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培訓- 3 二分探索とアルゴリズムデザイン

二分探索とアルゴリズムデザイン

Angrybird11 c2251393 October 16, 2013

1 Binary Search

Introduction

: ( ) ξ

:

1. a a < ξ a 1

2. a > ξ 1

3. a =ξ

O(C×lgN) C N

Binary search

1.1 Conclusion

Binary search 1.

...

2. ( )

: 1.

2. a a ( )

i T rue i

(F alse ) :F alse, F alse, , , F alse, T rue, , , , T rue I

1.2 Exercises 二分探索とアルゴリズムデザイン

i i T rue

( )

OI

3.

Exercise 4 & 5

1.2 Exercises

1.

Algorithm 1 ?

2. (upper )

A x

3. (lower )

A x

4. (JOI 2011 day 2, HOJ 118)

: n(n ≤100) A A 1 n

Answer(x[]) 700

5. Cave (IOI 2013 day 2) :

n(n≤5000)

n

trycombination(x[])

70000

2 Divide & Conquer

Introduction

II

2.1 Conclusion 二分探索とアルゴリズムデザイン

1.

2.

3.

(Master theorem) Google

2.1 Conclusion

: Merge sort Voronoi Diagram O(N lgN) Strassen's

2.2 Exercises

1. (TIOJ 1080)

...

2. (TIOJ 1108)

3.

n

1 3

4. (TIOJ 1500)

N

5. (POJ 1741)

n(≤10⁵) ≤k

6. : (TIOJ 1631)

xy n(≤ 50000) (

)

III

3. Dynamic Programming 二分探索とアルゴリズムデザイン

3 Dynamic Programming

Introduction

Dynamic Pro-

gramming (Optimization Problem)

(Feasible Solution)

(Optimal Solution) DP

DP ( )

(Subproblem)

(Memoization) DP

(Overlapping Subproblems)

DP DP

DP

• :

• :

3.1 Implementation

DP

( )

• bottom-up:

( )

IV

3.2 State Compression 二分探索とアルゴリズムデザイン

• top-down:

( )

3.2 State Compression

( )

3.3 Conclusion

DP DP

divide and conquer

( )

3.4 Classic Problems

1.

n S_1,1. . . S_1,n S_2,1. . . S_2,n

S_i,j 1.

2. c_i,j

(n≤10⁶)

V

3.5 Exercises 二分探索とアルゴリズムデザイン

2.

n ×n 0 1 0

(n ≤10⁴) 3. <TIOJ 1029>

n

4. <STEP5 0085>

L 1,2, . . . L

a₁, a₂, . . . a_L

(L≤10⁴) 5. 01

v n w

c (n, v ≤10³)

6. Matrix Chain Multiplication

A₁, A₂, . . . A_n, A₁·A₂·. . . A_n (n≤10²)

7. Traveling Salesman Problem

3.5 Exercises

1. <STEP5 0086>

n×m , 3 k ,

3 (k ≤n, m≤10³)

2. <TIOJ 1019>

n x x+ 1 x+ 2

1 n (n ≤10⁵)

3. <TIOJ 1014>

n 1

1 1

(n≤15)

VI

3.5 Exercises 二分探索とアルゴリズムデザイン

4. <codeforces 214E> Relay Race

n×n ( )

(1,1) (n, n) ( )

(n≤300) 5. <STEP5 0004>

n

( )

1∼ m ( )

san

(m≤n≤10⁷) 6. <TIOJ 1291> n m

n m (n, m≤200)

7. <TIOJ 1063 >

n×m 0 1 0

(n, m≤10³) 8. <STEP5 0042>

9. <STEP5 0069>

σ1, σ2, . . . σn σi (ρ−σi)² σi

ρ σ₁² + σ₂² +. . . σ_n² = M

(1≤n≤10,1≤σ_i ≤100,1≤M ≤10⁴) 10. <STEP5 0093>

m

n

m &

(1≤n ≤15,1≤m≤90)

VII

4. Greedy Algorithm 二分探索とアルゴリズムデザイン

4 Greedy Algorithm

Introduction

DP DP

DP

DP greedy( )

Greedy

greedy (

) greedy

greedy

• DP

• DP greedy

4.1 Conclusion

DP

DP greedy

4.2 Exercises

1.

N x_i, y_i(x_i < y_i)

VIII

4.2 Exercises 二分探索とアルゴリズムデザイン

2.

3. <NPSC2005 pB>

C

4. <NPSC2005 pA>

n

5. <STEP5 0021> ( 100 pB)

N, M N +M

w_i

6. <STEP5 0031> ( 101 pA)

L N Ai(A1+A2+. . . AN =L)

X X

7. <POI XII> Toy Cars

N K p

(1≤k ≤n≤10⁵,1≤p≤5×10⁵) 8. <POI X> Chocolate

M ×N 1×1 M−1

X₁, X₂, . . . X_M−1 N−1 Y₁, Y₂, . . . Y_N−1

9. <TIOJ 1432,1465> , H

N K

10. <TIOJ 1406> FISH N

Y Y

IX