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臺北市立建國高級中學第 114 期通訊解題題目解答與評析

試求方程式 a²b² 4a⁵b³的非零整數解。

【簡答】序對

) 3125 , 125 ( ), 972 , 54 ( ), 512 , 32 ( ), 486 , 27 ( ), 243 , 27 ( ), 4 , 2 ( ), 2 , 1 ( ) ,

(a b    

等7組解

【詳解】設最大公因數^{(a,b) g} ，則可令^{aga,b gb}代入a²b² 4a⁵b³

得

² ag  ²²² 4 gbg ⁵⁵  bga ³³ ( bag  ^{22 3} )4 bag  ³  )1(

又^a,b互質 ，所以

a 2 ,b  3

^亦互質。

因此由(1)式可推得

a 

²

 1

^{，即a1}

所以可以令 b ac再代入上式得^a2a2c2 ^4a5^a3c3 ^ac2 ^4a2^c3_⁽²⁾

則再設最大公因數^{(a,c) d}，則可令^{adA,cdC}代入(2)中 )

( 4 4

)

( ² ₂ ²

2

C A C d A A C A

dC     

又因為^A,C 互質且C²可整除4A² ，所以 ^{C  2,1,1,2}等4組整數解。

即得序對^{(A,C)(1,2),(3,1),(1,1),(5,1),(3,1),(2,1),(3,2)}，則序對 ) 3125 , 125 ( ), 972 , 54 ( ), 512 , 32 ( ), 486 , 27 ( ), 243 , 27 ( ), 4 , 2 ( ), 2 , 1 ( ) ,

(a b    

等7組解。

【評析】1.本題屬於較困難的數論方程式問題，同學不僅能確切掌握因倍數性質，且能 透過對整數解的了解正確計算出數值，更重要的是能利用數學符號完整表 達論證計算的過程。本題徵答人數僅有8人，平均得分為4.875分，其中只 有4位同學獲7分滿分，其餘未獲滿分同學主要是書寫方式與計算考慮不夠 周延，或者是在計算中忘記考慮某些條件導致錯誤推論或者解答有所缺漏。

整體而言參與徵答學生的論證與思考表達方法均十分優異，值得肯定。

2.許多同學亦採用了bak 的論證模式，將其代入原式a²b² 4a⁵b³ 中化簡 得到k²a4a² k³ 4a²k²ak³ 0

11401

可解出 8

) 16 (k k² k

a k   有整數解的條件。

故根號內_k² _{16k m}²其中m0 ^{k216k82m2 82 (k8)2m2 64} 所以(k8m)(k8m)64 即可由因倍數性質正確計算出k值，並進而 推算^a,b共有7種非零整數解。

3.徵答同學成績及名單如下：

獲得滿分7分且書寫品質較佳同學有4人：

臺中市私立明道高中國中部方宣詠、臺北市敦化國中葉峻豪、

臺北市敦化國中鄧宇恆、桃園市文昌國中蔡子暘。

獲得5分同學有1人：

臺北市薇閣中學林彥熹。

獲得2分同學有3人：

臺中市東山國中凃皓雲、臺北市麗山國中江子新、

新竹市光華國中張原嘉。

已知關於x的方程式

2

( 2 1) (2 7) 1 0

1 1

x x

a a

x x

   

