目錄
壹、各章節讀書心得
一、為數學而數學---2
二、數學的日常應用---2
三、性情中人---4
四、空中奇航---6
五、頭腦體操---8
六、遊戲、禮物與娛樂---9
七、選擇與切割---10
八、錢，以及賺錢---11
九、跨學科集錦---12
貳、結語 ---14
參、表目錄 ---15
肆、圖目錄 ---15
伍、參考資料 ---16
壹、各章節讀書心得
一、為數學而數學
這個章節的七個主題之中，最令我印象深刻的是第七個主題──質數的祕密 生命，由標題可知，本主題主要在介紹深藏在「質數」裡的奧妙：一任意長度的等 差數列，數列所有的項皆為質數，可表示為a+bk的數列；文中舉了一個簡單的 例子：數列5, 11, 17, 23, 29可寫成5+6k，k為0到4。而目前所知最長的質 數等差數列有二十二項，那麼為何是「任意長度」而不是「無限長度」呢？因為等差 數列a+bk最後到達項k=a時：
a+bk=a+ba=a(1+b)
這個數字可以被a和(1+b)整除，因此它並不是一個質數，「無限長度」的質 數等差數列也就不存在了；所以，「任意長度」和「無限長度」這兩個詞，可千萬不 能弄混淆了！
我也試著從每一個質數中，挑出了一些數字，並把這個數列寫成上述 a+bk 的形式（以集合的描述法表示）：
1. 數列61, 67, 73, 79={1+6k︱10≦k≦13，且k∊Z}
2. 數列113, 131, 149, 167={5+18k︱6≦k≦9，且k∊Z}
3. 數列241, 277, 313, 349={25+36k︱6≦k≦9，且k∊Z}
在尚未看到這篇文章之前，我一直以為質數是沒有任何規律的，就像圓周率 一樣，只是一大串的亂碼而已，現在才發現原來將部分質數挑出來，再寫成一 行行的數列時，是有其規律隱藏在其中的，真是令人嘆為觀止啊！
二、數學的日常應用
本章節的六個主題都非常生活化，裡面所提到的一些問題，在我們的日常生 活中常常都會遇到，例如：郵票、零錢、排隊、桌子……等，這些事情對庶民來說 是再簡單不過的問題，簡直迎刃而解，但是正常人的問題解決了，數學家的問題
才正要開始。
（一）郵票問題：
第一個主題──郵票、銅板與麥克雞塊，裡面提到的第一個問題為：假定郵 票面額隨一定量增加，只用一定數量的這些郵票組合出最高金額；文中舉了一個 例子：若以7分錢的量增加，會有1、8、15、22分錢面額的郵票，此時最多只能 貼10張上述4種面額的郵票，那所有不高於94分錢的金額都能湊合出來。94這 個數字，是透過印度數學家特里帕蒂，發展出一個可以計算出最高金額的公式所 計算出的。我以22分錢面額的郵票作為自變數，而其他3個面額的郵票作為應變 數，實際演算了一下，確實如此：
郵 資
94-22 1=72 72-15 4=12 12-8 1=4 4-1 4=0
94-22 2=50 50-15 2=20 20-8 2=4 4-1 4=0
94-22 3=28 28-15 1=13 13-8 1=5 5-1 5=0 數
量 1+4+1+4=10 2+2+2+4=10 3+1+1+5=10
【表1】以22分錢面額郵票作為自變數，其他3個面額的郵票作為應變數。
（二）銅板問題：
另外，文中提到了第二個問題──「銅板問題」，這個問題正好與「郵票問題」
完全相反，「郵票問題」計算出來的結果是「上限」，也就是不高於這個結果的金額 都能夠拼湊出來；但是「銅板問題」處理的則是「下限」，意思就是這個計算結果以 上的金額都夠支付。英國數論家維斯特提出了一個公式，來解決這個問題，但是 此公式僅限於只有兩種銅板（假設為A和B），而且這兩個銅板的數字必須互質：
