ANS：7+i 解 解析析：： i i i i i

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：92.11.19 班級

範

圍 2-4複數平面(2)

座號

姓 名 一、 單選題 (每題8分)

1. 設1 − i為x² + ax + 3 − i = 0的一根，則a的值為何？

(A) − 3 (B) − 2 (C) − 1 − i (D) 2 (E) 3。。

ANS：(A) 解析：

∵ 1 − i為x² + ax + 3 − i = 0的一根

∴ (1 − i) ² + a(1 − i)+ 3 − i = 0

⇒ 1 − 2i + i ² + a − ai + 3 − i = 0

⇒ 1 − 2i − 1 + a − ai + 3 − i = 0

⇒ (a + 3) − (a + 3)i = 0 + 0i

∴ a + 3 = 0 ⇒ a = − 3 2. (4−3i)(5+2i)=a+bi, c di

i i = + +

+ 3 4

2

5 ，a, b, c, d均為實數，則

(A) a=20 (B) b=7 (C) ^c= 25

26 (D) ^{d =} 5

−7

(E) 25a=c ANS：(C)

解析：

(4 3 )(5 2 )− i + i =26 7− ⇒ =i a 26,b= −7

5 2 26 7 26 7

4 3 25 25, 25

i i

c d

i

+ = − ⇒ = =

+

−

二、填充題 (每題10分) 1. 設z =

2 1+i

，則1 + z⁹² + 2z²⁰⁰³ = 。 ANS： − 1 + i

解析：

∵ z² = ( 2 1+i

)² = 2

2i= i，∴ z⁹² = (z²) ⁴⁶ = (i) ⁴⁶= − 1 z²⁰⁰³ = z²⁰⁰²．z = (z²)¹⁰⁰¹．z = ( i )¹⁰⁰¹．z = i．z

