高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：93.11.04 班級
範 圍
2-5空間直線方程式
+Ans 座號
姓 名 一. 選擇題 (每題 10 分)
1、( B ) 設直線L的方程式為 2 1
3 1
1 2 x− y+ z
= =
−
− ，則下列那一個平面與L平行？
(A)2x− + =y z 1 (B)x+ − =y z 2 (C)3x− +y 2z=1 (D)3x+2y+ =z 2 (E)x−3y+ =z 1
解析解析：若：若LL////EE，，則則LL的的方方向向向向量量⊥E之之法法向向量量(3, 1, 2) (1,1, 1)− ⋅ − =0
2、( A ) 空間中二直線 1: 1 2, 2: 2 3
3 3 2 1 2
x y z x y z
L L
n
− = = + + = + =
− − 相交於一點P(a,b,c)，則下 列選項何者正確？ (A)a= −8 (B)b= −9 (C)c= −2 (D)n=1 (E) 9
n= −2 解
解析析：： 1 2 , 3 1, 3 , 2 2
3 3 2
x y z
t x t y t z t
− = = + = = + = − = −
− ，，3 1 2 3 3
1 2
t+ + = − +t
−
∴∴t = −3 ∴∴PP((−−88,,99,,−−88))，，又又 8 2 9 3 8
1 2 n
− + = + =−
− ，∴，∴ 4 n= 3
3、( A ) 設平面E: ，若直線L上有兩個相異點在平面E上，則直線L可能為
下列那一組對稱比例式？ (A) 2
x− y+ =z 2
5 1
1 1 1
1 x− y− z+
= = (B) 5 1
1 2 1
1 x− y− z+
= =
−
(C) 5 1
2 1 2
1
x− = y− = z+ (D) 1 2
1 1 1
1 x− = y+ = z−
(E) 1 2
1 2
1 1 x− = y+ = z−
− 解析解析：L：L在在平平面面EE上上，，∴∴LL之方之方向向向向量量⊥E之法之法向向量量(1, 2,1) (1,1,1)− ⋅ =0
又(又(55,,11,,−−11))在在平平面面EE上，上，但但((11,,−−22,,11))不不在在平平面面EE上 上 4、( B ) 設A(2,1,−1), B(5,−5,2)，則射線AB的參數式為
(A)x= +2 3 , 1 6 , 1 3 , 1t y= − t z= − + t t≤ (B)x= −2 t y, = +1 2 , t z = − −1 t t, ≤0 (C)x= +5 3 , 5 6 , t y= − − t z = +2 3 , 3t t≥ − (D)x= +5 t y, = − −5 2 , 2t z= +t t, ≤ −1 (E)x= −5 t y, = − +5 2 , 2t z = −t t, 3≥
5、( AB ) (複選)在空間中，直線
1 4
: 2 ,
3 5
x t
L y t
z t
⎧ = +
⎪ = ∈
⎨⎪ = −
⎩
\，下列敘述何者正確？
(A)L與平面E: 4x−5z+ =11 0恰交一點 (B)L與平面E:10x+ +y 8z+ =1 0平行 (C)L與平面E: 5x+3y+4z+ =1 0垂直 (D)L與x軸平行 (E)L與y軸垂直
三. 填充題 (每題 10 分)
6、設A(3,1,4)，直線 : 1 1
4 3 2
x y z
L − = + =
− ，則由點A與直線L所決定之平面方程式為________。 答案答案：：8x+6y−7z=2
解
解析析：B：B((11,,−−11,,00))在在LL上，上，又又AA((33,,11,,44))，，故故____\BA=(2, 2, 4)⇒(2, 2, 4) (4, 3, 2)× − =(16,12, 14)−
∴平∴平面面方方程程式式為為8x+6y−7z=2
7、直線L1過(2,0,0), (0,0,6)，直線L2過(2,3,6), (0,3,0)，若平面E包含直線L2與直線L1平行，則 平面E之方程式為________；又直線L1與L2之距離為________。
答案答案：：y=3; ; 33
第 1 頁
解析解析：：A
K
1= −( 2, 0, 6), (2, 0, 6), AK
2 = A AK K
1× 2 =(0, 24, 0)，，∴∴平平面面EE為為 3y= , , AA((22,,00,,00))
1 2
( , ) ( , ) 3 3
d L L d A E −1
= = =
8、若二直線 1:2 3 1 1
3 4
x z
L = y+ = − 與 2:x 8 y 4 z
L a b c