A B-A-B。
假如我的手中有7元和13元的銅板，將這兩個數字帶入維斯特的公式，那 麼所有高於71元的價格我都能夠支付（但不包含71本身），因此，當我要買一 個89的小玩偶時，就可以用9個7元和2個13元的銅板付錢。但是如果要買的
東西價錢低於71元呢？那麼很多價格就會變成無解，也就是無法使用手上的兩 種銅板支付；如果我要買一罐29元的飲料時，不管拿多少枚7元和13元的硬幣，
都湊不出29元，這是我就得祈求上蒼在我行經便利商店的路上，撿到一枚一元 硬幣，這樣就能舒緩我的口乾舌燥了。
（三）麥克雞塊問題：
「麥克雞塊問題」和「銅板問題」有些類似，是指可以組合任意盒數買到的麥克 雞塊數量（麥當勞有6塊盒裝、9塊盒裝和20塊盒裝）。文中舉例當要買44塊雞 塊的時候，可以購買一盒20塊裝、兩盒9塊裝和一盒6塊裝，便能夠湊出44塊 的數量。接下來的問題和「銅板問題」一樣：無法組合盒數買到的最大麥克雞塊數 量是多少？答案是43，任何大於這個數字的雞塊數量都可以買得到。再舉一個例 子，當我要購買91個麥克雞塊請班上同學吃時，可以購買兩盒20塊裝、5盒9 塊裝和一盒6塊裝；但是當我要購買13個麥克雞塊時，我又得祈求上蒼，希望 有一位陌生人吃不完，留下一塊麥克雞塊在盒子裡，等著飢餓的我去幫他吃掉。
三、性情中人
本章節主要在講述一些赫赫有名的數學家，他們不同凡響的個性，以及秉持 著一股對數學永不熄滅的熱情，在數學界上貢獻自己的辛勞和努力。其中第一個 主題──以數學之名，我看見了一位數學家對猶太社會的付出和奮戰，揭發當時 政府的種族歧視與不公，她的名字叫作莎伯托斯卡亞。
在1970到1980年代期間，俄國蘇維埃政府以激進的反猶太主義，禁止猶 太人在高中畢業後，接受高等數學教育，例如：莫斯科大學就是完全禁止猶太人 入學的機構。做入學考試時，閱卷者會找出為猶太人身分編號的考卷，再對其大 幅減少分數；若仍有猶太人進入下一階段的口試，口試主考官也會想盡各種辦法 找到理由把他們剔除，或詢問一些無法解答的問題，以及沒有正確答案的問題，
甚至連題目都含糊不清，讓應試者毫無招架之力。舉例來說，如果口試主考官詢 問你：「圓形的定義是什麼？」你就要回答：「『所有』至一給定點等距的點的集 合。」但你卻少說了「所有」，那你就只能接受不及格的命運吧！
【圖1】圓形的定義：「所有」至一給定點等距的點的集合。
即使有應試者對此提出多次申訴，但申訴成功的機會有如滄海一粟一般，幾 乎是不可能的事情了。莎伯托斯卡亞意識到猶太學生所面臨的困境，於是下定決 心要讓他們受到應有的尊重和對待，讓他們能有公平受教育的機會，未來不再是 一片黑暗，她和眾多已經成為著名數學家的老同學成立一座「猶太人民大學」，而 那些老同學們則親自在該學校，設計並教授猶太學生高等數學課程，沒有任何的 報酬，就憑著心中那一股為猶太學生奉獻的意志無私的付出；這所大學漸漸地蓬 勃發展，儘管沒有任何政治意圖，仍被視為一嚴重的政治反抗行動，挑戰蘇維埃 政府的唯一權威，之後甚至有幾位老師和學生被捕。尤其在西元1982年9月23 日晚上11點發生了一樁令人震撼的事故，莎伯托斯卡亞被一輛高速行駛的卡車 撞死，接著一輛救護車直接將她載到太平間，隔天便舉行了葬禮，至於那位肇事 者也始終沒有找到，意外事故也就草率地結案了，整體而言，就像是一場有意圖 的政府謀殺行動；當然，少了莎伯托斯卡亞的主導，猶太人民大學也就因此落幕 了，真是令人感到十分遺憾。
