2010 作戰流程圖
Bebas
12
0
0
Teks penuh
(2) 本日演算法. 時間複雜度 (Time Complexity) 評估一個程式的效率最常見的是時空複雜度。程式實際執行的速度受到許多因素影響，很難有比 較，因此時間複雜度、空間複雜度等所關心的是當輸入數據的規模擴大時，一個演算法所需的時間、 空間的增長情形。複雜度分析有三種常見符號：(備註：「＝」符號其實是「∈」的意思) 一、O-notation：上限漸近線 定義：若 ∃n0 , c ∈ ℝ+，使得 ∀n≧n0 皆有 f(n)≦c g(n)，則 f(n) = O( g(n) )。 直觀來說，c g(n)可以視為 f(n)的上限。遞迴式通常畫遞迴樹分析，而多項式函數通常可以直接忽 略較低次項，例如 7n3 + 5n2 + n + 1 = O( n3 )、n2 + 1000000000n + 2147483647 = O( n2 )。常見的時間複 雜度：O( 1 )＜O( log n )＜O( n )＜O( n log n )＜O( nk )＜O( kn )＜O( n! )＜O( nn ). 二、Ω-notation：下限漸近線 定義：若 ∃n0 , c ∈ ℝ+，使得 ∀n≧n0 皆有 f(n)≧c g(n)，則 f(n) = Ω( g(n) )。 最有名的就是基於比較的排序法的時間複雜度下限：. 以上是用 decision tree 來做比較排序法的圖。考慮集合 S={a1, a2, a3, ..., an}，其中 a1, a2, …, an 兩兩相 異，則這 n 個元素總共可能形成的排列有 n! 種，其中只有一種符合對於所有的 1≦i＜j≦n，Ai＜Aj。 假設比較排序法的 decision tree 的高度是 H，有 L 個可到達的葉子，因為所有 n! 個排列一定會是樹當 中的某些葉子，所以 n!≦L。又因為一棵高度為 H 的二元樹最多只會有 2H 個葉子，所以 n!≦L≦2H ⇒ Ω.
(3) 三、Θ-notation：定義：若 ∃n0 , c1 , c2 ∈ ℝ+，使得 ∀n≧n0 皆有 c1 g(n)≦f(n)≦c2 g(n)，則 f(n) = Θ( g(n) )。 練習題：以下時間複雜度為 ? 1. T(n) ＝ T(2n/3)＋Θ(n) 2. T(n) ＝ 2 T(n/2)＋Θ(n) 3. T(n) ＝ T(. )＋Θ(1). 4. T(n) ＝ T(n/5)＋T(7n/10)＋Θ(n) 5. T(n) ＝ T(n/4)＋T(3n/4)＋Θ(n) 6. 1 void XD(int n, int height[MAX], int ans[MAX]) { 2 int i, j; 3 static int jmp[MAX]; 4 for (i=n-1; i>=0; i--) { 5 for (j=i+1; j<n && height[i]>height[j]; j=jmp[j]); 6 jmp[i] = j; 7 ans[i] = (j==n ? -1 : j); 8 } 9 }. 常見排序法 (Sort) 一、Insertion Sort (插入排序) O( n2 ) 1 For i ← 2 To n Do 2 k ← A[ i ]. 二、Bubble Sort (泡沫排序) O( n2 ) 1 For i ← n Down To 2 Do 2 For j ← 2 To i Do. 3 4 5 6. 3 4. For j ← i Down To 2 Do If A[ j－1]＞k Then Do A[ j ] ← A[ j－1] Else Break A[ j ] ← k. If A[ j－1]＞A[ j ] Then Do Exchange A[ j－1] ←→ A[ j ]. 三、Selection Sort (選擇排序) O( n2 ) 1 For i ← 1 To n－1 Do 2 3 4 5. k←i For j ← i＋1 To n Do If A[ j ]＜A[ k ] Then Do k ← j Do Exchange A[ i ] ←→ A[ k ]. 雖然這些算法複雜度都是 O( n2 )，但常數較小，在 n 很小時效率不錯。底下是一些複雜度較好的 sort： 四、Merge Sort (合併排序) O(n log n) 對於兩個已排序、長度各為 n, m 的序列，如何在 Θ(n＋m) 的時間將其合併成長度 n＋m 的已排 序序列 ? 若這一步能夠做到，那我們每次把長度為 n 的陣列分成長度相等的兩段，分別排好序後， 再合併即可將原序列排序，且複雜度為 T(n)＝2 T(n/2)＋O(n)，如下： MERGE-SORT (A, L, R) 1 If L＜R Then Do 2 3 4 5. M ← [ (L＋R)/2 ] MERGE-SORT (A, L, M) MERGE-SORT (A, M＋1, R) MERGE (A, L, M, M＋1, R).
