92.04.30 班級範圍2-5 ㆓ 是定理+Ans 座號姓 ㆒. - 明誠

高雄市明誠㆗㈻ 高㆓數㈻平時測驗 ㈰期：92.04.30 範 班級

圍 2-5㆓㊠是定理+Ans 座號

姓

㈴

㆒. 填充題 (每題 10 分)

1、(a−2b)⁵展開式中，b⁵項的係數為_______，a³b²項的係數為_______。

答

答案案：： _r ^{r r}

r C a b

b

a ⁻

= −

∑

=

− ^{5 5 5}

0

5 ( ) ( 2 )

) 2

( ，，b⁵項的項的係係數數為為C₀⁵(−2)⁵ =−32, ,

2 3b

a 項的項的係係數數為為C₃⁵(−2)² =40

2、試求在 ³ 3)¹⁰ 2

( x − x 的展開式中的 (1)第六項為____________。(2) 1₁₀

x 項的係數為____________。

答案答案：： ³ 3)¹⁰ 2

( x − x

r r

r Cr x 3x)

( ) 2 ( ^{3 10}

10 10

10 ⋅ −

∑

= ⁻

=

r r r r

r Cr ⁻ x ^{− −}

= ⋅ ⋅ − ⋅

∑

= ^{10 10 10 30 3}

10 (2) ( 3)

(

(11))第第六六項項C₅¹⁰(2)⁵(−3)⁵x¹⁰ =−2⁷ ×3⁷ ×7×x¹⁰ =−1959552x¹⁰ (2(2))30−4r =−10 ∴∴r =10,, C₁₀¹⁰(2)⁰(−3)¹⁰ =3¹⁰

3、設 N，( 與 之展開式中 之係數相等，則 項之係數為________

（以 與 表示之），又 ______________（以 表示之）。

n∈ ax+2)²ⁿ n

1

)2

2

( x+a ⁿ⁺

= a

xn xⁿ

a n

答案答案：：_Cn²ⁿ_(ax)ⁿ_⋅(2)ⁿ _=Cn²ⁿ⁺¹_(2x)ⁿ_⋅(a)ⁿ⁺¹==C_n²ⁿaⁿ ⋅2ⁿ ⋅xⁿ

∴∴C_n²ⁿ⋅aⁿ ⋅2ⁿ =C_n²ⁿ⁺¹⋅2ⁿ ⋅aⁿ⁺¹

1 2

1 +

= +

⇒ n

a n ∴∴xⁿ項係項係數數為為C_n²ⁿ⋅aⁿ ⋅2ⁿ

4、設(ax−1)⁹與 )⁸ 3

(x− 2 之展開式中的 項係數相等，則 = _______，又( 展開式 中 項係數為_______。

x3 a ax−1)⁹

x3

答案答案：： ₃^{9 3} ₃^{8 3} )⁵ 3 ( 2 )

(ax =C x −

C ∴∴ ³ )⁵

3 ( 2 6

9a = × − ∴∴

9

−4

= a x3項係項係數數為為

243 ) 1792 3 ( 2 ⁵

8

3 − =−

C

5、試求1 之展開式中， 項的係數為_______，

項的係數為_______。

19 3

2 ( 1) ( 1)

) 1 ( ) 1

( + + + + + + + +

+ x x x " x x¹⁸ x⁵

答案答案：：

x x x

x

x (1 ) 1

) 1 ( )

1 ( ) 1

( + + + ² + + + ¹⁹ = + ²⁰ −

+ "

1

x18項的項的係係數數為為C₁₉²⁰ =20，，x⁵項的項的係係數數為為C₆²⁰ =38760

第 1 頁

6、求(1+x+x³)¹⁰的展開式中，x⁴項的係數為__________，又x²²項係數為__________。

答案答案：：(1+x+x³)¹⁰== ^{α β}

！ β α β

α

！ ( ) )

10 (

!

!

10 ₃

10 ,

0 x x

−

∑ −

≤

≤αβ

α+α+33ββ== 44，， α α 4 4 1 1 β β 0 0 1 1

係數係數為為 300 8

10 6 4

10 + =

！

！

！

！

！ α+α+33ββ== 2222，，

α α 1 1 4 4 β β 7 7 6 6

係數係數為為 570 4 6 10 2 7

10 + =

！

！

！

！

！

！

n

7、(1)設2000<C₀n +2C₁ +4C₂ⁿ +"+2ⁿC_nⁿ <2500，則n=_______。

(2)C₃⁵ +C₄⁶ +C₅⁷ +"+C₁₆¹⁸ =_______。

答案答案：：((11))C₀ⁿ +2C₁ⁿ +4C₂ⁿ +"+2ⁿC_nⁿ =(2+1)ⁿ =3ⁿ,,2000<3ⁿ <2500

=7

n ,, 3⁷ =2187

(2(2))(C₀² +C₁³ +C₂⁴)+(C₃⁵ +C₄⁶ +"+C₁₆¹⁸)=C₁₆¹⁹ =C₃¹⁹ =969

∴∴C₃⁵ +C₄⁶ +"+C₁₆¹⁸ =969−10=959

8、(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)(x+9)展開式中，x⁴的係數為_________，x³的係數為_________。

答案答案：：x⁴的的係係數數為為1+3+5+7+9=25

x3的係的係數數為為(1×3+1×5+1×7+1×9+3×5+"+7×9) + =

+ + +

− + + +

= +

2

) 9 7 5 3 1 ( ) 9 7 5 3 1

( ^{2 2 2 2 2 2}

2

) 81 49 25 9 1 (

25² − + + + +

=2=21155 9、 4₂)⁶

(x−x 展開式中，常數項為_________，又x⁵項係數為__________。

答

答案案：： _r ^{r r} _Cr ^r _x ^r

x ⁶ x₂ ^{6 6 3}

6 4) ( 4)

