOB 的所有點P 所形成的區域，其中 -1NaN1，0NbN4。 考慮函數 f（x）=x2+5，試問當限定x 為區域E中的點P（x﹐y）的橫坐標時，
f（x）的最大值為何？
1 5 2 9 3 30 4 41 5 54
4
第三冊第三章 平面向量 向量的線性組合
難 易 度 中
類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第48頁題型3、類題 3
∵aOP=aaOA+baOB，-1NaN1，0NbN4
∴所有點P所形成的圖形如右（標準圖形）
區域E中，aOF=4aOB=（-4﹐12）
∴ F（-4﹐12） aOD=aOG+aOF
=（-2﹐-3）+（-4﹐12）
=（-6﹐9）
∴ D（-6﹐9） aOC=aOA+aOF
=（2﹐3）+（-4﹐12）
=（-2﹐15）
即區域E中的x範圍為-6NxN2
∴ f（x）=x2+5的最大值為（-6）2+5=41 故選4
數 學 甲
3 某零售商店販賣「熊大」與「皮卡丘」兩種玩偶，其進貨來源有A，B，C三家 廠商。已知此零售商店從每家廠商進貨的玩偶總數相同，且三家廠商製作的每 一種玩偶外觀也一樣，而從 A，B，C這三家廠商進貨的玩偶中，「皮卡丘」所 占的比例分別為 1
4、2 5、1
2。阿德從這家零售商店隨機挑選一隻「皮卡丘」送 給小安作為生日禮物，試問此「皮卡丘」出自C廠商的機率為何？
1 1 3 2 2 5 3 10
23 4 10 19 5 5
9
3
第二冊第三章 機率 貝氏定理
難 易 度 中
類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第32頁題型5
1 1 10
12
二、多選題（占 40 分）
說明：第4題至第8題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正 確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所 有選項均答對者，得8分；答錯1個選項者，得4.8分；答錯2個選項者，
得1.6分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
4 設 f（x）=-x2+499，且 A= 10
0 f（x）dx、B=
n=0
9 f（n）、C=
n=1
10 f（n）、D=
n=0
9 （f n）+f（n+1）
2 試選出正確的選項。
1 A表示在坐標平面上函數y=-x2+499的圖形與直線y=0、x=0、x=10 所 圍成的有界區域的面積
2 B<C 3 B<A 4 C<D 5 A<D
14
選修數學甲（下）第二章 多項式函數的微積分 第二冊第一章 數列與級數
定積分的意義、級數的和（或利用上和、下和概念）
難 易 度 中偏難
類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第173頁題型19 f（x）=-x2+499作簡圖如右
1○： A= 10
0 f（x）dx，表y=f（x）與直線
x=0、x=10、y=0所圍之區域面積 2*：B=
n=0
9 f（n）
=f（0）+f（1）+f（2）+……+f（9） =499*10-（12+22+32+……+92） =4705
C=
n=1
10 f（n）
=f（1）+f（2）+……+f（10） =499*10-（12+22+……+102） =4605
∴B>C
數 學 甲
3*：A=010（-x2+499）dx=
（
-13x3+499x）│
100
=4990-1000
3 =13970 3 <B 4○： D=
n=0
9 f（n）+f（n+1）
2 =1
2（f（0）+f（1）+f（1）+f（2）+……+f（9）+f（10）） =1
2（f（0）+f（10））+
n=1
9 f（n）
∴D<f（0）+
n=1
9 f（n）=
n=0
9 f（n）=B
且D>
n=1
9 f（n）+f（10）=
n=1
10 f（n）=C
5*：D=1
2（f（0）+f（10））+
n=1
9 f（n）
=1
2 *f（10）+
n=0
9 f（n）-1
2 *f（0） =1
2 *399+4705-1
2 *499 =4655<A
故選14
註： B，C，D也可以用上、下和的概念解題，其略圖分別如下，陰影 區域（矩形範圍）的面積即為所求。
14
5 坐標平面上，已知直線L與函數y=log2 x的圖形有兩個交點P（a﹐b）， Q（c﹐d），且PQ的中點在x軸上。試選出正確的選項。
1 L的斜率大於0 2 bd=-1
3 ac=1
4 L的y截距大於-1 5 L的x截距大於1
135
第一冊第三章 指數與對數函數 第三冊第二章 直線與圓
對數函數的圖形、直線方程式
難 易 度 中
類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第20頁題型2 已知y=log2 x 的圖形如右