猶太人即使身處逆境、流落他方，遭受多方面的打擊、歧視與不公，但他們仍 然秉持著忠貞不渝的宗教信仰，以及堅毅無比的團結精神，持續努力奮戰到最後 一刻，絕不輕言放棄，也因此造就了許多名聞遐邇的學者，如：愛因斯坦提出布 朗運動和相對論、「精神分析之父」佛洛伊德揭露潛意識如何影響人的行為、以研究 原子核的裂解而與歐本海默並稱「原子彈之父」的費米（本身不是猶太人，不過最 後因妻子是猶太人，於是在參加西元1938年諾貝爾獎頒獎典禮後，便亡命美
國。）……等人，創造如此偉大卓越的不朽傳奇，猶太人的精神令人欽佩不已。
【圖2】阿爾伯特．愛因斯坦。 【圖3】西格蒙德．佛洛伊德。
【圖4】恩里科．費米。
四、空中奇航
本章節計有四個主題，主要在介紹有關在天空中飛行的數學奧妙，包括登機 飛機航線、班機與轉機和鳥類的飛行覓食時間，並結合生物學和物理學，以各項 卓越的研究和理論，為讀者做最生動的詮釋。
【圖5】在水面獵食。 【圖6】在空中覓食。
第四個主題──虛擬的長程飛行，是在講述一則在南大西洋鳥島上，對信天 翁獵食行為所作的研究，研究者在信天翁的腳上裝設紀錄器，記錄腳浸溼和乾燥 的時間，當鳥的腳溼時，代表牠們正在水面尋找食物，當鳥的腳乾時，表示他們 正在空中覓食；取回紀錄器後，再進行統計分析，會發現信天翁通常採取隨機短 程或中程的飛行，而短程飛行正可解釋愛因斯坦提出的「布朗運動」：一微粒與其 原始位置間的平均距離，隨時間的平方根增加（由朗之萬方程推導而出）。
【圖7】布朗運動：一微粒與其原始位置間的平均距離，隨時間的平方根增加（由
朗之萬方程推導而出）。
我們也可以在這個研究當中，發現有少數幾段非常長的時間，研究者認為這 是信天翁在尋找新漁場時，所進行的「長程飛行」，一旦找到新的漁場，牠們又會 繼續以布朗運動的模式覓食；這種布朗運動的分布中，被一些非常長的旅程干擾 稱為「雷維分布」。
再仔細地去觀察這份研究，可以看出第一次飛行和最後一次飛行的時間都特 別長，這是因為第一次的飛行時間，是從記錄裝置連接到電腦的那一刻起開始計 算，然而紀錄器還得花上一段時間，才會設置在信天翁的腳上，此外，信天翁還 會在巢裡待上很長時間才會飛走；當信天翁返回巢裡之後，又得花上一陣子才能 取下紀錄器。這些停止飛行的時間，都被研究者記錄為「飛行時間」，而且扣除頭
尾這兩段時間，剩下的就不再符合「雷維分布」，因此，這份研究報告可說是從頭 到尾錯到底！至於後續也有許多有關動物的覓食行為報告，引用這筆錯誤的統計 數據進行研究，所以後續的這些報告也因此誤入歧途，與研究結果大相逕庭！
幸好，信天翁的研究者和發現大錯誤的愛德華茲，合作發表了一篇新論文，
將研究錯誤的事實公諸於世，終止了接下來的錯誤引用和研究，論文中也表示剩 下的數據符合另一種分布模式──「伽馬分布」。藉由這篇文章我們可以瞭解到，
當我們在進行各項研究時，一定要一絲不苟，非常嚴謹地處理每一個環節，有誤 差的情形出現時，就必須想盡辦法讓誤差值降到最小，才不致於讓研究結果與事 實落差過大；在完成研究報告之後，也要細心地檢查每一項統計數據是否正確，
以避免做出錯誤的結論，更不會導致後續的研究者在引用這份報告時，跟著原先 的研究者一起步入錯誤的陷阱，千萬不能因為自己一個人的草率，而讓其他人成 了無辜的池魚之殃。
五、頭腦體操
本章節的四個主題有一個共通點，皆是在描述數學在腦中的運作情形，其中 第四個主題──廢除分數學數學，是我在本章節中覺得最精彩之處。文中描述西 元2006年的國際數學研討會上，有兩個學派出現很大的爭論，分別是「傳統派」