(4) MERGE (A, L, M, R) 1 create array Out[ 1…R－L＋1 ] 2 i ← L, j ← M＋1, k ← 1 3 While i≦M And j≦R Do 4 If A[ i ]≦A[ j ] Do 5 Out[ k ] ← A[ i ] 6 i ← i＋1 7 Else Do 8 Out[ k ] ← A[ j ]. 9 j ← j＋1 10 k ← k＋1 11 While i≦M Do 12 Out[ k ] ← A[ i ] 13 i ← i＋1, k ← k＋1 14 While j≦M Do 15 Out[ k ] ← A[ j ] 16 j ← j＋1, k ← k＋1 17 A[ L…R ] ← Out[ 1…k－1 ]. 五、Quicksort (快速排序) Average case performance: O(n log n), Worst case performance: O( n2 ) 考慮一種排序法：把現在的序列切成兩段，並花 O(n)的時間重排序列，讓左邊那段的元素小於等 於右邊那段的元素。遞迴處理左右兩段，切到每段的長度都是 1 時，排序就完成了。這就是 Quick Sort。 QUICKSORT (A, L, R) 1 If L＜R Do 2 M ← PARTITION (A, L, R) 3 QUICKSORT (A, L, M－1) 4 QUICKSORT (A, M＋1, R). PARTITION (A, L, R) 1 pivot ← A[ R ] 2 split ← L 3 For i ← L To R－1 Do 4 If A[ i ]≦pivot Do 5 Exchange A[ split ] ←→ A[ i ] 6 split ← split＋1 7 Exchange A[ split ] ←→ A[ R ] 8 Return split. 不過，當 n 不大時，Quicksort 過度頻繁的切割序列、遞迴反而會讓速度變慢。而且當 n 不大時， Insertion Sort 等往往效率較高，因此可以選一個值為分界點，分界點以下使用 Insertion Sort，以上則 使用 Quicksort，可以提高整體效率。這種想法在撰寫 Strassen’s algorithm 也可以使用。要注意的是， 以上這段虛擬碼的 PARTITION 沒有特別處理相同數字的問題，因此遇到相同數字時極可能掉入 O( n2 ) 的情況。 ．Stable sort：若對於 Ai＝Aj、i＜j，排序後不改變 Ai、Aj 的先後順序，則稱為 stable sort。 ．In-place sort：若排序時所要耗用的額外空間為 O(1)，則稱為 in-place sort。 以上哪些是 stable sort 呢 ? 哪一個不是 in-place sort ? Quick Sort 又可以怎麼避免最差狀況的發生 ? 上面介紹的都是基於「比較」的排序法，O(n log n)已經是下界。底下還有一些線性的特殊排序法： 六、Counting Sort (計數排序) O( n＋C )，C 為輸入數值範圍：直接計算每個數字的出現次數 1 2 3 4 5 6 7. initialize cnt[ 0…C ] ← 0 For i ← 1 To n Do cnt[ A[ i ] ] ← cnt[ A[ i ] ]＋1 k←1 For i ← 0 To C Do For j ← 1 To cnt[ i ] Do A[ k ] ← i k ← k＋1. 七、Radix Sort (基數排序) O( (n＋B) logB C ) 一開始先照最低的位數排序，再照次高的位數排序，…，最後用最高的位數排序。注意每次排序 一位數的時候，都必須是 stable sort，否則會亂掉。Radix Sort 在 suffix array 的倍增算法中常用到。.
