PDF 物理資優營微積分教材2

物理資優營微積分教材２

2005/11/15

a x

b y ^y= ^f

( )

^x

曲線y=f(x)的面積約為PN

i=1f(xi)∆x，

∆x = b−a N

xi = a+ (i−1)∆x

x1 = a, xN =b−∆x, xN+1=b 當N → ∞時，∆x → 0，此時PN

i=1f(xi)∆x會趨近於一 個極限值，記為Rb

a f(x)dx，其中 f(x)是被積函數(integrand)

x是積分變數(integration variable) b, a則分別是積分的上、下限。

• 微積分基本定理：

(a) 若F (x) =Rx

x0f(˜x)dx，則F˜ ⁰(x) =f(x) (b) 若G⁰(x) =f(x)，則Rb

a f(x)dx=G(b)−G(a) 証明：(a)

F⁰(x) = lim

∆→0

F (x+∆)−F(x)

∆

= lim

∆→0

½f(x)·∆

∆

¾

=f(x) 証明：(b) 定義F (x) =Rx

a f(˜x)dx˜，由(a)知F⁰(x) =f(x)，因此 F⁰(x) =G⁰(x) =⇒ G(x) =F (x) +C

F (a) = 0 =⇒ C =G(a) 即

F (x) =G(x)−G(a) Z b

a

f(˜x)d˜x=F (b) =G(b)−G(a) Example 1 Rb

a xⁿdx 因_dx^d

µ 1

n+ 1xⁿ⁺¹

¶

=xⁿ，故 Z b

a

xⁿdx= 1 n+ 1

¡bⁿ⁺¹−aⁿ⁺¹¢

• 不定積分：

由微積分基本定理知：若F⁰(x) =f(x)，則 Z b

a

f(x)dx= F(x)|^ba≡F (b)−F (a) 如果不特別強調積分區間，可記為R

f(x)dx=F(x) +C，其中C稱微積分常數。

• 積分基本性質：

1. 線性：

(a) 若c是常數 Z

cf(x)dx=c Z

f(x)dx (b)

Z

{f(x) +g(x)}dx= Z

f(x)dx+ Z

g(x)dx 綜合(a)、(b)

Z

{c1f(x) +c2g(x)}dx=c1

Z

f(x)dx+c2

Z

g(x)dx 2. 變數變換（與連鎖律有關）

Z

f(g(x))g⁰(x)dx

令u=g(x)則du=g⁰(x)dx，故 Z

f(g(x))g⁰(x)dx= Z

f(u)du 如果是定積分，則變數變換後

Z b a

f(g(x))g⁰(x)dx= Z g(b)

g(a)