− = − = +14平行，則 ________。(以
簡單整數比做答)
: : a b c=
答案答案：9：9：：22：：((−−2244)) 解析解析：： 1
1 3 1
:3 1 4
2 3
x y z
L
+ −
= =
− ，∴，∴ : : ( ) :3 1: ( 4) 9 : 2 : ( 24) 2 3
a b c= − = −
9、過A(3,−2,−2), B(−1,0,−2)兩點的直線L與平面E:2x− −y 2z=7之交點為________，又直 線L與平面E之銳夾角為θ，則cosθ =_______。
答
答案案：(：(11,,−−11,,−−22));; 2 3
解析解析：：HJJGAB x: + =1 4 , t y= −2 , t z= − 代入代入E，2(
2 4t− − −1) ( 2 ) 2( 2)t − − =7 ∴∴ 1 t=2
∴交∴交點點為為((11,,−−11,,−−22))，， (2, 1, 2) (2, 1, 0) 5 cosα = − − ⋅3 5 − = 3
× ∴∴cos sin 2
θ = α = 3 10、設L1: 2
1
x− 1
1 y−
= =
−
1 4 z−
, L2: 5 4
x− 3
1 y−
= =
3 z ，則 (1) 與 的交點坐標為____________。
(2)包含 與 之平面方程式為_______________。
L1 L2 L1 L2
答案答案：(：(11)) PP((11,, 22,,−−33)) (2(2)) − +7x 13y+5z=4
解析解析：(：(11))令令交交點點P t( + − +2, t 1, 4t+1)，，代代入入L2，∴，∴ 3 4
t− 2
1
− −t
= = 4 1
3
t+ ⇒t= −1
∴∴交交點點P(P(11,, 22,,−−33))。。 (
(22))令令
K
n =(a(a,, bb,, cc))，，∴∴ ⊥⊥ 且且 nK
v1
K
n
K
⊥⊥vK
2∴∴取取((aa，，bb，，cc)) 1 4 ( 1 3
= − ，，4 1
3 4，，1 1
4 1
− ))= −( 7，1，133，，55 ))
∴
∴EE::− +7x 13y+5z=k，，∴∴將將P(P(11,, 22,,−−33))代代入入，，∴∴k = − +7 26 15− =4,,
∴∴EE::−7x+13y+5z=4
11、若直線 : 2 3
2 1 3
x y z
L + = − = 在平面E:x+ay−2z=b上，則a=________, b=________。
答
答案案：4：4;; 1100 解
解析析：： 2 3 (2,1, 3)
2 1 3
x+ = y− = ⇒ =z K
A 平面E:x+ay−2z= ⇒ =b nK (1,a, 2)− 0
n n
⊥ ⇒ ⋅ =
K K K K
A A ∴∴2 1 1× + × + × − = ⇒a 3 ( 2) 0 a=4, , ( 2, 3, 0)− ∈ ⇒ − +L 2 3a− = ⇒0 b b=10
12、設平面E與平面x−2y+5z=2及2x−3y+ =z 3相交於一直線，又點A(−4,1,2)在平面E 上，則平面E的方程式為________。
第 2 頁
答案答案：：8x−15y+31z−15=0 解
解析析：設：設平平面面EE為為k x( −2y+5z− +2) (2x−3y+ − =z 3) 0 A(−4,1,2)代入平面E
∴∴2k−12=0 ∴∴k=6，∴，∴平平面面EE為為8x−15y+31z−15=0
13、設直線L過A(−1,1,2), B(3,−1,8)兩點，若點P(3,−2,3)，則P在L之垂足為_________；
又P到直線L之距離為________。
答案答案：(：(11,,00,,55));; 2 3
解析解析：：HJJGAB x: = − +1 2 , t y= −1 t z, = +2 3 , t P(3, 2,− ， ， 3) 設
設P在L之垂足為H(1 2 , 1+ t −t, 2 3 )+ t ⇒ PHJJJK=
(2t− − +4, t 3, 3t−1) PH ⊥AB⇒
JJJK JJJK
(2t− − +4, t 3, 3t− ⋅1) (2, 1, 3)− =0 ∴∴t=1
∴垂∴垂足足為為((11,,00,,55)),, d P L( , )= 22+22+22 =2 3
14、若三平面 交於一線L，
則 ________,
1: 4 5 0, : 22 5 0, :3 3 2 1 0
E x+ − − =y z E x+ay− z+ =b E x− y+ z− =
a= b=________。
答案答案：7：7;; −−33