(5) 八、一些內建的排序函數 #include <algorithm>. //這個函式在 std 命名空間下. void sort( random_iterator start, random_iterator end ); void sort( random_iterator start, random_iterator end, StrictWeakOrdering cmp );. 這是 STL 的內建排序函式，為 introsort，平均、最佳時間複雜度都是 O(n log n)。 #include <cstdlib> void qsort( void *buf, size_t num, size_t size, int (*compare)(const void*, const void*) );. 這個則是 C 內建的快速排序函式。注意 num 是要排序的元素個數，size 是每個元素的大小(in bytes)， 而比較函式要視大於、等於、小於的情況分別回傳 1、0、-1。 九、練習題 〈逆序數對〉TIOJ 1080 對一個序列 S 來說，若 S 的第 i 項 si 與第 j 項 sj 符合 si＞sj，並且 i＜j 的話，那麼我們說(i, j)是一 個逆序數對。請問給定序列 S，請問總共有多少個逆序數對呢 ? 請至少給出 O(n log n) 算法。 〈第 k 大的數〉TIOJ 1364 給定序列 S，請在期望 O(n) 的時間內求出此序列中第 k 大的數。 〈TIOJ 1289 E.畢氏煩惱〉 給 n 條相異整數邊，總共可以組合出幾種直角三角形(只要任一邊長不同即視為相異) ? 相關題目：TIOJ 1174, 1205, 1208, 1267, 1501, 1617. 分而治之 (Divide and Conquer) 以此要領，重複實施，即得答案。 -- pangfeng 分而治之就是把大問題切成許多相似的小問題，然後各個擊破。分治法通常可見以下的步驟： 1.把問題切成規模較小、與原問題相似的子問題 2.遞迴解決子問題 3.合併子問題，求得原問題的解答. 大家耳熟能詳的有： ．階乘： ．費氏數列： ．Merge Sort，Quicksort 等。. 底下就來思考一些問題吧！ 〈約瑟夫問題〉 有 n 個人為成一圈，且每數 k 個人就把第 k 個人殺掉，並從下一個人繼續數。最後活下來的是誰 ?. 〈河內塔〉TIOJ 1355 現在有三根柱子，一開始在第一根柱子上有 n 個圓盤，由大到小疊好，請印出所有搬動圓盤步驟， 把所有圓盤從 1 號柱搬到 3 號柱子，且移動過程中大圓盤不得疊在小圓盤上。.
(6) 〈快速冪運算〉UVaOJ 374 給定 a, b, c，請在 O(log b) 的時間內求出 ab Mod c 的值。 〈UVaOJ 10230 Savage Garden〉 在一個 2n× 2n 的棋盤中，挖去了 1× 1 的一塊。請用. 形拼圖把棋盤填滿。. 〈TIOJ 1202 重疊的天際線〉 地平線之上有 n 棟建築，第 k 棟建築位在[Lk, Rk]，高度 Hk。請描述出這些建築重疊後的天際線。 〈平面最近距點對〉TIOJ 1500 給定平面上的 n 個點，請問(直線距離)最近的兩個點距離為 ? 請給出 O(n log n) 算法。 相關題：TIOJ 1154, 1199, 1203, 1360, 1455。超級挑戰題：TIOJ 1631 (期望複雜度：O(n log n) ). 其他零零碎碎、常見的東西 一、二分搜 (Binary Search) 請在一個已排序的序列( a1＜a2＜…＜an )中，找到給定的一個數(x)的位置。 觀察一下，可以發現，假設 ak＝x，那麼 ．對於所有 1≦ai＜ak，有 ai＜x ．對於所有 ak＜aj≦n，有 x＜aj。 可以寫出如下的算法： BINARY-SEARCH (A, L, R, x) 1 If L＞R Then Return “Not Found” 2 M ← [ ( L＋R ) / 2 ] 3 If x＝A[ M ] Then Return x 4 5. Else If x＜A[ M ] Then Return BINARY-SEARCH (A, L, M－1, x) Else Return BINARY-SEARCH (A, M＋1, R, x). 二分搜的應用範圍極廣。除了找資料，任何有單調性的東西，二分搜都有機會派上用場。其核心概念 是每次丟掉一半不可能的解。變化形則如三分搜(搜凹或凸的圖形)、雙重二分搜等。 〈UVaOJ 10487 Closest Sums〉 給定一個集合 S，對於每個詢問給的數 k，請找出集合中兩個數的和，使其最接近 k。 〈UVaOJ 10049 Selfdescribing Sequence〉 <f(1), f(2), …>是非遞減序列，且 f(n)＝k 代表值 n 會在序列中出現 k 次。f(1)＝1, f(2)＝2, 求 f(n)。 〈NTUJ 0062 Drying〉 你有 n 件衣服，第 k 件衣服要花 Ak 的時間才會乾。在每一單位時間中，你可以選擇任一件衣服， 讓它剩餘所需的乾衣時間減少 C。請問你最少要花多少時間，才能讓所有衣服變乾 ? (Ak≦109 ) 鍊習題：TIOJ 1044, 1406, 1525, 1614, UVaOJ 10341 挑戰題：TIOJ 1575, 1635.