和「改革派」，「傳統派」堅決提倡根據傳統的方式──紙筆算術，來教授學生數學 而「改革派」則主張廢除教室中的紙筆算術，並堅持心算能力只要利用計算機就能 輕易獲得。以下是我個人的觀點：
個人認為「傳統派」的數學教授方式較為正確。紙筆算術能讓我們熟諳如何操 作數學物件，對於加、減、乘、除的橫式和直式運算能更加熟練，也有助於我們建 立穩固清晰的基本概念，數學思考模式漸趨成熟，並加深對十進位制的理解；在 經過千錘百鍊之後，不只精通了標準的計算方法和過程，甚至能夠發揮自動自發 的精神，發現老師上課時所沒有教到的知識，也增進了自己對數學的信心。
至於「改革派」堅持的「心算能力只要利用計算機就能輕易獲得」這一點，我個 人完全否認。心算能力是需要透過平常不斷的演算訓練，無形之中才能擁有的能
力，而過度地仰賴計算機，反而會失去原有的心算能力，因為有這種方便的科技 工具幫我們進行運算，頭腦漸漸地便失去計算的功能，原本能夠精確演算高複雜 度的算式，慢慢地越來越容易計算錯誤，到最後因為失去了心算能力，甚至連最 基本的加減運算，都不知道該如何去計算，更遑論計算乘除了。這理論也可以牽 涉到生物學家拉馬克提出的《用進廢退說》，越常使用的器官會愈來愈發達，越少 使用的器官會愈來愈退化。
六、遊戲、禮物與娛樂
在閱讀到本章節的第三個主題──政治與方陣啥關係，霎時間，我的腦袋出 現了一個大大的問號，思考了許久，仍想不出個所以然；看完了前兩段文章後，
才發現原來只是個巧合：富蘭克林在參加辯論時，利用那既冗長乏味又嘈雜紛擾 的時間，發現了有趣的8 8方陣：
52 61 4 13 20 29 36 45
14 3 62 51 46 35 30 19
53 60 5 12 21 28 37 44
11 6 59 54 43 38 27 22
55 58 7 10 23 26 39 42
9 8 57 56 41 40 25 24
50 63 2 15 18 31 34 47
16 1 64 49 48 33 32 17
【圖8】奇妙的8 8方陣。
我們可以在這個8 8的方陣中，發現每一行每一列的總和都是260，另外 雖然兩條對角線的總和不等於260，但是三十二條彎曲對角線（表格中塗色區 塊）卻恰好等於260，而每半行、每半列和每個2 2方陣，總和正好等於260
的一半130，這真是神奇啊！
除此之外，文中也提到富蘭克林還建構一個16 16的方陣，這個方陣也極
為特別，除了每個行列和彎曲對角線的總和都是2,056之外，裡頭所有2 2的 方陣加總都是514。在這裡我發現到，當方陣的邊長變成原來的2倍、面積變成原 來的4倍時，每一行、每一列的加總，正是2 2方陣加總的邊長平方倍，也就 是面積的倍數。我既佩服富蘭克林的耐性，也欽佩他能夠將無趣又嘈雜的時間發 揮到極致，進而發現到如此神秘奧妙的8 8和16 16方陣。
七、選擇與切割
由標題可知，本章節提出了一些有關「選擇」和「切割」，諸如遺產分配、切割 蛋糕及分配、從特定數量或無限數量中挑選、各種選拔賽……等問題，在此章節都 會遇到，以實際的例子和完整的計算過程，為讀者說明其「選擇」和「切割」個正確 過程。
在第一個主題──猶太經典是賽局理論先驅，首先提到了現代極著名的「賽 局理論」，並用此理論解決了遺產分配的問題。在一則古老的訓言──《塔木德經》
裡頭，有位丈夫的遺產必須分配給3位遺孀，並在遺囑裡交代，3三位太太分別 得到300、200和100蘇西（古猶太祭司的貨幣單位），但是在他過世之後，才 發現他全部的遺產卻只有200蘇西。今日，我們會依比例去作遺產的分配：
A太太→200 3/6=100蘇西 B太太→200 2/6≒67蘇西 C太太→200 1/6≒33蘇西