故1 + z⁹² + 2z²⁰⁰³ = 1 − 1 + 2．i．

2

1+i = − 1 + i

2. a>0，則 =

− +

− ) 2 )(

2 (

) 2 ( 3 2

i a i

ai ______。

ANS：22 解

解析析：： 2

4 3

4 3

2 2 2

2 3 2 ) 2 )(

2 (

) 2 ( 3 2

2 2

+ =

= +

− +

= −

− +

−

a a i

a i

ai i

a i

ai

3. x,y∈R, (x+yi)(4+3i)=1−2i，則x=________, y=_________。

ANS： 25

−2 , ,

25 11

解析解析：：

25 11 2 25

) 3 4 )(

2 1 ( 3 4

2

1 i i i

i yi i

x − −

− =

= − +

= −

+ ,

25

−2

=

∴x

25

−11

= y

4. k為實數，若方程式3x²− +(k i x) + − =4 2i 0有實根，則k值為___________，另一虛根為 _________。

ANS：–– 88；； ^{2 1} 3 3i

− +

解析：

設方程式之實根為 α，則 3 α² − ( k + i )α + 4 − 2i = 0 ⇒ (3α² − kα + 4) − (α+ 2)i = 0

⇒ ⇒

設另一根為β，則 − 2 + β =

2

2 0

3 k 4

α + =

⎧⎨

α − α + =

⎩ 0

2 8 k α = −

⎧⎨ = −

⎩ 8

3

− +i⇒ β = ⁸ 3

− +i + 2 = ^{2 2}

3 3

i 1i

3

− + = − +

5. 化簡 =

− + −

−

+ 4 9

25 4

3

13 ______。

ANS：7+i 解

解析析：： i i i

i

i = − + + = +

+ −

+ (3 2) (4 3) 7 3

4 25 2

3 13

6. 設a，b ∈ R且[(a + 1) − 4i] + [5 + (b − 2)i] = 2 + 4i，則a+ = 。 bi ANS：− 4 − 10 i

解析：

[(a + 1) − 4i] + [5 + (b − 2)i] = 2 + 5i

⇒ (a + 1 + 5) + (− 4 + b − 2)i = 2 + 4i

⇒ (a + 6) + (b − 6) i = 2 + 4i ⇒ 6 2

6 4

a b

⎧ + =

⎨ − =

⎩ ∴ 4

10 a b

⎧ = −

⎨ =⎩

∴ a+ =bi − +4 10i= − 4 − 10i

7. 設k為有理數，且任一有理數m，恆使方程式x² − 3(m −1)x + 2m² + 3k = 0之根為有理數，

則k = 。 ANS： − 6

a，b，c ∈ Q，a ≠ 0，則ax² + bx + c = 0有有理根⇔

a ac b

b 2

2 −4

±

− ∈ Q

⇔ b² −4ac∈ Q ⇔ b² − 4ac為完全平方式 判別式 ⇒ [− 3(m −1)] ² − 4．1．(2m² + 3k)

= 9(m −1) ² − 4(2m² + 3k) = m² − 18m + (9 − 12k)為完全平方

∴ 9² − (9 − 12k) = 0，則k = − 6

8. (1)設z為複數且z² =−8−6i，則z=_________________。

(2)求x² −(4+2i)x+(11+10i)=0之二根為何？________________。

ANS：1 3− i, − +1 3i

解析解析：：((11)) 設z = a + bi，a，b ∈ R

⇒ (a + bi)² = (a² − b²) + 2abi = − 8 − 6 i ⇒ ^{2 2} 8

2 6

a b

ab

⎧ − = −

⎨ = −

⎩

……c

……d

⇒ 又 …….^③

⇒ 由①③ 得a

2 2

10 a +b =

2 = 1，b² = 9 ⇒ 由② a = ± 1，

⇒ z = 1 − 3 i或 − 1 + 3 i 3 b=∓

(

(22)) 0

2

) 10 11 ( ) 2 4

2 −( + i x+ + i =

x

2 2

2

(4 2 ) (2 ) (11 10 ) (2 )

[ (2 )] 8 6

x i x i i i

x i i

− + + + = − + + +

− + = − − (2 ) [ 8 6

x− + = − −i i之平之平方方根根]] (2 ) (1 3 )

x− + = ± −i i ⇒x= −3 2 1 4i 或 + i

9. 設 ₂

2

) 2 (

) 3 4 ( ) 1 (

i i z i

−

−

= + 則 z =______。

ANS：22 解 解析析：：

2 2

2 2

1 4 3 ( 2) 5

2 2 ( 5)

i i

z

i

+ − ×

= =

− =

10. 令 1 ^{10 12 50}

, 2

z= −i 則z +z + +z =____。

ANS：−i 解

解析析：： i i i z

z= − = − =−

2 2

, 2

1 ₂

i i i i i

i i i

i

i =−

+ +

= −

−

−

−

−

= −

− + +

− +

− (1 )

) 1 )(

( )

( 1

] ) ( 1 [ ) ) (

( )

( ) (

21 5

25 6

5

11. 設α，β為3x² + 7x + 3 = 0的二根，則( α + β )²之值為 。 ANS： −

3 13

解析：

方程式之判別式D = 49 − 4 × 3 × 3 > 0，有相異實根，

α + β ³

= −7< 0，αβ ³

=3 > 0， α < 0，β < 0 ⇒ α β = − αβ

∴ ( α + β )² = ( α )² + 2 α β + ( β )² = α − 2 αβ + β = −

3

7− 2 1= − 3 13

12. 方程式x² + 5x − 3 = 0的兩根為m，n，則以 n m，

m

n 為兩根的方程式為 。

ANS： x² + 3

31x + 1 = 0

解析：

x² + 5x − 3 = 0的兩根為m，n，則m + n = − 5，mn = − 3 n

m+ m

n = mn

n m² + ² =

mn mn n

m ) 2

( + ² − =

3 ) 3 ( 2 ) 5

( ²

−

−

−

− = −

3 31

n m．

m n =1

∴ 以 n m，

m

n 為兩根的方程式為x² + 3

31x + 1 = 0