(7) 二、輾轉相除法 (Euclidean Algorithm) 若 a＝bq＋r，則(a, b)＝(b, r)，邊界條件為(a, 0)＝a。由此可以寫出： GCD(a, b) 1 If b＝0 Then Return a 2 Else Return GCD(b, a Mod b) 注意 GCD 的時間複雜度為 O(log b)。但我們更常用的是同時求出一組(x, y)使得 ax＋by＝gcd(a, b)： EXTENDED-EUCLIDEAN-ALGORITHM(a, b) 1 A ← (1, 0), B ← (0, 1) 2 While b≠0 Do 3 r ← a Mod b , R ← A－B×[ a / b ] 4 a←b , A←B 5 b←r , B←R 6 Return (a, A) ．若 (a, b)＝1，請求出 c 使得 a× c ≡ 1 (Mod b) (註：c 即為 a 在模 b 下的乘法逆元素) 〈NPSC 2008 高中組決賽 pD. 輾轉難眠〉 求 gcd(am－bm, an－bn) Mod p。 保證 (a, b)＝1, 0＜b＜a＜1000, 1＜m＜n≦200。 三、質數篩法 (Prime Sieve) 判斷一個數 n 是不是質數，直接做就是把 以下的數全都試除過一遍。不過當我們需要質數表 時，一個一個試除太慢。好險兩千多年前，古希臘數學家 Eratosthenes 發明了一個很好的演算法：把 所有正整數排成一列，每次找最小的還沒有被劃掉的數 p，把 p 的倍數全部劃掉，剩下的就是質數。 ERATOSTHENES (n) 1 create array is_prime[ 2…n ] ＝ true 2 For i ← 2 To ______ Do 3 4. If is_prime[ i ]＝true Then Do For j ← _____ To n Step i Do is_prime[ j ] ← false. ．值得注意的是，因為質數的倒數和為 O(ln ln n)，所以篩法的時間複雜度約為 O(n ln ln n)。 ．把 n(n≦2147483647)質因數分解很容易，那把 n! (n≦106 )質因數分解呢 ? 如何快速的求( n! )Mod m ? 練習題：TIOJ 1036, 1193, 1350, UVaOJ 10140, 10311, 10699, 10892, USACO 1.5 Prime Palindromes 四、離散化 離散化是指把題目輸入數字的數值範圍縮小到比較好處理的範圍內，通常是離線預處理。 〈NPSC 2003 年決賽 pA. 細菌培養〉TIOJ 1045 在 105×105 的方格中，每個方格一開始都有一隻細菌。題目會做很多次操作，每次操作會把一個矩 形區域的細菌數倍增。所有操作都結束後的總細菌數為 ? (操作數≦200) 五、大數運算 電腦內建的型態有其範圍限制。為了突破天際，人類發明了大數運算：直式的加減乘除。大數運 算的想法是開個陣列存下每一位數，然後手怎麼算，程式就怎麼寫，即使開平方根等等也一樣。大數 運算有兩個常見優化：1.記下大數的位數 2.每一個 int 中存多位數(純加減→9 位，有乘除→4 位)。.
