臺北市立建國高級中學第 100 期通訊解題題目解答與評析
八位數 20□□□□13能被2013整除，求此八位數。
【簡答】20132013，20333313，20534613，20735913 ，20937213
【詳解】設A20abcd1320000013abcd10099352013858abcd100
可設858abcd1002013k ，則k 的個位數為6。
經檢驗得k 66,166,266,366,466
此八位數為 20132013，20333313，20534613，20735913 ，20937213。
【評析】本題屬於偏易的數論題，同學僅需運用因數分解，加上細心的計算，應不難獲 得正解。本題徵答人數有36人，除4位同學因計算稍有疏漏外，其餘32人皆 獲7分滿分。滿分同學名單如下：
苗栗建台高中國中部王博玄同學、苗栗建台高中國中部 林廷瑋同學
苗栗建台高中國中部鍾惟哲同學、桃園市新與國際中小國中部游垚騰同學、
桃園縣文昌國中蔡子暘同學、桃園縣桃園國中 陳宗葳同學、
高雄市高師大附中國中林庭風同學、新北市江翠國小李可非同學、
新北市江翠國中李品宏同學、新北市江翠國中范谷瑜同學、
新北市江翠國中張允瀚同學、新竹市實驗國中曾元同學、
臺中市華盛頓國中邱禹埕同學、臺北市天母國中葉沛鎧同學、
臺北市民生國中趙中綺同學、臺北市私立復興國中部趙珮雅同學、
臺北市延平高中國中部崔可言同學、臺北市延平高中國中部許誠同學、
臺北市明德國中張峻睿同學、臺北市金華國中曾則皓同學、
臺北市師大附中國中邱沂同學、臺北市師大附中國中潘卉盈同學、
臺北市師大附中國中鍾尚軒同學、臺北市敦化國中葉峻豪同學、
臺北市敦化國中歐宗霖同學、臺北市龍門國中蔡懷琦同學、
臺北市蘭雅國中施瑋庭同學、臺北市民生國中蔡宜庭同學、
桃園市桃園國小李承翰同學、苗栗縣明仁國中翁赫辰同學、
新北市永和國中王子杰同學、臺北市敦化國中 邱可為同學。
10001
10002
設x的實係數二次方程式ax214x 7 0有實根 , ，而y的實係數二次方程式
2 2( 1) 2 2 0
y b y b b 有實根 , ，且 2 4，又已知
0 14 ) 2 ( 6 2
2 2
，求實數a的範圍。
【簡答】 7 a 10且a0
【詳解】因為ax214x 7 0為二次方程式，所以a0---(a) 因為ax214x 7 0有實根，故判別式1424 ( 7) 0a ， 則a 7---(b)
將y22(b1)y b 22b0作十字交乘可配成(y b y )
(b2)
0，則其兩根為b b, 2，而 ，故 b 2 b
，代入 2 4可得 2 b 2 b 4
，則0 b 4---(*)
由根與係數關係得
14 7
a a
，又 b 2 b
，
代入2 6 2(2 2)140中得7a ( 67a) 2 2(
b2)b2
14 0 ，整理後得a2b24b 6 2(b1)2 8
又由(*)知0 b 4，故 8 a 10---(c)
最後，由(a)、(b)、(c)取交集可得實數a的範圍為 7 a 10且a0。
【評析】此題為雙變數之二次不等式問題，並以二次方程式的形式呈現，算是比較少見 的題型。要能正確解答此題，除了基本的十字交乘外，還需要比較根與係數關 係，並且限定範圍討論二次函數的極值，更要細心地討論判別式。所以此題算 是技術性較高的綜合性問題，能夠完全答對的2位同學實屬難能可貴，得到 滿分7分；不過有15位同學缺臨門一腳，忘了討論判別式，以至於算出
8 a 10
的解，相當可惜，得到5分；另外有5位同學雖有算出結論，但某 些部分計算有誤，還需再多磨練，得到3分；最後有2位同學作答不完全，
僅得1分。
滿分7分，答案正確或部分正確的位同學成績如下：
7分：桃園縣桃園市新興國際中小學國中部游垚騰同學。
台中市華盛頓國中邱禹埕同學。
5分：台北市天母國中余竑勳同學、台北市天母國中葉沛鎧同學、
台北市龍門國中蔡懷琦同學、台北市師大附中國中部邱沂同學、
台北市師大附中國中部潘卉盈同學、
台北市師大附中國中部鍾雨軒同學、
台北市延平中學國中部崔可言同學、新北市江翠國中李品宏同學、
新北市永和國中王子杰同學、桃園市桃園國中陳宗蔚同學、
苗栗縣建台中學國中部鍾惟哲同學、高雄市高師大附中林庭風同學、
高雄市復華中學國中部張恆瑜同學、台北市民生國中 蔡宜庭同學、
桃園市桃園國小 李承翰同學。
3分：台北市敦化國中葉峻豪同學、台北市明德國中張峻睿同學、
台北市金華國中曾則皓同學、台北市延平中學國中部許誠同學、
桃園市文昌國中蔡子暘同學。
1分：台北市敦化國中邱可為同學、新竹市實驗國中曾元同學。