1○：∵ y=log2 x為遞增函數 ∴L的斜率為正，即大於0 2*：∵R為P、Q中點
∴ b+d
2 =0!b=-d
若 bd=-1!-d 2=-1!d=81（取正）
∴在P
（
12﹐-1）
，Q（2﹐1）時才滿足bd=-1，其他的點坐標不合
3○：∵ log2 a=b，log2 c=d且b+d=0
∴log2 a+log2 c=0!log2 ac=0，即 ac=20=1 4*：∵y=log2 x的圖形恆過（1﹐0）且圖形凹口向下 若L的y軸截距大於-1，則 PR_RQ
5○：同4，L的x 軸截距大於1 故選135
數 學 甲
6 坐標空間中，有aaa、aab、aac、aad四個向量，滿足外積aaa*aab=aac，aaa*aac=aad，且aaa、aab、 a
ac的向量長度均為4。設向量aaa與aab的夾角為θ（其中0NθNπ），試選出正確的 選項。
1 cos θ=1 4
2aaa、aab、aac所張出的平行六面體的體積為16 3aaa、aaaac、aad兩兩互相垂直
4aad的長度等於4 5 aab與aad的夾角等於θ
23
第四冊第一章 空間向量 向量的外積及應用
難 易 度 中偏難
類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第53頁題型2 1*：∵aaa*aab=aac!│aaa*aab│=│aac│
!│aaa││aab│sin θ=│aac│ （∵│aaa│=│aab│=│aac│=4） ∴sin θ=1
4 !cos θ=8 15 4
2○：aaa、aab、aac所張出的平行六面體體積為 │aac．（aaa*aab）│=│aac．aac│=4*4*cos 0=16 3○：∵ aaa*aab=aac ∴aacraaa且aacraab
又aaa*aac=aad ∴aadraaa且aadraac 故aaa、aaaac、aad兩兩互相垂直 4*：∵aaa*aac=aad!│aaa*aac│=│aad│ !│aaa││aac│sin π
2=│aad│
（
∵│aaa│=│aac│=4，sin π2=1）
∴│aad│=16 5*：∵aaa*aac=aad
!│aab．（aaa*aac）│=│aab．aad│，即│aab．aad│=16
!│aab．aad│=│aab││aad││cos α│=16 （α為aab與aad的夾角）
16
7 設O為複數平面上的原點，並令點A、B分別代表複數z1、z2，且滿足
│z1│=2，│z2│=3，│z2-z1│= 5。若 z2
z1=a+bi，其中a，b為實數，i= -1。 試選出正確的選項。
1 coseAOB= 2 3 2│z2+z1│= 23 3 a>0
4 b>0
5設點C 代表 z2
z1，則eBOC 可能等於 π 2 135
選修數學甲（上）第二章 三角函數 複數的幾何意涵
難 易 度 中偏難
類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第123頁題型15 作圖如右，OA=│z1│=2，
OB=│z2│=3， AB=│z2-z1│= 5 1○：由餘弦定理
coseAOB=22+32-（ 5）2 2*2*3 = 8
12 =2 3 2*：令│z2+z1│=OP △ AOP中，
OP 2=22+32-2*2*3*cos（π-eAOB） =4+9-12*（-coseAOB）
=13+12* 2 3=21 ∴OP= 21
3○：由複數乘法的意義得知，z2=（a+bi）z1
即z2的坐標就是將z1的坐標以原點為中心順時針或逆時針旋轉 eAOB，再伸縮 3
2 倍
令z=a+bi=│z│（coseAOB8i sineAOB）
數 學 甲
由coseAOB=2
3 得sineAOB=8 5
3（取正 ∵eAOB為銳角）
∴z=3
2
（
238 53 i）
=18 52 i∴a=1，b=8 5 2 4*：承3
5○：取 z2
z1=1- 5
2 i!點C
（
1﹐- 52）
∴OC=
│
zz21│
= 32驗算將B點以原點為中心旋轉-π
2 再伸縮 1
2 倍，是否可得C點 !z2*
（
cos（
-π2）
+i sin（
-π2））
*12= 1
2*z2*（-i） （令z2=x+yi） = 1
2*（x+yi）*（-i）=1- 5 2 i 得y=2，x= 5（合）
∴eBOC可能等於 π 2 故選135
18
8 設 f（x）為一定義在非零實數上的實數值函數。已知極限 lim f（x）│x│
x 存在，
試選出正確的選項。
1 lim
（
│xx│）
2存在2 lim f（x）x
│x│存在 3 lim （f（x）+1）x
│x│存在 4 lim f（x）存在
5 lim f（x）2 存在 125
選修數學甲（下）第一章 極限與函數 函數的極限值
難 易 度 中
