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(1)

臺北市立建國高級中學第 113 期通訊解題題目解答與評析

找出所有可能的三個正整數，使得任兩個數的和除以第三個數，餘數都是1。

【簡答】(2,2,3)(3,4,6)(6,10,15)

【詳解】令三數為abc，

由ab1為

c

的倍數且ab12c，則ab1c，

由ac1為b的倍數，則2ab2為b的倍數，則2a2為b的倍數，又2a22b，可知2a2b，

由bc1為

a

的倍數，則5a6為

a

的倍數，則6為

a

的倍數，

又a 1，可得^a ^ ²^,³^,⁶，則

) 15 , 10 , 6 ( ) 6 , 4 , 3 ( ) 3 , 2 , 2 ( ) , ,

(abc    。

【另解】(新北市文山國中的鄭容濤同學)

(1)不失一般性，設abc，令abcn1，依題意可得^a^,^b^,^c均為

n

的因數。

(2)令 c

z n b y n a

x n,  ,  ，其中 x,y,z 均為正整數，且^z^ ^y^^x

由abcn1，可得¹_x^¹_y^¹_z ^ⁿ_n^¹^¹，且任兩項之和小於1。

(3)x,y,z 一定要有2( 1 3 1 3 1 3

1  

 不夠)，

且不能有兩個2( 1 2 1 2 1 

 不合)，

一個2之後，一定要有3( 1 4 1 4 1 2

1  

 不夠)，

最後一個數，一定不可以大於5( 1 6 1 3 1 2

1  

 不夠)，

經檢驗(x,y,z )= (2, 3, 3)、(2, 3, 4)、(2, 3, 5)均符合條件，

所對應的原三數為(3, 2, 2)、(6, 4, 3)、(15, 10, 6)。

11301

(2)

【評析】

1. 本題徵答同學有12人，平均得4.58分。參與徵答的同學分數及名單如下：

作答完整獲得滿分7分的同學有2人：

桃園縣文昌國中蔡子暘、桃園縣新興國際中小國中部盧韋成。

獲得6分有3人：

台北市微閣高中國中部林彥熹、新北市文山國中鄭容濤、

新北市江翠國中鍾堡淀。

台中市東山國中凃皓雲、台北市麗山國中江子新、

新竹市光華國中張原嘉。

桃園市復旦國中傅彥綱。

2. 這樣的題目主要的解法，是能不失一般性的假設未知數的順序，依題意列關係式，並利用不等式求出範圍，再針對範圍內的值討論，逐一找出各變數的相對關係，並完整的推出可能情形。大部分同學都能找到一些或全部可能的關係，並寫出一些或全部的解。但過程中有一些關係沒有完整說明的同學，

也因此無法得到全部的分數。另外，新北市文山國中的鄭容濤同學及台北市微閣高中國中部的林彥熹同學的作法頗具巧思，值得嘉許，而兩人方法相似，

僅提供鄭同學的方法。

已知 a_n 為首項 a11、公差 d 0 的等差數列，若

1 2 2 3 99 100

1 1 1

a a a a a a 為整數，試求公差d最小的可能值。

【簡答】 ¹ 9702

【詳解】

1 2 2 3 99 100

1 1 1

a a a a a a 1 2 2 3 99 100

2 1 3 2 100 99

1 1 1 1

1 1

a a a a

a a

a a a a a a

 



   

   

 

11302

(3)

1. 本次徵答共有24位同學，平均得分4.75分。本題主要測試同學對等差數列定義的理解及分數的運算技巧。根據等差數列的定義，an_1an d為一定值，

又由分數的通分可知，分母為a an n_1的分數可拆解為二個分母分別為an及

1

an_ 的分數相加減，進而簡化分數的形式。實際進行操作可得：

1 2 2 3 99 100

1 1 1

a a a a a a

1 100

1 1 1 1 1 1 99

( ) ( )

1 1 99 1 99

d a a d d d

    

 