f(u)du Example 2 R dx

(3 + 2x)²令u= 3 + 2x =⇒ du = 2dx

=⇒

Z dx (3 + 2x)² =

Z 1 2

du u² =−1

2 1

u +C=− 1

2 (3 + 2x)+C Example 3 R e^xdx

(1 +e^x)²令u=e^x =⇒ du=e^xdx

=⇒

Z e^xdx (1 +e^x)² =

Z du

(1 +u)² =−1

2(1 +u)⁻¹+C =− 1

2 (1 +e^x) +C

Example 4 R dx

1 +e^x =R e^−xdx

e^−x+ 1，令u=e^−x =⇒ du=−e^−xdx

=⇒

Z dx 1 +e^x =

Z −du

1 +u =−ln (1 +u) +C =−ln¡

1 +e^−x¢ +C Example 5 求y =x²與y=x¹³在−1≤x≤1間所夾的面積

在−1≤x≤0間x² ≥x¹³；在0≤x≤1間x¹³ ≥x² A =

Z 0

−1

³

x²−x¹³

´ dx+

Z 1 0

³

x¹³ −x²

´ dx

= µ1

3x³− 3 4x⁴³¶¯¯¯¯

0

−1

+ µ3

4x⁴³ − 1 3x³¶¯¯¯¯

1

0

= − µ−1

3 − 3 4

¶ +

µ3 4 −1

3

¶

= 3 2 HW 1. 求Ra

0 x√

a²−x²dx HW 2. f(x) =Rx

0

t−1

1 +t²dt, x∈[0,2]求f(x)的極小值

• 基本函數的積分 (a) 指數函數：

Z

e^axdx= 1 ae^ax (b) 三角函數：

Z

sinxdx = −cosx Z

cosxdx = sinx Z

tanxdx =

Z sinx

cosxdx=−ln (cosx) Z

cotxdx =

Z cosx

sinxdx= ln (sinx) Z

secxdx =

Z 1

cosxdx=

Z cosx cos²xdx=

Z d(sinx) 1−sin²x = 1

2ln

µ1 + sinx 1−sinx

¶ Z

cscxdx = −1 2ln

µ1 + cosx 1−cosx

¶

3. 分部積分（萊布尼茲律）

{f(x)g(x)}⁰ =f⁰(x)g(x) +f(x)g⁰(x) Z

dx:f(x)g(x) = Z

f⁰(x)g(x)dx+ Z

f(x)g⁰(x)dx

=⇒ Z

f(x)g⁰(x)dx= f(x)g(x)

先對第二項積分|{z}

− Z

f⁰(x)

| {z }g(x)dx

對第一項微分

Example 6 Z

xe^xdx=xe^x− Z

e^xdx =xe^x−e^x 檢查：

{xe^x−e^x}⁰ =e^x+xe^x−e^x =xe^x Example 7

Z

lnxdx = Z

(lnx) 1dx= (lnx)x− Z µ1

x

¶ xdx

= xlnx−x Example 8

Z _∞

0

e^−xcosxdx = e^−xsinx¯¯^∞

| {z 0}

=0

+ Z _∞

0

e^−xsinxdx

= e^−x(−cosx)¯¯^∞

0 −

Z _∞

0

e^−xcosxdx

=⇒ 2 Z _∞

0

e^−xcosxdx= 1即 Z _∞

0

e^−xcosxdx= 1 2 方法２：

Z _∞

0

e^−xcosxdx = Re

½Z _∞

0

e^−(1−i)xdx

¾

= Re

½

− 1

1−ie^−(1−i)x

¯¯

¯¯

∞ 0

¾

= Re

½ 1 1−i

¾

= Re

½1 +i 2

¾

= 1 2 HW 3. R xe^x

(x+ 1)²dx Example 9

an = Z _∞

0

xⁿe^−xdx= xⁿ¡

−e^−x¢¯¯^∞

| {z 0}

=0

+ Z _∞

0

nxⁿ⁻¹e^−xdx

=⇒

an = nan−1

an−1 = (n−1)an−2

an−2 = (n−2)an−3

.. . a1 = 1·a0

a0 = Z _∞

0

e^−xdx= −e^−x¯¯^∞

0 = 1

=⇒ an=n!

Gamma函數：

Γ(x)≡ Z _∞

0

t^x−1e^−tdt

• 反三角函數：

(1) R dx

√a²−x²，令x=asinu =⇒ dx=acosudu

=⇒

Z dx

√a²−x² =

Z acosudu

acosu =u= arcsin³x a

´

因arcsin³x a

´

+ arccos³x a

´

= π

2，上式的不定積分也可寫成−arccos³x a

´

(2) R dx

√a²+x²，令x=asinhu =⇒ dx=acoshudu

=⇒

Z dx

√a²+x² =

Z acoshudu

acoshu =u= sinh⁻¹³x a

´

= ln

"