類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第144頁題型12
∵ lim
（
f（x）．│xx│）
存在∴ f（x）含有x 之因式，令 f（x）=x．g（x）
∴ lim
（
x．g（x）．│xx│）
=lim （g（x）．│x│）存在即 lim （g（x）．x）=lim （g（x）．（-x））
1○： lim
（
│xx│）
2=1，lim（
│xx│）
2=（-1）2=1∴lim
（
│xx│）
2存在2○： lim
（
f（x）．│xx│）
=lim f（x）=lim（x．g（x））lim
（
f（x）．│xx│）
=lim（-f（x））=lim（-x．g（x））∵ lim （g（x）．│x│）存在
∴ lim
（
f（x）．│xx│）
=lim（
f（x）．│xx│）
3*：反例：令 f（x）=x2，x_0，則lim
（
（f（x）+1）．│xx│）
不存在x→0
x→0
x→0
x→0
x→0 x→0
x→0
x→0 x→0
x→0+ x→0-
x→0+ x→0-
x→0
x→0+ x→0+ x→0+
x→0－ x→0－ x→0-
x→0
x→0+ x→0－
x→0
數 學 甲
4*：反例：令 f（x）= x
│x│，x_0，滿足題意lim
（
f（x）．│xx│）
存在而lim f（x）=lim x
│x│=1，lim f（x）=lim x
│x│=-1 ∵ lim f（x）_lim f（x） ∴lim f（x）不存在
5○：lim （f（x））2=lim
（
f（x）．f（x）．│xx│．│xx│）
=lim
（
f（x）．│xx│．f（x）．│xx│）
=lim
（
f（x）．│xx│）
．lim（
f（x）．│xx│）
存在（由題目及2的結果可得）
故選125
三、選填題（占 18 分）
說明：1 第 A. 至 C. 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的 列號（9～15）。
2 每題完全答對給 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A. 坐標平面上，已知圓C通過點 P（0﹐-5），其圓心在x=2上。若圓C截x 軸 所成之弦長為6，則其半徑為 90 。（化成最簡根式）
13
第三冊第二章 直線與圓 圓的方程式
難 易 度 中偏易
類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第41頁題型4 設圓心C（2﹐t），如右圖
BD=6，則 AB=3
CB=PC= 22+（t+5）2= t2+10t+29 又CB 2=CA 2+AB 2=t2+9
x→0
x→0+ x→0+ x→0- x→0-
x→0+ x→0- x→0
x→0 x→0
x→0
x→0 x→0
20
B. 假設某棒球隊在任一局發生失誤的機率都等於p（其中 0<p<1），且各局之間 發生失誤與否互相獨立。令隨機變數X代表一場比賽9局中出現失誤的局數，
且令pk代表9局中恰有k局出現失誤的機率P（X=k）。已知p4+p5=45
8 p6，則 該球隊在一場9局的比賽中出現失誤局數的期望值為 qw
e 。（化成最簡分數）
18 5
選修數學甲（上）第一章 機率統計 重複試驗、期望值
難 易 度 中
類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第97頁題型5 由題意知p4=P（X=4）=C49 p（4 1-p）5
p5=P（X=5）=C59 p（5 1-p）4
p6=P（X=6）=C69 p（6 1-p）3，0<p<1
∵p4+p5=45 8 p6
!C49 p（4 1-p）5+C59 p（5 1-p）4=45
8 *C69 p（6 1-p）3 !C49 （1-p）2+C59 p（1-p）=45
8 *C69 p2 !126（1-2p+p2）+126（p-p2）=45
8 *84*p2 !1-p=15
4 p2 !15p2+4p-4=0 !（3p+2）（5p-2）=0
∴p=- 2
3 （不合）或p= 2
5 ，所以任何一局發生失誤的機率為 2 5 故9局比賽中出現失誤局數的期望值E（X）=2
5*9= 18 5
數 學 甲
C. 設A，B，C，D為圓上的相異四點。已知圓的半徑為 7 2， AB=5，兩線段AC 與BD 互相垂直，如圖所示（此為示意 圖，非依實際比例）。則CD 的長度為 r t 。（化成最簡 根式）
2 6
第三冊第一章 三角
正弦定理、餘弦定理、三角形的邊角關係
難 易 度 中偏易
類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第105頁題型2
〈解法一〉
△ ABD中， AB
sineADB =2R!sineADB=5
7 ∴coseADB= 24 7
△ ACD中， CD