解析解析：：(4x+ − − +y z 5) k x( −3y+2z− =1) 0；；(4+k x) + −(1 3 )k y+(2k−1)z− +(5 k)=0
4 1 3 2 1 (5
2 5
k k k
a b
+ − − − +
= = =
−
)
k ；∴；∴k= −2, , a=7, , b= −3
15、設兩平行線 1: 1 3, 2: 5 4
2 1 2 2 1 2
1
x y z x y z
L − = = − L − = + =
− − −
+ ，則由直線L1與L2所決定的平面 方程式為________；又兩平行線間的距離為________。
答案答案：：x+ =z 4;; 4 2 3
解析解析：P：P(1(1,,00,,33))在在LL11上，上，QQ((55,,−−44,,−−11))在在LL22上上 (4, 4, 4), (2, 1, 2) (4, 0, 4) PQ
K
= − − PQK
× − − =∴平∴平面面之之方方程程式式為為x+ =z 4 ， ， 平行平行線線間間距距離離為為 42 02 42 4
3 3 2
+ + =
16、一直線L平行xy平面和平面E: 4x−2y+3z=9，又通過點P(2,−1,3)和點Q(1,a,b)，則 ________， ________。
a= b=
答
答案案：−：−33;; 33 解
解析析：x：xyy平平面面法法向向量量((00,,00,,11))
(0, 0,1) (4, 2, 3)× − =(2, 4, 0), , PP,,QQ均在均在直直線線LL上 上
∴
∴ 1 1
//(2, 4, 0), , 3 0
2 4
PQ
K
− =a+ b−= ∴∴a= −3, 3b=
17、設直線L過A(1,−5,−2), B(−2,−5,−3)兩點，若點P(3,3,2)，則AP
K
在AB
K
上之正射影為
________，P對直線L之投影點為_________；P對直線L之對稱點為________。
答案答案：(：(33,,00,,11));; ((44,,--55,,--11));; ((55,,−−1133,,−−44))
解析解析：：HJJGAB x: = +1 3 , t y= −5, z= − +2 t P, (3, 3, 2 )
2
(2,8, 4), ( 3, 0, 1) ( ) ( 10) (3, 0,1) 10
AP AB
AP AB AB AB
AB
⋅ −
= = − − ⇒ ⋅ = =
⏐ ⏐
K K K K K K
K
第 3 頁
∴
∴設設DD為為PP對對LL之投之投影影點點則則AD
K
=(3, 0,1)，
， 則則DD為為PP對對LL之投之投影影點點 ∴D∴D((44,,−−55,,−−11)) PP對對LL之之對對稱稱點點為為P′，則，則PP′
K
之之中中點點為為D D ∴∴P′((55,,−−1133,,−−
0 0
4)4)
18、設兩平面x−5y+2z+11= 與4x+ +y 2z−13= 之交線為 1 1
x a x b z
m
− = − = −
A ，則數對
________，數對( , ________。
( , )a b = A m)= 答案答案：(：(22,,33));; ( 4 2,
7 7
− ) 解
解析析：：(1, 5, 2) (4,1, 2)− × = −( 12, 6, 21) ∴∴ 1
12 6 21
l = m=
− ∴∴ 4, , 2 1
7 m 7 z
=− = =
A
∴∴x−5y+13=0, 4x+ − =y 11 0 ∴∴x=2, 3y=
∴∴( , ) (2, 3), ( , ) ( 4 2, ) a b = A m = −7 7
19、設直線 2 3 5則直線L的方向比為________。(以簡單整數比做答)
: 2 1
x y z L x y z
− − =
⎧⎨ + − =
⎩ 答案答案：1：1：：−−11：：11
解析解析：：(1, 2, 3) (2,1, 1)− − × − =(5, 5, 5)− ∴直∴直線線LL的方的方向向比比為為11:: −−11::11
20、設空間中有一點P(7,1,4)與直線 : 1 1
2 3 4
x y z
L − = = +
− ，若過P點與直線L垂直的直線為
7 1
1
x y z
a b
− = − = −4
，則a=________, b=________。
答
答案案：4：4;; 44
解析解析：： 1 1 , (2 1, 3 , 4 1)
2 3 4
x y z
t Q t t t
− = = + = + − −
− 且且PQ⋅
K
(2, 3, 4)− =0∴∴t =1
∴Q∴Q((33,,−−33,,33))，，∴∴PQ
K
= − − −( 4, 4, 1) //( , ,1)a b∴∴a=4, , b=4
第 4 頁