x+√

x²+a² a

#

(3) R dx

√x²−a²，令x=acoshu =⇒ dx=asinhudu

=⇒

Z dx

√x²−a² =

Z asinhudu

asinhu =u= cosh⁻¹

³x a

´

= ln

∙x+√

x²−a² a

¸

其他類似的變數變換：

½ (2)1 + tan²x= sec²x (3)sec²x−1 = tan²x (4) R dx

a²+x²，令x=atanu =⇒ dx=asec²u

=⇒

Z dx a²+x² =

Z asec²udu a²sec²u = u

a = 1

aarctan³x a

´

HW 4. 求R

(a²−x²)^−3/2dx、R

(a²+x²)^3/2dx及R

(x²−a²)^−3/2。 更一般的情況：

Z dx

√ax²+bx+c =

Z dx

s a

µ x+ b

2a

¶2

− ∆ 4a

,∆≡b²−4ac

(1) a <0,∆>0,令 µ

x+ b 2a

¶

=

√∆

−2asinu, dx=

√∆

−2acosudu

Z dx

√ax²+bx+c = Z

√∆

−2acosudu r ∆

−4acosu

= r 1

−aarcsin

∙−2a

√∆ µ

x+ b 2a

¶¸

(2) a >0,∆<0,令 µ

x+ b 2a

¶

=

√−∆

2a sinhu, dx=

√−∆

2a coshudu

Z dx

√ax²+bx+c = r1

aln

½ 1

√−∆ h

(2ax+b) +p

a(ax²+bx+c)i¾

(3) a >0,∆>0,令 µ

x+ b 2a

¶

=

√∆

2a coshu, dx=

√∆

2a sinhudu

Z dx

√ax²+bx+c = r1

aln

½ 1

√∆ h

(2ax+b) +p

a(ax²+bx+c)i¾

Z dx

ax²+bx+c =

Z dx

a µ

x+ b 2a

¶2

− ∆ 4a (4) ∆<0,令

µ x+ b

2a

¶

=

√−∆

2|a| tanu, dx=

√−∆

2|a| sec²udu

Z dx

ax²+bx+c = Z

√−∆

2|a| sec²udu (−∆)

4a sec²u

= 2a

|a|√

−∆arctan

∙ 1

√∆(2ax+b)

¸

(4') ∆>0,令 µ

x+ b 2a

¶

=

√∆

2|a|u, dx=

√∆

2|a|du

Z dx

ax²+bx+c = Z

√∆ 2|a|udu

∆

4a(u²−1)

= a

|a|√

∆ln

⎡

⎢⎢

⎢⎣

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

¯ x+ b

2a +

√∆ 2|a| x+ b

2a −

√∆ 2|a|

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

¯

⎤

⎥⎥

⎥⎦

HW 5. 求R

arcsin (x)dx及R

arctan (x)dx 一般的有理式：化成部分分式

Example 10 Z dx

x³+ 1 =

Z dx

(x+ 1) (x²−x+ 1) 1

(x+ 1) (x²−x+ 1) = a

x+ 1 + bx+c x²−x+ 1

=⇒ 1 = a¡

x²−x+ 1¢

+ (bx+c) (x+ 1) 恆等式，可令x=−1 =⇒ 1 = a(3) =⇒ a= 1

3

=⇒ (bx+c) (x+ 1) = 1 3

¡2 +x−x²¢

= 1

3(1 +x) (2−x) (bx+c) = 1

3(2−x) Z dx

x³+ 1 = 1 3

Z ½ 1

x+ 1 + 2−x x²−x+ 1

¾ dx

= 1 3

⎧⎪

⎨

⎪⎩ln (x+ 1) + Z ⎡

⎢⎣−1

2(2x−1) x²−x+ 1 +

3 2 x²−x+ 1

⎤

⎥⎦dx

⎫⎪

⎬

⎪⎭

= 1

3ln (x+ 1)− 1 6ln¡

x²−x+ 1¢ + 1

√3arctan

∙ 1

√3(2x−1)