(8) 本日資料結構. 資料結構可以視為處理資料的方法。資料結構通常像一個集合，並依照我們的需求維護這個集合 的某種特性，而這個集合可能支持新增、刪除、查找元素等操作。常見的資料結構包含 Array、Linked List、Stack、Queue、Tree、Graph、Heap、Hash、Disjoint Sets …等等。. 鍊結串列 (Linked List). 把資料用結構包成一個節點，串起來，就成了鍊結串列。鍊結串列的節點通常會包含資料欄位、 以及指向下一個節點的指標。串成一串後，刪除、新增只要常數時間。 刪除指定位置元素. 在指定位置新增元素. 這裡鍊結串列的指標都只有單向，為 singlylinked list。也有雙向指標的鍊結串列，稱為 doublylinked list。此外，還有鍊結串列的尾端重新指向鍊 結串列的開端，形成一個環，稱為 circular linked list。 練習題：TIOJ 1550 〈NTUJ 0952 Queue〉 一開始有 P (P≦109 )個人依序排成一隊。接著會有 N (N≦50,000)插隊事件發生，每個插隊事件後， 編號 A 的人會插到編號 B 的人前面。在所有插隊事件結束後有 Q (Q≦50,000)個詢問。詢問有兩 種：問編號 P 的人排在哪裡，或是排在 L 的人編號為何。請回答所有詢問。. 堆疊 (Stack) 堆疊就像一疊盤子，每次只能從頂端放上新盤子或把就盤子拿走。堆疊只有一個資料的進出口(堆 疊頂, top)，並且滿足先進後出(FILO, First-In Last-Out)。平常遞迴就是用堆疊來實做的。 〈UVaOJ 514 Rails〉 假設現在有 n 輛列車依照 1, 2, 3, ..., n 的順序要從 A 開到 B，而他們都可 以在 Station 任意停留任意時間，請問他們能否以某特定的順序開到 B ?.
(9) 〈括弧匹配〉 S ＝ “” | “(“＋S＋“)” | “[“＋S＋“]” | “{“＋S＋“}” 。給定字串 s，請問 s 是否符合 S 的定義 ? 〈中序轉後序〉TIOJ 1378 請一四則運算的規則把一串含加、減、乘、除、括弧、變數的式子轉成後序表示法。 〈TIOJ 1176 Cows〉 給定 n 個數字的序列，求出每個數在它之後第一個比它小的數距離它多遠。請給出 O(n)算法。 〈NPSC 2009 初賽 pF. 檸檬汽水問題〉 在序列 a1, a2, …, an 中，共有多少個數對(i, j)滿足 1≦i＜j≦n，且∀i＜k＜j 有 ak≦min{ai, aj} ? n≦106。 〈TIOJ 1370 超大鏡框設置〉 許多緊貼地面的建築物排成如右的圖形(沒有懸空或破洞的地方)。則其子矩形最大 面積為 ? (子矩形的四邊也必須平行 x 軸或 y 軸) 〈笛卡爾樹(Cartesian Tree)〉TIOJ 1549 給定陣列 A[ 1… n ]。你希望建立一棵二元樹滿足： 1. 這棵樹的根是 A[ 1…n ] 中最小的元素 (假設是 A[ k ]) 2. A[ 1…k－1]、A[ k＋1…n ] 也都是笛卡爾樹。 請給出 O(n) 建立出這棵樹的算法。 〈IOI 2004 Day II prob 1, Empodia〉NTUJ 0951 a1, a2, …, an 是 0, 1, …, n－1 的重排列。請找出所有的區段 ai, ai＋1, ai＋2, …, aj 滿足 ．ai＜ai＋1, ai＋2, …, aj ．ai＋1, …, aj－2, aj－1＜aj ．ai, ai＋1, ai＋2, …, aj 不包含任何更短的、滿足上述條件的區段 ．大家可以發現許多使用 stack 的算法通常都會維持 stack 中資料從頂到底的.某些單調性。 練習題：TIOJ 1063, 1320, 1204, 1225, 1368. 挑戰題：TIOJ 1332, 1343, 1397. 佇列 (Queue) 相對於堆疊，佇列有一個資料入口(front)、一個資料出口(rear)，且有先進先出(First-In First-Out, FIFO)的特性。除了長條形的佇列以外，佇列也常實做成環形的，減少空間的浪費。 〈NPSC 2007 決賽 pF. 核心字串〉TIOJ 1489 請找出字串 s (|s|≦106) 最短的子字串 s’，使得 s’ 中 a-z 都最少出現一次。 〈NTUJ 0839 Finding Seats〉 在一個 R× C(R, C≦300)的地圖中，每個座標不是’.’就是’x’。請找出面積最小的一個區域，使得這 個區域中最少有 K 個’.’。輸出該區域的面積。 ．這些使用 queue 的算法則是維持 queue 中元素滿足某種特性，且 queue 中的元素數量最多/少。.