( )

( ⁻ ⋅ − = ⋅ − ⋅ ⁻

C ，，常常數數項項時時，，r =2,, C₂⁶(−4)² =240 x5項係項係數數 ∵∵6−3r=5, ,

3

=1

r （不（不合合）），，故故其其係係數數為為0 0

10、試求(1) ___________，(2)0.98⁵ = ______________。（求到小數點後第三位；以 下四捨五入）

= 5023

答案答案：：((11))((550000++22))^{3 3} 126506008

2 + 2

× 500

× 3 + 2

× 3(500) +

(500)^{3 2 2 3}

=

= (

(22))((11−−00..0022))⁵⁵

5

2 3 4

1 5 0.02+10 2)

1 0.1+0.004 0.00008

= − − −

− −

≒0≒0..990044

11、(1)C₀¹⁰C₄⁵ +C₁¹⁰C₃⁵ +C₂¹⁰C₂⁵ +C₃¹⁰C₁⁵ +C¹⁰₄ C₀⁵ =_______。

第 2 頁

(2)C₁¹⁰+2C¹⁰₂ +3C₃¹⁰ +"+10C₁₀¹⁰ =____________。

答

答案案：：((11))原原式式==C₄¹⁵ =1365

(2(2))10+10×C₁⁹ +10×C₂⁹ +"+10×C₉⁹ =10×2⁹＝5120 12、(1)C₄⁴ +C₄⁵ +C₄⁶ +"+C¹¹₄ =_____________。

(2)C₆¹³+C¹²₅ +C¹¹₄ +C₃¹⁰+C₂⁹ +C₁⁸ =___________。

答

答案案：：((11))C₄⁴ +C₄⁵ +C₄⁶ +"+C¹¹₄ =C₅¹² =792 (

(22))C₆¹³+C¹²₅ +C¹¹₄ +C¹⁰₃ +C₂⁹ +C₁⁸ =C¹⁴₆ −C₀⁷ =3003−1=3002

13、(2a−3b)⁶展開式中，ab⁵項的係數為_______，a⁴b²項的係數為_______。

答

答案案：：((11))C₁⁶(2a)¹(−3b)⁵ =−2916ab⁵ ((22))C₂⁶(2a)⁴(−3b)² =2160a⁴b² 14、(1)(x+1)²除x⁹ −10x+1之餘式為_______。

(2)(x+1)³除x⁹ −10x+1之餘式為_______。

答

答案案：：令令y=x+1 ∴∴x= y−1∴∴x⁹ −10x+1=(y−1)⁹ −10(y−1)+1 1 10 10 )

1 ( )

1 ( )

1 ( )

( ₂^{9 7 2} ₁^{9 8} ₀^{9 9 0}

3⋅ + − + − + − − + +

= y Q y C y C y C y y

=

=y³⋅Q(y)−36y² +9y−1−10y+11 = = y³Q(y)−36y² − y+10

∴(∴(x⁹ −10x+1)除)除以以(x+1)²之之餘餘式式為為−(x+1)+10=−x+9 (

(x⁹ −10x+1)除)除以以(x+1)³之之餘餘式式為為

= + +

− +

−36(x 1)² (x 1) 10 −3−366x² −73x−27 15、11¹⁵除以100的餘數為______。

答案答案：：5151 解

解析析：：11¹⁵ =

(

10+1

)

¹⁵ =10¹⁵+C₁¹⁵⋅10¹⁴ +"+C₁₃¹⁵⋅10²+C₁₄¹⁵⋅10+1

(

^{10 10}

)

^{10 1}

10²× ¹⁴+ ₁¹⁵⋅ ¹³ + + ₁₃¹⁵ + ₁₄¹⁵⋅ +

= C " C C

(

¹⁰

)

¹⁵¹

100× ¹⁴+ + ₁₃¹⁵ +

= " C

(

^{10 1}

)

⁵¹

100× ¹⁴ + + ₁₃¹⁵+ +

= " C ∴餘∴餘數數55

∈

∈ 1 1 16、(1)C₀ⁿ+C₁ⁿ +C₂ⁿ+ +" C_nⁿ =_________,n N。

(2)C₀ⁿ−C₁ⁿ +C₂ⁿ−C₃ⁿ+ + −" ( 1)ⁿC_nⁿ =_______,n N。

㆔. 計算與證明題 (每題 10 分)

1、試利用二項式定理求下列二數之值：

(1) 1.03⁴ (2) 49.5⁴ 答案答案：：((11)) 1.03⁴==(1+0.03)⁴

= = 11 ++ 44×0.0.0033 ++6(0.03)²++4(0.03)³++(0.03)⁴

=

= 11 ++ 00..1122 ++ 00..00005544 ++ 00..000000110088 ++ 00..0000000000008811 == 11..1122555500888811 (2(2)) 49.5⁴== (50−0.5)⁴

==50⁴−4×50³×0.5+6×50²×0.5²−4×50×0.5³+0.5⁴

=

= 66225500000000 –– 225500000000 ++ 33775500 –– 2255 ++ 00..00662255 == 66000033772255..00662255 2、試求(2a – 3b)⁵的展開式。

答案答案：：_(2a−_3b)⁵=_C0⁵_(2a)⁵+_C1⁵_(2a)⁴₍−_3b)+_C2⁵_(2a)³₍−_3b)²

5 5 5 4 5

4 3 2 5

3(2a) ( 3b) C (2a)( 3b) C ( 3b)

C − + − + −

+

5 4

3 2 2

3 4

5 240 720 1080 810 243

32a − a b+ a b − a b + ab − b

=

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