          有實數根。

(1)求a的取值範圍

(2)若原方程式的兩個實數根為x x1, 2，且 ^{1 2}

1 2

3

1 1 11

x x

x  x 

  ，求a的值。

【簡答】(1) ⁵³

a 28 (2)a10

【詳解】(1)令 1

x y

x 

 ，則原方程式為(a²1)y²(2a7)y 1 0，由題意知原方程式有 實數根，即方程式(a²1)y²(2a7)y 1 0有實數根。

當_a²_{ 1 0}，即a 1時，方程式為9y 1 0或5y 1 0，即

9 1 1

 x

x 或 ¹

1 5 x

x 

 ，得 ¹

x 8或 ¹ x 4。

當_a²_{ 1 0}，即a 1時， (2a7)²4(a² 1) 0。 即當 ⁵³

a 28時，方程式(a²1)y² (2a7)y 1 0有實數根，

由 1 y x

 x

 知原方程式必有實數根。故當 ⁵³

a 28時，原方程式有實數根。

(2)由題意知 1 ¹

1 1

y x

 x

 與 2 ²

2 1

y x

 x

 是方程式(a²1)y²(2a7)y 1 0的兩個 實數根，則有(a²1)y₁²(2a7)y₁ 1 0，(a²1)y₂²(2a7)y₂ 1 0， 11402

兩式相減得(y₁y₂)[(a²1)(y₁y₂) (2 a7)] 0 。 若y₁ y₂，則 ⁵³

a 28，而 _{1 2} ³

y y 11，即 ₁ ³

y 22，代入方程式得

2

2 3 3

( 1) (2 7) 1 0

22 22

a     a    ，知a不等於 ⁵³

28，矛盾。

所以y1 y2，得(a² 1)(y₁y₂) (2 a7) 0 ，即 _{1 2} ²₂ ^{7 3} 1 11 y y a

a

   

 ，即

3a222a80 0 ，得( 10)( ⁸) 0 a a3  。 又因為 ⁵³

a 28，故a10。

【評析】1.本題徵答人數共22人，平均得5.18分。徵答同學成績及名單如下：

獲得滿分7分的同學有3人：

台中市東山國中816班凃皓雲、新竹市光華國中824班李至傑、

新竹市光華國中820班張原嘉。

獲得6分同學有8人：

台北市私立復興中學國中部8年仁班林睿庠、

台北市敦化國中916班葉峻豪、台北市敦化國中921班鄧宇恆、

台北市麗山國中701班江子新、新北市江翠國中827班劉建亨、

桃園縣新興國際中小國中部901班盧韋成、

新竹市實驗國中902班陳璿筑、新竹市實驗國中902班曾元。

獲得5分同學有7人：

台北市弘道國中913班劉仟璽、台北市蘭雅國中911班施瑋庭、

台北市復興實中高中部10年望班黃家冠、

桃園市復旦國中8年343班傅彥綱、新北市江翠國中821班李可非、

新北市江翠國中820班高瑋伯、新竹市光華國中827班黃鈺蓁。

獲得3分同學有3人：

台中市明道國中809班方宣詠、桃園縣文昌國中904班蔡子暘、

新北市永和國中815班蔣矩任。

2.多數同學直接使用二次方程式的判別式公式，即將^a的範圍作為最後答案。

其論述過程中未討論_a²_{ 1 0}的情形，因為當_a²_{ 1 0}時，非二次方程式，

無判別式公式的情況，故需要另外討論。

3.在第(2)題，部分同學使用根與係數直接求出 8

a 3與10，未考慮第(1)題中 53

a 28的條件，即 8

a 3不合。

A 圖(2) C E B

D

A 圖(1)