已知正數a, b, c滿足a + b + c =1，試求 a2b2 b2c2 c2a2 之最小值？
【簡答】 2
【詳解】構造一個邊長為a + b + c =1的正方形：
a A b c D ∵AB a2b2 ，BC b2c2 ，EF c2a2
AB+BC+EF CA+EF =DE +EF
a B DF= 2 。 b
c E C F
【解題重點】本題看其來像是代數不等式的問題，來函中，有些同學用了”柯西不等式
”、
”平均不等式”…..等各種不等式解題。但從幾何角度來看，本題試求三條 線段和的最小值，我們可以構造一個邊長為abc的正方形完成解題。
【評析】來函共有19人，利用代數不等式（柯西不等式、平均不等式…..等）解題者有 12人，用幾何方法求三條線段和的最小值有6人。
其中得7分4人：
桃園市新興國際中小學國中部8年1班游壵滕同學、
台中市華盛頓國中2年6班邱禹埕同學、
桃園市桃園國中8年10班陳宗葳同學、
桃園市桃園國小2年3班李承翰同學。
其餘得6分11人（未驗算等號是否成立），
10003
得5分1人，得4分2人，得0分1人。
一張正方形紙片內有1000個點，這些點及正方形的頂點皆任意3點不共線。
現在將這1000個點與正方形頂點間連一些線段，將正方形全部分成小三角形
（以所連線段及正方形的邊為邊，且連線段除端點外，兩兩無公共點）。
試問一共連有幾條線段？一共得到幾個三角形？
【簡答】共有3001條線段，共有2002個三角形。
【詳解】設一共連有x條線段，一共得到y個三角形。
(1) 首先注意到y個三角形的內角總和為y180。
又所得y個三角形中，以1000內點為頂點的所有內角之和為1000 360 ； 以正方形的頂點為頂點的所有內角之和為4 90 。
因此，y180 1000 360 4 90。可解得y2002。
(2) 因每個三角形有三條邊，y個三角形共有3y條邊。
又每個線段為兩個三角形的公共邊，而正方形的每條邊均為三角形的一 邊，於是3y2x4，解得 2 3001
2
3
y
x 。
【評析】
1. 本題使用到了”算兩次”的想法，將三角形的總內角和運用兩種不同算法表示，
而求出三角形之個數，進而觀察共用邊的狀況，求得線段數。
2. 本題亦有同學使用尤拉公式計算得出解答，值得鼓勵。
3. 本題部分同學採用的方法是由點數找出規律，進而得出答案，可惜的是未證明 此規律是正確的。觀察出的結果僅是猜測，需要加上證明才完整。
4. 本題參與徵答有18位同學，僅有一位零分。
5. 本題參與徵答同學中，得7分者有12人：
高雄市 高師大附中國中部 林庭風 新北市 永和國中 王子杰 新北市 江翠國中 李品宏 台中市 華盛頓中學 邱禹埕 臺北市 龍門國中 蔡懷琦 臺北市 師大附中 潘卉盈 桃園縣 新興高中附設國中部 游垚騰 桃園市 文昌國中 蔡子暘 臺北市 天母國中 余竑勳 苗栗市 建臺國中 王博玄 桃園縣 桃園國中 陳宗葳 臺北市 螢橋國中 汪郁哲 10004
10005
試求 100 1 100 2 100 9999 9999 100
2 100 1
100
的值。
【簡答】 21
【詳解】令S 100 1 100 2 100 9999 9999 100
2 100 1
100
T
9999
1
2 200 )
9999 100
2 100 1
100 ( 2 2
n
n
S
=
9999
1
) 10000 100
10000 100
(
n
n n
=
9999
1
) 100 100
(
n
n
n =ST
即原式= 2 1 1
2
1
T
S 。
【另解】亦可令
9999 100
2 100 1
100
9999 100
2 100 1
100
p
1 9999 100
2 100 1
100
9999 100
2 100 1
1 100
p
9999 100
2 100 1
100
9999 100
9999 100
) 2 100 2
100 ( ) 1 100 1
100 (
P 2 9999
100 2
100 1
100
) 1 100 9998
100 9999
100 (
2
故 2 1
1 2
1
P 。
【評析】本題屬於數論問題，如果能充分運用根式與完全平方式相關性質，可以適度簡 化計算過程。此次共有14位同學參與此題徵答，且所有學生能將解答順利求 出，顯見同學的用心及努力，值得肯定與嘉許。答題品質及書寫較好的同學 名單如後：臺北市龍門國中蔡懷琦、敦化國中歐宗霖、葉峻豪、臺中市華盛頓 高中國中部邱禹埕、臺北市天母國中葉沛鎧、余竑勳、國立臺北師大附中國中 部邱 沂、鍾尚軒、桃園市桃園國中陳宗葳、臺北市民生國中蔡宜庭、桃園市桃
園國小李承翰等11位同學。