¸

HW 6. 求R dx

(x+ 1)²(x+ 2)。

HW 7. 求arctan (x)在x= 0的泰勒展開。

• R

sin^mxcosⁿxdx, m, n為正整數 (1) m或n是奇數

(a) n是奇數，令u= sinx，du= cosxdx

=⇒ Z

sin^mxcosⁿxdx= Z

u^m¡

1−u²¢ⁿ⁻₂¹ du (b) m是奇數，令u= cosx，du=−sinxdx

=⇒ Z

sin^mxcosⁿxdx=−Z ¡

1−u²¢^m₂⁻¹ uⁿdu (2) m、n都是偶數

先利用sinxcosx= 1

2sin 2x，再利用sin²x= 1

2(1−cos 2x)或cos²x= 1

2(1−cos 2x)把 剩下的sin²x或cos²x降次。

Example 11 R

sin⁴xcos²xdx (i) sin²xcos² =

µ1 2sin 2x

¶2

(ii) sin²x= 1

2(1−cos 2x)

=⇒ Z

sin⁴xcos²xdx

= 1

8

½Z

sin²(2x)dx− Z

sin²(2x) cos (2x)dx

¾

= 1

8

½Z 1

2[1−cos (4x)]dx− Z

sin²(2x)1

2dsin (2x)

¾

= 1

16

½ x− 1

4sin (4x)− 1

3sin³(2x)

¾

HW 8. 求R

sin⁴xcos⁴xdx HW 9. 求R √

a²−x²dx, R √

a²+x²dx, R

(a²−x²)^3/2dx (3) R

sinmxcosnxdx, R

sinmxsinnxdx或R

cosmxcosnxdx可以利用積化和差

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎩

sinmxcosnx= 1

2sin (m+n)x+1

2sin (m−n)x sinmxsinnx= −1

2 cos (m+n)x+1

2cos (m−n)x cosmxcosnx= 1

2cos (m+n)x+1

2cos (m−n)x HW 10. m, n都是整數，證明

(i) RL 0 sin

µ2πmx L

¶ cos

µ2πnx L

¶

dx= 0 (ii)RL

0 sin

µ2πmx L

¶ sin

µ2πnx L

¶

dx= L 2δmn

(iii)RL 0 cos

µ2πmx L

¶ cos

µ2πnx L

¶

dx= L 2δmn

(4) R

tanⁿxdx（或R

cotⁿxdx） 利用tan²x= sec²x−1 = d

dx(tanx)−1 令In(x) =R

tanⁿxdx=R

tanⁿ⁻²x{d(tanx)−dx}

=⇒ In(x) =−In−2(x) + 1

n−1tanⁿ⁻¹x HW 11. 求R

tan⁴xdx,R

tan⁵xdx (5) R

secⁿxdx（或R

cscⁿxdx）

(a) n是偶數

令u= tanx, du= sec²udu,sec²x= 1 + tan²x= 1 +u² Z

secⁿxdx=Z ¡

1 +u²¢ⁿ⁻₂² du (b) n是奇數

令

In(x) = Z

secⁿxdx= secⁿ⁻²xd(tanx)

= secⁿ⁻²xtanx− Z

(n−2) secⁿ⁻³xsecxtanxtanxdx In(x) = secⁿ⁻²xtanx−(n−2)

Z

secⁿ⁻²x¡

sec²x−1¢ dx

=⇒ (n−1)In(x) = (n−2)In−2(x) + secⁿ⁻²xtanx HW 12. 求R

sec³xdx,R

sec⁴xdx (6) sinx及cosx有理式的積分

令u= tan³x 2

´

, du= sec²³x 2

´dx

2 , dx= 2du 1 +u² tanx= 2u

1−u² =⇒ sinx= 2u

1 +u²,cosx= 1−u² 1 +u² 因此積分可化為u的有理式。

Example 12 |a|<1

Z dx

1 +acosx =

Z 1

1 +a1−u² 1 +u²

2du 1 +u² =

Z 2du

(1−a)u²+ (1 +a)

令u=

r1 +a 1−atanθ

Z dx

1 +acosx = Z 2

r1 +a

1−asec²θdθ

(1 +a) sec²θ = 2

√1−a²θ

= 2

√1−a² arctan

"r 1−a

1 +atan³x 2

´#

HW 13. 求R2π 0

sinxdx

1 +asinx,|a|<1