幾乎所有投稿的同學都能成功轉換出此形式，得到 4分；但接下來則只有 25%的同學做出正確的討論，得到滿分7分。

要注意「整除」這件事是發生在整數域中的，意即雖然 5

2.52為一整數，但我們只能說2.5〝除盡〞5，而不能說2.5〝整除〞5，所以2.5不是5的因數！許多同學在這裡犯了致命的錯誤，這個錯誤基於對「整除」與「除盡」的理解不夠，

所以得到(1 99 ) d 為99的最小正因數3這個錯誤的答案！

2. 最後正確解出d的最小值 1

9702，並獲得滿分7分的有下列6位同學：

台中市明道國中方宣詠、台北市敦化國中葉峻豪、

台北市敦化國中鄧宇恆、台北市薇閣中學林彥熹、

新北市江翠國中劉建亨、新北市江翠國中鍾堡淀。

其他參與徵答的同學分數及名單如下：

獲得5分有1位同學：

新北市江翠國中高瑋伯。

台中市東山國中凃皓雲、台北市弘道國中劉仟璽、

台北市復興實中高中部黃家冠、桃園縣文昌國中蔡子暘、

桃園縣新興國際中小國中部黃佑聖、

桃園縣新興國際中小國中部盧韋成、

高雄市復華國中楊滄祺、新北市文山國中鄭容濤、

新北市永和國中蔣矩任、新北市江翠國中李可非、

新北市江翠國中許庭瑜、新北市江翠國中葉少鵬、

新北市江翠國中蕭明、新竹市光華國中沈玟廷、

新竹市光華國中張原嘉、新竹市光華國中黃鈺蓁。

台北市麗山國中江子新。

(4)

45 45

**

T P

C

A B

Q

Q B

A

C

P

如圖，在三角形ABC中，BC=^AC ，ACB = 90，P、Q為AB上的兩點，

PCQ = 45，試證：AP²+^BQ²=^PQ²。

【詳解】以^CQ為對稱軸將BC對稱至TC ，

^BQ=^TQ，CTQ= 45

以CP為對稱軸將AC對稱至TC ，

AP＝TP，CTP= 45

∴PTQ=90

_AP²+^BQ²=_TP²+^TQ²=^PQ²。

【解題重點】

本題是屬於開放性的幾何證明題，有幾個思考方向；

1.軸對稱法。

2.旋轉法。

3.利用畢氏定理暴力解之。

4.利用餘弦定理(不鼓勵此方法)。

【評析】本次共有20人作答，平均得分6.1分。用軸對稱法的有6人，用旋轉法的有8人，得0分者有2人是以特例處理，不具一般性。參與徵答的同學分數及名單如下：

獲得滿分7分有15人：

台中市明道國中809班方宣詠、台北市敦化國中916班葉峻豪、

台北市敦化國中921班鄧宇恆、桃園縣文昌國中904班蔡子暘、

桃園縣新興國際中小國中部801班黃佑聖、

桃園縣新興國際中小國中部901班盧韋成、

11303

(5)

將22的方格紙去掉一個方格餘下的圖形稱為L形，用此種L形去覆蓋37 大小的方格板，每個L形恰覆蓋3個方格，可以重疊但不能超出方格板的邊界。

試問：能否使每個方格被覆蓋的層數都相同？理由為何？

【簡答】不存在滿足題中要求的覆蓋

【詳解】如圖，將37的方格板內填寫2和1，易知，每個L形所覆蓋的3 個方格中的3個數之和只有可能為0或3。因此，無論用多少個L形覆蓋多少次，蓋住的所有數字之和都是非負數且為3的倍數。另一方面，方格板上數字的總和為⁸^⁽^²⁾^¹³^¹^^³，當每個方格被覆蓋 k 層時，蓋住的數字之和等於3k ，表示不存在滿足題中要求的覆蓋