sineDAC=2R!CD=7 sineDAC 令AC 與BD 的交點為O
∵eADB+eDAC=eADO+eDAO=90n
∴sineDAC=coseADB
所求 CD=7 sineDAC=7 coseADB=7* 24
7 =2 6
〈解法二〉
令AC 與BD 的交點為O
∵△ AOB為直角三角形，且AB=5
∴令AO=3，OB=4 又AO*OC=DO*OB
!OC：DO=4：3
△ ABC中，
BC 2=（3+4x）2+52-2．（3+4x）．5．cos θ，其中cos θ=3 5
22
第貳部分：非選擇題（占 24 分）
說明：本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號
（一、二）與子題號（1、2、……），同時必須寫出演算過程或理由，否 則將予扣分甚至零分。作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得 使用鉛筆。若因字跡潦草、未標示題號、標錯題號等原因，致評閱人員無法 清楚辨識，其後果由考生自行承擔。每一子題配分標於題末。
一、坐標空間中有一個正立方體ABCDEFGH，如圖所示（此為 示意圖），試回答下列問題。
1 試證明A點到平面BDE的距離是對角線AG長度的三 分之一。（4分）
2 試證明向量aaAG與平面BDE垂直。（2分）
3 如果知道平面BDE的方程式為2x+2y-z=-7，且
A點坐標為（2﹐2﹐6），試求出A點到平面BDE的距離。（2分）
4 承3，試求出G 點的坐標。（4 分）
1 略；2 略；3 3；4 （-4﹐-4﹐9） 第四冊第一章 空間向量
第四冊第二章 空間中的平面與直線 空間坐標系、空間平面方程式
難 易 度 中
類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第55頁題型3 1 設正立方體的邊長為a
將圖形坐標化，如右圖 AG= a2+a2+a2= 3a 又aaDB=（a﹐a﹐0）， aaDE=（a﹐0﹐a）
!aaDB*aaDE=（a2﹐-a2﹐-a2） =a（2 1﹐-1﹐-1）
∴令平面BDE的法向量aan=（1﹐-1﹐-1） ∴平面BDE的方程式為x-y-z=0
∴d（A﹐平面BDE）= a 3= 1
3 AG，故得證
2 ∵aaAG=（-a﹐a﹐a）=-a（1﹐-1﹐-1）且aaAG7aan ∴aaAG與平面BDE垂直
3 d（A﹐平面BDE）=│4+4-6+7│ 22+22+（-1）2=9
3=3
數 學 甲
4 ∵AG=3*d（A﹐平面 BDE）=3*3=9且aaAG7aan A（2﹐2﹐6），令G（x﹐y﹐z），平面BDE的法向量為aan ∴（x-2﹐y-2﹐z-6）7（2﹐2﹐-1）! x-2
2 =y-2
2 =z-6 -1 =t ∴x=2t+2，y=2t+2，z=-t+6
∵AG= 4t2+4t2+t2=9!9t2=81
∴t=83（取負 ∵A，G在平面BDE之異側）
故G點坐標為（-4﹐-4﹐9）
二、考慮三次多項式 f（x）=-x3-3x2+3。試回答下列問題。
1 在坐標平面上，試描繪y=f（x）的函數圖形，並標示極值所在點之坐標。
（4分）
2 令 f（x）=0的實根為a1，a2，a3，其中 a1<a2<a3。試求 a1，a2，a3分別在 哪兩個相鄰整數之間。（2分）
3 承2，試說明 f（x）=a1、f（x）=a2、f（x）=a3各有幾個相異實根。（4 分）
4 試求 f（f（x））=0有幾個相異實根
（註： f（f（x））=-（f（x））3-3（（f x））2+3）。（2分）
1 略；
2 a1在-3，-2之間，a2在-2，-1之間，a3 在0，1之間；
3 f（x）=a1有1個，f（x）=a2有1個，f（x）=a3有3個；
4 5個
選修數學甲（下）第二章 多項式函數的微積分 多項式函數的圖形與極值、方程式的根
難 易 度 中偏難
類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第160頁題型9
∵ f（x）=-x3-3x2+3
! f '（x）=-3x2-6x， f "（x）=-6x-6
1 令 f '（x）=0!-3x（x+2）=0 ∴x=0或-2 令 f "（x）=0!-6x-6=0 ∴ x=-1
24
∴極值所在的坐標為（0﹐3），（-2﹐-1），圖形如下
2 由勘根定理
x -3 -2 -1 0 1
f
（x） 3 -1 1 3 -1
a1 a2 a3
∴a1 在-3，-2之間，a2在-2，-1之間，a3在0，1之間 3 承2知a1=-2.……，
a2=-1.……，
a3=0.……
由右圖可判斷
f（x）=a1有1個實根，
f（x）=a2有1個實根，
f（x）=a3有3個相異實根 4 承3知 f（x）=a1有1解，
f
（x）=a2有1解，
f
（x）=a3有3解
∴ f（f（x））=0共有5解，故有5個相異實根 a1或a2或a3 F
