§ 4 勒让德函数

(1)

一、勒让德函数的定义

[第一类勒让德函数]

)

2

;1 1

; 1 , ( )

( z

F z

P_      ) (1 2)

2 (1 ) 1 (

)

! (

) 1 ) (

1 (

0 2   









 





^



z z n

n

n _n

n

n 



它在除去(,1)的z平面内单值解析.

[第二类勒让德函数]

1) 2;

; 3 2 1 2, 1 (2 1 2) ( 3 2

) 1 ) (

(

1 1 2

1 F z

z z

Q   







 

 _



 





 

 (z 1)

它在除去(,1)的z平面内单值解析.

; )

2

; 3 2 , 2 2 ( 1 )!

1 2 (

)

! ( ) 2 (

2 ¹ ²

2      

 

 n n n z

F n z

z n

Q ⁿ

n n

1 ln 1 ) 2 ( 1 1 ln 1 ) 1 d (

d 2

!

1 ₂



 







 

 z

z z z P

z z z

n ⁿ

n n



^

 

 

    



 



 







  ²

1

0

1

2 ( )

) )(

1 2 (

) 1 4 2 ( 1

ln 1 ) 2 ( 1

n

k

k n

n P z

k n k

k n z

z z P



  

 

  ⁿ

k

k n k

n P z P z

k z

z z P

1

1( ) ( )

1 1 ln 1 ) 2 ( 1

它在除去(1,1)的z平面内单值解析.

[ ( 0) ( 0)]

2 ) 1 (

3 Q_n x  Q_n xi Q_n xi

x x x

x P x x

x

n ⁿ

n n

n

n 

 







 

 1

ln1 ) 2 ( 1 1

ln1 ) 1 d (

d 2

!

1 ₂

(1x1) [一般勒让德函数]

)

2

;1 1

; 1 , 1 (

1 ) 1 ( ) 1

( ² z

z F z z

P     



 











    



 (1z 2)

Q_^(z) 1 )

2;

; 3 2 ,2 2 (1 ) 1 ( 2) ( 3 2

) 1

(

2 1

2 2

1 F z

z z

eⁱ      







 



 

 





















 (z 1)

它们在除去(,1)的z平面内单值解析，并且是勒让德微分方程

0

) 1 1 ( 2

) 1

( 2

2

2  



 





 







 w

w z z w

z   

的两个线性无关解.

当0时，它们分别是第一、二类勒让德函数.

当 m(m为正整数）时有

(2)

( ) d

) d 1 ( )

( ² ² P z

z z z

P m

m m

m 

   )

2

;1 1

; 1 , ) ( 1 (

) 1 (

1 1

!

1 ² z

m m F

m z

z m

m    









 



 







   



^P^^m ^z ^ _^ _^^m_m^_ ^P^m ^z ^ ^z ^ ^^m

 

1^z 1^z^P ^z ^z ^m

2 1) 2 ( )(d )

( ) ) ( 1 (

) 1 ) (

( _ _

 

 

( )

d ) d 1 ( )

( ² ² Q z

z z z

Q m

m m

m 

  

^ ^ _^ _^ ^_ ^ ^ ^ ^

 

z^ z^

m m

m Q z z Q z z

m z m

Q ( ) ( 1) ( 1) ( )(d )

) 1 (

) 1 ) (

( _ ² ^/² _

 

 

对于zx (1x1),有

( ) ( 0) ² ( 0)

1 2

1

i x P e i x P e x

P_^  ⁱ ^ _^   ^ⁱ ^ _^ 

)

2

;1 1

; 1 , 1 (

1 ) 1 (

1 ² x

x F

x    



 











    



（当0, n时，即为勒让德多项式P_n(x))

[ ( 0) ( 0)]

2 ) 1

( ²

1 2

1

i x Q e i x Q e e x

Q_^  ^ⁱ^ ^ⁱ ^ _^   ⁱ ^ _^ 

     



 



















  )

2

;1 1

; 1 , 1 (

1 ) 1

( 2

) ( ) 1

( ²

1

F x x

x   







 ^

)

2

;1 1

; 1 , 1 (

1 2

) c o s ( )

( ²

1

F x x

x 





 



 









   ^   

( )

d ) d 1 ( ) 1 ( )

( ² ² P x

x x x

P m

m m m

m 

   

)

2

;1 1

; 1 , ) ( 1 (

) 1 (

1 1

! ) 1 1

( ² x

m m F

m x

x m

m

m 



 







 



 







 

  



( )

) 1 (

) 1 ) (

1 ( )

( P x

m x m

P_^m ^m _^m











 



 ^ ^ ^m ^^x ^^m

 

1^x 1^x^P ^x ^x ^m

2) 2 ( )(d )

1 ( ) 1

(  _

) ) ( 1 (

) 1 ) (

1 ( ) (

) d (

) d 1 ( ) 1 ( )

( ² ²

x m Q

x x Q x

x Q

m m

m

m m m m

m













 









( 1,2,)

二、勒让德函数的其他表达式



^









 

0 1

2) ( 3

!

) 1

( 2 )

(1 ) ( s i n 2)

( 3

) 1 (

) 2 ( c o s

k

k k k

k P







 







 ^  ^

 s i n [ (2k 1)]

(0 )



^

 







 

0 2

1

2) ( 3

!

) 1 (

2 ) (1 2)

( 3

) 1 ) (

s i n 2 ( ) ( c o s

k

k k k

k Q













 



 ^

 c o s [ (2k 1)]

(0 )

(3)



 

 

C t

z t t z i

P d

) ( 2

) 1 ( 2

) 1

( 1

2



 

式中C为t平面上的一条正向的简单闭曲线（图12.2），包围点是z 和1，但不包围点1.