然而，《塔木德經》卻得到了不同的解答：A太太和B太太都得到了75蘇西 而C太太則得到了50蘇西。這個奇怪的答案是怎麼算出來的？根據兩位研究「賽 局理論」的數學家奧曼和馬希勒的說法，運用「賽局理論」的概念便可得到這個答 案，依據理論的定義，解答的順序必須符合下列順序：計算你認為依塔木德方法 任兩位債權人會得到的分配總和，然後檢查塔木德分配相加後，是否事實上真的 等於那個總和。
按照上述的解答過程，先以B太太和C太太去作計算，根據《塔木德經》，她 們分別得到75蘇西和50蘇西，所以總共有125蘇西；現在，任兩位債權人的
分配總和已求出，再來要檢查分配相加後，是否真的等於125蘇西：B太太可以 合理要求得到25蘇西，因為在最好的情況下，也就是那位丈夫的遺囑裡，C太 太頂多只能拿到100蘇西，而C太太無法要求得到任何的財產，因為B太太能 夠得到的200蘇西，超過可分配的總額125蘇西；把25蘇西分配給B太太後，
剩下的 100 蘇 西 便平 均分配給 B 太 太和 C太 太， 因 此 ，B 太 太總共得 到 25+50=75蘇西，C太太則得到50蘇西，75蘇西和50蘇西相加後，確實等於 125蘇西，所以分配無誤。
八、錢，以及賺錢
本章節以金融和經濟為主要脊梁，將數學理論、經濟學理論與統計學理論結 合，闡述經濟史上曾發生過的大事件，例如：西元1987年股市崩盤、西元2000 年網路泡沫破滅、西元2007年油價飆升和近幾年的金融緊縮等。
第一個主題──跟著金錢走，我對其最深感有趣。歐洲聯盟發行統一貨幣─
─歐元，通用於歐盟各會員國的貿易市場中；歐元硬幣標示面額的那一面，在每 個會員國中都是相同的，而反面則有各國引以為傲的不同文化特色的圖案，呈現 出歐洲豐富多元的民族文化。
【圖9】歐元硬幣的反面，是各國引以為傲的不同文化特色的圖案。
在各國頻繁的貿易往來之間，不同特色的歐元貨幣會漸趨混合，德國統計學 家斯托揚發展出的微分方程之數學模型指出，西元2020年以前，歐元貨幣應該 就能達到完全均衡的情形。最有趣的地方在於，經濟領域以外的學者們，尤其是
生物學家，非常熱衷於研究歐元的流動模式，藉此可闡明流行性疾病如何蔓延及 蔓延至何處、外來種動植物如何侵入外國棲地並破壞當地生態……等。
透過貨幣的流向，來說明上述兩者的流動情形，可說是一聰明又特別的方法 雖然可信度和正確性，較沒有其它觀察的方法那麼高，但是這是可以列入參考的 資料，對於流行性疾病的遏止和診治，以及阻止外來種動植物的入侵和擴散，都 是有助益的。
九、跨學科集錦
最後一個章節將數學和各個學科領域整合，如物理、法律、文學、科技、心理、 歷史及氣象等等，從數學的角度，闡釋各學科上的一些問題，並利用各種數學方 法，以及各個學科所發展出的理論，演繹最詳細的闡釋與解答。
第一個主題──迷人的碎形，本主題結合了數學和物理的空間維度概念，運 用物理理論透析兩位藝術家的驚奇畫作──如波洛克和蒙得里安。波洛克的畫作 看起來似乎是隨意畫製的，在紙上隨便的潑灑顏料，花不了幾秒鐘就能夠完成了 至於蒙得里安只在紙上，以水平線、垂直線和各種幾何形狀完成畫作，連對角線 都拒絕出現在畫作中。
奧勒岡大學的物理學家泰勒，運用一種原為「混沌理論」發展的工具，也就是 所謂的「碎形維度」，用電腦程式對波洛克的畫作進行分析，不論對哪一個區域縮 小或放大，碎形維度一直維持在1～2之間的固定數值，泰勒甚至表示，如果一 般人想模仿波洛克的繪畫方式，絕對無法讓碎形維度的數值保持一定，由此可知 波洛克的畫絕對不是隨機創作；泰勒還發現到波洛克畫作的碎形維度複雜度，隨 著年齡和技藝的增長而提高，早期畫作的碎形維度約為1.3，而後期作品提高到