(10) 二元樹 (Binary Tree) 在離散數學中，「圖」是用來表現物體與物體之間關係的方法，而圖論 就是專門研究圖的理論。在圖論當中，我們把物件抽象成一個 “點” 與 “邊” 集合的模型，以邊來表示點與點之間的關係。 一個圖是個二元組，用G=(V, E) 表示，V表示頂點的集合，E表示邊的集 合。其中若 u, v ∈ V之間有邊連通，則有(u, v) ∈ E。. 二元樹是樹的一種，樹是圖的一種特例，圖、樹等到圖論再進一步介紹。而關於有根樹的名詞：. 名詞. 定義. 深度(depth). 該點與樹根的距離(路徑中經過的邊數). 父節點(parent). 若(v, u) ∈ E 且 depth[ v ]＜depth[ u ]，稱 v 是 u 的父節點。. 子節點(child). 若(v, u) ∈ E 且 depth[ v ]＜depth[ u ]，則 u 是 v 的子節點。. 兄弟節點(sibling). 具有相同父節點的節點互為兄弟節點。. 度數(degree). 一個節點 v 的子節點個數。. 葉子(leaf). 沒有子節點的節點，又稱外部節點。. 高度(height). 最深的節點的深度。. m 元樹(m-ary tree). 所有節點的度數皆不超過 m 的樹。. 子樹(sub-tree). 取某一節點 v 為根，所有 v(含)以下的節點、邊形成的樹。. 森林(forest). 可能不連通、但不含圈的圖，即好幾棵樹形成的集合。. 二元樹的儲存 ．用相鄰串列(adjacent list)來存任意一棵樹：若總共有 V 個點，則開 V 個鍊結串，第 k 個鍊結串列儲. 存所有與節點 k 相鄰的點編號，空間複雜度為 Θ( V )。.
(11) ．二元樹中，我們可以明確區分一個點的左子節點、右子節點，所以可以對每個點 v 直接儲存指向其 左子、右子節點的指標 ．若一棵二元樹接近完整二元樹，那我們可以直接開一個陣列 A[ 1…n ] 來代表這棵二元樹，其中根 為 A[ 1 ]，點 v 的左子節點為 A[ 2v ]，右子節點為 A[ 2v＋1 ]，父節點為 A[ v/2 ]。 ．對任意一棵樹來說，也可以用 left-child-right-sibling 的方式將其轉為二元樹儲存：對於每個點 v，紀 錄它最左邊的子節點，以及它右邊的兄弟節點。 二元樹的走訪 (Traversal of Tree) 我們定義了二元樹的三種走訪方式： PRE-ORDER ( v ) [前序走訪] If v Is Not Null Then Do 1 Print “visit ” v. IN-ORDER ( v ) [中序走訪] If v Is Not Null Then Do 1 IN -ORDER ( left[ v ] ). POST-ORDER ( v ) [後序走訪] If v Is Not Null Then Do 1 POST -ORDER ( left[ v ] ). 2 3. 2 3. 2 3. PRE-ORDER ( left[ v ] ) PRE-ORDER ( right[ v ] ). Print “visit ” v IN -ORDER ( right[ v ] ). POST -ORDER ( right[ v ] ) Print “visit ” v. ．完整二元樹：一棵二元樹的節點由上而下、由左而又填滿排列 ．滿枝二元樹：高度為 H 時，具有 2H＋1－1 個節點的二元樹。 ．n 個節點可以形成幾種不同的二元樹 ? (三元樹、m 元樹呢 ?) ．給定一棵二元樹的中序走訪結果，及前序或後序走訪結果，怎麼重建出這棵樹 ? 練習題：TIOJ 1106, 1107, 1108. 二元搜尋樹 (Binary Search Tree) 二元搜尋樹是二元樹，且對任意節點 v，左子樹中節點的鍵值都比 v 的鍵值小，右子樹中節點的 鍵值都比 v 的鍵值大。 (以下的虛擬碼當中，v 代表當前節點，data[v]代表當前節點的資料，key[v]代表當前 節點的鍵值，left[v]代表當前節點的左子節點，right[v]代表當前節點的右子節點。). 尋找節點 依據二元搜尋樹的定義，比較鍵值決定該往哪邊搜，或是已經找到。 