§ 3 超几何函数
一、 高斯超几何级数
*[高斯超几何级数及其解析开拓]
F(,;;z)2F1(,;;z)
0 ( ) !
) ( ) ( ) ( ) (
) (
n
n
n z n
n n
(z 1, 0,1,2,) 称为高斯超几何级数，它是超几何微分方程
z(1z)[ (1)z] 0
的解，并在 z 1内单值解析.
01 11(1 ) (1 ) d
) ( ) (
) ) (
;
; ,
( z t t tz t
F
(Re Re 0,a r g (1z) )
是高斯超几何级数到除去(1,)的z平面内的解析开拓，也称为超几何函数.
[超几何函数的积分表达式]
z t
t
t t t
z i
F i t
i ( ) d
) (
) ( ) ( ) ( 2
1 ) ( ) (
) ) (
;
; ,
(
(a r g (z) ,, 0,1,2,)
积分路线的选取，应使函数(t),(t)的极点在路线左边，函数(t)的极点在路线右 边.
该积分式称为巴恩斯积分表示.
[递推公式与有关公式]
( 1)F(,; 1;z)F(1,;;z) ( 1)F(,;;z)0 F(,;;z)zF(,1; 1;z)F(1,;;z)0
F(,;;z)F(,;;z)
) (
)
;
; , lim (
z F
n ( 1, 1; 2; )
)!
1 )(
( ) (
) 1 (
) 1
( z 1F n n n z
n n
n n
* 超几何级数的一般形式是
0 1
1 1
;
1 ( ) ( ) !
) ( ) ) (
; , , , , (
n
n
n q n
n p n q
p q
p n
z z
F
式中1,,p称为分子参数，1,,q称为分母参数.收敛性如下：
当pq时，对所有有限的z,pFq都收敛.
当pq1时，对满足z 1的z,pFq都收敛.
当pq1时，对所有的z 0,pFq都发散.
R e ( ) 0
, , 2 , 1 , 0 )
( ) (
) (
) ) (
;
; , ( l i m
1
z
F
z
F(,;;0)1
( , ; ; )
) (
) ( ) ) (
;
; , d (
d F z F n n n z
z n
n n n
n
[变换公式]
)
;
; , ( )
1 ( )
;
; , (
1 F z z F z
)
; 1
; , ( ) 1
(
z F z
z
)
; 1
; , ( ) 1
(
z F z
z
2
1 ( ) ( )
) (
) ( )
( ) (
) (
) ) (
;
; , (
2 F z u u
( 0,1,2,) 式中 u1 F(,; 1;1z)
z1F(1, 1; 1;1z)
1)
1
; 1
; 1 ,
( z
F
z
1)
1
; 1
; , 1
( z
F
z
u2 (1z)F( , ; 1;1z) z1(1z)F(1,1; 1;1z)
1)
1
; 1
; 1 , ( )
1
( z F z
z
1)
1
; 1
; 1 , ( )
1
( z F z
z
3 4
) ( ) (
) ( ) ( )
( ) (
) ( ) ) (
;
; , (
3 F z u u
( 0,1,2,)
式中 1)
; 1
; 1 , ( )
3 (
F z z
u
1)
; 1
; , 1 ( )
1 ( )
(z z F z
)
1
; 1 1
; , ( ) 1
( z F z
)
1
; 1 1
; 1 , 1 ( )
1 ( )
( 1 1
F z z
z
1)
; 1
; , 1 ( )
4 (
F z z
u
1)
; 1
; , 1 ( )
1 ( )
(z z F z
)
1
; 1 1
; , ( ) 1
( z F z
)
1
; 1 1
; 1 , 1 ( )
1 ( )
( 1 1
F z z
z
; ) 2
; 1 2 , 1 ( ) 1 ( ) ) 1 (
; 4 2
; , (
4 2 2
2 z F z
z
F z
)
) 1 (
; 4 2 ; , 1 (2 ) 1 ( )
;
; 1 ,
(
5 z 2
F z z z
F
) )
(1 2;
; 1 2 , 1 (2 ) 1 ( ) 2
; 2
; , (
6 2
z F z
z z
F
;4 (1 ))
2
; 1 , ( ) 2;
; 1 2 , 2 (
7 F z F z z
[渐近表达式]
( )
) (
! ) ( ) ( 1 1
)
;
; , (
1 1
n n
n n
n z O
z n z
F
(,,z固定，z 1, ,arg )
0
1)]
( 1 ) [ (
! ) ( ) ) (
;
; , ( 2
n n
n
n O
n z z
F
(,,z固定，0 z 1, 0,1,2,, , ) arg 2
2
3
z
3 当z时，变换公式3为F(,;;z)的渐近表达式.
二、 库默尔函数（合流超几何函数）
[库默尔函数及其积分表达式] 级数
0 1
1 0, 1, 2,
) (
) ( ) (
) ) (
;
; (
n
n
n z n z n
F
称为库默尔函数（或合流超几何函数），它分别是变量z和参数 的整函数.它满足库默尔微分
方程
zw( z)ww0 它的积分表达式有
01 1 1 1
1 (1 ) d
) ( ) (
) ) (
;
; (
1 F z eztt t t
(Re Re0,a r gta r g (1t)0)
z t
t t t z i
F i
i
t
( ) d
) (
) ( ) ( 2
1 ) (
) ) (
;
; ( 2 1 1
) ) 2 a r g ( , , 2 , 1 , 0
( z
积分路线的选取，应使函数(t)的极点在积分路线左边，(t)的极点在积分路线右边.
该式称为1F1的巴恩斯积分表示.
[递推公式与有关公式]
( 1)1F1(; 1;z)1F1(1;;z)( 1)1F1(;;z)0 1F1(;;z)z1F1(; 1;z)1F1(1;;z)0
1F1(;;z)ez1F1( ;;z) （库默尔变换）
( ;1 ; )
1,2,
! ) ( )
( )
;
;
l i m1 1( 1 1
1
z F n n z n
n z
F n n
n
( ; ; ) )
( ) ) (
;
; d (
d
1 1 1
1F z F n n z
z n
n n
n
( ; ; )
) (
) ) (
1 ( )]
;
; ( d [
d
1 1 1
1F z e F n z
z e
z n n n z
n
n
[渐近表达式]
n
k
k n
k O z k z k
F
0
1 1
1 ( )
! ) (
) ( ) (
) ) (
;
; (
1
(,z有界， ,arg , 0) )
;
; ( 2 1F1 z
n
k
n k
k
z z O z
k k
z k e
0
1) ) (
(
!
) (
) 1 ( )
( ) (
n
k
n k
i z O z
k k
z k e
0
1) ) (
(
!
) ( )
( ) (
(z ,式中“”号这样选取：当
2 arg 3 2
z 时取正号，
当
arg 2 2
3
z 时取负号）
)
;
; ( 3 1F1 z
n
k
n k
k
z z O z
k k
z k e
0
1 )
( ( )
) (
!
) (
) 1 ( )
( ) (
, 0, 0, 1, 2, ) a r g 2
,
(
z z