將近1.8，可說是一位畫功已至爐火純青境界的畫家呢！更令人驚訝的是，早在
學者們發現碎形之前25年，波洛克就已經畫出了碎形！
【圖10】碎形圖案之一。
【圖11】碎形圖案之二。
那蒙得里安的作品呢？只有畫幾條水平線和垂直線，以及一些簡單的幾何圖 案，怎麼可能有碎形維度的數值出現？很明顯的不可能，一條線是一維的，幾條 線圍成一個圖形便是二維的，因此，蒙得里安畫作的維度，便是精確的1或2數 值，並不會像波洛克的作品一樣，碎形維度是在1～2之間的數字。
貳、結語
藉由這本書可以發現在我們的周遭，無處不是數學，並了解到數學在我們日 常生活中的重要性，不僅是在計算方面而已，購物、排隊、寫信、登機、愛情、用電 腦、玩遊戲、修屋頂、炒股票……等等，都可以用數學方法來解釋，甚至可以用來 提高做事情的效率和準確性，跟世界上每一個人的生活都是息息相關的；我也從 這本書中，理解到許多有關數學的各種法則，雖然有些內容較難理解，或許在高 中時期也不會教到，但是至少我知道有這種知識性的東西存在，等到我為這項知 識奠下了基礎之後，再去了解也不遲啊！
本書還有一大特色──旁徵博引，不但利用數學方法去闡明其意義和過程，
也能夠多方面求證、求解，運用物理學、經濟學、生物學、心理學等各項理論，做到 最詳細清晰的說明。當我們在從事研究的時候，也可以多多學習此特點，不僅要 從最基礎、根本的地方下手，也要從各方面著手，才能讓自己的研究提高正確性 且顛撲不破，更能夠禁得起時間的考驗，不容易被駁倒推翻，更能受到各學者們 的青睞、肯定，提升研究的可信度與有效性，並供各界引用參考。
參、表目錄
【表1】---3
肆、圖目錄
【圖1】圓形的定義：「所有」至一給定點等距的點的集合。---5【圖2】阿爾伯特．愛因斯坦。---6
【圖3】西格蒙德．佛洛伊德。---6
【圖4】恩里科．費米。---6
【圖5】在水面獵食。---7
【圖6】在空中覓食。---7
【圖7】布朗運動：一微粒與其原始位置間的平均距離，隨時間的平方根增加（由 朗之萬方程推導而出）。---7
【圖8】奇妙的8 8方陣。---9
【圖9】歐元硬幣的反面，是各國引以為傲的不同文化特色的圖案。---11
【圖10】碎形圖案之一。---13
【圖11】碎形圖案之二。---13
伍、參考資料
一、網路
（資料取得日期：2013/07/28）1. 歡迎光臨博客來
http://www.books.com.tw/
2. 質數表
http://www.mathland.idv.tw/experiment/primelist.htm 3. 維基百科，自由的百科全書
http://zh.wikipedia.org/zh-tw/Wikipedia:%E9%A6%96%E9%A1%B5 4. 互動百科
http://www.baike.com/
5. 朗之萬方程描述布朗運動
http://phy.ntnu.edu.tw/physics/theory/Report/Langevin%27s
%20equation.htm 6. 在路上
http://www.crifan.com/order_euro_coins_and_notes/
二、書目
（資料取得日期：2013/07/28）1. 書名：《數學的祕密生命》
作者：喬治．史皮婁 譯者：郭婷瑋
出版社：臉譜文化
2. 書名：《圖解量子力學》
作者：椎木一夫 譯者：朱麗真 出版社：商周出版