FIND (v, key) 1 If v Is Null Then Return “not found” 2 If key＜key[ v ] Then Return FIND (left[ v ], key) 3 Else If key＞key[ v ] Then Return FIND (right[ v ], key) 4 Else Return v 插入節點 插入的動作與刪除類似，如果要插入的鍵值不在二元樹中，那找到適當的位置之後把它插入。 INSERT (v, key, data) 1 If key＝key[ v ] Then Return v 2 If key＜key[ v ] Then Do 3 If left[ v ] Is Null Then Do 4 5 6. left[ v ] ← NEW-NODE (key, data) Return left[ v ] Else Return INSERT (left[ v ], key, data).
(12) 7. Else Do. 8 9 10 11. If right[ v ] Is Null Then Do right [ v ] ← NEW-NODE (key, data) Return right [ v ] Else Return INSERT (right[ v ], key, data). 刪除節點 考慮刪除節點 v 時的三種情況： ．如果 v 是葉節點，那直接刪除就好 ．如果 v 只有一個子節點，那把該子節點連到 v 的父親節點即可。 ．否則，把 v 用左子節點中最右邊的一個節點 u 取代，並將 u 刪除。 REMOVE (v, key) 1 If v Is Null Then Return “not found” 2 If key＜key[ v ] Then Do REMOVE (left[ v ], key) 3 4 5 6 7 8. Else If key＞key[ v ] Then Do REMOVE (right[ v ], key) If left[ v ] Is Null And right[ v ] Is Null Then Do If v＝left[ parent[ v ] ] Then Do left[ parent[ v ] ] ← Null Else Do right[ parent[ v ] ] ← Null DELETE-NODE (v) Else If left[ v ] Is Null Then Do. 9 If v＝left[ parent[ v ] ] Then Do left[ parent[ v ] ] ← right[ v ] 10 Else Do right[ parent[ v ] ] ← right[ v ] 11 DELETE-NODE (v) 12 Else Do 13 p ← left[ v ] 14 While right[ p ] Is Not Null Do 15 16 17 18. p ← right[ p ] key[ v ] ← key[ p ] data[ v ] ← data[ p ] REMOVE (p, key[ p ]). 若一棵二元搜尋樹的高度為 h，則插入、刪除、查找操作的時間複雜度都是 O(h)。而元素插入二 元搜尋樹的順序影響其高度很大，最優是 log2(n＋1)，最差是 n－1。在元素隨機插入二元搜尋樹的狀 況下，高度期望是 O(log h)，因此有種平衡的二元搜尋樹就是用此原理實現 (叫做 treap )。 UVaOJ 10909 Lucky Number 首先先把所有的偶數刪去：1, 3, 5, 7, … 接著再每數 3 個數，就把第 3 個數刪去：1, 3, 7, 9, 13, 15, … 然後每數 7 個數，就把第 7 個數刪去…依此類推，最後剩下來的數字就稱為幸運數。 請問對任意 n (0＜n≦2,000,000)，n 是不是兩個幸運數的和呢 ? 〈TIOJ 1382 約瑟問題〉 現在有 1, 2, …, n 圍成一圈，第 k 次數數數到第 ak 個數就要消失，請問數消失的順序是 ?.
(13)
Dokumen terkait
Hasil pengujian parameter estimates pada kelompok 1 dengan akuntan forensik sebagai referensi kategori menunjukkan nilai B yang positif, dapat disimpulkan bahwa,