当Rez0（或当为整数）时，













 





 拉普拉斯第二积分表示）

）拉普拉斯第一积分表示 (

d ) cos 1 1 (

( d ) cos 1 1 (

) (

0

1 2

0

2

 

  





 

z z

z z z

P

^ _ _^ _ ^_ ^_



0^ ^ ^ ^ ^

1 2 2 1

2

d ) ( s i n h )

c o s h ) (

1 ( ) (

) 1 ( ) 2

( z z t t t

z

P ^ ^ ^

 

   

(Re()Re 1,z(1,))

^



^ ^ ^ ^





  ^ ^ ^ ^

 



 ⁰

2 2 1 2 2 2

d ) ( s i n ]

c o s ) 1 ( [ 2 )

(1 ) 1 (

2 z z z t t t

) 2 ( R e 1

^ ^ ^_^_^_ _^



0^ ^ ^ ^ ^

2 1

2 1) cos ] cos( )d ( R e 0)

( ) [

1 (

) 1 ) (

( m z z t mt t z

z P^m



^ _^{ } _^





 ^ ^ ^^^

  





 

0

2 1

d 2) ( 1 c o s )

c o s ( c o s 2 )

(1 ) ( s i n ) 2

( c o s t t t

P

,0 ) 2

( R e 1  

t

t z

t z P

Q_n ⁿ( )d 2

) 1

( ¹



1 





 

 

C t

t z t z i

Q d

) ( 2

) 1 ( s i n

4 ) 1

( 1

2



 

其中积分路线C见图12.3.当Re 1, z[1,1]时，



 

 

 ¹ 

1 1

2

1 d

) (

) 1 ( 2

) 1

( t

t z z t

Q 



 



















 





  

) 0 ( R e d

) ch 1 (

) 1 (Re d

) ch 1 (

) (

0

2 0

1 2











 z z

z z z

Q

Q_^(z)



^ ^ ^ ^ ^ ^







 

0

2 2 1

1 2 2 2

d ) sh ( ] ch ) 1 ( [ 2)

( 1 ) 1 (

2

) 1 )(

1

( z z z t t t

eⁱ _ _ _



 



















(a r g (z1) ,R e ( 1)0)

Q_^( c o s) 



  





  ^



0^ ^ ^

2 1 1

d ) ( ch ) ch sin ) (cos

1 (

2

) 1

( e ⁱ  i  t t t









  

_



 





0^ ^ ^

2 1 1

d ) ( ch ) ch sin

(cos i t t t

e ⁱ^   ^ 

(4)

( R e ( 1)0, 1,2,)

三、勒让德函数的递推公式与有关公式

(2 1)zP_^(z)( 1)P_^_₁(z)( )P_^_₁(z)0

( ) ( ) (2 1)( 1)² ¹( ) 0

1 2 1

1  _    ^ 

 z P z z P z

P_^ _^  _^

( ) 2( 1) ( 1) ² ¹( ) ( )( 1) ( ) 0

1 2

2    ^ ^     

 z z z P z P z

P_^  _^     _^

P_ ₁(z)zP_(z)( 1)P_(z)



zP_(z)P_ ₁(z)P_(z)



(z² 1)[P_^(z)]( 1)P_^_₁(z)( 1)zP_^(z) zP_^(z)( )P_^_₁(z)

上述公式对于Q_^(z)也适用，只需把公式中的P换为Q.利用 ( 0) ² ( )

1

x P e i x

P_^   ^ ⁱ^ _^

可得出区间[1,1]上相应的递推公式，对于Q_^(x)也有类似公式.

四、勒让德函数的正交性

这里只讨论函数P_l^m(x)(l,m为正整数，1x1)的正交性，公式如下







 







  k l

n l

n l l

l k x

x P x P_lⁿ _kⁿ

)!, (

)!

( 1 2

2 , 0 d

) ( ) (

1 1











 

 

 

1

1 2 ,

)!

( )!

( 1

, 0 1

) d ( )

( m n

n l

n l n

n m x

x x P x P_l^m _lⁿ







 

 



 



l l k

l k x

x P x

P_lⁿ _kⁿ ⁿ

1 , 2

) 1 ( 2

, 0 d

) ( ) (

1 1











 

 

1

1 2 ( 1) ,

, 0 1

) d ( )

( m n

n

n m x

x x P x

P_lⁿ _l ^m ⁿ

五、勒让德函数的渐近表达式与不等式

[渐近表达式]



 



















 









  ^ ^

 1)

( ) 1

( 2

2) ( 1

) 1 (

2) ( 1 2 )

( 2

2 1

1 z O z

z z

P ^





















(2 1,3,5,,z ,a r gz )





 



 



 



 







  ^ ^

 2

1 1

1 1 2)

( 3

) 1 (

) 2

( e z O z

z Q

i 



 

 



 

(2 3,5,, z ,a r gz ) [不等式]

(5)

2 1

) ( s i n

1 )

1 (

) 1 (

) 8 ( c o s



  





 



 

 





 

P

2 1

) ( s i n

1 )

1 (

) 1 (

) 2 ( c o s



  





 





 





  Q

2 1

) ( s i n

1 )

1 (

) 1 (

) 2 ( c o s



  





 

m

m m

P

 



 



2 1

) ( s i n

1 )

1 (

) 1 ) (

( c o s



  





 

m

m m

Q

 



 



不等式中, 为实数，且 1, 10,0,m为正整数.

§ 4 勒让德函数 - Dr. Huang