B D

C E

在ABC中，AB^BC，BC上的高AD= 2

1 BC，AE為BAC的平分線，

試求EAD。

【簡答】67.5或22.5

【詳解】有2種可能，

如圖(1)：

∵ ^AB^BC∴^AD= 2 1 AB

 ABD  30  BAE  2

1 BAC = 7.5

∴ EAD  60 + 7.5 = 67.5。 　　

如圖(2)：同(1)，B  30

 CAE  2

1 CAB = 37.5

∴CAD  9075=15

∴EAD 37.515 = 22.5。

【解題重點】本題沒給圖形，只要能畫出圖形，解出正確答案並不困難。大多數同學會 漏掉圖(2)，但有少數同學卻是漏掉圖(1)，細心的同學有6位，他們都得 到7分。

11403

【評析】本題共有25人徵答，平均得3.96分。其中未獲滿分漏掉圖(2)的有17人，漏掉 圖(1)的有2人。

獲得滿分7分者有6人，名單如下：

台北市仁愛國中919班游竣瑋、台北市薇閣中學9年義班林彥熹、

台北市私立復興中學國中部8年仁班林睿庠、

台北市蘭雅國中911班施瑋庭、新北市江翠國中820班林彥廷、

新北市江翠國中820班高瑋伯。

獲得3分者有19人，名單如下：

台中市明道國中809班方宣詠、台中市東山國中816班凃皓雲、

台北市弘道國中913班劉仟璽、台北市敦化國中916班葉峻豪、

台北市復興實中高中部10年望班黃家冠、

台北市敦化國中921班鄧宇恆、台北市麗山國中701班江子新、

桃園市復旦國中8年343班傅彥綱、桃園縣文昌國中904班蔡子暘、

桃園縣新興國際中小國中部901班盧韋成、

高雄市復華國中801班楊滄祺、新北市永和國中815班蔣矩任、

新北市江翠國中821班李可非、新竹市光華國中820班王辰祐、

新竹市光華國中824班李至傑、新竹市光華國中820班張原嘉、

新竹市光華國中827班黃鈺蓁、新竹市實驗國中902班陳璿筑、

新竹市實驗國中902班曾元。

由9名裁判給12名體操選手評分，每名裁判對每個選手給出的分數都是1,2,3,…,12分 的其中一個且給每個選手的分數都不同，若最後的結果顯示：

每個選手得到的九個分數中，最高與最低的差均不大於3。

假設12名選手的總分依序為a₁,a₂,,a₁₂，且a₁£a₂££a₁₂，則a₁的最大值為何？

【簡答】24

【詳解】(1)9個1分最多只能在分配到4個人身上。

若在五個人身上，因為任一裁判在這五人身上，必給出至少一個不小於5 的分數，這與最高與最低的差不大於3矛盾。

(2)若9個1分只在1個人身上，a₁9

(3)若9個1分集中在2個人身上，a₁£154421，a₁£21

(4)若9個1分集中在3個人身上，a₁a₂a₃£19394972，a₁£24 (5)若9個1分集中在4個人身上，a₁a₂a₃a₄£1929394990，

a₁£22

(6)綜合以上，a₁的最大值為24，

例子：只要讓a₁,a₂,a₃平均分配1,3,4，a₄,a₅盡量平均分配2,5，其它人依序 全得6，全得7，...，全得12。

【評析】1.本題作答者有10人，平均得3.8分。徵答同學成績及名單如下：

11404

作答完整獲得滿分7分的同學有4人，值得嘉許，分別是：

桃園縣文昌國中蔡子暘同學、台北市麗山國中江子新同學、

台北市敦化國中葉峻豪同學、台北市敦化國中鄧宇恆同學。

獲得3分的同學有1人：

台北市弘道國中劉仟璽同學。

獲得2分的同學有3人：

台北市薇閣中學林彥熹同學、台北市蘭雅國中施瑋庭同學、

桃園市復旦國中傅彥綱同學。

獲得1分的同學有1人：

台中市東山國中凃皓雲同學。

2.這樣的題目主要的方法是對極端數值做討論，因為是求最小量的最大值，

所以從1開始討論起，加上總量的限制，可以討論出1的可分配人數，再針 對各可能狀況討論，最後必須給出一種可能的分配，才能支持最小值的答案 大部分的同學都能找到討論的重點，表達也都非常詳盡，頗令人驚豔，希 望各位同學能繼續努力，在數學中找到樂趣。

設ABC中，AB8,BC10,AC12。若G與I 分別為ABC之重心與內心，則GI之 值為何？

【簡答】² 3

【詳解】(1)先證明IG//BC。

因為_AD是BAC的角平分線，

故有BD CD AB AC:  : 2 : 3。 因此，_BD4、CD6。

因為_BI 是ABC的角平分線，故AI ID AB BD:  : 2 :1，

又G為ABC之重心，故AG GM: 2 :1AI ID: 。從而IG//BC。 (2)由(1)知IG//BC，且AG AM: 2 : 3AI AD: ，

故知 3

) 2 4 5 3( ) 2 3(

2 3

2     

 DM BM BD

GI 。

【評析】1.本題徵答人數共18人，平均得分6.78分。徵答同學成績及名單如下：

全部答對得滿分7分者有16人：

台中市明道國中方宣詠同學、台中市東山國中凃皓雲同學、

台北市弘道國中劉仟璽同學、台北市延平高中國中部何政遠同學、

台北市立復興實中高中部黃家冠同學、台北市敦化國中葉峻豪同學、

11405

台北市敦化國中鄧宇恆同學、台北市薇閣國中林彥熹同學、

桃園市復旦國中傅彥綱同學、桃園縣文昌國中蔡子暘同學、

高雄市復華國中楊滄祺同學、新北市永和國中蔣矩任同學、

新北市江翠國中高瑋伯同學、新竹市光華國中張原嘉同學、

新竹市實驗國中陳璿筑同學、新竹市實驗國中曾元同學。

6分有1人：

台北市麗山國中江子新同學。

4分有1人：

新北市江翠國中李可非同學。

2.本題同學的解題方向大致正確，主要關鍵為看出IG//BC，再利用相似形即可求

出答案。答對的同學中，有一位使用解析幾何的方法求出答案，雖可求出答 案，但解析幾何的方法較看不出一些幾何性質。