2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 1 1

2 1 2 1 2 1 2

【評析】本題作答者有12人，平均得分為4.75分。

滿分7分同學有6人：

台北市敦化國中葉峻豪、台北市敦化國中鄧宇恆、

台北市蘭雅國中姜理元、台北市蘭雅國中施瑋庭、

新北市文山國中朱友祈、新北市江翠國中鍾堡淀。

台中市明道國中方宣詠、台北市弘道國中劉仟璽、

台北市薇閣中學林彥熹、新北市永和國中蔣矩任、

新北市江翠國中劉建亨。

得到7分的同學中，台北市蘭雅國中姜理元、台北市蘭雅國中施瑋庭、新北市文山國中朱友祈、新北市江翠國中鍾堡淀等4位同學在作邏輯分析時，分析的很詳盡清楚，論述亦很完整，特別值得鼓勵；其餘同學在討論時，須注意證明的完整性，期盼各位同學更加精進數學論述的能力。

(6)

已知f(x) = ₂ ₂

2 3 4

) 3 (

52 8 11 6 3



x x

x x x

x ，求f(x)之最大值與最小值。

【簡答】f(x)之最大值為 11

73 ，最小值為 11 28 。

【詳解】∵3x⁴+6x³+11x²+8x+52 = (x²+x+3)(3x²+3x–1)+55，

3x²+3x–1 = 3(x²+x+3)–10，

∴3x⁴+6x³+11x²+8x+52 = 3(x²+x+3)²–10(x²+x+3)+55，得 f(x) = ⁴ ³₂ ² ₂

) 3 (

52 8 11 6 3



x x

x x x

x = ₂ ₂ ₂

) 3 (

55 3

3 10



 



 

x x x

x ，

令A=

3 1

2x

x ，則 f(x) = 3 – 10A+ 55A²= 55( ² ₂ 11

1 11

2 

 A

A )+

11 28 ，

配方，得 f(x) = 55 )² 11 (A 1 +

11 28 ；又

由於x²+x+3 =

4 ) 11 2

(x1 ²  4

11，可知0＜A 11

4 ，得

11 3 11

1 11

1   

 A ⇒

121 ) 9

11 ( 1

0 A ² ，其中等號分別於A =

11 1 、A =

11

4 時成立；

而A = 11

1 ，即x²+x+3 = 11，化為x²+x–8 = 0，得x =

2 33 1

 ，

A = 11

4 ，x²+x+3 = 4

11，化為4x²+4x+1= 0，得x = 2

1

；因此，

f(x)在x = 2

1

時取得最大值，此最大值為

11 28 121

55 9  = 11 73， f(x)在x =^^1 ³³時取得最小值，此最小值為550 ²⁸=²⁸ 。 11305

(7)

化簡代數式子有一個常用的策略，就是變數代換；尋找二次函數的最大值或最小值有一個重要的方法，就是配方法，本題是其相關的例子。

如上詳解，將x²+x+3視為一體而以另一變數代換，即可化簡f(x)，是明顯可見的事實，問題只在化簡f(x)為二次函數3 – 10A+ 55A²後，其中之A值受到區間限制，並非任意實數。

本題共有10位同學應徵答題，大家所採用的方法大概都如以上詳解，差異只是敍論是否得當與計算是否正確而已。關於不等式，有一點問題請同學注意：

若推論得到m≦f(x)≦M，必須先確認f(x)可以取得m、M值，也就是要論證確有或實際找到使得f(x) =m與f(x) =M時之x值，才可指明f(x)的最小值為m、最大值為M；否則可能誤失。譬如：如果已知x為正整數且g(x) = 2x5，那麼g(x) 的最小值是g(3) = 6，而非5，因為使得g(x) = 5之正整數x不存在。

應徵答題之10位同學平均得分為5.2分，名單及成績如下，謝謝大家！

滿分7分者5人：

臺中市東山國中凃皓雲同學、桃園縣文昌國中蔡子暘同學、

新北市江翠國中李可非同學、新北市江翠國中鍾堡淀同學、

臺北市薇閣中學林彥熹同學。

5分者2人：

臺北市弘道國中劉仟璽同學、臺北市敦化國中葉峻豪同學。

3分者1人：

臺中市明道國中方宣詠同學。

2分者2人：

臺北市敦化國中鄧宇恆同學、臺北市麗山國中江子新同學。

以下是電腦繪製的本題y = f(x)之函數圖形，提供同學參考。

8

6

4

2

-2

-10 -5 5 10